以圆为背景的相似三角形的计算及证明_中学教育-中考.pdf

《以圆为背景的相似三角形的计算及证明_中学教育-中考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《以圆为背景的相似三角形的计算及证明_中学教育-中考.pdf（9页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、.以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图 Z13 1，DB为半圆的直径，A为 BD延长线上的一点，AC切半圆于点 E，BC AC于点 C，交半圆于点 F.AC 12，BC 9，求 AO 的长 图 Z13 1 经典母题答图 解：如答图，连结 OE，设 O的半径是 R，则 OE OB R.在 Rt ACB 中，由勾股定理，得 AB AC 2 BC 2 15.AC切半圆 O于点 E，OE AC，OEA 90 C，OE BC，AEO ACB，OEBCAOAB，R915 R15，解得 R 458，AO AB OB 15 R 758.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从

2、而得到相似三角形，利用比例线段求 AO 的长【中考变形】1如图 Z13 2，在 Rt ACB 中，ACB 90，O是 AC边上的一点，以 O为圆心，OC为半径的圆与 AB相切于点 D，连结 OD.(1)求证：ADO ACB；(2)假设 O的半径为 1，求证：AC AD BC.证明：(1)AB是 O的切线，OD AB，C ADO 90，A A，图 Z13 2.ADO ACB；(2)由(1)知，ADO ACB.ADACODBC，AD BC AC OD，OD 1，AC AD BC.2 2017 如图 Z13 3，Rt ABC，C 90，D 为 BC 的中点，以 AC为直径的 O交 AB于点 E.(1

3、)求证：DE是 O的切线；(2)假设 AE EB 1 2，BC 6，求 AE的长 图 Z13 3 中考变形 2 答图 解：(1)证明：如答图，连结 OE，EC，AC是 O的直径，AEC BEC 90，D为 BC的中点，ED DC BD，1 2，OE OC，3 4，1 3 2 4，即 OED ACB，ACB 90，OED 90，DE是 O的切线；(2)由(1)知 BEC 90，在 Rt BEC 与 Rt BCA 中，B B，BEC BCA，BEC BCA，BEBCBCBA，BC 2 BE BA，AE EB 1 2，设 AE*，则 BE 2*，BA 3*，BC 6，62 2*3*，解得*6，即 A

4、E 6.3如图 Z13 4，AB是 O的直径，BC AB，连结 OC，弦 AD OC，直线 CD交 BA的延长线于点 E.求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又

5、为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延.(1)求证：直线 CD是 O的切线；(2)假设 DE 2BC，求 AD OC的值 图 Z13 4 中考变形 3 答图 解：(1)证明：如答图，连结 DO.AD OC，DAO COB，ADO COD.OA OD，DAO ADO，COD COB.又 CO CO，OD OB，COD COB(SAS)，CDO CBO 90，即 OD CD.又 点 D在 O上，直线 CD是 O的切线；(2)由(1)知，COD COB，CD CB.DE 2BC，DE 2CD.AD OC，E

6、DA ECO，ADOCDECEDEDE CD23.4 2016 如图 Z13 5，O是 ABC 的外接圆，BC是 O的直径，ABC 30.过点 B 作 O的切线 BD，与 CA的延长线交于点 D，与半径 AO 的延长线交于点 E.过点 A作 O的切线 AF，与直径 BC的延长线交于点 F.(1)求证：ACF DAE；(2)假设 S AOC34，求 DE的长；(3)连结 EF，求证：EF是 O的切线 图 Z13 5 中考变形 4 答图 解：(1)证明：BC为 O的直径，BAC 90，求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构

7、造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延.又 ABC 30，ACB 60，又 OA OC，OAC 为等边三角形，即 OAC AOC 60，AF为

8、 O的切线，OAF 90，CAF AFC 30，DE为 O的切线，DBC OBE 90，D DEA 30，D CAF，DEA AFC，ACF DAE；(2)AOC 为等边三角形，S AOC34OA 234，OA 1，BC 2，OB 1，又 D BEO 30，BD 2 3，BE 3，DE 3 3；(3)证明：如答图，过点 O作 OM EF于点 M，OA OB，OAF OBE 90，BOE AOF，OAF OBE(SAS)，OE OF，EOF 120，OEM OFM 30，OEB OEM 30，即 OE平分 BEF，又 OBE OME 90，OM OB，EF为 O的切线 5 2017 株洲 如图

9、Z13 6，AB为 O的一条弦，点 C 为劣弧 AB的中点，E 为优弧 AB上一点，点 F 在 AE的延长线上，且 BE EF，线段 CE交弦 AB于点 D.(1)求证：CE BF；(2)假设 BD 2，且 EA EB EC 3 1 5，求 BCD 的面积 求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线

10、假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延.图 Z13 6 中考变形 5 答图 解：(1)证明：如答图，连结 AC，BE，作直线 OC，BE EF，F EBF，AEB EBF F，F 12 AEB，C是 AB的中点，AC BC，AEC BEC，AEB AEC BEC，AEC 12 AEB，AEC F，CE BF；(2)DAE DCB，AED CEB，ADE CBE，ADC

