2017全国II卷高考理科数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 7 全 国 I I 卷 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项：1.答 题 前，考 生 先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 清 楚，将 条 形 码 准 确 粘 贴 在 条 形 码 区 域内。2.选 择 题 必 须 使 用 2 B 铅 笔 填 涂；非 选 择 题 必 须 使 用 0.5 毫 米 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 书 写，字 体 工 整，笔 迹 清 楚3.请 按 照 题 号 顺 序 在 答 题 卡 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效；在 草 稿 纸、试 卷 上 答 题 无 效4.

2、作 图 可 先 使 用 铅 笔 画 出，确 定 后 必 须 用 黑 色 字 迹 的 签 字 笔 描 黑。5.保 持 卡 面 清 洁，不 要 折 叠、不 要 弄 破、弄 皱，不 准 使 用 涂 改 液、修 正 带、刮 纸 刀一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.31ii（）A 1 2 i B 1 2 i C 2 i D 2 i 2.设 集 合 1,2,4，24 0 x x x m 若 1，则（）A 1,3 B 1,0 C 1,3 D 1,53.我 国 古 代

3、 数 学 名 著 算 法 统 宗 中 有 如 下 问 题：“远 望 巍 巍 塔 七 层，红 光 点 点 倍 加 增，共灯 三 百 八 十 一，请 问 尖 头 几 盏 灯？”意 思 是：一 座 7 层 塔 共 挂 了 3 8 1 盏 灯，且 相 邻 两 层 中 的下 一 层 灯 数 是 上 一 层 灯 数 的 2 倍，则 塔 的 顶 层 共 有 灯（）A 1 盏 B 3 盏 C 5 盏 D 9 盏4.如 图，网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1，学 科&网 粗 实 线 画 出 的 是 某 几 何 体 的 三 视 图，该 几何 体 由 一 平 面 将 一 圆 柱 截 去 一 部 分

4、所 得，则 该 几 何 体 的 体 积 为（）A 9 0 B 6 3 C 4 2 D 3 6 5.设 x，y 满 足 约 束 条 件2 3 3 02 3 3 03 0 x yx yy，则 2 z x y 的 最 小 值 是（）A 1 5 B 9 C 1 D 96.安 排 3 名 志 愿 者 完 成 4 项 工 作，每 人 至 少 完 成 1 项，每 项 工 作 由 1 人 完 成，则 不 同 的 安 排方 式 共 有（）A 1 2 种 B 1 8 种 C 2 4 种 D 3 6 种7.甲、乙、丙、丁 四 位 同 学 一 起 去 向 老 师 询 问 成 语 竞 赛 的 成 绩 老 师 说：你 们

5、 四 人 中 有 2位 优 秀，2 位 良 好，我 现 在 给 甲 看 乙、丙 的 成 绩，给 乙 看 丙 的 成 绩，学 科&网 给 丁 看 甲 的 成绩 看 后 甲 对 大 家 说：我 还 是 不 知 道 我 的 成 绩 根 据 以 上 信 息，则（）A 乙 可 以 知 道 四 人 的 成 绩 B 丁 可 以 知 道 四 人 的 成 绩C 乙、丁 可 以 知 道 对 方 的 成 绩 D 乙、丁 可 以 知 道 自 己 的 成 绩8.执 行 右 面 的 程 序 框 图，如 果 输 入 的 1 a，则 输 出 的 S（）A 2 B 3 C 4 D 59.若 双 曲 线 C:2 22 21x y

6、a b（0 a，0 b）的 一 条 渐 近 线 被 圆 222 4 x y 所 截 得 的弦 长 为 2，则 C 的 离 心 率 为（）A 2 B 3 C 2 D 2 331 0.已 知 直 三 棱 柱1 1 1C C 中，C 1 2 0，2，1C C C 1，则 异 面 直线1 与1C 所 成 角 的 余 弦 值 为（）A 32B 155C 105D 331 1.若 2 x 是 函 数2 1()(1)xf x x ax e 的 极 值 点，则()f x 的 极 小 值 为（）A.1 B.32 e C.35 eD.11 2.已 知 A B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，P 为

