优化课堂高中数学第1章立体几何初步章末综合检测北师大版必修2_中学教育-高中教育.pdf

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1、1 章末综合检测(一)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列几何体是柱体的是()解析：选 B A 中的侧棱不平行，所以 A 不是柱体，C 是圆锥，D 是球体，B 是棱柱 2 已知圆锥的表面积是底面积的 3 倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为()A 120 B 150 C 180 D 240 解析：选 C.设圆锥底面半径为 r，母线为 l，则 rl r2 3 r2，得 l 2r，所以展 开图扇形半径为 2r，弧长为 2 r，所以展开图是半圆，所以扇形的圆心角为 180，

2、故选 C.3已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是()A.43 cm3B 83 cm3C 2 cm3D 4 cm3解析：选 B该几何体是一个四棱锥，且其底面是边长为 2 的正方形，高等于 2，故其 体积 V 13Sh 13 22 2 83(cm3)4若一个圆台的上、下底面半径和高的比为 1 4 4，圆台的侧面积为 400，则该圆 台的母线长为()A 10 B 20 C 12 D 24 解析：选 B设圆台上底面半径为 r，则下底面半径、高分别为 4r，4r，于是其母线 l（4r）2（4r r）2 5r，又侧面积为 400，所以(r 4r)r 40

3、0，解得r 4，于是圆台的母线长为 20.5若l，m，n是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是()A若，l，n，则lnB若，l，则lC若 l，l，则 D若ln，mn，则lm解析：选 C.对于选项 C，若 l，则在 内必有直线 n与 l 平行，从而 n；于是2.6正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12，底面对角线的长为 2 6，则侧面与底面所成的二面角为()A 30 B 45 C 60 D 90 解析：选 C.由棱锥体积公式可得底面边长为 2 3，高为 3，在底面正方形的任一边上，取其中点，连接棱锥的顶点及其在底面的射影，根据二面角定义即可判定其平面

4、角，在直角 三角形中，因为 tan 3，所以二面角为 60，选 C.7已知直线 a和平面，l，a，a，且 a在，内的射影分别为 直线 b和 c，则 b和 c的位置关系是()A 相交或平行 B相交或异面 C平行或异面 D相交、平行或异面 解析：选 D 由题意，若 a l，则利用线面平行的判定，可知 a，a，从而 a在，内的射影直线 b和 c平行；若 a l A，则 a在，内的射影直线 b和 c相交于 点 A；若 a A，a B，且直线 a 和 l 垂直，则 a 在，内的射影直线 b 和 c 相 交；否则直线 b和 c异面综上所述，b和 c的位置关系是相交、平行或异面，故选 D 8如图，四边形 A

5、BCD中，AD BC，AD AB，BCD 45，BAD 90，将 ABD沿 BD折起，使平面 ABD 平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体 ABCD 中，下列结论正确的 是()A 平面 ABD 平面 ABCB平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDCD 平面 ADC平面 ABC解析：选 D易知在 BCD中，DBC 45，BDC 90.又平面 ABD 平面 BCD，而 CD BD，所以 CD 平面 ABD，所以 AB C D 而 AB AD，CD AD D，所以 AB平面 ACD，所以平面 ABC 平面 ACD 9若正方体的外接球的体积为 4 3，则以该正方体各个面的中心为顶点

6、的凸多面体 的体积为()A.13B 23C.43D 53解析：选 C.设正方体的棱长为 a，其外接球的半径为 r，则由题意可得 43 r3 4 3，解得 r 3.又 2r 3a，故 a 2.以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的 正四棱锥，该棱锥的高是正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，则凸多面 体的体积 V 2 13 12 2 2 12 2 43，故选 C.10.如图，若 是长方体 ABCD-A1B1C1D1被平面 EFGH截去几何体 EFGHB1C1后得到的几何 体，其中 E为线段 A1B1上异于 B1的点，F为线段 BB1上异于 B1的点，且 EH A1D1，则下