11、BAECE，即ADCB35，CBD CEB，BCD ECB，CBE CDB，BDCBBECE，即2CB15，CB 2 5，AD 6，AB 8，点 C为劣弧 AB的中点，OC AB，设垂足为 G，则 AG BG 12AB 4，CG CB 2 BG 2 2，S BCD12BD CG 12 2 2 2.6如图 Z13 7，AB是 O的直径，C 为 O上一点，AE和过点 C 的切线互相垂求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中

12、考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延.直，垂足为 E，AE交 O于点 D，直线 EC交 AB的延长线于点 P，连结 AC，BC，PB PC 1 2.(1)求证：AC平分 BAD；(2)探究线段 PB，AB之间的数量关系，并说明理由 图 Z13

13、7 中考变形 6 答图 解：(1)证明：如答图，连结 OC.PE是 O的切线，OC PE，AE PE，OC AE，DAC OCA，OA OC，OCA OAC，DAC OAC，AC平分 BAD；(2)线段 PB，AB之间的数量关系为 AB 3PB.理由：AB是 O的直径，ACB 90，BAC ABC 90，OB OC，OCB ABC，PCB OCB 90，PCB PAC，P 是公共角，PCB PAC，PCPAPBPC，PC 2 PB PA，PB PC 1 2，PC 2PB，PA 4PB，AB 3PB.7 2016 枣庄 如图 Z13 8，AC是 O的直径，BC是 O的弦，P 是 O外一点，连结

14、PA，PB，AB，PBA C.求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的

15、一条弦点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延.(1)求证：PB是 O的切线；(2)连结 OP，假设 OP BC，且 OP 8，O的半径为 2 2，求 BC的长 图 Z13 8 中考变形 7 答图 解：(1)证明：如答图，连结 OB，AC是 O的直径，ABC 90，C BAC 90.OA OB，BAC OBA，PBA C，PBA OBA 90，即 PB OB.PB是 O的切线；(2)O的半径为 2 2，OB 2 2，AC 4 2，OP BC，BOP OBC C，又 ABC PBO 90，ABC PBO，BCBOACPO，即BC2 24 28，BC 2.8 2017 聊城 如图 Z13 9，O是 AB

16、C的外接圆，O点在 BC边上，BAC 的平分线交 O于点 D，连结 BD，CD，过点 D作 BC的平行线，与 AB的延长线相交于点 P.(1)求证：PD是 O的切线；(2)求证：PBD DCA；(3)当 AB 6，AC 8 时，求线段 PB的长 图 Z13 9 中考变形 8 答图 解：(1)证明：圆心 O在 BC上，BC是 O的直径，求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是

17、的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延.BAC 90，如答图，连结 OD，AD 平分 BAC，BAC 2 DAC，DOC 2 DAC，DOC BAC 90，即 OD BC，PD BC，OD PD，OD 为 O的半径，PD是 O的切线；(2)证明：PD BC，P ABC，ABC ADC，P A

18、DC，PBD ABD 180，ACD ABD 180，PBD ACD，PBD DCA；(3)ABC 为直角三角形，BC 2 AB 2 AC 2 62 82 100，BC 10，OD 垂直平分 BC，DB DC，BC为 O的直径，BDC 90，在 Rt DBC 中，DB 2 DC 2 BC 2，即 2DC 2 BC 2 100，DC DB 5 2，PBD DCA，PBDCBDAC，即 PB DC BDAC5 2 5 28254.【中考预测】2017 黄冈模拟 如图 Z13 10，AB为 O的直径，CD与 O相切于点 C，且OD BC，垂足为 F，OD 交 O于点 E.证明：(1)D AEC；(2

19、)OA 2 OD OF.求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦

20、点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延.图 Z13 10 中考预测答图 证明：(1)如答图，连结 OC，CD与 O相切于点 C，OCD 90.OCB DCF 90.D DCF 90，OCB D，OB OC，OCB B，B AEC，D AEC；(2)B AEC，D B，OD BC，BFO OCD 90，BOF DOC，OCOFODOB，即OAOFODOA，OA 2 OD OF.求的长图经典母题答图解如答图连结设的半径是则在中由勾股定理得切半圆于点解得思想方法利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形从而得到相似三角形利用比例线段求的长中考变形如图在中是边上的一点以为圆心为半 假设求的长图中考变形答图解证明如答图连结是的直径为的中点即是的切线由知在与中设则解得即如图是的直径连结弦直线交的延长线于点求证直线是的切线假设求的值图中考变形答图解证明如答图连结又即又点在上直线是的切线 线交于点求证假设求的长连结求证是的切线图中考变形答图解证明为的直径又又为等边三角形即为的切线为的切线为等边三角形又证明如答图过点作于点即平分又为的切线株洲如图为的一条弦点为劣弧的中点为优弧上一点点在的延