2016重庆考研数学三真题及答案.pdf

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1、2 0 1 6 重 庆 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、填 空 题：1 6 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上.（1）11l i m _.nnnn（2）设 函 数()f x 在 2 x 的 某 邻 域 内 可 导,且 ef xf x，2 1 f，则 2 _.f（3）设 函 数()f u 可 微,且 102f,则 2 24 z f x y 在 点(1,2)处 的 全 微 分 1,2d _.z（4）设 矩 阵2 11 2A，E 为 2 阶 单 位 矩 阵，矩 阵 B 满 足 2 B A B E，则 B.（5）设 随 机 变 量 X Y 与

2、相 互 独 立，且 均 服 从 区 间 0,3 上 的 均 匀 分 布，则 m a x,1 P X Y _ _ _ _ _ _ _.（6）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 1 21,2xnf x e x X X X 为 总 体 X 的 简单 随 机 样 本，其 样 本 方 差 为2S，则2_.E S 二、选 择 题：7 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符合 题 目 要 求，把 所 选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的 括 号 内.（7）设 函 数()y f x 具 有 二 阶 导 数，且()0,()0

3、f x f x，x 为 自 变 量 x 在 点0 x 处 的增 量，d y y 与 分 别 为()f x 在 点0 x 处 对 应 的 增 量 与 微 分，若 0 x，则(A)0 d y y.(B)0 d y y.(C)d 0 y y.(D)d 0 y y.（8）设 函 数 f x 在 0 x 处 连 续，且 220l i m 1hf hh，则(A)0 0 0 f f 且 存 在(B)0 1 0 f f 且 存 在(C)0 0 0 f f 且 存 在(D)0 1 0 f f 且 存 在（9）若 级 数1nna收 敛，则 级 数(A)1nna收 敛.（B）1(1)nnna收 敛.(C)11n n

4、na a收 敛.(D)112n nna a收 敛.（1 0）设 非 齐 次 线 性 微 分 方 程()()y P x y Q x 有 两 个 不 同 的 解1 2(),(),y x y x C 为 任 意 常数，则 该 方 程 的 通 解 是（）1 2()()C y x y x.（）1 1 2()()()y x C y x y x.（）1 2()()C y x y x.（）1 1 2()()()y x C y x y x（1 1）设(,)(,)f x y x y 与 均 为 可 微 函 数，且(,)0yx y，已 知0 0(,)x y 是(,)f x y 在 约束 条 件(,)0 x y 下

5、的 一 个 极 值 点，下 列 选 项 正 确 的 是(A)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.(B)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.(C)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.(D)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.（1 2）设1 2,s 均 为 n 维 列 向 量，A 为 m n 矩 阵，下 列 选 项 正 确 的 是(A)若1 2,s 线 性 相 关，则1 2,sA A A 线 性 相 关.(B)若1 2,s 线 性 相 关，则1 2,sA A A 线 性 无 关.(C)若1 2,

6、s 线 性 无 关，则1 2,sA A A 线 性 相 关.(D)若1 2,s 线 性 无 关，则1 2,sA A A 线 性 无 关.（1 3）设 A 为 3 阶 矩 阵，将 A 的 第 2 行 加 到 第 1 行 得 B，再 将 B 的 第 1 列 的 1 倍 加 到 第 2列 得 C，记1 1 00 1 00 0 1P，则（）1C P A P.（）1C P A P.（）TC P A P.（）TC P A P.（1 4）设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布21 1(,)N，Y 服 从 正 态 分 布22 2(,)N，且 1 21 1 P X P Y 则 必 有(A)1 2(B)1

7、 2(C)1 2(D)1 2 三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 7 分）设 1 s i n,0,01 a r c t a nxyy yf x y x yx y x,求()l i m,yg x f x y；()0l i mxg x.（1 6）（本 题 满 分 7 分）计 算 二 重 积 分2d dDy x y x y，其 中 D 是 由 直 线,1,0 y x y x 所 围 成 的 平 面 区 域.（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）证 明：当 0 a b 时，s i