7、列结 论中不正确的是()题目要求的下列几何体是柱体的是解析选中的侧棱不平行所以不是柱体是圆锥是球体是棱柱已知圆锥的表面积是底面积的倍那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为解析选设圆锥底面半径为母线为则得所以展开图扇形半径为弧长为 可得这个几何体积的正方形高等于故其解析选该几何体是一个四棱锥且其底面是边长为若一个圆台的上下底面半径和高的比为圆台的侧面积为则该圆台的母线长为解析选设圆台上底面半径为则下底面半径高分别为于是其母线又侧面 则若则解析选对于选项若则在内必有直线与平行从而于是正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角为解析选由棱锥体积公式可得底

8、面边长为高为在底面正方形的任一边上3 A EH FGB四边形 EFGH 是矩形 C 是棱柱 D 是棱台 解析：选 D因为 EH A1D1，A1D1 B1C1，所以 EH B1C1.所以 EH 平面 BCGF.因为平面 EFGH 平面 BCGF GF，所以 EH FG，故 A 对 因为 B1C1平面 A1B1BA，EF平面 A1B1BA，所以 B1C1 EF，则 EH EF.又平面 ABB1A1平面 DCC1D1，且与平面 EFGH的交线分别为 EF，GH，所以 EF GH，所以四边形 EFGH为平行四边形，故它也是矩形，故 B 对 由 EH B1C1 FG，故 是棱柱，故 C 对，选 D 11

9、 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E是棱 BB1的中点，用过点 A，E，C1的平面截去该 正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()解析：选 C.如图补全过 A，E，C1的平面，将上半部分切去，所以左视图如 C 选项，故 选 C.12.如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB BC 2，BB1 2，ABC 90，E，F分别 为 AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度是()A.22B 2 C.3 22D 2 2 解析：选 C.将直三棱柱侧面、底面展开有三种情形，如图 题目要求的下列几何体是柱体的是解析选中的侧棱不平行所以不是柱体是圆锥是球体是

10、棱柱已知圆锥的表面积是底面积的倍那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为解析选设圆锥底面半径为母线为则得所以展开图扇形半径为弧长为 可得这个几何体积的正方形高等于故其解析选该几何体是一个四棱锥且其底面是边长为若一个圆台的上下底面半径和高的比为圆台的侧面积为则该圆台的母线长为解析选设圆台上底面半径为则下底面半径高分别为于是其母线又侧面 则若则解析选对于选项若则在内必有直线与平行从而于是正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角为解析选由棱锥体积公式可得底面边长为高为在底面正方形的任一边上4 在(1)中，EF A1E2 A1F2 12 3222 222；

11、在(2)中，EF EG2 FG2（2）2 1 222 14 4 22；在(3)中，EF EG2 FG2 322 322 322.比较知(3)最小 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13.有一木块如图所示，点 P在平面 A C内，棱 BC平行于平面 A C，要经过 P和棱 BC将木料锯开，锯开的面必须平整，则有 _ 种锯法 解析：因为 BC 平面 A C，BC B C，所以平面 A C上过 P作 EF B C，则 EF BC，所以过 EF，BC所确定的平面锯开即可 又由于此平面唯一确定，所以只有一种锯法 答案：1 14 在四面体 ABCD中，已知棱

12、 AC的长为 2，其余各棱长都为 1，则二面角 A-CD-B的 余弦值为 _ 解析：取 AC的中点 E，取 CD的中点 F(图略)，则 EF 12，BE 22，BF 32，结合图形 知二面角 A-CD-B的余弦值 cos EFBF 33.答案：3315 半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，其余四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 _ 解析：如图，作出半球沿正方体对角面的轴截面，设正方体的棱长为a，则a222a2R2，所以 a223R2，所以 S 6 a2 4R2.题目要求的下列几何体是柱体的是解析选中的侧棱不平行所以不是柱体是圆锥是球体是棱柱已知圆锥的表面积是底面积的倍那

13、么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为解析选设圆锥底面半径为母线为则得所以展开图扇形半径为弧长为 可得这个几何体积的正方形高等于故其解析选该几何体是一个四棱锥且其底面是边长为若一个圆台的上下底面半径和高的比为圆台的侧面积为则该圆台的母线长为解析选设圆台上底面半径为则下底面半径高分别为于是其母线又侧面 则若则解析选对于选项若则在内必有直线与平行从而于是正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角为解析选由棱锥体积公式可得底面边长为高为在底面正方形的任一边上5 答案：4R216.如图是古希腊数学家阿基米德的墓碑，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个

