2017上海考研数学二真题及答案.pdf

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1、2 0 1 7 上 海 考 研 数 学 二 真 题 及 答 案一、选 择 题（本 题 共 8 小 题，每 小 题 4 分，满 分 3 2 分）（1）若 函 数0,0,c os 1)(x bxaxxx f 在 0 x 处 连 续，则（）)(A21 ab。)(B21 ab。)(C 0 ab。D(2 ab。【答 案】)(A【解】a axxfx21 c os 1l i m)0 0(0，b f f)0 0()0(，因 为)(x f 在 0 x 处 连 续，所 以)0 0()0()0 0(f f f，从 而21 ab，应 选)(A。（2）设 二 阶 可 导 函 数)(x f 满 足 1)1()1(f f，

2、1)0(f，且 0)(x f，则（）)(A110)(x f。)(B110)(x f。)(C 1001)()(dx x f x f。)(D 1001)()(dx x f x f。【答 案】)(B【解】取 1 2)(2 x x f，显 然110)(x f，应 选)(B。（3）设 数 列 nx 收 敛，则（）)(A 当 0 s i n l i m nnx 时，0 l i m nnx。)(B 当 0)|(l i m n nnx x 时，0 l i m nnx。)(C 当 0)(l i m2 n nnx x 时，0 l i m nnx。)(D 当 0)s i n(l i m n nnx x 时，0 l

3、i m nnx。【答 案】)(D【解】令 A xnn l i m，由 0 s i n)s i n(l i m A A x xn nn得 0 A。（4）微 分 方 程)2 c os 1(8 42x e y y yx 的 特 解 可 设 为 y（）)(A)2 s i n 2 c os(2 2x C x B e A ex x。)(B)2 s i n 2 c os(2 2x C x B x e A x ex x。)(C)2 s i n 2 c os(2 2x C x B x e A ex x。)(D)2 s i n 2 c os(2 2x C x B x e A x ex x。【答 案】)(C【解】特

4、 征 方 程 为 0 8 42，特 征 值 为 i 2 22,1。对 方 程xe y y y28 4，特 征 形 式 为xA e y21；对 方 程 x e y y yx2 c os 8 42，特 解 形 式 为)2 s i n 2 c os(22x C x B x e yx，故 方 程)2 c os 1(8 42x e y y yx 的 特 解 形 式 为)2 s i n 2 c os(2 2x C x B x e A e yx x，应 选)(C。（5）设),(y x f 具 有 一 阶 偏 导 数，且 对 任 意 的),(y x 都 有 0),(,0),(yy x fxy x f，则（）)

5、(A)1,1()0,0(f f。)(B)1,1()0,0(f f。)(C)0,1()1,0(f f。)(D)0,1()1,0(f f。【答 案】)(D【解】0),(xy x f得),(y x f 关 于 x 为 增 函 数，从 而),0(),1(y f y f；由 0),(yy x f得),(y x f 关 于 y 为 减 函 数，从 而)1,()0,(x f x f，由),0(),1(y f y f 得)0,0()0,1(f f；由)1,()0,(x f x f 得)1,0()0,0(f f，故)1,0()0,1(f f，应 选)(D。（6）甲、乙 两 人 赛 跑，计 时 开 始 时，甲 在

6、 乙 前 方 10（单 位：m）处，图 中，实 线 表 示 甲的 速 度 曲 线)(1t v v（单 位：s m/），虚 线 表 示 乙 的 速 度 曲 线)(2t v v，三 块 阴 影 部 分 面积 的 数 值 依 次 为 3,20,10，计 时 开 始 后 乙 追 甲 的 时 刻 为0t（单 位：s），则（）)(A 100 t。)(B 20 150 t。)(C 250 t。)(D 250 t。【答 案】【解】（7）设 A 为 3 阶 矩 阵，),(3 2 1 P 为 可 逆 矩 阵，使 得2 0 00 1 00 0 01A P P，则)(3 2 1 A（）)(A2 1。)(B3 22。)

7、(C3 2。)(D3 12。【答 案】)(B【解】由2 0 00 1 00 0 01A P P 得2 0 00 1 00 0 0P A P，于 是 3 2 3 2 3 2 121112,01112 0 00 1 00 0 0111)(P A P A，应 选)(B。（8）已 知 矩 阵2 0 00 2 00 0 1,1 0 00 2 00 1 2,1 0 01 2 00 0 2C B A，则（）)(A A 与 C 相 似，B 与 C 相 似。)(B A 与 C 相 似，B 与 C 不 相 似。)(C A 与 C 不 相 似，B 与 C 相 似。)(D A 与 C 不 相 似，B 与 C 不 相

