精品解析：江苏省南京航空航天大学附属高级中学2021-2022学年高一下学期3月学情调研考试数学试题（解析版）.docx

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1、南航附中21-22学年度第二学期高一年级三月学情调研考试数学试题考试时间：120分钟 总分：150分 2022.3一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 已知向量，点，则点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点的坐标为，则，再结合可求出的值，从而可求得点的坐标【详解】解：设点的坐标为，则，因为，所以，得，所以点的坐标为，故选：B2. 已知，若，则（ ）A. B. C D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，再利用两角差的余弦公式，即可得到答案.【详解】解：，.故选：D.3. 在中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，则（ ）A.

2、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出角，再利用正弦定理求解【详解】由题且由正弦定理得故选：C4. 已知、为单位向量，且满足，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由结合平面向量数量积的运算性质可求得与的夹角.【详解】由已知可得，可得，所以，故.故选：D.5. 在中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若，则此三角形外接圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再根据正弦定理求出三角形外接圆的半径，即可求解.【详解】解：，由余弦定理得：，解得：，由正弦定理得三角形外接圆的半径为：，即三角形外接圆的面积为：.

3、故选：D.6. 已知点满足，则点依次是的（ ）A. 重心外心垂心B. 重心外心内心C. 外心重心垂心D. 外心重心内心【答案】A【解析】【分析】将条件分别化简，然后分别根据外心，重心，垂心和内心的定义，判断结论【详解】解：若，则，取的中点，则，所以，所以点N是AB中线上的点，同理可得N也是AC、BC中线上的点，所以是的重心因为且，所以O到顶点，的距离相等，所以为的外心由得，即，所以同理可证，所以为的垂心故选：A7. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用两角和与差的正弦公式，诱导公式化简已知等式可得，进而利用诱导公式，二倍角公式化简所求即可求解【详解】因为，

4、所以，故选：D8. 已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先对方程化简，可把原问题转化为函数与的图像在上有两个交点，然后求出的单调区间和值域，从而可求出答案【详解】解：由，得，令，所以将关于x的方程在上有两个不同的实数根，转化为函数与的图像在上有两个交点，因为，所以，所以当时，递减，则，当时，递增，则，所以要函数与的图像在上有两个交点，必须满足，故选：D二、多选题（本大题共4分，共计20分，错选不得分，漏选得2分）9. 下列各式中值为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用二倍角正弦公式即可判

5、断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；利用两角和的余弦公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D；【详解】对于选项A：由二倍角正弦公式可得，故选项A正确；对于选项B：由二倍角余弦公式，故选项B不正确；对于选项C：由两角和的余弦公式；故选项C正确；对于选项D：由两角差的正切公式可得：故选项D正确.故选：ACD10. 已知向量，满足，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】先利用平面向量的数量积运算得到，即可得到的值，再利用平面向量的数量积运算得到，最后求解，即可判断选项.【详解】，故B正确，不成立，故C不正确，又，故D正确，又，与的夹角为，故A

6、不正确.所以BD正确.故选：BD.11. 在中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，下列正确的命题为（ ）A 若，则；B. 若，则或120C. 若，则为等腰三角形D. 若的面积为，则【答案】ABD【解析】【分析】对于A：根据正弦定理由可得出，由此可判断；对于B：根据正弦定理可得，再由角的范围可判断；对于C：根据正弦定理得，根据正弦的二倍角公式可得，由此可判断；对于D：根据余弦定理和三角形的面积公式可得，根据角的范围可判断.【详解】对于A：根据正弦定理由可得出，所以，故A正确；对于B：根据正弦定理得，即，解得，又，所以或120，故B正确；对于C：根据正弦定理由得，所以，所以或，所以或，所以为等

7、腰三角形或直角三角形，故C不正确；对于D：因为，所以，即，又，所以，故D正确，故选：ABD.12. 定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的向量，向量，令，则下列说法正确的是（ ）A. 若与共线，则B. C. 对任意的，有D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项的正误；利用平面向量的坐标运算可判断BCD选项的正误.【详解】对于A，若与共线，则，A对；对于B，B错；对于C，C对；对于D，D对.故选：ACD.三、填空题（本大题共4题，共计20分）13. 化简： _.【答案】【解析】【分析】根据向量的加减法运算化简即可.【详解】由向量的加减法运算知，故答案为：1

