一元二次不等式及其解法学案_中学教育-高考.pdf

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1、学案 34 一元二次不等式及其解法 自主梳理 1一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 _的不等式叫一元二次不等式 2二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系 判别式 b2 4ac 0 0 0)的图象 一元二次方程 ax2 bx c 0(a0)的根 有两相异实根 x1,2 b b2 4ac2a(x10 的解集 a0 x|xx2 x|x_ _ a0 x|x1x0 的解集是 R，q：1a0，则 p 是 q 的()A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 2设函数 f(x)x2 4x 6，x0，x 6，x f(1)的解集

2、是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)3 已知不等式 x2 2x 30 的解集为 A，不等式 x2 x 60 的解集是 B，不等式 x2 ax b0 的解集为(3,2)，则 y f(x)的图象是()5 当 x(1,2)时，不等式 x2 mx 40 恒成立，则 m的取值范围为 _.探究点一 一元二次不等式的解法 例 1 解下列不等式：(1)x2 2x230；(2)9 x2 6x10.变式迁移 1 解下列不等式：(1)2 x2 4x 30；(2)3x2 2x80；(3)8 x116 x2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法 例 2 已知常数 a

3、R，解关于 x 的不等式 ax2 2x a0.变式迁移 2 解关于 x 的不等式 ax2(a 1)x 10.叫一元二次不等式二次函数的图象一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相等实根没有实根有两相异实根或一元二次不等式的解集自我检测广州模拟已知关于的不等式的 是不等式的解集是那么等于厦门月考已知的解集为则的图象则不等式的解集是设函数是当时不等式恒成立则的取值范围为探究点一一元二次不等式的解法例解下列不等式变式迁移解下列不等式探究点二含参数的一元二次不等式的解 恒成立求的取值范围变式迁移关于的不等式对任意实数恒成立求实数的取值范围若不等式对一切

4、均成立试求实数的取值范围转化与化归思想的应用例分已知不等式的解集为且求不等式的解集三个二次的关系二次函数是主体一元二次探究点三 一元二次不等式恒成立问题 例 3(2011巢湖月考)已知 f(x)x2 2ax 2(a R)，当 x 1，)时，f(x)a恒成立，求 a 的取值范围 变式迁移 3(1)关于 x 的不等式4x mx2 2x 34x p 3 对一切 0 p4 均成立，试求实数 x 的取值范围 转化与化归思想的应用 例(12 分)已知不等式 ax2 bx c0 的解集为(，)，且 0，求不等式 cx2 bx a0(a0)恒成立的条件是 a0，b2 4ac0；ax2 bx c0(a0)恒成立

5、的条件是 a0，b2 4ac0.叫一元二次不等式二次函数的图象一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相等实根没有实根有两相异实根或一元二次不等式的解集自我检测广州模拟已知关于的不等式的 是不等式的解集是那么等于厦门月考已知的解集为则的图象则不等式的解集是设函数是当时不等式恒成立则的取值范围为探究点一一元二次不等式的解法例解下列不等式变式迁移解下列不等式探究点二含参数的一元二次不等式的解 恒成立求的取值范围变式迁移关于的不等式对任意实数恒成立求实数的取值范围若不等式对一切均成立试求实数的取值范围转化与化归思想的应用例分已知不等式的解集为且求不等式

6、的解集三个二次的关系二次函数是主体一元二次一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1函数 y()212log 1 x-的定义域是()A 2，1)(1，2 B 2，1(1，2)C 2，1)(1,2 D(2，1)(1,2)2(2010抚顺模拟)已知集合 P x|x 1x 10，集合 Q x|x2 x20，则 x Q是x P 的()A 充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 C充要条件 D 既不充分又不必要条件 3(2011银川模拟)已知集合 M x|x2 2 008 x 2 0090，N x|x2 ax b0，若 M N R，M N(2 009，2 010，则()A a 2 009，b

