抽象函数的单调性和奇偶性_中学教育-中考.pdf

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1、 1 抽象函数的单调性和奇偶性 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性 1.判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例 1如果奇函数f x()在区间 3 7，上是增函数且有最小值为 5，那么f x()在区间 7 3，上是 A.增函数且最小值为 5 B.增函数且最大值为 5 C.减函数且最小值为 5 D.减函数且最大值为 5 分

2、析：画出满足题意的示意图，易知选 B。例 2 偶函数f x()在(0)，上是减函数，问f x()在()，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知f x()在()，0上是增函数，证明如下：任取x x x x1 2 1 20 0 因为f x()在(0)，上是减函数，所以f x f x()()1 2。又f x()是偶函数，所以 f x f x f x f x()()()()1 1 2 2，从而f x f x()()1 2，故f x()在()，0上是增函数。2.判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x()与f x()的关系。例 3若函数y f x f x()()0与

3、y f x()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x()是什么函数。y 5 O-7-3 3 7 x-5 y O x 2 解：设y f x()图象上任意一点为 P（x y0 0，）y f x()与y f x()的图象关于原点对称，P x y()0 0，关于原点的对称点()x y0 0，在y f x()的图象上，y f xy f x0 00 0()()又y f x0 0()f x f x()()0 0 即对于函数定义域上的任意 x都有f x f x()()，所以y f x()是偶函数。二、证明单调性和奇偶性 1.证明单调性 例 4已知函数 f(x)=1)(1)(x gx g,且 f(x),g(

4、x)定义域都是 R,且 g(x)0,g(1)=2,g(x)是增函数.g(m)g(n)=g(m+n)(m、n R)求证：f(x)是 R 上的增函数 解:设 x1x2 g(x)是 R 上的增函数,且 g(x)0 g(x1)g(x2)0 g(x1)+1 g(x2)+1 0 1)(22 x g 1)(21 x g 0 1)(22 x g-1)(21 x g 0 f(x1)-f(x2)=1)(1)(11x gx g-1)(1)(22x gx g=1-1)(21 x g-(1-1)(22 x g)=1)(22 x g-1)(21 x g0 f(x1)f(x2)中数学中的一个难点因为抽象解题时思维常常受阻思

5、路难以展开而高考中会出现这一题型本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理归类大概有以下几种题型一判断单调性和奇偶性判断单调性根据函数的奇偶性单调性等有关 数且最小值为增函数且最大值为减函数且最小值为减函数且最大值为分析画出满足题意的示意图易知选例偶函数在上是减函数问在上是增函数还是减函数并证明你的结论分析如图所示易知在上是增函数证明如下任因为在上是减函数 的图象关于原点对称判断函数是什么函数解设图象上任意一点为与的图象关于原点对称关于原点的对称点在的图象上又即对于函数定义域上的任意都有所以是偶函数二证明单调性和奇偶性证明单调性例已知函数且定义域都是且是增 3 f(x)是 R 上的增函数 例

6、 5已知f x()对一切x y，满足f f x y f x f y()()()()0 0，且当x 0时，f x()1，求证：（1）x 0时，0 1 f x()；（2）f x()在 R 上为减函数。证明：对一切x y R，有f x y f x f y()()()。且f()0 0，令x y 0，得f()0 1，现设x 0，则 x 0，f x()1，而f f x f x()()()0 1 f xf x()()11 0 1 f x()，设x x R1 2，且x x1 2，则0 12 1 f x x()，f x f x x x()()2 2 1 1 f x x f x f x()()()2 1 1 1

7、f x f x()()1 2，即f x()为减函数。2.证明奇偶性 例 6已知f x()的定义域为 R，且对任意实数 x，y满足f xy f x f y()()()，求证：f x()是偶函数。分析：在f xy f x f y()()()中，令x y 1，得f f f f()()()()1 1 1 1 0 令x y 1，得f f f f()()()()1 1 1 1 0 于是f x f x f f x f x()()()()()1 1 中数学中的一个难点因为抽象解题时思维常常受阻思路难以展开而高考中会出现这一题型本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理归类大概有以下几种题型一判断单调性和奇偶