8、似。【答 案】)(B【解】C B A,的 特 征 值 为 1,23 2 1，由 1 0 01 0 00 0 02 A E 得 1)2(A E r，则 A 可 相 似 对 角 化，从 而 C A；由 1 0 00 0 00 1 02 B E 得 2)2(B E r，则 B 不 可 相 似 对 角 化，从 而 B 与 C A,不 相 似，应 选)(B。二、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分）（9）曲 线)2a r c s i n 1(xx y 的 斜 渐 近 线 为 _ _ _ _ _ _ _ _。【答 案】2 x y。【解】1)2a r c s i n 1

9、(l i m l i m x xyx x，2112a r c s i n 1l i m)(l i m xxx yx x，斜 渐 近 线 为 2 x y。（1 0）设 函 数)(x y y 由 参 数 方 程 t ye t xts i n,确 定，则 _|022 tdxy d。【答 案】81。【解】tetdt dxdt dydxdy 1c os/，32022)1(c os s i n)1(1)1(c os)1(s i n/)1c os(|tt tttt tttet e t eeet e e tdt dxetddxy d，则81|022 tdxy d。（1 1）_)1()1 l n(02 dxxx

10、。【答 案】2。【解】)11()1 l n()1()1 l n(0 02 xd x dxxx2|111)1(1|1)1 l n(0020 xdxx xx（1 2）设 函 数),(y x f 具 有 一 阶 连 续 的 偏 导 数，且 dy e y x dx y e y x dfy y)1(),(，0)0,0(f，则 _),(y x f。【答 案】yx y e【解】由)()1(),(y y yx y e d dy e y x dx y e y x df 得C x y e y x fy),(，再 由 0)0,0(f 得 0 C，故yx y e y x f),(。（1 3）_t a n1 10 yd

11、xxxdy。【答 案】1 c os l n【解】1 c os l n|c os l n t a nt a n t a n1010 0101 10 x x dx dy dxxxdxxxdyxy。（1 4）设 矩 阵1 1 32 12 1 4a A 的 一 个 特 征 向 量 为211，则 _ a。【答 案】1 a。【解】由2112111 1 32 12 1 4 a 得 a 2 3,1，解 得 1 a。三、解 答 题（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）求300l i mxdt e t xxtx。【解】xu xxu xu t xxtdu e u e du e u dt e t x0 0 0，则3

12、00 300 300l i m l i m l i mxdu e uxdu e uexdt e t xxuxxuxxxtx 3223l i m0 xe xxx。（1 6）（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数),(v u f 具 有 二 阶 连 续 的 偏 导 数，)c os,(x e f yx，求0|xdxdy，022|xdxy d。【解】2 1s i n f x f edxdyx，)1,1(|1 0fdxdyx；)s i n(s i n c os)s i n(22 21 2 12 1 1 122f x f e x f x f x f e e f edxy dx x x x，则)1,1()

13、1,1()1,1(|2 1 1 1 022f f fdxy dx。（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）求 nknnknk12)1 l n(l i m。【解】101 12)1 l n()1 l n(1l i m)1 l n(l i m dx x xnknkn nknknknnkndxxxx x x d x 10210210211)1(21|)1 l n(21)()1 l n(21412 l n2121412 l n21)111(212 l n2110 dxxx。（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）已 知 函 数)(x y 由 方 程 0 2 3 33 3 y x y x 确 定，求)(x

14、 y 的 极 值。【解】0 2 3 33 3 y x y x 两 边 对 x 求 导 得0 3 3 3 32 2 y y y x，令 0 y 得 1,12 1 x x，对 应 的 函 数 值 为 01 y，12 y；0 3 3 3 32 2 y y y x 两 边 再 对 x 求 导 得0 3 3 6 62 2 y y y y y x，由 0 2)1(y 得 1 x 为 极 小 点，极 小 值 为 0 y；由 0 1)1(y 得 1 x 为 极 大 点，极 大 值 为 1 y。（1 9）（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数)(x f 在 1,0 上 二 阶 可 导 且 0)1(f，0)(l