8、n 2 c o s s i n 2 c o s b b b b a a a a.（1 8）（本 题 满 分 8 分）在 x O y 坐 标 平 面 上，连 续 曲 线 L 过 点 1,0 M，其 上 任 意 点,0 P x y x 处 的 切 线斜 率 与 直 线 O P 的 斜 率 之 差 等 于 ax（常 数 0 a）.()求 L 的 方 程；()当 L 与 直 线 y ax 所 围 成 平 面 图 形 的 面 积 为83时，确 定 a 的 值.（1 9）（本 题 满 分 1 0 分）求 幂 级 数 12 1112 1nnnxn n的 收 敛 域 及 和 函 数()s x.（2 0）（本

9、题 满 分 1 3 分）设 4 维 向 量 组 T T T1 2 31,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a a a T44,4,4,4 a，问 a 为 何 值 时1 2 3 4,线 性 相 关?当1 2 3 4,线 性 相 关 时,求 其 一 个 极 大 线 性 无 关 组,并 将 其 余 向 量 用 该 极 大 线 性 无 关 组 线 性 表 出.（2 1）（本 题 满 分 1 3 分）设 3 阶 实 对 称 矩 阵 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为 3,向 量 T T1 21,2,1,0,1,1 是线 性 方 程 组 0 A x 的 两 个 解.()求 A 的 特 征 值

10、 与 特 征 向 量；()求 正 交 矩 阵 Q 和 对 角 矩 阵,使 得TQ A Q；（）求 A 及632A E，其 中 E 为 3 阶 单 位 矩 阵.（2 2）（本 题 满 分 1 3 分）设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 1,1 021,0 240,Xxf x x 其 他，令 2,Y X F x y 为 二 维 随 机 变 量(,)X Y 的 分 布 函 数.()求 Y 的 概 率 密 度 Yf y；()C ov(,)X Y；()1,42F.（2 3）（本 题 满 分 1 3 分）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为,0 1,;1,1 2,0,xf x x 其 他,其

11、 中 是 未 知 参 数 0 1，1 2 n,.,X X X 为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本，记 N 为 样 本值1 2,.,nx x x 中 小 于 1 的 个 数.（）求 的 矩 估 计；（）求 的 最 大 似 然 估 计参 考 答 案填 空 题：1 6 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上.（1）11l i m 1.nnnn【分 析】将 其 对 数 恒 等 化l neNN 求 解.【详 解】(1)1 1 1l n l i m(1)l n1l i m l i m e ennnnn nn nn nnn，而 数 列(1)n 有

12、界，1l i m l n 0nnn，所 以1l i m(1)l n 0nnnn.故 101l i m e 1nnnn.（2）设 函 数()f x 在 2 x 的 某 邻 域 内 可 导,且 ef xf x，2 1 f，则 32 2e.f【分 析】利 用 复 合 函 数 求 导 即 可.【详 解】由 题 设 知，ef xf x，两 边 对 x 求 导 得 2e()ef x f xf x f x，两 边 再 对 x 求 导 得 2 3()2e()2ef x f xf x f x，又 2 1 f，故 3 2 3(2)2e 2eff.（3）设 函 数()f u 可 微,且 102f,则 2 24 z

13、f x y 在 点(1,2)处 的 全 微 分 1,2d 4d 2d.z x y【分 析】利 用 二 元 函 数 的 全 微 分 公 式 或 微 分 形 式 不 变 性 计 算.【详 解】方 法 一：因 为2 2(1,2)(1,2)(4)8 4zf x y xx，2 2(1,2)(1,2)(4)2 2zf x y yy，所 以 1,2 1,2 1,2d d d 4d 2dz zz x y x yx y.方 法 二：对 2 24 z f x y 微 分 得 2 2 2 2 2 2d(4)d(4)(4)8 d 2 d z f x y x y f x y x x y y，故 1,2d(0)8 d 2