14、球的直径恰好与圆柱的高相等，则圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表 面积之比分别为 _，_ 解析：设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，所以 V圆柱 R2 2R 2 R3，V球 43 R3，所以 V圆柱 V球 2 R343 R3 32，S圆柱 2 R 2R 2 R2 6 R2，S球 4 R2，所以 S圆柱 S球 6 R24 R2 32.答案：3 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)17(本小题满分 10 分)某几何体的三视图如图，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为 2 和 4，几何体的高为 3，求此几何体

15、的表 面积和体积 解：依题意得侧面的高 h（2 1）2 32 10，S S上底 S下底 S侧面 22 42 4 12(2 4)10 20 12 10，所以几何体的表面积为 20 12 10.体积 V 13(42 22 2 4)3 28.18(本小题满分 12 分)如图所示，四边形 ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕 AB旋转一周所成几何体的表面 积和体积(单位：cm)题目要求的下列几何体是柱体的是解析选中的侧棱不平行所以不是柱体是圆锥是球体是棱柱已知圆锥的表面积是底面积的倍那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为解析选设圆锥底面半径为母线为则得所以展开图扇形半径为弧长为 可得这个几何体积的正方形

16、高等于故其解析选该几何体是一个四棱锥且其底面是边长为若一个圆台的上下底面半径和高的比为圆台的侧面积为则该圆台的母线长为解析选设圆台上底面半径为则下底面半径高分别为于是其母线又侧面 则若则解析选对于选项若则在内必有直线与平行从而于是正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角为解析选由棱锥体积公式可得底面边长为高为在底面正方形的任一边上6 解：由题意知该几何体的表面积等于圆台下底面积、圆台的侧面积与半球面面积的和 又 S半球面 12 4 22 8(cm2)，S圆台侧(2 5)（5 2）2 42 35(cm2)，S圆台下底 52 25(cm2)，所以所

17、成几何体的表面积为 8 35 25 68(cm2)由题意知该几何体的体积等于圆台的体积减去半球的体积 又 V圆台 3(22 2 5 52)4 52(cm3)，V半球 12 4 3 23 16 3(cm3)，所以该几何体的体积为 V圆台 V半球 52 16 3 140 3(cm3)19(本小题满分 12 分)如图，圆锥 SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB CD O，且 AB CD，SO OB 2，P为 SB的中点(1)求证：SA平面 PCD；(2)求异面直线 SA与 PD所成角的正切值 解：(1)证明：连接 PO，因为 P，O分别为 SB，AB的中点，所以 PO SA.因为 PO 平面

18、PCD，Sa 平面 PCD，所以 SA平面 PCD(2)因为 PO SA，所以 DPO为异面直线 SA与 PD所成的角 因为 AB CD，SO CD，AB SO O，所以 CD平面 SOB 因为 PO平面 SOB，所以 OD PO.在 Rt DOP中，OD 2，OP 12SA 12SB 2，所以 tan DPO ODOP 22 2，所以异面直线 SA与 PD所成角的正切值为 2.20(本小题满分 12 分)如图所示，正三棱柱 A1B1C1-ABC中，点 D 是 BC的中点，BC 2BB1，设 B1D BC1 F.求 证：题目要求的下列几何体是柱体的是解析选中的侧棱不平行所以不是柱体是圆锥是球体

19、是棱柱已知圆锥的表面积是底面积的倍那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为解析选设圆锥底面半径为母线为则得所以展开图扇形半径为弧长为 可得这个几何体积的正方形高等于故其解析选该几何体是一个四棱锥且其底面是边长为若一个圆台的上下底面半径和高的比为圆台的侧面积为则该圆台的母线长为解析选设圆台上底面半径为则下底面半径高分别为于是其母线又侧面 则若则解析选对于选项若则在内必有直线与平行从而于是正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角为解析选由棱锥体积公式可得底面边长为高为在底面正方形的任一边上7(1)A1C平面 AB1D；(2)BC1平面 AB1D 证明：

