高中数学课件空间向量文档.pptx

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1、【高中数学课件】空间向量1.空间向量的有关概念名称 定义空间向量在空间中,具有_和_的量叫作空间向量，其大小叫作向量的_或_自由向量 与向量的_无关的向量单位向量长度或模为_的向量(非零向量a的单位向量)零向量 长度为_的向量大小 方向长度 模起点10名称 定义相等向量 方向_且模_的向量相反向量 方向_而_相等的向量向量a,b的夹角过空间任意一点O作向量a，b的相等向量 和，则_叫作向量a，b的夹角，记作_,范围是0,当a,b=时,记作_;当a,b=0或时,记作_相同 相等相反 模AOBa,babab名称 定义平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线_或_,则这些向量叫作_或_共面向量

2、平行于同一_的向量直线的方向向量若A，B是空间直线l上任意两点，则称_为直线l的方向向量(与_平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量)互相平行 重合 共线向量平行向量平面名称 定义法向量如果直线l_平面,那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量(所有与直线l_的非零向量都是平面的法向量)垂直于平行2.空间向量的加、减、数乘运算 空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广 如图，设a,b是空间任意两向量，若=a,=b，POC，(1)加法：=_，(2)减法：=_,(3)数乘：=_(R).a+ba-ba(4)空间向量加法、数乘运算满足的运算律 交换律：a+b=_，结合律：(a+b)+c=_，(

3、a)=_(R,R)，分配律：(a+b)=_(R).b+aa+(b+c)()aa+b3.共线向量定理与共面向量定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得_.(2)共面向量定理如果两个向量a，b_，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使_.a=b不共线p=x a+y b4.空间向量的数量积(1)定义：ab=_.(2)运算律交换律：ab=_；分配律：a(b+c)=_；(ab)=_(R).|a|b|cosa,bbaab+ac(a)b(3)常用结论|a|=_；ab _；cosa,b=(a0,b0).ab=0判断下面结论是否正确(请在括

4、号中打“”或“”).(1)空间中任意两非零向量a,b共面.()(2)在向量的数量积运算中(ab)c=a(bc).()(3)对于非零向量b,由ab=bc,则a=c.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()【解析】(1)正确.由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面.(2)错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量，(ab)c=c,a(bc)=a,故(ab)c与a(bc)不一定相等.(3)错误.根据向量数量积的几何意义，ab=bc说明a在b方向上的射影与c在b方向上的射影相等，而不是a=c.(4)错误.两向量夹角的范围是0，两异面直线所成

5、角的范围是(0，答案：(1)(2)(3)(4)1.下列命题为真命题的是()(A)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量是不共面向量(B)若|a|=|b|,则a,b的长度相等而方向相同或相反(C)若向量 满足 且 同向,则(D)若两个非零向量 满足 则【解析】选D.选项A错,因为空间任两向量平移之后可共面,所以空间任两向量均共面.选项B错,因为|a|=|b|仅表示a与b的模相等,与方向无关.选项C错,空间任两向量不研究大小关系,因此也就没有这种写法.选项D对,共线,故 正确.2.有4个命题：若pxa+yb,则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxa+yb;若 则P，M，A

6、，B共面；若点P，M，A，B共面，则 其中真命题的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4【解析】选B.正确，中若a,b共线，p与a不共线，则p=xa+yb就不成立，正确，中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则 不正确.3.在ABC中,已知D是AB边上一点,若 则的值等于_.【解析】答案：4.若 则下列结论中正确的序号是_.O,P,A,B四点一定共线；P,A,B共线；P,A,B不共线；O,P,A,B不共面.【解析】A,B,P三点共线.答案：考向 1 空间向量的线性运算【典例1】(1)若P为平行四边形ABCD所在平面外的一点,且G为PCD的重心,若 则x+y+z的值为_.(2)如图所示，在平

7、行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a,b,c表示以下各向量：【思路点拨】(1)先将 进行分解，求出x，y，z的值，再求x+y+z的值.(2)用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算.【规范解答】(1)如图,G是PCD的重心,(H为CD的中点),答案：(2)P是C1D1的中点，N是BC的中点，M是AA1的中点，又=【互动探究】在本例题(2)中，若O为底面ABCD对角线AC与BD的交点，试用a,b,c表示向量【解析】【拓展提升】空间向量线性运算的方法及说明几何表示 坐标表示加法满足三角形法则和平行四边形法则对应坐标相加减法 满

8、足三角形法则 对应坐标相减数乘 与平面向量数乘类似 把每个坐标同乘以常数说明空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同【提醒】(1)进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点(2)进行向量减法时，必须使两向量共起点【变式备选】如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG2GN，用基底向量表示向量【解析】考向 2 共线向量定理、共面向量定理的应用【典例2】(1)已知向量a,b且则一定共线的三点是()(A)A，B，D(B)A，B，C(C)B，C，D(D