14、d 4d 2d z f x y x y.（4）设 矩 阵2 11 2A，E 为 2 阶 单 位 矩 阵，矩 阵 B 满 足 2 B A B E，则 B 2.【分 析】将 矩 阵 方 程 改 写 为 A X B X A B A X B C 或 或 的 形 式，再 用 方 阵 相 乘 的 行列 式 性 质 进 行 计 算 即 可.【详 解】由 题 设，有()2 B A E E 于 是 有 4 B A E，而1 121 1A E，所 以 2 B.（5）设 随 机 变 量 X Y 与 相 互 独 立，且 均 服 从 区 间 0,3 上 的 均 匀 分 布，则 m a x,1 P X Y 19.【分 析

15、】利 用 X Y 与 的 独 立 性 及 分 布 计 算.【详 解】由 题 设 知，X Y 与 具 有 相 同 的 概 率 密 度1,3()30,xf x 0 其 他.则 m a x,1 1,1 P X Y P X Y 1 1 P X P Y 21 201 11 d3 9P X x.【评 注】本 题 属 几 何 概 型，也 可 如 下 计 算，如 下 图：则 1m a x,1 1,19SP X Y P X YS 阴.（6）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 1 21,2xnf x e x X X X 为 总 体 X 的 简单 随 机 样 本，其 样 本 方 差 为2S，则22.E S【分

16、析】利 用 样 本 方 差 的 性 质2E S D X 即 可.【详 解】因 为()d e d 02xxE X x f x x x，22 2 2 200 0()d e d e d e 2 e d2x x x xxE X x f x x x x x x x x 0 002 e 2 e d 2e 2x x xx x，所 以 222 0 2 D X E X E X，又 因2S 是 D X 的 无 偏 估 计 量，所 以22 E S D X.二、选 择 题：7 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 符合 题 目 要 求，把 所

17、选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的 括 号 内.（7）设 函 数()y f x 具 有 二 阶 导 数，且()0,()0 f x f x，x 为 自 变 量 x 在 点0 x 处 的增 量，d y y 与 分 别 为()f x 在 点0 x 处 对 应 的 增 量 与 微 分，若 0 x，则(A)0 d y y.(B)0 d y y.(C)d 0 y y.(D)d 0 y y.【分 析】题 设 条 件 有 明 显 的 几 何 意 义，用 图 示 法 求 解.【详 解】由()0,()0 f x f x 知，函 数()f x 单 调 增 加，曲 线()y f x 凹 向，作 函 数()y

18、f x 的 图 形 如 右 图 所 示，显 然 当 0 x 时，0 0d()d()0 y y f x x f x x，故 应 选().（8）设 函 数 f x 在 0 x 处 连 续，且 220l i m 1hf hh，则(A)0 0 0 f f 且 存 在(B)0 1 0 f f 且 存 在(C)0 0 0 f f 且 存 在(D)0 1 0 f f 且 存 在 C【分 析】从 220l i m 1hf hh 入 手 计 算(0)f，利 用 导 数 的 左 右 导 数 定 义 判 定(0),(0)f f 的 存 在 性.【详 解】由 220l i m 1hf hh 知，20l i m 0hf

19、 h.又 因 为 f x 在 0 x 处 连 续，则 20 0(0)l i m()l i m 0 x hf f x f h.令2t h，则 220 0(0)1 l i m l i m(0)h tf hf t ffh t.所 以(0)f存 在，故 本 题 选（C）.（9）若 级 数1nna收 敛，则 级 数(A)1nna收 敛.（B）1(1)nnna收 敛.(C)11n nna a收 敛.(D)112n nna a收 敛.【分 析】可 以 通 过 举 反 例 及 级 数 的 性 质 来 判 定.【详 解】由1nna收 敛 知11nna收 敛，所 以 级 数112n nna a收 敛，故 应 选(

20、).或 利 用 排 除 法：取1(1)nnan，则 可 排 除 选 项（），（）；取1(1)nnan，则 可 排 除 选 项（）.故（）项 正 确.（1 0）设 非 齐 次 线 性 微 分 方 程()()y P x y Q x 有 两 个 不 同 的 解1 2(),(),y x y x C 为 任 意 常数，则 该 方 程 的 通 解 是（）1 2()()C y x y x.（）1 1 2()()()y x C y x y x.（）1 2()()C y x y x.（）1 1 2()()()y x C y x y x【分 析】利 用 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 解 的 结 构