7、 平 面 A B C 内 一 点，则()P A P B P C 的 最 小值 是（）A.2 B.32 C.43D.1 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3.一 批 产 品 的 二 等 品 率 为 0.0 2，从 这 批 产 品 中 每 次 随 机 取 一 件，有 放 回 地 抽 取 1 0 0 次，表 示 抽 到 的 二 等 品 件 数，则 D 1 4.函 数 23s i n 3 c o s4f x x x（0,2x）的 最 大 值 是 1 5.等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，33 a，41 0 S，则11nkkS1 6.已 知

8、F 是 抛 物 线 C:28 y x 的 焦 点，是 C 上 一 点，F 的 延 长 线 交 y 轴 于 点 若 为 F 的 中 点，则 F 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、解 答 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 做 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7.（1 2 分）A B C 的 内 角,A B C 的 对 边 分 别 为,a b c,已 知2s i n()8 s i n2BA C(1)求 c o s B

9、(2)若 6 a c,A B C 面 积 为 2,求.b1 8.（1 2 分）淡 水 养 殖 场 进 行 某 水 产 品 的 新、旧 网 箱 养 殖 方 法 的 产 量 对 比 学|科 网，收 获 时 各 随 机 抽 取 了1 0 0 个 网 箱，测 量 各 箱 水 产 品 的 产 量（单 位：k g）某 频 率 直 方 图 如 下：（1）设 两 种 养 殖 方 法 的 箱 产 量 相 互 独 立，记 A 表 示 事 件：旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 5 0 k g,新养 殖 法 的 箱 产 量 不 低 于 5 0 k g,估 计 A 的 概 率；（2）填 写 下 面 列 联 表，并

10、 根 据 列 联 表 判 断 是 否 有 9 9%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法 有 关：箱 产 量 5 0 k g 箱 产 量 5 0 k g旧 养 殖 法新 养 殖 法（3）根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图，求 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值（精 确 到 0.0 1）P（）0.0 5 0 0.0 1 0 0.0 0 1k 3.8 4 1 6.6 3 5 1 0.8 2 822()()()()()n a d b cKa b c d a c b d 1 9.（1 2 分）如 图，四 棱 锥 P-A B C D 中，侧 面 P A

11、 D 为 等 比 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 A B C D，o1,9 0,2A B B C A D B A D A B C E 是 P D 的 中 点.（1）证 明：直 线/C E 平 面 P A B（2）点 M 在 棱 P C 上，且 直 线 B M 与 底 面 A B C D 所 成 锐 角 为o4 5，求 二 面 角 M-A B-D 的 余 弦值2 0.（1 2 分）设 O 为 坐 标 原 点，动 点 M 在 椭 圆 C：2212xy 上，过 M 做 x 轴 的 垂 线，垂 足 为 N，点 P 满足 2 N P N M.(1)求 点 P 的 轨 迹 方 程；(2)设 点 Q 在

12、 直 线 x=-3 上，且 1 O P P Q.证 明：过 点 P 且 垂 直 于 O Q 的 直 线 l 过 C 的 左 焦点 F.2 1.（1 2 分）已 知 函 数3()l n,f x ax ax x x 且()0 f x.（1）求 a；（2）证 明：()f x 存 在 唯 一 的 极 大 值 点0 x，且2 30()2 e f x.（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，按 所 做 的 第 一题 计 分。2 2.选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中

13、，以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线1C 的极 坐 标 方 程 为 c o s 4（1）M 为 曲 线1C 上 的 动 点，点 P 在 线 段 O M 上，且 满 足|1 6 O M O P,求 点 P 的 轨 迹2C的 直 角 坐 标 方 程；（2）设 点 A 的 极 坐 标 为(2,)3，点 B 在 曲 线2C 上，求 O A B 面 积 的 最 大 值 2 3.选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）已 知3 30,0,2 a b a b，证 明：（1）3 3()()4 a b a b；（2）2 a b 绝 密 启