9、)A，C，D(2)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明：E，F，G,H四点共面；BD平面EFGH.【思路点拨】(1)利用三点共线的条件解题即可.(2)证明 根据共面向量定理即可得到结论；或证明 即可得到四边形EFGH为平行四边形，故得四点共面证明 共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可.【规范解答】(1)选A.=2a+4b.又BD与AB有公共点B，A,B,D三点共线.(2)方法一：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点，E,F,G,H四点共面方法二：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边的中点，FGEH且FG=EH，四边形EF

10、GH为平行四边形故E,F,G,H四点共面由题意知 BDEH,又BD 平面EFGH,EH 平面EFGHBD平面EFGH【拓展提升】空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O，对空间任一点O，【变式训练】给出命题：若a与b共线，则a与b所在的直线平行；若a与b共线，则存在唯一的实数，使b=a；若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，则点M一定在平面ABC上，且在ABC的内部.上述命题中的真命题是_.【解析】中向量a与b所在的直线也有可能重合，故是假命题；中当a=0,b0时，找不到实数,使b=a，故是

11、假命题；可以证明中A，B，C，M四点共面，因为 等式两边同时加上 则 即 则 共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，M是ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在ABC的内部，故是真命题.答案：考向 3 空间向量数量积的应用【典例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=CD=1，ACD=90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求BD的长.【思路点拨】由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用 表示，根据 求解【规范解答】AB与CD成60角，=60或120，又AB=AC=CD=1，ACCD，ACAB，=或 BD的长为2或【互动探

12、究】本例中若折起后BD的长为2，求此时AD与BC所成的角的余弦值.【解析】由已知 的夹角为135，在BDC中，由余弦定理得AD与BC所成角的余弦值为【拓展提升】数量积的应用(1)求夹角:设向量a,b所成的角为，则进而可求两异面直线所成的角.(2)求长度(距离):运用公式a2=aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题.(3)解决垂直问题:利用ab ab=0，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题【变式备选】如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，CC1=3，CD=2，且C1CB=C1CD=60.(1)设 试用a，b，c表示(2)O为四棱柱的中心，求CO的长.(3)求

13、证：A1CBD.【解析】(1)由得 所以(2)O为四棱柱的中心，即O为线段A1C的中点.由已知条件，得|a|=|b|=2，|c|=3，ab=0，a,c=60,b,c=60.=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=22+22+32+0+223cos 60+223cos 60=29.A1C的长为 所以(3)根据向量加减法知 又=(a+b+c)(a-b)=a2+ac-b2-bc=22+23cos 60-22-23cos 60=0,A1CBD.【满分指导】利用基向量进行运算的规范解答【典例】(12分)(2013合肥模拟)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，

14、点M，N分别是AB，CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD.(2)求MN的长.(3)求异面直线AN与CM的夹角的余弦值.【思路点拨】已知条件 条件分析空间四边形ABCD的各边和对角线的长都相等 的模都相等，且夹角都是60M，N分别为AB，CD的中点【规范解答】(1)设由题意可知，|p|=|q|=|r|=a，且p，q，r三向量两两夹角均为60.1分 2分 3分 即MNAB.同理可证MNCD.4分(2)由(1)可知 5分7分 MN的长为 8分(3)设向量 的夹角为.9分 10分又 11分向量 的夹角的余弦值为故异面直线AN与CM的夹角的余弦值为 12分【失分警示】(下文见规范解答过程)1.(2

15、013长春模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：其中能够化简为向量 的是()(A)(B)(C)(D)【解析】选A.2.(2013宝鸡模拟)已知四边形ABCD满足：则该四边形为()(A)平行四边形(B)梯形(C)长方形(D)空间四边形【解析】选D.假设为平面四边形，则由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中，任一四边形的外角和是360,这与四个外角均为锐角矛盾，故该四边形是一个空间四边形.3.(2013西安模拟)已知a，b，c两两夹角都是60，其模都是1，则|a-b+2c|等于()(A)5(B)6(C)(D)【解析】选C.(a-b+2c)2=a2+b2+4

16、c2-2ab-4bc+4ac=1+1+4-211cos60-411cos 60+411cos 60=6-1-2+2=5.|a-b+2c|=4.(2013徐州模拟)给出下列命题：a-b=a+b是a,b共线的充要条件；若a与b共面，则a与b所在的直线在同一平面内；若 则P,A,B三点共线其中正确命题的序号是_【解析】由向量的运算法则知正确；只有当向量a，b共线反向且|a|b|时成立，故不正确；当a与b共面时，向量a与b所在的直线平行、重合、相交或异面，故不正确；由 知，三点不共线，故不正确综上可得正确答案:1.设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 则点A在平面BCD内的射影是BCD的()(A)垂心(B)外心(C)内心(D)不能确定【解析】选A.由 得 所以 即ACBD.同理可得ABCD，ADBC，所以A点在平面BCD内的射影是BCD的垂心.2.已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 则2x+3y+4z=_.【解析】A,B,C,D四点共面，且m+n+p=1.由条件知2x+3y+4z=-1.答案：-1