2023学年度北京市西城区九年级(上)期末数学试卷.docx

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1、2023-2023 学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题共 8 小题.1. 在抛物线 yx24x5 上的一个点的坐标为A0，4B2，0C1，0D1，0 2在半径为 6cm 的圆中，60的圆心角所对弧的弧长是AcmB2cmC3cmD6cm 3将抛物线 yx2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解析式为 Ayx+32+5 Byx32+5 Cyx+52+3 Dyx52+3 42023 年是紫禁城建成 600 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以放开的紫禁城大门和大门内的

2、石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，假设标记出图 1 中大门的门框并画出相关的几何图形图 2，我们觉察设计师奇异地使用了数学元素无视误差，图 2 中的四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”是位似图形，点 O 是位似中心，点 A”是线段 OA 的中点，那么以下结论正确的选项是 A. 四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的相像比为 1：1B. 四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的相像比为 1：2C. 四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的周长比为 3：1D. 四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的面积比为 4：15. 如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，假

3、设CDB32，则ABC 等于A68B64C58D326. 假设抛物线 yax2+bx+ca0经过 A1，0，B3，0两点，则抛物线的对称轴为Ax1Bx2Cx3Dx4 7近年来我国无人机产业迅猛进展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从 2023 年底至 2023 年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44 万人增加到约 6.72 万人假设设 2023 年底至 2023 年底， 全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于 x 的方程为A2.441+x6.72 C2.441+x26.728. 现有函数 yB2.441+

4、2x6.72D2.441x26.72假设对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 xm 时，yn，那么实数 a 的取值范围是A5a4B1a4C4a1D4a5二、填空题共 8 小题.9. 假设正六边形的边长为 2，则它的半径是10. 假设抛物线 yax2a0经过 A1，3，则该抛物线的解析式为11. 如图，在RtABC 中，C90，AC6，AB9，则sinB12. 假设抛物线 yax2+bx+ca+0的示意图如以下图，则 a0，b0，c0填“”，“”或“”13. 如图，AB 为O 的直径，AB10，CD 是弦，ABCD 于点 E，假设 CD6，则 EB14. 如图，PA，PB 是O 的两条切线

5、，A，B 为切点，假设 OA2，APB60，则 PB15. 放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小制作：把钻有假设干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A，B，C，D 处连接起来，使得直尺可以围着这些点转动，O 为固定点，ODDACB，DCABBE，在点A，E 处分别装上画笔画图：现有一图形M，画图时固定点O，把握点A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此时点 E 处的画笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N原理：假设连接 OA，OE，可证得以下结论：ODA 和OCE 为等腰三角形，则DOA 180ODA，COE 180；四边形 ABCD 为平行四边形理由是 ；DOACOE，于是可得 O，A

6、，E 三点在一条直线上；当 时，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 倍得到的16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P4，3，O 经过点 P点 A，点 B 在 y 轴上， PAPB，延长 PA，PB 分别交O 于点 C，点 D，设直线 CD 与 x 轴正方向所夹的锐角为 （1） O 的半径为 ；（2） tan 三、解答题共 52 分，第 17、18、2022 题每题 5 分，第 19 题 6 分，第 2325 题每题 5 分17计算：2sin60tan45+cos230 18关于 x 的方程 x2+2x+k40（1） 假设方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；

7、（2） 假设 k1，求该方程的根19. 借助网格画图并说理：如以下图的网格是正方形网格，ABC 的三个顶点是网格线的交点，点 A 在 BC 边的上方，ADBC 于点 D，BD4，CD2，AD3以BC 为直径作O，射线DA 交O 于点 E，连接 BE，CE（1） 补全图形；（2） 填空：BEC，理由是；（3） 推断点 A 与O 的位置关系并说明理由；4BACBEC填“”，“”或“”20. 二次函数 yax2+bx+ca0的图象经过3，0点，当x1 时，函数的最小值为4（1） 求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2） 直线 xm 与抛物线 yax2+bx+ca0和直线 yx3 的交点分别为点 C

8、，点D，点 C 位于点 D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围21. 如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点 D 在O 外，BCDA，OD 交O 于点 E（1） 求证：CD 是O 的切线；（2） 假设 CD4，AC2.7，cosBCD，求 DE 的长22. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在 AB 边上，BE1，F 为 BC 边的中点将正方形截去一个角后得到一个五边形 AEFCD，点 P 在线段 EF 上运动点 P 可与点 E，点F 重合，作矩形 PMDN，其中 M，N 两点分别在 CD，AD 边上设 CMx，矩形 PMDN 的面积为 S（1） DM用含 x 的式子表

9、示，x 的取值范围是；（2） 求 S 与 x 的函数关系式；（3） 要使矩形 PMDN 的面积最大，点 P 应在何处？并求最大面积23. 抛物线 y x2+x（1） 直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标；（2） 该抛物线经过 A3n+4，y1，B2n1，y2两点假设 n5，推断 y1 与 y2 的大小关系并说明理由；假设 A，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且 y1y2，直接写出 n 的取值范围24. 在 RtABC 中，ACB90，ABC30，BC 将ABC 绕点 B 顺时针旋转 0120得到A”BC”，点 A，点 C 旋转后的对应点分别为点 A”，点 C”（1） 如图 1，