8、性判断单调性根据函数的奇偶性单调性等有关 数且最小值为增函数且最大值为减函数且最小值为减函数且最大值为分析画出满足题意的示意图易知选例偶函数在上是减函数问在上是增函数还是减函数并证明你的结论分析如图所示易知在上是增函数证明如下任因为在上是减函数 的图象关于原点对称判断函数是什么函数解设图象上任意一点为与的图象关于原点对称关于原点的对称点在的图象上又即对于函数定义域上的任意都有所以是偶函数二证明单调性和奇偶性证明单调性例已知函数且定义域都是且是增 4 故f x()是偶函数。三、求参数范围 这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代

9、数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例 7已知f x()是定义在（1 1，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a()()2 4 02，试确定a的取值范围。解：f x()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，f x()在()1 0，上是减函数，由 1 2 11 4 12aa得3 5 a。（1）当a 2时，f a f a f()()()2 4 02，不等式不成立。（2）当3 2 a时，f a f af aaaa aa()()()2 441 2 01 4 02 43 222 22解之得，（3）当2 5 a时，f a f a()()2 42 f aaaa aa()2 224

10、0 2 10 4 12 42 5 解之得，综上所述，所求a的取值范围是()()3 2 2 5，。例 8已知f x()是定义在(，1上的减函数，若f m x f m x(sin)(cos)2 21 对中数学中的一个难点因为抽象解题时思维常常受阻思路难以展开而高考中会出现这一题型本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理归类大概有以下几种题型一判断单调性和奇偶性判断单调性根据函数的奇偶性单调性等有关 数且最小值为增函数且最大值为减函数且最小值为减函数且最大值为分析画出满足题意的示意图易知选例偶函数在上是减函数问在上是增函数还是减函数并证明你的结论分析如图所示易知在上是增函数证明如下任因为在上是减

11、函数 的图象关于原点对称判断函数是什么函数解设图象上任意一点为与的图象关于原点对称关于原点的对称点在的图象上又即对于函数定义域上的任意都有所以是偶函数二证明单调性和奇偶性证明单调性例已知函数且定义域都是且是增 5 x R 恒成立，求实数m的取值范围。解：m xm xm x m x222 231 31 sincossin cos 对x R 恒成立 m xm x m x22 231sinsin cos 对x R 恒成立 m xm m x x x22 2 2311254 sinsin cos(sin)对x R 恒成立，mm mm223 115421 102为所求。四、不等式 1.解不等式 这类不等式

12、一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。例 9已知函数f x()对任意x y R，有f x f y f x y()()()2，当x 0时，f x()2，f()3 5，求不等式f a a()22 2 3 的解集。解：设x x R1 2、且x x1 2 则x x2 10 f x x()2 12，即f x x()2 12 0，f x f x x xf x x f x f xf x f x()()()()()()()2 2 1 12 1 1 12 12 中数学中的一个难点因为抽象解题时思维常常受阻思路难以展开而高考中会出现这一题型本文对抽象

13、函数的单调性和奇偶性问题进行了整理归类大概有以下几种题型一判断单调性和奇偶性判断单调性根据函数的奇偶性单调性等有关 数且最小值为增函数且最大值为减函数且最小值为减函数且最大值为分析画出满足题意的示意图易知选例偶函数在上是减函数问在上是增函数还是减函数并证明你的结论分析如图所示易知在上是增函数证明如下任因为在上是减函数 的图象关于原点对称判断函数是什么函数解设图象上任意一点为与的图象关于原点对称关于原点的对称点在的图象上又即对于函数定义域上的任意都有所以是偶函数二证明单调性和奇偶性证明单调性例已知函数且定义域都是且是增 6 故f x()为增函数，又f f f f f()()()()()3 2 1

14、 2 1 2 3 1 4 5 ff a a fa aa()()()1 32 2 3 12 2 11 322，即 因此不等式f a a()22 2 3 的解集为 a a|1 3。2.讨论不等式的解 求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例 10已知函数f x()是定义在(，1上的减函数，且对一切实数 x，不等式f k x f k x(sin)(sin)2 2恒成立，求 k的值。分析：由单调性，脱去函数记号，得 k xk x k xk xk k x2 22 22 22 211 11412 sinsin sinsin()(sin)(2)由题意知(1)(2)两式对一切x R 恒成立，则有

