2016湖南高考文科数学真题及答案.pdf

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1、2016 湖南高考文科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷 1至 3页，第卷 3至 5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第卷选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合 1,3,5,7 A，|2 5 B x x，则 A B（）。（A）1,3（B）3,5（C）5,7（D）1,7【参考答案】B【答案解析】集合 A 与集合 B 公共元素有 3，5，故 3 5 A B，选

2、B。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章集合中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（）设(1 2 i)(i)a 的实部与虚部相等，其中 a为实数，则 a=（）。（A）3（B）2（C）2（D）3【参考答案】A【答案解析】设 i a a i a i)2 1(2)(2 1(，由已知，得 a a 2 1 2，解得 3 a，选 A.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（3）为美化环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，学.科.网余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率

3、是（A）13（B）12（C）13（D）56【参考答案】A【答案解析】将 4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛，有 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有 2 种，故概率为31，选 A.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章概率中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（4）ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c.已知5 a，2 c，2c os3A，则 b=（）。（A）2（B）3（C）2（D）3【参考答案】D【答案解析】由余弦定理得322 2 4 52 b b，解得 3 b（31 b 舍去），选 D.【试题点评】本题在高考数学

4、（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（5）直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（）。（A）13（B）12（C）23（D）34【参考答案】B【答案解析】如图，由题意得在椭圆中，1 1O F c,O B b,O D 2 b b4 2，在 R t O F B 中，|O F|O B|B F|O D|，且2 2 2a b c，代入解得2 2a 4c，所以椭圆得离心率得：1e2，故选 B.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（

5、6）若将函数 y=2sin(2x+6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（）。（A）y=2sin(2x+4)（B）y=2sin(2x+3)（C）y=2sin(2x4)（D）y=2sin(2x3)【参考答案】D【答案解析】函数 y 2 s i n(2 x)6 的周期为，将函数 y 2 s i n(2 x)6 的图像向右平移14个周期即4个单位，所得函数为 y 2 s i n 2(x)2 s i n(2 x)4 6 3，故选 D.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及

6、每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）。（A）17（B）18（C）20（D）28【参考答案】A【答案解析】由三视图可知其对应体应为一个切去了18部分的球，所以体积应为34 7 283 8 3（r），所以可 得 2 r，则 此 几 何 体 的 变 面 积 应 为78个 球 面，再 加 上 3 个14圆，所 以 表 面 积 为2 2 7 14 3()17 28 4（r）r，故选 A。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及（8）若 ab0，0c1，则（）。（A）logaclogbc（B）logcal

7、ogcb（C）accb【参考答案】B【答案解析】对于选项 A：a b1 gc 1 gcl og c,l og cl g a l g b，0 c 1 1 gc 0，而 a b 0，所以 l g a l g b，但不能确定 l g a l g b、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项 B：c b1 ga 1 gbl og a,l og cl g c l g c,而l g a l g b，两边同乘以一个负数1l g c改变不等号方向所以选项 B 正确;对于选项 C：利用cy x 在第一象限内是增函数即可得到c ca b，所以 C错误;对于选项 D：利用xy c 在 R 上为减函数易得为错误.所以

8、本题选 B.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（9）函数 y=2x2e|x|在2,2的图像大致为（）。（A）（B）（C）（D）【参考答案】D【答案解析】函数 f(x)=2x2e|x|在2,2上是偶函数，其图象关于y轴对称，因为2 2(2)8,0 8 1 f e e，所以排除,A B 选项；当 0,2 x 时，4xy x e 有一零点，设为0 x，当0(0,)x x 时，()f x 为减函数，当0(,2)x x 时，()f x 为增函数故选 D【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章函数中有详细讲解，在寒假特训班、百

9、日冲刺班中均有涉及。（10）执行右面的程序框图，如果输入的 0,1,x y n=1,则输出,x y的值满足（）。（A）2 y x（B）3 y x（C）4 y x（D）5 y x【参考答案】C【答案解析】第一次循环：0,1,2 x y n，第二次循环：1,2,32x y n，第三次循环：3,6,32x y n，此时满足条件2 236 x y，循环结束，3,62x y，满足 4 y x 故选 C【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章算法与统计中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（11）平 面过 正 文 体 ABCD A1B1C1D1 的 顶 点 A1 1/C B D 平