21、即 可.【详 解】由 于1 2()()y x y x 是 对 应 齐 次 线 性 微 分 方 程()0 y P x y 的 非 零 解，所 以它 的 通 解 是 1 2()()Y C y x y x，故 原 方 程 的 通 解 为 1 1 1 2()()()()y y x Y y x C y x y x，故 应 选().【评 注】本 题 属 基 本 题 型，考 查 一 阶 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 解 的 结 构：*y y Y.其 中*y 是 所 给 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 特 解，Y 是 对 应 齐 次 微 分 方 程 的 通 解.（1 1）设(,)(,)f x y x

22、 y 与 均 为 可 微 函 数，且(,)0yx y，已 知0 0(,)x y 是(,)f x y 在 约束 条 件(,)0 x y 下 的 一 个 极 值 点，下 列 选 项 正 确 的 是(A)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.(B)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.(C)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.(D)若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.【分 析】利 用 拉 格 朗 日 函 数(,)(,)(,)F x y f x y x y 在0 0 0(,)x y（0 是 对 应0 0

23、,x y 的 参 数 的 值）取 到 极 值 的 必 要 条 件 即 可.【详 解】作 拉 格 朗 日 函 数(,)(,)(,)F x y f x y x y，并 记 对 应0 0,x y 的 参 数 的值 为0，则0 0 00 0 0(,)0(,)0 xyF x yF x y，即0 0 0 0 00 0 0 0 0(,)(,)0(,)(,)0 x xy yf x y x yf x y x y.消 去0，得0 0 0 0 0 0 0 0(,)(,)(,)(,)0 x y y xf x y x y f x y x y,整 理 得0 0 0 0 0 00 01(,)(,)(,)(,)x y xyf

24、 x y f x y x yx y.（因 为(,)0yx y），若0 0(,)0 xf x y，则0 0(,)0yf x y.故 选（）.（1 2）设1 2,s 均 为 n 维 列 向 量，A 为 m n 矩 阵，下 列 选 项 正 确 的 是(A)若1 2,s 线 性 相 关，则1 2,sA A A 线 性 相 关.(B)若1 2,s 线 性 相 关，则1 2,sA A A 线 性 无 关.(C)若1 2,s 线 性 无 关，则1 2,sA A A 线 性 相 关.(D)若1 2,s 线 性 无 关，则1 2,sA A A 线 性 无 关.A【分 析】本 题 考 查 向 量 组 的 线 性

25、相 关 性 问 题，利 用 定 义 或 性 质 进 行 判 定.【详 解】记1 2(,)sB，则1 2(,)sA A A A B.所 以，若 向 量 组1 2,s 线 性 相 关，则()r B s，从 而()()r A B r B s，向 量 组1 2,sA A A 也 线 性 相 关，故 应 选().（1 3）设 A 为 3 阶 矩 阵，将 A 的 第 2 行 加 到 第 1 行 得 B，再 将 B 的 第 1 列 的 1 倍 加 到 第 2列 得 C，记1 1 00 1 00 0 1P，则（）1C P A P.（）1C P A P.（）TC P A P.（）TC P A P.【分 析】利

26、用 矩 阵 的 初 等 变 换 与 初 等 矩 阵 的 关 系 以 及 初 等 矩 阵 的 性 质 可 得.【详 解】由 题 设 可 得1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 00 1 0,0 1 0 0 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1B A C B A，而11 1 00 1 00 0 1P，则 有1C P A P.故 应 选（）.（1 4）设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布21 1(,)N，Y 服 从 正 态 分 布22 2(,)N，且 1 21 1 P X P Y 则 必 有(A)1 2(B)1 2(C)1 2(D)1 2 A【分 析】利