8、4. 已知，则_【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式15. 如图，在矩形中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值为_；【答案】【解析】【分析】以为轴建立直角坐标系，把向量运算用坐标表示【详解】解：建立如图所示的直角坐标系：根据题意得：，则，设，则，即，又，故答案为：16. 在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知若，则_【答案】.【解析】【详解】试题分析：由题意知，sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，sinAsinB+sinBsinC=2由正弦定理可得 ，即 a+c=2b，c=2b-a，C= ，由余弦定理可得 ，可得 考点：本

9、题考查正弦定理，余弦定理的应用，以及二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数中的公式四、解答题17. 如图，在中，是边上一点，.（1）求的大小；（2）求的长.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）直接根据余弦定理可求得结果；（2）根据正弦定理可求得结果.【详解】（1）在中，由余弦定理可得：.（2），在中，由正弦定理，得，即，解得.18. 已知向量、在同一平面上，且.（1）若，且，求向量的坐标；（2）若，且与垂直，求的值.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用平面向量的模长公式可求得实数的值，即可得出向量的坐标；（2）求出向量、的坐标，利用平面向量垂直的坐标表

10、示可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】（1）因为，设，其中，则，解得，因此，或；（2）因为，则，因为，则,解得.19. （1）已知，求的值.（2）在，这三个条件中任选一个填在下面的横线中，并解决该问题.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_，求的面积.【答案】（1），（2）所选条件见解析，的面积为【解析】【分析】（1）由求出，再求的值，从而可求出的值（2）若选，由余弦定理可求出角，再由正弦定理求出，由两角和的正弦公式求出，从而可求出三角形的面积，若选，则由结合已知条件可求出角，再由正弦定理求出，由两角和的正弦公式求出，从而可求出三角形的面积，若选，由，得，从而可求出角，再由

11、正弦定理求出，由两角和的正弦公式求出，从而可求出三角形的面积，【详解】解：因，所以，所以，所以，因为，所以，所以，（2）若选，则由，得，所以由余弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理得，即，解得，因为，所以，所以，若选，因为，所以，因为，所以，所以由正弦定理得，即，解得，因为，所以，所以，若选，则由，得，所以，因为，所以，所以，所以由正弦定理得，即，解得，因为，所以，所以，20. 已知函数.（1）求函数的最小值和最小正周期；（2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若，求a，b的值.【答案】（1）；（2）a1，b2【解析】【分析】（1）将解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后

12、再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域得出的最小值，找出的值，代入周期公式，即可求出的最小正周期；（2）由（1）确定的解析式及0，求出sin（2C）1，由C的范围，求出2x的范围，利用特殊角的三角函数值及正弦函数的图象求出C的度数，由sinB2sinA，利用正弦定理得到b2a，再利用余弦定理得到c2a2+b22abcosC，将c与cosC的值代入得到关于a与b的方程，记作，联立即可求出a与b的值【详解】（1）sin2xcos2xsin2xsin2xcos2x1sin（2x）1，1sin（2x）1，的最小值为2，又2，则最小正周期是T；（2）由s

13、in（2C）10，得到sin（2C）1，0C，2C，2C，即C，sinB2sinA，由正弦定理得b2a，又c，由余弦定理，得c2a2+b22abcos，即a2+b2ab3，联立解得：a1，b221. 如图，在扇形中，半径.在弧上取一点C，向半径、分别作垂线，与线段、分别相交于D、E，得到一个四边形.（1）设，将四边形的面积S表示成x的函数；（2）求四边形的面积S的最大值.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）利用直角三角形面积公式得到，然后利用二倍角公式，辅助角法化简求解.（2）由（1）知：，利用正弦函数的性质求解.【详解】（1），要得到四边形则.（2）由（1）知：，因为所以，所以当，

14、即时，四边形的面积S的最大值为.【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22. 如图，在中，D是BC中点，H是AD的中点，过H作一条直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若，.（1）若，求的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）以向量为基底表示出，即可求解；（2）根据与 共 线 ，得到存在使 ，用 表示出，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：（1）D是BC的中点，H是AD的中点，故，又，；（2），与共 线 ，存 在使 ，即，即 ，当且仅当“”时，即“”时 取 等 号，故 的最小值为：.第18页/共18页学科网（北京）股份有限公司