八年级下册二次根式知识点总结和习题与答案_中学教育-中考.pdf

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1、.专业.二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a 0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a 0 时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即 0（）。注：

2、因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即 0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质.专业.文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简

3、 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简 时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与 的异同点 1、不同点：与 表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的运算（1）

4、因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式 ab=ab（a0，b0）；b baa（b0，a0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算 以是单项式

5、多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时

6、.专业.二次根式练习题（一）一、选择题（共 12 分）1 在根式15、2 2b-a1b a、3 ab、631、b aa221中，最简二次根式有（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 在二次根式32，-256，611，4951和232中，与6是同类根式的有（）A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 3在下列各式中，等号不成立的是（）Aa 1-aa B 2xyy 4x2(x 0)C 32a-a2a-D(x+2xy+y)(x+y)x+y 4在下列各式的化简中，化简正确的有（）3a aa 5xx-x 4xx 6a2baab 2b3a 24+61 106 A 1 个 B 2 个

7、C 3 个 D 4 个 5已知二条线段的长分别为2cm、3cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A 1cm B5cm C 5cm D 1cm 或5cm 6已知 a 0，化简：aa a22的结果是（）A 1 B-1 C 0 D 2a 二、填空题（每题 2 分，共 20 分）75 2 的绝对值是 _，它的倒数 _ 8当 x_时，x 3 11是二次根式 9当 x_时，5 2 x有意义，若xx 2有意义，则 x_。以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有

8、意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时.专业.10当 m n 时，2)(m n _，当 a _时，3132 aa 11化简 04.0 225_，2 2108 117_。12计算：b a 10 2 5 3

9、_ 13若最简二次根式1 5 22 x与1 72 x是同类二次根式，则 x=_。14把根式aa1根号外的 a 移到根号，得 _。15 二次根式x 3 3 与ax 2的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为；其和为。16 观察下列各式：322322；833833；15441544；则依次第四个式子是；用)2(n n的等式表达你所观察得到的规律应是。三、解答题（共 68 分）17（5 分）计算：b abab aa 18（5 分）计算：)48 3814 12 2(22 19（5 分）解方程：3 5 4 80 15 x x 20（5 分）解不等式：)1(6)3(2 x x 21（5 分）已知：24 2

10、0 x，求221xx 的值 22（5 分）化简并求值 a aa aaa a 22 21 212 1 其中3 21 a 23（5 分）已知实数 a 满足|2003 a|+a 2004=a，则 a 2003 2 的值是多少？24（5 分）已知正数a和b，有下列命题：（1）若2 b a，则ab 1；以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平

11、方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时.专业.（2）若3 b a，则ab23；（3）若6 b a，则ab 3；根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9 b a，则ab。25（6 分）阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答。已知m为实数，化简：mm m13 解：原式mmm m m 1 m m 1 26（6 分）如图

12、，ABC 中，Rt ACB，2,8 BC AB，求斜边AB上的高CD 27（8 分）观察下列等式：1 2)1 2)(1 2(1 21 21；2 3)2 3)(2 3(2 32 31；3 4)3 4)(3 4(3 43 41；回答下列问题：（1）利用你观察到的规律，化简：11 3 21（2）计算：10 31.2 313 212 11 28（8 分）水库大坝截面的迎水坡坡比（DE 与 AE 的长度之比）为 1：0.6，背水坡坡比为 1：2，大坝高 DE=30 米，坝顶宽 CD=10 米，求大坝的截面的周长。以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次

13、根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时.专业.A C B E D F 以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有

14、平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时.专业.二次根式练习题（二）一、选择题

15、1、如果 3x+5 是二次根式，则 x 的取值围是（）A、x 5 B、x 5 C、x1 B、x0,化简二次根式 x yx2 的正确结果为（）A、y B、y C、y D、y 9、若代数式(2 a)2+(a 4)2 的值是常数 2，则 a 的取值围是（）A、a 4 B、a 2 C、2 a 4 D、a=2 或 a=4 10、下列根式不能与 48 合并的是（）以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是