14、用 前2 0 1 7 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 试 题 答 案一、选 择 题1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D7.D 8.B 9.A 1 0.C 1 1.A 1 2.B二、填 空 题1 3.1.9 6 1 4.1 1 5.2 n1 n 1 6.6三、解 答 题1 7.解：（1）由 题 设 及2s i n 8 s i n2A B C B 得，故s i n 4-c os B B（1）上 式 两 边 平 方，整 理 得217 c os B-32c os B+15=0解 得15c os B=c os B171（舍 去），=（2）由15 8c

15、os B s i n B17 17=得，故1 4a s i n2 17A B CS c B ac 又17=22A B CS ac，则由 余 弦 定 理 学 科&网 及 a 6 c 得2 2 22b 2 c osa 2(1 c os B)17 1536 2(1)2 174a c ac Bac（+c）所 以 b=21 8.解：（1）记 B 表 示 事 件“旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 5 0 k g”，C 表 示 事 件“新 养 殖 法 的 箱 产 量 不低 于 5 0 k g”由 题 意 知 P A P B C P B P C 旧 养 殖 法 的 箱 产 量 低 于 5 0 k g 的

16、 频 率 为0.0 4 0 0.0 3 4 0.0 2 4 0.0 1 4 0.0 1 2 5=0.6 2（）故 P B 的 估 计 值 为 0.6 2新 养 殖 法 的 箱 产 量 不 低 于 5 0 k g 的 频 率 为0.0 6 8 0.0 4 6 0.0 1 0 0.0 0 8 5=0.6 6（）故 P C 的 估 计 值 为 0.6 6因 此，事 件 A 的 概 率 估 计 值 为 0.6 2 0.6 6 0.4 0 9 2（2）根 据 箱 产 量 的 频 率 分 布 直 方 图 得 列 联 表箱 产 量 5 0 k g 箱 产 量 5 0 kg 旧 养 殖 法 6 2 3 8新

17、养 殖 法 3 4 6 6 222 0 0 6 2 6 6 3 4 3 81 5.7 0 51 0 0 1 0 0 9 6 1 0 4K 由 于 1 5.7 0 5 6.6 3 5 故 有 9 9%的 把 握 认 为 箱 产 量 与 养 殖 方 法 有 关（3）因 为 新 养 殖 法 的 箱 产 量 频 率 分 布 直 方 图 中，箱 产 量 低 于 5 0 k g 的 直 方 图 面 积 为 0.0 0 4 0.0 2 0 0.0 4 4 5 0.3 4 0.5，箱 产 量 低 于 5 5 k g 的 直 方 图 面 积 为 0.0 0 4 0.0 2 0 0.0 4 4+0.0 6 8 5

18、 0.6 8 0.5 故 新 养 殖 法 箱 产 量 的 中 位 数 的 估 计 值 为0.5-0.3 45 0+2.3 5 k g0.0 6 8（）5 1 9.解：（1）取 P A 中 点 F，连 结 E F，B F 因 为 E 为 P D 的 中 点，所 以 E F A D,12E F A D=,由 9 0 B A D A B C 得B C A D，又12B C A D 所 以 E F B C 四 边 形 B C E F 为 平 行 四 边 形，C E B F 又 B F P A B 平 面，C E P A B 平 面，故 C E P A B 平 面（2）由 已 知 得 B A A D,以

19、 A 为 坐 标 原 点，A B 的 方 向 为 x 轴 正 方 向，A B 为 单 位 长，建 立 如图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 A-x y z,则则(0 0 0)A，(1 0 0)B，(1 1 0)C，(0 1 3)P，(1 0 3)P C，,(1 0 0)A B，则(x 1),(x 1 3)B M y z P M y z，因 为 B M 与 底 面 A B C D 所 成 的 角 为 4 5，而(0 0)n，1 是 底 面 A B C D 的 法 向 量，所 以0c os,s i n 45 B M n，2 2 2z22(x 1)y z 即（x-1）+y-z=0又 M 在