20、(1)连接 A1B，设 A1B与 AB1交于 E，连接 DE.因为点 D是 BC的中点，点 E是 A1B的中点 所以 DE A1C.因为 A1C?平面 AB1D，DE平面 AB1D，所以 A1C平面 AB1D(2)因为 ABC是正三角形，点 D 是 BC 的中点，所以 AD BC.因为平面 ABC 平面 B1BCC1，平面 ABC 平面 B1BCC1 BC，AD 平面 ABC，所以 AD平面 B1BCC1.因为 BC1平面 B1BCC1，所以 AD BC1.因为点 D是 BC的中点，BC 2BB1，所以 BD 22BB1.因为 BDBB1 CC1BC 22，所以 Rt B1BD Rt BCC1

21、.所以 BB1D CBC1，BDB1 CC1B，且 CBC1 CC1B 90，所以 CBC1 BDB1 90.所以 BC1 B1D，又 AD B1D D，所以 BC1平面 AB1D 21(本小题满分 12 分)如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 2 的正三角形，E，F分别是 BC，CC1的中点(1)证明：平面 AEF平面 B1BCC1；(2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角为 45，求三棱锥 F-AEC的体积 解：(1)证明：如图，因为三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以 AE BB1.又 E是正三角形 ABC的边 BC的中点，所以 AE BC.因此 AE平

22、面 B1BCC1.而 AE平面 AEF，题目要求的下列几何体是柱体的是解析选中的侧棱不平行所以不是柱体是圆锥是球体是棱柱已知圆锥的表面积是底面积的倍那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为解析选设圆锥底面半径为母线为则得所以展开图扇形半径为弧长为 可得这个几何体积的正方形高等于故其解析选该几何体是一个四棱锥且其底面是边长为若一个圆台的上下底面半径和高的比为圆台的侧面积为则该圆台的母线长为解析选设圆台上底面半径为则下底面半径高分别为于是其母线又侧面 则若则解析选对于选项若则在内必有直线与平行从而于是正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角为解析选由棱

23、锥体积公式可得底面边长为高为在底面正方形的任一边上8 所以平面 AEF平面 B1BCC1.(2)设 AB的中点为 D，连接 A1D，CD 因为 ABC是正三角形，所以 CD AB 又三棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以 CD AA1.因此 CD平面 A1ABB1，于是 CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角 由题设，CA1D 45，所以 A1D CD 32AB 3.在 Rt AA1D中，AA1 A1D2 AD2 3 1 2，所以 FC 12AA1 22.故三棱锥 F-AEC的体积 V 13S AECFC 13 32 22 612.22(本小题满分 12 分)在四棱锥 P

24、-ABCD中，底面 ABCD是矩形，AB 2，BC a，又侧 棱 PA底面 ABC D(1)当 a为何值时，BD平面 PAC？试证明你的结论；(2)当 a 4 时，求证：BC边上存在一点 M，使得 PM DM；(3)若在 BC边上至少存在一点 M，使 PM DM，求 a的取值范围 解：(1)当 a 2 时，ABCD 为正方形，则 BD AC，又因为 PA底面 ABCD，BD平面 ABCD，所以 BD PA，又因为 PA AC A，所以 BD 平面 PAC.故当 a 2 时，BD平面 PAC.(2)证明：当 a 4 时，取 BC 边的中点 M，AD边的中点 N，连接 AM，DM，MN，因为四边形

25、 ABMN和四边形 DCMN都是正方形，所以 AMD AMN DMN 45 45 90，即 DM AM，又因为 PA底面 ABCD，所以 PA DM，又 AM PA A，所以 DM平面 PAM，得 PM DM，故当 a 4 时，BC边的中点 M使 PM DM.(3)假设 BC边上存在点 M，使得 PM DM，因为 PA底面 ABCD，所以，M点应是以 AD为直径的圆和 BC边的交点，则 AD AB，即 a为所求题目要求的下列几何体是柱体的是解析选中的侧棱不平行所以不是柱体是圆锥是球体是棱柱已知圆锥的表面积是底面积的倍那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为解析选设圆锥底面半径为母线为则得所以展开图扇形半径为弧长为 可得这个几何体积的正方形高等于故其解析选该几何体是一个四棱锥且其底面是边长为若一个圆台的上下底面半径和高的比为圆台的侧面积为则该圆台的母线长为解析选设圆台上底面半径为则下底面半径高分别为于是其母线又侧面 则若则解析选对于选项若则在内必有直线与平行从而于是正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为底面对角线的长为则侧面与底面所成的二面角为解析选由棱锥体积公式可得底面边长为高为在底面正方形的任一边上