10、面,A B C D m 平面，1 1A B B A n 平面，则 m，n 所成角的正弦值为（）。（A）32（B）22（C）33（D）13【参考答案】A【答案解析】如图所示1 1C B D 若平面平面平面1 1C B D，若设平面1 1C B D 平面1A B C D m，则1mm又平面 A B C D平面1 1 1 1A C B D，结合平面1 1B D C 平面1 1 1 1 1 1A C B D B D 1 1B D 1m，故1 1B D 1m同理可得：1C D n故m、n的所成角的大小与1 1B D、1C D 所成角的大小相等，即1 1C D B 的大小而1 1 1 1B C B D C

11、 D（均为面对交线），因此1 13C D B，即1 13s i n2C D B 故选 A【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（12）若函数1()s i n 2 s i n3f x x-x a x 在,单调递增，则 a 的取值范围是（）。（A）1,1（B）11,3（C）1 1,3 3（D）11,3【参考答案】C【答案解析】用特殊值法：取 1 a，1s i n 2 s i n3f x x x x，21 c os 2 c os3f x x x，但 2 20 1 1 03 3f，不具备在,单调递增，排除 A，B，D故选 C【试题

12、点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。第 II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）设向量 a=(x，x+1)，b=(1，2)，且 a b，则 x=_.【参考答案】23【答案解析】由题意，20,2(1)0,.3a b x x x【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章常用逻辑语中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（14）已知是第四象限角，且 sin(

13、+4)=35，则 tan(4)=_.【参考答案】34【答案解析】由题意，4 3 3c os(),t a n()t a n()t a n().t a n()4 5 4 4 2 4 4 4 4【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（15）设直线 y=x+2a 与圆 C：x2+y2-2ay-2=0相交于 A，B 两点，若，则圆 C 的面积为_.【参考答案】4【答案解析】圆2 2:2 2 0 C x y ay，即2 2 2:()2 C x y a a，圆心为(0,)C a，由|2 3,A B C 到直线 2 y x a 的距离为|0

14、 2|2a a，所以由2 2 22 3|0 2|()()22 2a aa 得22,a 所以圆的面积为2(2)4 a.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品 A需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。学.科网该企业现有甲材料 150kg，乙材料 90kg，则在不超过 600

15、个工时的条件下，生产产品 A、产品 B的利润之和的最大值为_元。【参考答案】216000【答案解析】如图将 2 1 0 0 9 0 0 z x y 变形，得73 9 0 0zy x，平行直线73y x，当直线73 9 0 0zy x 经过点 M 时，z 取得最大值.解方程组10 3 9005 3 600 x yx y，得 M 的坐标(6 0,1 0 0).所以当 6 0 x，1 0 0 y 时，m a x2100 60 900 100 216000 z【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第五章函数图像的画法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。三.解答题：解答应写出文字

16、说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分 12 分）已知 na 是公差为 3 的等差数列，数列 nb 满足1 2 1 11=3n n n nb b a b b n b 1，.（I）求 na 的通项公式；（II）求 nb 的前 n 项和.【参考答案】（I）3 1;n（II）3 1(1)2 3n【答案解析】1 11 2 2 1 11123 13133 1(1)2 3n n nnn nn nn na b b nbna b b b aa nnb nbb bs【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章数列中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。18.（本题满分 12 分）如图，在已知

17、正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 E，连接 PE并延长交 AB 于点 G.（I）证明 G 是 AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E在平面 PAC内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积【参考答案】（I）见解析；（II）13【答案解析】（I）由题意得 D 为正ABC中心，DP面 ABCPDABDE面 PABDEAB因此：AB面 PDGABDGG 为 AB中点（2）作法：在面 PAB中过 E作 EFPB，交 PA于 FPAPB，PBPCPB面 PACPBEFEF面 PAC1 1 1 1.3 3 2

18、 3P D E F P E FV D E S D E P F E F【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章立体几何中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（19）（本小题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1台机

19、器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若n=19，求 y 与 x 的函数解析式；（II）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于 0.5，求n的最小值；（III）假设这 100台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件，或每台都购买 20个易损零件，分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19个还是 20个易损零件？【参考答案】3800,0 19(1);(2)19;(3)500 5700,19xyx x 购买 20个更合理.【答案解析】111200 19(0 19 380

20、0(0 19200 19(9)500 19 500 5700 192(18=0.06+0.16+0.24=0.46(19=0.46+0.24=0.7193 100 200 19 300 20 300 2 10 39200 x xyx x x xP nP nnx（）由题意得：）（）（）（）由柱形图可得：）最小值为（）购买19个的费用：S 元平均费用21 23920100 200 20 300 10=4030020 x x 元若为20个：S 元购买 个更合理【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章函数的性质及其应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（20）（本小题满分 1