20、棱 P C 上，学|科 网 设,P M P C 则x,1,3 3 y z 由，得x xy y 2 2=1+=1-2 2=1(舍 去)，=16 6z z2 2所 以 M2 61-,1，2 2，从 而2 61-,1，2 2 A M 设 0 0 0,x y z m=是 平 面 A B M 的 法 向 量，则 0 0 002-2 2 6 00即00 x y zA MA Bx mm所 以 可 取 m=（0，-6，2）.于 是 c os105 m nm,nm n因 此 二 面 角 M-A B-D 的 余 弦 值 为1 052 0.解（1）设 P（x,y）,M（x0,y0）,设 N（x0,0）,0 0,0,

21、N P x x y N M y 由 2 N P N M 得0 02=,2 x x y y因 为 M（x0,y0）在 C 上，所 以2 212 2 x y因 此 点 P 的 轨 迹 方 程 为2 22 x y（2）由 题 意 知 F（-1,0）.设 Q（-3，t）,P(m,n),则 3,1,3 3 t O Q,P F m n O Q P F m t n，,3,O P m,n P Q m,t n 由 1 O P P Q 得2 2-3 1 m m t n n，又 由（1）知2 2+=2 m n，故3+3 m-t n=0所 以 0 O Q P F，即 O Q P F.学.科 网 又 过 点 P 存 在

22、 唯 一 直 线 垂 直 于 O Q，所 以 过 点 P 且垂 直 于 O Q 的 直 线 l 过 C 的 左 焦 点 F.2 1.解：（1）f x 的 定 义 域 为 0，+设 g x=a x-a-l n x，则 f x=x g x,f x 0 等 价 于 0 g x因 为 11=0，0,故 1=0,而,1=1,得 1 g g x g g x a g a ax若 a=1，则 11 g x=x.当 0 x 1 时，0,g x g x 单 调 递 减；当 x 1 时，g x 0，g x 单 调 递 增.所 以 x=1 是 g x 的 极 小 值 点，故 1=0 g x g综 上，a=1（2）由（

23、1）知 2l n,()2 2 l n f x x x x x f x x x 设 12 2 ln,则()2 h x x x h xx 当10,2x 时，0 h x；当1,+2x 时，0 h x，所 以 h x 在10,2 单 调 递 减，在1,+2 单 调 递 增又 21 0,0,1 02h e h h，所 以 h x 在10,2 有 唯 一 零 点 x0，在1,+2 有 唯 一 零点 1，且 当 00,x x 时，0 h x；当 0,1 x x 时，0 h x，当 1,+x 时，0 h x.因 为 f x h x，所 以 x=x0是 f(x)的 唯 一 极 大 值 点由 0 0 0 0 0

24、0 0 得 l n 2(1),故=(1)f x x x f x x x 由 00,1 x 得 01 4f x因 为 x=x0是 f(x)在（0,1）的 最 大 值 点，由 1 10,1,0 e f e 得 1 20 f x f e e 所 以 2-20 2 e f x2 2.解：（1）设 P 的 极 坐 标 为，0，M 的 极 坐 标 为 1 1，0，由 题 设 知c o s14=，=O P O M=由1 6 O M O P=得2C的 极 坐 标 方 程 c os=4 0 因 此2C的 直 角 坐 标 方 程 为 222 4 0 x y x（2）设 点 B 的 极 坐 标 为，0B B,由 题

25、 设 知c os=2，=4B O A,于 是 O A B 面 积1=s i n24 c o s s i n332 s i n 23 22 3BS O A A O B 当=-1 2 时，S 取 得 最 大 值 2+3所 以 O A B 面 积 的 最 大 值 为 2+32 3.解：（1）5 5 6 5 5 623 3 3 3 4 422 2244 a b a b a a b a b ba b a b a b a ba b a b（2）因 为 33 2 2 32 33 32 3+3+3+2+24 4a b a a b a b ba b a ba b a ba b所 以 3+8 a b，因 此 a+b 2.