(电动力学)电、偶极天线的辐射功率报告.docx

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1、电、磁偶极天线的辐射功率、2023 年 11 月 25 日i名目1 电偶极辐射11.1 辐射场的一般公式推导11.2 矢势的开放式21.3 电偶极辐射：31.4 辐射能流辐射功率52 磁偶极辐射62.1 高频电流分布的磁偶极矩62.2 磁偶极辐射功率83 天线辐射93.1 天线上的电流分布93.2 半波天线辐射功率10参考文献 .- 1 -摘要电磁波是从交变运动的电荷系统辐射出来的。在宏观情形电磁波由载有交变电流的天线辐射出来;在微观情形，变速运动的带电粒子导致电磁波的辐射。当区域线度l l 时辐射功率为(ll )2 数量级或更小，因此，要得到较大的辐射功率，必需使天线长度至少到达与波长同数量

2、级，最常用的天线是半波天线，这种天线的长度约为半波长。本文先争论电偶极子、磁偶极子辐射功率引出常用的半波天线的辐射功率。关键词：半波天线，电偶极子，磁偶极子，辐射功率1 电偶极辐射1.1 辐射场的一般公式推导当交变电流分布给定时，计算辐射场的根底是推迟势公式J(x,t - r )10mA(x,t) = 4p0 Vc dVr(1-1)假设电流 J 是肯定频率的交变电流，有J(x,t) = J(x)e-iwt(1-2)代入(1-1)式中得：0A(x, t) = m4p J (x)e(kr -wt ) dV rV(1-3)式中k = wc为波数，令A(x,t) = A(x)e-iwt可得A(x) =

3、mJ (x)eikr dV 04pr(1-4)V在(1-3)式和(1-4)式中，因子 e ikr是推迟作用因子，它表示电磁波传至场点时有相位滞后kr 。电荷密度r 与电流密度 J 由电荷守恒定律相联系，在肯定频率的交变电流情形中有iwr= J(1-5)由此，只要电流密度 J 给定，则电荷密度r 也自然确定，其激发的标势j 也跟着确定。因此，在这情形下，由矢势A 的公式(1-4)就可以完全确定电磁场。磁场 B 可直接由 A 求出：B = A(1-6)算出 B 后，电场 E 可由麦克斯韦方程求出。在电荷分布区外面， J = 0 ，由真空中的麦克斯韦方程 B = m eE = - iw E00 tc

4、 2得：E = Bick(1-7)1.2 矢势的开放式在矢势公式(1-4)中，我们留意到存在三个线度:电荷分布区域的线度l ，它打算积分区内 x 的大小;波长l = 2p k 以及电荷到场点的距离 r 。我们争论分布于一个小区域内的电流所产生的辐射。所谓小区域是指它的线度l 远小于波长l 以及观看距离r ，即l l , l r(1-8)至于r 和l 的关系，可以区分三种状况（1） 近区r l三个区域内场的特点是不同的，在近区内kl 1，推迟因子eikr 1 。因而场保持恒定场的主要特点，即电场具有静电场的纵向形式，磁场也和恒定场相像。在远区内，电磁场变为横向的辐射场。感应区是一个过渡区域。实际

5、上， 通常是在离放射系统远处接收电磁波的，对这类问题需要计算远场，由远场可定出辐射功率和角分布(方向性)。但是，假设要争论场对电荷系统的反作用(辐射阻抗)以及几个靠近的放射系统之间的相互影响时，必需计算近场和感应场。我们在这里主要争论远区的场。选坐标原点在电荷分布区域内，则x 的数量级为l 。R 表示由原点到场点 x的距离(R = x )， r 为由源点 x 到 x 的距离。有r R - e x(1-9)Re 为沿 R 方向的单位矢量。由条件(1-8)式，可以把A 对小参数 xR 和 xlR开放，在计算远场时，只保存1 R 的最低次项，而对 x l 的开放则保存各级项。把(1-9)式代人(1-

6、4)式得= m J (x)eik (R-eRx)0A(x)4pVR - eR xdV(1-10)由于我们只保存1 R 的最低次项，所以在分母中可略去-eR x 项，但是相因于中的-eR x 不应略去，这是由于这项奉献一个相因子RRe-ike x ” = e-i 2p e x” l所以这里涉及的是小参数 xl 而不是 xR ，相位差2p eR无视的，所以在相因子开放式中我们保存 x / l 的各级项。 x / l 一般是不能把(1-10)式中的相因子对keR x开放得A(x) =m eikR0J (x)(1- ike x +L )dV (1-11)4p RR下面我们会看到开放式中各项对应于各级电

7、磁多极辐射。1.3 电偶极辐射：现在我们争论开放式的第一项m eikR 0A(x) =4p RJ (x )dVV(1-12)先看电流密度体积分的意义。电流是由运动带电粒子组成的。设单位体职内有n 个带电荷量为q ，速度为u ，的粒子，则它们各自对电流密度的奉献为n q u ，iiii i i因此J = n q ui i ii式中求和号表示对各类带电粒子求和，上式也等于对单位体积内全部带电粒子的qu 求和，因此 J (x)dV = qV式中求和号表示对区域内全部带电粒子求和，但 q =d qx =dp = p&dtdt式中 p 是电荷系统的电偶极矩，因此 J (x)dV = p&V(1-13)由