21、2 分）在直角坐标系 x O y中，直线 l:y=t(t0)交 y轴于点 M，交抛物线 C：22(0)y px p 于点 P，M 关于点 P的对称点为 N，连结 ON并延长交 C 于点 H.（I）求O HO N；（II）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其它公共点？说明理由.【参考答案】(1)2;(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 无其它公共点.【答案解析】2 2222222 221,),(,)2 2:22(,2)|22(2)0(,2),2204=0t tt N tp ppO N y xttpx tpO HO Nt pM t x tp tpxpx px tt（）如图：易得P(则直线

22、为与y 联立得H点（，t),H 则直线MH为y=与y 联立消y得:除 H 以外，直线 MH 与 C 无其它公共点.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（21）（本小题满分 12 分）已知函数.（1）讨论 的单调性；（II）若 有两个零点，求a的取值范围.【参考答案】（1）见解析，（2）a0【答案解析】（1）=()0=()1=1()()3 1()0 1f xaf xf xf x Rf x x xf 当a0时，令f(x)0，则x=ln(2a）或x=1增区间为（1，+）,减区间为（，1）当 时，f(x)0，则x=l

23、n(2a）或x=1增区间为（，），ln(2a),+；减区间为1，ln(2a)（2）ln(2a)，此时 恒成立此时 上为增（）ln(2a)，令，则 ln(2a)或 令()0 1(),1x xf x，则ln(2a)此时 增区间为，ln(2a）,则减区间为ln(2a）综上所述：,()2,()20()2ea f xea f x Rea f x 当 增区间为（，1),ln(2a),+,减区间为1，ln(2a)当 在 上为增当-，在增区间为，ln(2a）(1,+),减区间为ln(2a),1（II）0()0=a f xa当 时，此时 一定有两个零点当 时，若为第（1）种情况，则f(x)只有一个零点，不符合；

24、若为第（2）种情况，则只能为fln(-2a)=0成立才有可能。当a=0时，f(x)只有一个零点综上，要使y f(x)有两零点应满足a0.【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章函数的值域、最值求法及应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，OAB是等腰三角形，AOB=120以O 为圆心，OA为半径作圆.（I）证明：直线 AB与 O 相切；（II）点 C,D 在O上，且 A,B,C,D四点共圆，证明：ABCD.【参考答

25、案】见解析【答案解析】（1）取 AB中点 P，连接 OP，因为OAB是等腰三角形，所以 OPAB因为AOB=120，所以AOP=BOP=60，在 RtAPO中，OP=OA cosAOP=12OA所以直线 AB 与圆 O相切。（II）设 C D的中点为 Q，四边形 C D 外接圆的圆心为，连接 C，D，C，D 因为 C D，所以 Q C D，因为 C D，所以 Q C D，所以，Q三点共线同理可得，三点共线，所以 Q，四点共线即 Q 过点，且 Q，Q C D【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章直线与圆中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（23）（本小题满分 10 分）

26、选修 44：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1的参数方程为（t 为参数，a0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4cos.（I）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程；（II）直线 C3的极坐标方程为=0，其中0满足 tan0=2，若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上，求 a。（24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出 y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)1的解集。【参考答案】（I）2 22 s i n 1 0 a；（II）1 a【答

27、案解析】（I）由c os1 s i nx a ty a t（t为参数）得 22 21 x y a（0 a）所以曲线1C 表示以 0,1 为圆心，半径为a的圆由 22 21 x y a 得：2 2 22 1 0 x y y a 因为2 2 2x y，s i n y，所以2 22 s i n 1 0 a 所以1C 的极坐标方程为2 22 s i n 1 0 a（II）由 4 c os 得24 c os 因为2 2 2x y，c os x，所以2 24 0 x y x 所以曲线1C 与曲线2C 的公共弦所在的直线方程为24 2 1 0 x y a，即2122ay x 由0，其中0 满足0t a n

28、2 得 2 y x，所以2102a，因为 0 a，所以 1 a【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章三角函数中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（24）（本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)=x+1-2x-3.（I）在答题卡第（24）题图中画出 y=f(x)的图像；（II）求不等式f(x)1的解集。【参考答案】1,1,3 5,3【答案解析】：（I）4,131 2 3 3 2,1234,2x xf x x x x xx x 画出 y f x 的图象如图所示：(2)1()|=|4|1,5 3,13 1 1 3()|=|3 2|1 1,1 12 3 3 23 3()|=|+4|1 5 3,3 52 21()|1 1 3 53x f x x x x xx f x x x x x xx f x x x x x xf x 当 时，|解得 或 所以-当 1 时，|，解得 或 所以-或 当 时，|，解得 或 所以 或所以不等式|的解集为，【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章函数的性质及其应用中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。