27、用 标 准 正 态 分 布 密 度 曲 线 的 几 何 意 义 可 得.【详 解】由 题 设 可 得1 21 1 2 21 1X YP P，则1 21 12 1 2 1，即1 21 1.其 中()x 是 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数.又()x 是 单 调 不 减 函 数，则1 21 1，即1 2.故 选(A).三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 7 分）设 1 s i n,0,01 a r c t a nxyy yf x y x yx y x,求()l i m,

28、yg x f x y；()0l i mxg x.【分 析】第()问 求 极 限 时 注 意 将 x 作 为 常 量 求 解，此 问 中 含,0 型 未 定 式 极 限；第()问 需 利 用 第()问 的 结 果，含 未 定 式 极 限.【详 解】()1 s i nl i m,l i m1 a r c t a ny yxyy yg x f x yx y x s i n111 1 1l i m1a r c t a n a r c t a nyxyx yx x xxy.()20 0 01 1 a r c t a nl i m l i m l i ma r c t a n a r c t a nx x

29、 xx x x xg xx x x x（通 分）2 2 2220 0 011 2a r c t a n 2(1)1l i m l i m l i m2 2x x xxx x x x x xxx x x（1 6）（本 题 满 分 7 分）计 算 二 重 积 分2d dDy x y x y，其 中 D 是 由 直 线,1,0 y x y x 所 围 成 的 平 面 区 域.【分 析】画 出 积 分 域，将 二 重 积 分 化 为 累 次 积 分 即 可.【详 解】积 分 区 域 如 右 图.因 为 根 号 下 的 函 数 为 关 于 x 的一 次 函 数，“先 x 后 y”积 分 较 容 易，所

30、以12 20 0d d d dyDy x y x y y y x y x 31 12 2200 02 1 2 2d d3 3 9yy x y y y yy（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）证 明：当 0 a b 时，s i n 2 c o s s i n 2 c o s b b b b a a a a.【分 析】利 用“参 数 变 易 法”构 造 辅 助 函 数，再 利 用 函 数 的 单 调 性 证 明.【详 解】令()s i n 2 c os s i n 2 c os,0 f x x x x x a a a a a x b，则()s i n c os 2 s i n c os s i

31、 n f x x x x x x x x，且()0 f.又()c os s i n c os s i n 0 f x x x x x x x，（0,s i n 0 x x x 时），故 当 0 a x b 时，()f x 单 调 减 少，即()()0 f x f，则()f x 单 调 增 加，于 是()()0 f b f a，即s i n 2 c o s s i n 2 c o s b b b b a a a a.（1 8）（本 题 满 分 8 分）在 x O y 坐 标 平 面 上，连 续 曲 线 L 过 点 1,0 M，其 上 任 意 点,0 P x y x 处 的 切 线斜 率 与 直

32、线 O P 的 斜 率 之 差 等 于 ax（常 数 0 a）.()求 L 的 方 程；()当 L 与 直 线 y ax 所 围 成 平 面 图 形 的 面 积 为83时，确 定 a 的 值.【分 析】()利 用 导 数 的 几 何 意 义 建 立 微 分 方 程，并 求 解；()利 用 定 积 分 计 算 平 面 图形 的 面 积，确 定 参 数.【详 解】()设 曲 线 L 的 方 程 为()y f x，则 由 题 设 可 得yy axx，这 是 一 阶 线 性 微 分 方 程，其 中1(),()P x Q x axx，代 入通 解 公 式 得 1 1d d2e e dx xx xy ax

33、 x C x ax C ax C x，又(1)0 f，所 以 C a.故 曲 线 L 的 方 程 为2y ax ax(0)x.()L 与 直 线 y ax（0 a）所 围 成 平 面 图 形 如 右 图 所示.所 以 220d D ax ax ax x 2204 82 d3 3a x x x a，故 2 a.（1 9）（本 题 满 分 1 0 分）求 幂 级 数 12 1112 1nnnxn n的 收 敛 域 及 和 函 数()s x.【分 析】因 为 幂 级 数 缺 项，按 函 数 项 级 数 收 敛 域 的 求 法 计 算；利 用 逐 项 求 导 或 积 分 并 结合 已 知 函 数 的