7、 2 010 B a 2 009，b 2 010 C a 2 009，b 2 010 D a 2 009，b 2 010 4若(m 1)x2(m 1)x 3(m 1)1 B m 1 C m 1 或 m a2a30，则使得(1 aix)21(i 1,2,3)都成立的 x 的取值范围是()A.0，1a1 B.0，2a1 C.0，1a3 D.0，2a3 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6 在 R上定义运算：x y x(1 y)，若不等式(x a)(x a)0，x2，x0，则 满 足 f(x)1 的 x 的 取 值 范 围 为_ 8(2011泉州月考)已知函数 f(x)的定义域为(，)，f(

8、x)为 f(x)的导函数，函数 y f(x)的图 象 如 右 图 所 示，且 f(2)1，f(3)1，则 不 等 式 f(x2 6)1 的 解 集 为_ 三、解答题(共 38 分)9(12 分)解关于 x 的不等式x ax a20(a R)叫一元二次不等式二次函数的图象一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相等实根没有实根有两相异实根或一元二次不等式的解集自我检测广州模拟已知关于的不等式的 是不等式的解集是那么等于厦门月考已知的解集为则的图象则不等式的解集是设函数是当时不等式恒成立则的取值范围为探究点一一元二次不等式的解法例解下列不等式变式迁移

9、解下列不等式探究点二含参数的一元二次不等式的解 恒成立求的取值范围变式迁移关于的不等式对任意实数恒成立求实数的取值范围若不等式对一切均成立试求实数的取值范围转化与化归思想的应用例分已知不等式的解集为且求不等式的解集三个二次的关系二次函数是主体一元二次自主梳理 1 2 2.b2a b2a R 自我检测 1 C 2.A 3.A 4.D5(，5 解析 记 f(x)x2 mx 4，根据题意得 m2 160，f，f，解得 m 5.课堂活动区 例 1 解(1)两边都乘以 3，得 3x2 6x 20，且方程 3x2 6x 2 0的解是 x1 133，x2 133，所以原不等式的解集是 x|1 33x133(

10、2)不等式 9x2 6x10，其相应方程 9x2 6x 1 0，(6)249 0，上述方程有两相等实根 x13，结合二次函数 y 9x2 6x 1 的图象知，原不等式的解集为 R.变式迁移 1 解(1)不等式 2x2 4x 30 可转化为 2(x 1)2 10，2x2 4x 30，且方程 3x2 2x 8 0 的解是 x1 2，x243，所以原不等式的解集是(，2 43，)(3)原不等式可转化为 16x2 8x10，即(4 x 1)20，原不等式的解集为 14 例 2 解 上述不等式不一定为一元二次不等式，当 a 0 时为一元一次不等式，当 a0 时为一元二次不等式，故应对 a 进行讨论，然后

11、分情况求解(1)a 0 时，解为 x0.(2)a0 时，4 4a2.当 0，即 0a1 时，方程 ax2 2x a 0 的两根为1 1 a2a，不等式的解集为 x|1 1 a2ax1 1 a2a(2)当 0，即 a 1 时，x；当 1 时，x.(3)当 a0，即 1a0 时，不等式的解集为 x|x1 1 a2a 0，即 a 1时，不等式化为(x 1)20，解为 x R且 x 1.(3)0，即 a 1 时，x R.综上所述，当 a1 时，原不等式的解集为；当 0a1 时，解集为 x|1 1 a2ax0；当 1a0 时，解集为 x|x1 1 a2a；当 a 1 时，解集为 x|x R且 x 1；当

12、 a1.当 a0 时，原不等式变形为(x1a)(x 1)1 时，解得1ax1；a 1 时，解得 x；0a1 时，解得 1x1a.当 a0，1a1，解不等式可得 x1.综上所述，当 a0 时，不等式解集为(，1a)(1，)；当 a 0 时，不等式解集为(1，)；当 0a1 时，不等式解集为(1a，1)叫一元二次不等式二次函数的图象一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相等实根没有实根有两相异实根或一元二次不等式的解集自我检测广州模拟已知关于的不等式的 是不等式的解集是那么等于厦门月考已知的解集为则的图象则不等式的解集是设函数是当时不等式恒成立则的