15、 k xk k xk2 22 21 11412941(sin)(sin)minmax 五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例 11 已知函数f x()是定义域为 R 的偶函数，x 0时，f x()是增函数，若x10，x20，且|x x1 2，则f x f x()()1 2，的大小关系是 _。分析：x x1 20 0，且|x x1 2，中数学中的一个难点因为抽象解题时思维常常受阻思路难以展开而高考中会出现这一题型本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理归类大概有以下几种题型一判断单调性和奇偶性判断单调性根据函数的奇偶性

16、单调性等有关 数且最小值为增函数且最大值为减函数且最小值为减函数且最大值为分析画出满足题意的示意图易知选例偶函数在上是减函数问在上是增函数还是减函数并证明你的结论分析如图所示易知在上是增函数证明如下任因为在上是减函数 的图象关于原点对称判断函数是什么函数解设图象上任意一点为与的图象关于原点对称关于原点的对称点在的图象上又即对于函数定义域上的任意都有所以是偶函数二证明单调性和奇偶性证明单调性例已知函数且定义域都是且是增 7 0 01 2 2 1x x x x 又x 0时，f x()是增函数，f x f x()()2 1 f x()是偶函数，f x f x()()1 1 故f x f x()()1

17、 2 六、综合问题求解 解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。例 12.设函数y f x()定义在 R 上，当x 0时，f x()1，且对任意m n，有f m n f m f n()()()，当m n 时f m f n()()。（1）证明f()0 1；（2）证明：f x()在 R 上是增函数；（3）设 A x y f x f y f()|()()()，2 21，B x y f ax by c a b c R a()|()，1 0，若A B，求a b c，满足的条件。解：（1）令m n 0得f

18、f f()()()0 0 0，f()0 0或f()0 1。若f()0 0，当m 0时，有f m f m f()()()0 0，这与当m n 时，f m f n()()矛盾，f()0 1。（2）设x x1 2，则x x2 10，由已知得f x x()2 11，因为x10，f x()11，若x10 时，x f x1 10 1，()，由f f x f x()()()01 1 中数学中的一个难点因为抽象解题时思维常常受阻思路难以展开而高考中会出现这一题型本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理归类大概有以下几种题型一判断单调性和奇偶性判断单调性根据函数的奇偶性单调性等有关 数且最小值为增函数且最大

19、值为减函数且最小值为减函数且最大值为分析画出满足题意的示意图易知选例偶函数在上是减函数问在上是增函数还是减函数并证明你的结论分析如图所示易知在上是增函数证明如下任因为在上是减函数 的图象关于原点对称判断函数是什么函数解设图象上任意一点为与的图象关于原点对称关于原点的对称点在的图象上又即对于函数定义域上的任意都有所以是偶函数二证明单调性和奇偶性证明单调性例已知函数且定义域都是且是增 8 f xf xf x f x x f x f xf x R()()()()()()()112 2 1 1 110在 上为增函数。（3）由f x f y f()()()2 21 得x y2 21 1()由f ax b

20、y c()1得ax by c 0（2）从（1）、（2）中消去y得()a b x acx c b2 2 2 2 22 0，因为A B()()()2 4 02 2 2 2 2ac a b c b，即a b c2 2 2 中数学中的一个难点因为抽象解题时思维常常受阻思路难以展开而高考中会出现这一题型本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理归类大概有以下几种题型一判断单调性和奇偶性判断单调性根据函数的奇偶性单调性等有关 数且最小值为增函数且最大值为减函数且最小值为减函数且最大值为分析画出满足题意的示意图易知选例偶函数在上是减函数问在上是增函数还是减函数并证明你的结论分析如图所示易知在上是增函数证明如下任因为在上是减函数 的图象关于原点对称判断函数是什么函数解设图象上任意一点为与的图象关于原点对称关于原点的对称点在的图象上又即对于函数定义域上的任意都有所以是偶函数二证明单调性和奇偶性证明单调性例已知函数且定义域都是且是增