34、幂 级 数 展 开 式 计 算 和 函 数.【详 解】记1 2 1(1)()(2 1)n nnxu xn n，则2 3211 2 1(1)()(1)(2 1)l i m l i m(1)()(2 1)n nnn nn nnxu x n nxx u xn n.所 以 当21,1 x x 即 时，所 给 幂 级 数 收 敛；当 1 x 时，所 给 幂 级 数 发 散；当 1 x 时，所 给 幂 级 数 为1(1)(1),(2 1)(2 1)n nn n n n，均 收 敛，故 所 给 幂 级 数 的 收 敛 域 为 1,1 在 1,1 内，1 2 1 1 211 1(1)(1)()2 2()(2

35、1)(2 1)2n n n nn nx xs x x x s xn n n n，而1 2 11 2 21 1 21 1(1)1(),()(1)2 1 1n nn nn nxs x s x xn x，所 以1 1 1 20 01()(0)()d d a r c t a n1x xs x s s t t t xt，又1(0)0 s，于 是1()a r c t a n s x x.同 理1 1 10 0()(0)()d a r c t a n dx xs x s s t t t t 20 201a r c t a n d a r c t a n l n 11 2xxtt t t x x xt，又1(

36、0)0 s，所 以 211()a r c t a n l n 12s x x x x.故 2 2()2 a r c t a n l n 1 s x x x x x.1,1 x.由 于 所 给 幂 级 数 在 1 x 处 都 收 敛，且 2 2()2 a r c t a n l n 1 s x x x x x 在1 x 处 都 连 续，所 以()s x 在 1 x 成 立，即 2 2()2 a r c t a n l n 1 s x x x x x，1,1 x.（2 0）（本 题 满 分 1 3 分）设 4 维 向 量 组 T T T1 2 31,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,a

37、a a T44,4,4,4 a，问 a 为 何 值 时1 2 3 4,线 性 相 关?当1 2 3 4,线 性 相 关 时,求 其 一 个 极 大 线 性 无 关 组,并 将 其 余 向 量 用 该 极 大 线 性 无 关 组 线 性 表 出.【分 析】因 为 向 量 组 中 的 向 量 个 数 和 向 量 维 数 相 同，所 以 用 以 向 量 为 列 向 量 的 矩 阵 的 行列 式 为 零 来 确 定 参 数 a；用 初 等 变 换 求 极 大 线 性 无 关 组.【详 解】记 以1 2 3 4,为 列 向 量 的 矩 阵 为 A，则31 2 3 41 2 3 4(10)1 2 3 41

38、 2 3 4aaA a aaa.于 是 当 0,0 10 A a a 即 或 时，1 2 3 4,线 性 相 关.当 0 a 时，显 然1 是 一 个 极 大 线 性 无 关 组，且2 1 3 1 4 12,3,4；当 1 0 a 时，12349 2 3 41 8 3 41 2 7 41 2 3 6A，由 于 此 时 A 有 三 阶 非 零 行 列 式9 2 31 8 3 400 01 2 7，所 以1 2 3,为 极 大 线 性 无关 组，且1 2 3 4 4 1 2 30，即.（2 1）（本 题 满 分 1 3 分）设 3 阶 实 对 称 矩 阵 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为 3

39、,向 量 T T1 21,2,1,0,1,1 是线 性 方 程 组 0 A x 的 两 个 解.()求 A 的 特 征 值 与 特 征 向 量；()求 正 交 矩 阵 Q 和 对 角 矩 阵,使 得TQ A Q；（）求 A 及632A E，其 中 E 为 3 阶 单 位 矩 阵.【分 析】由 矩 阵 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为 3 及 矩 阵 乘 法 可 得 矩 阵 A 的 一 个 特 征 值 和 对 应的 特 征 向 量；由 齐 次 线 性 方 程 组 0 A x 有 非 零 解 可 知 A 必 有 零 特 征 值，其 非 零 解 是 0 特 征值 所 对 应 的 特 征 向 量