16、说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时.专业.A、0.12 B、18 C、113 D、75 11、如果最简根式 3a 8 与 17 2a 是同类二次根式，那么使 4a 2x 有意义的 x 的围是（）A、x 10 B、x 10 C、x10 12、若实数 x、y 满足 x2+y

17、 2 4x 2y+5=0,则x+y3y 2 x 的值是（）A、1 B、32+2 C、3+2 2 D、3 2 2 二、填空题 1、要使x 1 3 x 有意义，则 x 的取值围是。2、若 a+4+a+2b 2=0，则 ab=。3、若 1 a 2 与 a 2 1 都是二次根式，那么 1 a 2+a 2 1=。4、若 y=1 2x+2x 1+(x 1)2，则(x+y)2003=。5、若 2 x1+3 x，化简(x+2)2 3(x+3)3=。6、若(a+1)2=(a 1)2，则 a=.7、比较大小：3 5 2 6 11 10 14 13 8、若最简根式 m 2 3 与 5m+3 是同类二次根式，则 m=

18、.9、已知 223=223,338=338,4415=4415,请你用含 n 的式子将其中蕴涵的规律表示出来：.10、若 5 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 a 1b=。11、已知 x=1a a，则 4x+x 2=。12、已知 a=3 5 3+5，则化简 a 得.三、计算与化简 1、(3+2)1+(2)2+3 8 2、13+1+15 3+15+3 以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就

19、是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时.专业.3、(1+2 3)(1 2+3)+2 6 4、9a+a3 1a+12a a 3 四、先化简再求值 1、已知 a=3,b=4，求 4(a+b)(a b)+a+b ab(b a)a b ab 的值。2、化简：a+2+a 2 4 a

20、+2 a 2 4 a+2 a 2 4 a+2 a 2 4 取自己喜爱的 a 的值计算。3、当 a=3+2 3 2，b=3 2 3 2 时，求 a 2 3ab+b 2 的值。4、当 a=21 3 时，求a 2 1a 1 a 2 2a+1 a 2 a 1a 的值。五、解答下列各题 1、解方程：3(x 1)=2(x+1)2、解方程组：两直角边长分别为 a=12 3 11,b=12 3 11,求斜边 3、已知直角三角形的长。【参考答案】同步学习检测（一）一、选择题 1 C 2 B 3 C 4 B 5 D 6 B 二、填空题 x2=y6 x+y=4 以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方

21、根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时.专业.75 2,2 5 813 952，x

22、2且0 x 10 m-n，0 11 3，45 12 30 2ab 13 1 14 a 15 6 10 16.5 55 54 24，2 21 1n nn nn n 三、解答题 17 1 181 4 6 193 xy 20 3 3 x 21 18 22 11,3 aa 23 2009 2492 25原式1()()m m m mm 1 m m 2662 27（1）2 3 11；（2）9 28(98 30 5 6 34)米 同步学习检测（二）一、选择题 1、C 2、C 3、C 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、C 10、B 11、A 12、C 二、填空题 1、1 x 8、6 9、n+nn 2

23、 1=nnn 2 1(n 2 且 n 为整数)10、5 11、1a a 12、2 三、计算与化简 1、3 2 2、3+1 3、4+4 6 4、236 a 四、先化简再求值 1、3 2 2、a 3、95 4、3 五、解答下列各题 1、x=5+2 6 2、x=2 3 2 y=6 2 3 3、46 4、7 6 5 2 2 6 2 以是单项式多项式分式等代数式但必须注意因为负数没有平方根所以是为二次根式的前提条件如等是二次根式而等都不是二次根式知识点二取值围二次根式有意义的条件由二次根式的意义可知当时有意义是二次根式所以要使二次根 点三二次根式的非负性表示的算术平方根也就是说是一个非负数即注因为二次根式表示的算术平方根而正数的算术平方根是正数的算术平方根是所以非负数的算术平方根是非负数即这个性质也就是非负数的算术平方根的性质和绝对 数的算术平方根的平方等于这个非负数注二次根式的性质公式是逆用平方根的定义得出的结论上面的公式也可以反过应用若则如知识点五二次根式的性质专业文字语言叙述为一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值注化简时