15、 i m0 xx fx。证 明：（I）方 程)(x f 在)1,0(内 至 少 有 一 个 实 根；（I I）方 程 0)()()(2 x f x f x f 在)1,0(内 至 少 有 两 个 不 同 的 实 根。【证 明】（I）由 0)(l i m0 xx fx得 0)0(f，又 存 在 0，当),0(x 时，0)(xx f，即 当),0(x 时 0)(x f，于 是 存 在),0(c，使 得 0)(c f，因 为 0)1()(f c f，所 以 存 在)1,0()1,(0 c x，使 得 0)(0 x f。（I I）令)()()(x f x f x，因 为 0)()0(0 x，所 以 由

16、 罗 尔 定 理，存 在)1,0(),0(0 x，使 得 0)(，而)()()()(2x f x f x f x，故 0)()()(2 f f f，即 0)()()(2 x f x f x f 在)1,0(内 至 少 一 个 实 根。（2 0）（本 题 满 分 1 1 分）已 知 平 面 区 域 2|),(2 2y y x y x D，计 算 二 重 积 分 Dd x 2)1(。【解】由 对 称 性 得 D Dd x d x)1()1(2 2，令s i n,c osr yr x（s i n 2 0,0 r），则 s i n 202 302)c os()1(dr r r d d xD 20220

17、4 202 4 2s i n 4 s i n c os 8)s i n 2 s i n c os 4(d d d 202206204202204 2s i n 4 s i n 8 s i n 8 s i n 4 s i n)s i n 1(8 d d d d d452 214)2 2143652 2143(8。（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）设)(x y 是 区 间)23,0(内 的 可 导 函 数，且 0)1(y。点 P 是 曲 线)(:x y y L 上 的 任 意 一 点，L 在 点 P 处 的 切 线 与 y 轴 相 交 于 点),0(PY，法 线 与 X 轴 相 交于 点)0

18、,(PX，若P PY X，求 L 上 的 点 的 坐 标),(y x 满 足 的 方 程。【解】切 线 为)(x X y y Y，由 0 X 得 y x y YP；法 线 为)(1x Xyy Y，由 0 Y 得 y y x XP。由P PY X 得y y x y x y，整 理 得x yx ydxdy，即11xyxydxdy，令 uxy，则11 uudxdux u，整 理 得112 uudxdux，分 离 变 量 得xdxduuu 211，积 分 得C x u u l n a r c t a n)1 l n(212，由 0)1(y 得 0 C，故),(y x 满 足 的 方 程 为 xxyxy

19、l n a r c t a n)1 l n(2122。（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设 3 阶 矩 阵),(3 2 1 A 有 三 个 不 同 的 特 征 值，且2 1 32。（I）证 明：2)(A r（I I）若3 2 1，求 方 程 组 A X 的 通 解。【证 明】（I）设 A 的 特 征 值 为3 2 1,，因 为 A 有 三 个 不 同 的 特 征 值，所 以 A 可 以 相 似 对 角 化，即 存 在 可 逆 矩 阵 P，使 得3211A P P，因 为3 2 1,两 两 不 同，所 以 2)(A r，又 因 为2 1 32，所 以3 2 1,线 性 相 关，从 而 3)

20、(A r，于 是 2)(A r。（I I）因 为 2)(A r，所 以 O A X 基 础 解 系 含 一 个 线 性 无 关 的 解 向 量，由 3 2 13 2 1,0 2得 A X 的 通 解 为111121k X（k 为 任 意 常 数）。（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型3 2 3 1 2 1232221 3 2 12 8 2 2),(x x x x x x ax x x x x x f 在 正 交 变 换Q Y X 下 的 标 准 型 为22 221 1y y，求 a 的 值 及 一 个 正 交 矩 阵。【解】aA1 41 1 14 1 2，321xxxX，A

21、X X x x x fT),(3 2 1，因 为 03，所 以 0|A。由 0)2(31 41 1 14 1 2|aaA 得 2 a。由 0)6)(3(2 1 41 1 14 1 2|A E 得 0,6,33 2 1。由 0 0 01 1 01 0 15 1 41 2 14 1 53 A E 得31 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为 1111；由 0 0 00 1 01 0 14 1 41 7 14 1 46 A E 得62 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为 1012；由 0 0 02 1 01 0 10 A E 得 03 对 应 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 为1213。规 范 化 得 111311，101212，121613，故 正 交 矩 阵 为61213162031612131Q。