40、.将 A 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 正 交 化 可 得 正 交 矩 阵 Q；由TQ A Q 可得 到 A 和632A E.【详 解】()因 为 矩 阵 A 的 各 行 元 素 之 和 均 为 3，所 以1 3 11 3 3 11 3 1A，则 由 特 征 值 和 特 征 向 量 的 定 义 知，3 是 矩 阵 A 的 特 征 值，T(1,1,1)是 对 应的 特 征 向 量.对 应 3 的 全 部 特 征 向 量 为 k，其 中 k 为 不 为 零 的 常 数.又 由 题 设 知1 20,0 A A，即1 1 2 20,0 A A，而 且1 2,线 性 无关，所 以 0 是 矩

41、阵 A 的 二 重 特 征 值，1 2,是 其 对 应 的 特 征 向 量，对 应 0 的 全部 特 征 向 量 为1 1 2 2k k，其 中1 2,k k 为 不 全 为 零 的 常 数.()因 为 A 是 实 对 称 矩 阵，所 以 与1 2,正 交，所 以 只 需 将1 2,正 交.取1 1，2 12 2 11 110 12,31 2 0,61 1 12.再 将1 2,单 位 化，得1 21 2 31 21 113 621 2,03 611 123 6，令 1 2 3,Q，则1 TQ Q，由 A 是 实 对 称 矩 阵 必 可 相 似 对 角 化，得T300Q A Q.（）由()知T3

42、00Q A Q，所 以T1 1 1 1 1 13 6 2 3 3 33 1 1 11 2 1 2 10 0 1 1 13 6 6 6 60 1 1 11 1 1 1 103 6 2 2 2A Q Q.6 6 6T T T3 3 32 2 2Q A E Q Q A E Q Q A Q E 666 66332233 3 302 2 203322E，则6 6 6T3 3 32 2 2A E Q E Q E.（2 2）（本 题 满 分 1 3 分）设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为 1,1 021,0 240,Xxf x x 其 他，令 2,Y X F x y 为 二 维 随 机 变 量(

43、,)X Y 的 分 布 函 数.()求 Y 的 概 率 密 度 Yf y；()C ov(,)X Y；()1,42F.【分 析】求 一 维 随 机 变 量 函 数 的 概 率 密 度 一 般 先 求 分 布，然 后 求 导 得 相 应 的 概 率 密 度或 利 用 公 式 计 算.【详 解】（I）设 Y 的 分 布 函 数 为()YF y，即2()()()YF y P Y y P X y，则1)当 0 y 时，()0YF y；2)当 0 1 y 时，2()()YF y P X y P y X y 001 1 3d d2 4 4yyx x y.3)当 1 4 y 时，2()()1YF y P X

44、y P X y 01 01 1 1 1d d2 4 4 2yx x y.4)当 4 y，()1YF y.所 以3,0 181()(),1 480,Y Yyyf y F y yy 其 他.（I I）2 2 2 3 2C ov(,)C ov(,)()()X Y X X E X E X X E X E X E X E X，而0 21 01d d2 4 4x xE X x x，2 20 221 05d d2 4 6x xE X x x，3 30 231 07d d2 4 8x xE X x x，所 以7 1 5 2C ov(,)8 4 6 3X Y.()1,42F 21 1,4,42 2P X Y P

45、 X X 1 1,2 2 22 2P X X P X 1211 1d2 4x.（2 3）（本 题 满 分 1 3 分）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为,0 1,;1,1 2,0,xf x x 其 他,其 中 是 未 知 参 数 0 1，1 2 n,.,X X X 为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本，记 N 为 样 本值1 2,.,nx x x 中 小 于 1 的 个 数.（）求 的 矩 估 计；（）求 的 最 大 似 然 估 计【分 析】利 用 矩 估 计 法 和 最 大 似 然 估 计 法 计 算.【详 解】（）因 为 1 20 13(;)d d 1 d2E X x f x x x x x x，令32X，可 得 的 矩 估 计 为32X.（）记 似 然 函 数 为()L，则()1 1 1(1)N n NNn NL 个个.两 边 取 对 数 得l n()l n()l n(1)L N n N，令d l n()0d 1L N n N，解 得Nn 为 的 最 大 似 然 估 计.