8、此可见，(1-12)式代表振荡电偶极矩产生的辐射m eikR0A(x) =4pR p&(1-14)在计算电磁场时，需要对 A 作用算符 。由于我们只保存1R 的最低次项， 因而算符 不需作用到分母的 R 上，而仅需作用到相因子eikR上，作用结果相当于代换 ikeR -iwt(1-15)由此得辐射场B = A =im k0eikRe p&=1eikR &p&e4p RR4pe0c3RR(1-16)E = ic B = cB e=eikR( &p& e) ekR4pe0c2 RRR假设取球坐标原点在电荷分布区内，并以 p 方向为极轴，则由上式，B 沿纬线上振荡， E 沿经线上振荡，有B = E

9、=14pe c3R014pe c2 R0&p&eikR sinqef&p&eikR sinqeq(1-17)磁感线是围绕极轴的圆周，B 总是横向的，电场线是经面上的闭合曲线。由于在空间中 E = 0 ， E 线必需闭合，但 E 不行能完全横向。只有在路去1 R 高次项后， E 才近似为横向。即电偶极辐射场才是空间中的 TEM 波。在辐射区电磁场 : 1 R ，能流: 1 R2 ，对球面积分后总功率与球半径无关，这就保证电磁能量可以传播到任意远处。1.4 辐射能流辐射功率在辐射问题的实际应用中，最主要的问题是计算辐射功率和辐射的方向性。这些都可以由平均能流密度 S 求出。所以电偶极辐射的平均能流

10、密度1cRS = 2 Re(E* H ) = 2m Re(B* e0) B=q(1-18)c=| B |2 e| &p&|2sin2e2mR032p 2ec3 R2R0因子sin2 表示电偶极辐射的角分布，即辐射的方向性。在q = 90o 的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向(q = 0o 和q = 180o )没有辐射。把S 对球面积分即得总辐射功率 P 。由(1-18)式，有P = | S |R2 d=| &p&|2 32p 2e c30 sin 2 q d(1-19)=1| &p&|24pe3c30由此看出，假设保持电偶极矩振幅不变，则辐射功率正比于频率w 四次方。频率变高时，辐射功率

11、快速增大。2 磁偶极辐射2.1 高频电流分布的磁偶极矩现在我们计算辐射场矢势 A 开放式(1-11)其次项A(x) =-ik m0eikRJ (x)(e x)dV 4p RRV(2-1)当电流分布的电偶极项(1-13)式为零时，这项变为主要项。以下我们看出，(2-1)式代表磁偶极矩和电四极矩产生的辐射。在恒定状况，我们知道小区域内的电荷分布激发电多极场，电流分布激发磁多极场。在交变情形中，由于电流一般不闭合，电流分布往往与电荷分布相联系， 由电荷守恒定律有iwr= J(2-2)因此，一般来说(2-2)式包括电荷分布的奉献和磁矩分布的奉献，我们需要把两者分别开来。图 2-1图 2-1 表示两种不

12、同的电流分布。在图(a)所示的线圈中，当各点上的电流以一样振幅和一样相位振荡时，每一时刻都有 J = 0 ，这类电流分布是闭合的，线圈上不带净电荷r ，因此线圈上的振荡电流所产生的辐射是纯磁多极辐射。图 2-1(b)表示四个导体球的体系，它们用细导线相连。当导线上有如图所示的振荡电流时，在四个导体上交替消灭正负电荷，因而这体系有振荡电四板矩，它产生电四极辐射，在一般情形下，给定电流分布可以同时有电多极辐射和磁多极辐射。现在我们把(2-1)式中的积分分别为磁矩的奉献和电四极矩的奉献，把被积函数写为J(eR x) = eR xJxJ 是一个张量，我们把它分解为对称局部和反对称局部：xJ =1 (x

13、J + J x) + 1 (xJ - J x)22因而(2-1)式中的积分可以写为1 (e x)J + (e J ) xdV + 1 (e x)J - (e J ) xdV 2RR2RR(2-3)先看其次项，由于(e x)J - (eRR J )x = -eR( x J )因而(2-3)式其次项为-e 1 x J dV = -e mR2R(2-4)m 是体系的磁矩，因此这项导致的辐射是磁偶极辐射。再看(2-3)式第一项，把它写为对全部带电粒子求和，得1 (e2R x ”)J ”+ (eR J ”)x ” dV ”= 1 q(e2R x ”) ”+ (eR ”)x ”式中u 为带电粒了的速度，由