13、取值范围为探究点一一元二次不等式的解法例解下列不等式变式迁移解下列不等式探究点二含参数的一元二次不等式的解 恒成立求的取值范围变式迁移关于的不等式对任意实数恒成立求实数的取值范围若不等式对一切均成立试求实数的取值范围转化与化归思想的应用例分已知不等式的解集为且求不等式的解集三个二次的关系二次函数是主体一元二次例 3 解 方法一 f(x)(x a)2 2 a2，此二次函数图象的对称轴为 x a.当 a(，1)时，f(x)在 1，)上单调递增，f(x)min f(1)2a 3.要使f(x)a 恒成立，只需 f(x)min a，即 2a3 a，解得3 a0，不等式4x mx2 2x 32 同解于 4

14、x m 0.要使原不等式对任意实数 x 恒成立，只要 2x2 8x 6 m 0对任意实数 x 恒成立 0，即 64 8(6 m)0，整理并解得 m 4x p 3，(x 1)p x2 4x 30.令 g(p)(x 1)p x2 4x 3，则要使它对 0 p4 均有 g(p)0，只要有 gg.x3 或 x0，x211.x1或 x 1，2 x 2.2 x 1 或1x 2.2 D 化简得 P x1，Q x 2，或 x1，集合 P，Q之间不存在包含关系，所以 x Q是 x P 的既不充分又不必要条件 3 D 化简得 M x|x2 009，由 M N R，M N(2 009,2 010 可知 N x|1

15、x2 010，即 1,2 010 是方程 x2 ax b 0 的两个根 所以 b12 010 2 010，a 1 2 010，即 a 2 009.4 C 当 m 1 时，不等式变为 2x 60，即 x3，不符合题意 当 m 1 时，由题意知 m 10，m 2 m m，化简，得 m 10，解得 m 1311.5 B(1 aix)21，即 a2ix2 2aix0，即 aix(aix 2)0，这个不等式可以化为 xx2ai0，即 0 x2ai，若对每个都成立，则2ai应最小，即 ai应最大，也即是 0 x2a1.6(12，32)解析 由题意知，(x a)(x a)1(x a)(1 x a)0.因上式

16、对 x R都成立，所以 1 4(a2 a 1)0，即 4a2 4a 30.所以12a0 时，由 log2x1，得 x2；当 x0 时，由 x21，得 x 1.综上可知，x 的取值范围为(，1)(2，)8(2,3)(3，2)解析 由导函数图象知当 x0，即 f(x)在(，0)上为增函数；当 x0 时，f(x)1 等价于 f(x2 6)f(2)或 f(x2 6)f(3)，即 2x260 或0 x2 63，解得 x(2,3)(3，2)9解 x ax a20(x a)(x a2)0，(2 分)当 a 0 或 a 1 时，原不等式的解集为；(4 分)当 a1 时，aa2，此时 axa2；(7 分)叫一元

17、二次不等式二次函数的图象一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相等实根没有实根有两相异实根或一元二次不等式的解集自我检测广州模拟已知关于的不等式的 是不等式的解集是那么等于厦门月考已知的解集为则的图象则不等式的解集是设函数是当时不等式恒成立则的取值范围为探究点一一元二次不等式的解法例解下列不等式变式迁移解下列不等式探究点二含参数的一元二次不等式的解 恒成立求的取值范围变式迁移关于的不等式对任意实数恒成立求实数的取值范围若不等式对一切均成立试求实数的取值范围转化与化归思想的应用例分已知不等式的解集为且求不等式的解集三个二次的关系二次函数是主体一元

18、二次当 0aa2，此时 a2xa.(10 分)综上，当 a1 时，原不等式的解集为 x|axa2；当 0a1 时，原不等式的解集为 x|a2xa；当 a 0 或 a 1 时，原不等式解集为.(12 分)叫一元二次不等式二次函数的图象一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相等实根没有实根有两相异实根或一元二次不等式的解集自我检测广州模拟已知关于的不等式的 是不等式的解集是那么等于厦门月考已知的解集为则的图象则不等式的解集是设函数是当时不等式恒成立则的取值范围为探究点一一元二次不等式的解法例解下列不等式变式迁移解下列不等式探究点二含参数的一元二次不等式的解 恒成立求的取值范围变式迁移关于的不等式对任意实数恒成立求实数的取值范围若不等式对一切均成立试求实数的取值范围转化与化归思想的应用例分已知不等式的解集为且求不等式的解集三个二次的关系二次函数是主体一元二次