14、于 = dx dt ，因而上式可写为d 1 q (e x)x = e d 1 qxxdt 2RRdt 21dr1r&(2-5)=e=e6Rdt6R式中是体系的电四极矩。r = 3qxx(2-6)代入(2-4)和(2-5)式得ik meikR 1r&A(x) = -0 -e m +e(2-7)4p RR6R第一项为哪一项磁偶极辐射势，其次项是电四极矩辐射势。由此可见，磁偶极辐射和电四极辐射是在 A 的开放式同一级项中消灭的。在图 2-1(b)所示的体系中，假设导体所在平面为 xy 面，则这体系的电四极矩有重量。xy2.2 磁偶极辐射功率先计算(2-7)式中的磁偶极辐射项：ik meikR0A(

15、x) =4p Re mR(2-8)辐射区的电磁场为B = A = ike ARm= k 20eikR(e m) e4p RRRm eikR(2-9)= 0 (m& e4p c2 RR) eRm eikRp0E = cB eR= - (m& e )4cRR把(2-9)式和电偶极辐射场(1-16)式比较，可见由电偶极辐射场作以下代换：mp cE cB cB - E(2-10)即得磁偶极辐射场，这代换反映麦克斯韦方程组的电磁对称性，在自由空间中，麦氏方程组对变换E B, cB -E 是对称的，假设电磁场E( x, t), B( x, t) 是麦克斯韦方程组的解，则代换后的电磁场也是麦克斯韦方程组的解

16、。磁偶极辐射的能流密度为m w4 m 20S =32p 2c3 R2sin2 qeR(2-11)式中m 为磁矩的振幅，q 为极角，总辐射功率为qm w4 m02P =12pc3(2-12)3 天线辐射3.1 天线上的电流分布当天线长度与波长入同级时，不能用开放式 (1-11)，而必需直接用公式(1-4) 计算。用此式进展计算时，首先要知道天线上的电流密度J (x)。由于天线上的电流是受到场作用的，因此这个问题的彻底解决要求把天线外面的场和天线上的电流作为相互作用的两个方面，用天线外表上的边值关系联系起来，作为边值问题来求解。近年来所用的很多特别外形的天线都需要这样来求解，这类问题的理论分析往往

17、是比较简单的。但是，某些外形的天线可以用较简洁的方法导出近似电流分布，下面我们分析瘦长直线天线上电流分布的形式。取天线沿 z 轴，天线外表上的电流J 沿 z 轴方向，因而 A 只有 z 重量，由洛伦兹条件和 A + 1 j = 0c2 t(3-1)tjAE = -zz - z(3-2)设天线为抱负导体，在天线外表上，电场切向重量Ez= 0 ，因而在天线外表上 A 满足一维波动方程z2 Az -1 2 Az = 0(3-3)z 2c2t 2矢势 A 与天线电流的关系是推迟势公式0A(x) = m4p3.2 半波天线辐射功率 J (x” )eikrrVdV ”(3-4)设有中心馈电的直线状天线，天

18、线上的电流近似为驻波形式，两端为波节。设天线总长度为l ，电流分布为I sin k ( l - z),0 z lI (z) = 022I sin k ( l+ z), - l z 0 022假设l = l2 ，上式化为I (z) = I0cos kz,| z | l4(3-5)在矢势公式中，把J ( x)dV 改为 Idl ，并把(3-5)式公式代入，得mzA ( x) = 4p0l eikr 4I-lr04coskzdz(3-6)计算远场时，令r = R - z cosq其中 R 为原点到场点的距离，取1 R 最低次项时，分母中的r 可代为 R 计算可得A(x) =m I eikR0 0pc

19、os(2cosq)e(3-7)2p kRsin2 qz由此算出辐射区的电磁场B( x) = -im I eikR0 0pcos(2cosq)e2p Rsinqfp2cos(cosq)(3-8)E( x) = cB e= -im cI0eikR0e辐射能流密度为R2p Rsinqqpcos2 (cosq)2S = 1 Re(E *H ) =m cI 200e(3-9)28p 2 R2sin2 qR辐射角由因子pcos2 (cosq) 2sin2 q确定。它是偶极辐射角分布相像，但较集中于q = 90o平面上。总辐射功率P = 蜒 | S | R2 dW =m cI 200p cos2 ( 2co

20、sq)dW8p 2pcos2 (cosq)sin2 qm cI 2=00p2dq)+令u = cosq 积分化为4p0sinq00m cI 2p 1 (1+ cospu11 du16-1 1 + u1 - u 其次项括号内两项奉献相等，上式变为m cI 2001 1+ cospu du再令u = p (1+ u )，上式变为8p-11+ um cI 2002p 1- cosudu = mcI 20ln (2pg )- Ci (2p )08p0u8p式中lng = 0.577L 为欧拉常数， Ci (x)为积分余弦函数，定义为Ci (x)= - cosuduxuCi (x)的值可查表求出，结果得m cI 2pP = 2.44008(3-10)参考文献1 郭硕鸿.电动力学M.北京：高等教育出版社.2023.6.第三版。2 梁灿彬.电磁学M.北京：高等教育出版社.1981。3 杨宪章.电磁场原理M.北京：高等教育出版社 1985。4 赵海军.电偶极子天线的辐射电阻J.现代电子技术2023 年第 21 期.74-75 页。- 1 -