10、当点 C”恰好为线段 AA”的中点时，AA”；（2） 当线段 AA”与线段 CC”有交点时，记交点为点 D在图 2 中补全图形，猜测线段 AD 与 A”D 的数量关系并加以证明；连接 BD，请直接写出 BD 的长的取值范围25. 对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d， 点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，假设 d1d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一个“等距点”在平面直角坐标系 xOy 中，点 A6，0，B0，21在 R3，0，S2，0，T1，（2） 直线 y2三点中，点 A 和点 B 的等距点是；假设点 A 和

11、直线 y2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为；假设直线 ya 上存在点 A 和直线 y2 的等距点，求实数 a 的取值范围；（3） 记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：yx，以原点 O 为圆心作半径为 r 的O假设O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点m0，n0，当 mn 时，求 r 的取值范围参考答案一、选择题共 24 分，每题 3 分1. 在抛物线 yx24x5 上的一个点的坐标为A0，4B2，0C1，0D1，0 解：当 x0 时，y5，因此0，4不在抛物线 yx24x5，当 x2 时，y4859，因此2，0不在抛物线 y

12、x24x5 上， 当 x1 时，y1458，因此1，0不在抛物线 yx24x5 上， 当 x1 时，y1+450，因此1，0在抛物线 yx24x5 上， 应选：D2. 在半径为 6cm 的圆中，60的圆心角所对弧的弧长是A. cm解：弧长为：B. 2cm2cmC. 3cmD6cm应选：B3. 将抛物线 yx2 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，所得抛物线的解析式为Ayx+32+5Byx32+5Cyx+52+3Dyx52+3解：将抛物线 yx2 先向右平移 3 个单位长度，得：yx32； 再向上平移 5 个单位长度，得：yx32+5，应选：B42023 年是紫禁城建成 60

13、0 年暨故宫博物院成立 95 周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品图 1 所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以放开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，假设标记出图 1 中大门的门框并画出相关的几何图形图 2，我们觉察设计师奇异地使用了数学元素无视误差，图 2 中的四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”是位似图形，点 O 是位似中心，点 A”是线段 OA 的中点，那么以下结论正确的选项是 A. 四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的相像比为 1：1B. 四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的相像比为 1：2C. 四边形 ABCD 与四边形

14、A”B”C”D”的周长比为 3：1D. 四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的面积比为 4：1解：四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”是位似图形，点 O 是位似中心，点 A”是线段 OA的中点，OA：OA1：2，AB：AB1：2，四边形 ABCD 与四边形 A”B”C”D”的相像比为 2：1，周长的比为 2：1，面积比为 4：1 应选：D5. 如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，假设CDB32，则ABC 等于A68B64C58D32解：AB 是O 的直径，ADB90，ADC+CDB90，ADC90CDB903258，ABCADC，ABC58， 应选：C6. 假设抛物线 yax

15、2+bx+ca0经过 A1，0，B3，0两点，则抛物线的对称轴为Ax1Bx2Cx3Dx4解：抛物线 yx2+bx+c 经过 A1，0、B3，0两点，抛物线对称轴为直线 x2，应选：B7. 近年来我国无人机产业迅猛进展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的职业，中国民 用航空局的现有统计数据显示，从 2023 年底至 2023 年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44 万人增加到约 6.72 万人假设设 2023 年底至 2023 年底， 全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于 x 的方程为A2.441+x6.72 C2.441+x26.72B2.44

16、1+2x6.72D2.441x26.72解：设 2023 年底至 2023 年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x， 则可列出关于 x 的方程为 2.441+x26.72，应选：C8. 现有函数 y假设对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 xm 时，yn，那么实数 a 的取值范围是A5a4B1a4C4a1D4a5解：令 x+4x22x， 整理得，x23x40， 解得 x11，x24，由图象可知，当1a4 时，对于任意的实数 n，都存在实数 m，使得当 xm 时，函数 yn， 应选：B二、填空题此题共 24 分，每题 3 分9. 假设正六边形的边长为 2，则它的半径是 2

17、解：如以下图，连接 OB、OC；此六边形是正六边形，BOCOBOC，60，BOC 是等边三角形，OBOCBC2 故答案为：210. 假设抛物线 yax2a0经过 A1，3，则该抛物线的解析式为 y3x2 解：把 A1，3代入 yax2a0中，得 3a12， 解得 a3，所以该抛物线的解析式为 y3x2 故答案为：y3x211. 如图，在RtABC 中，C90，AC6，AB9，则sinB解：在RtABC 中，C90，AC6，AB9， 则 sinB ，故答案为： 12. 假设抛物线 yax2+bx+ca+0的示意图如以下图，则 a 0，b 0，c 0填“”，“”或“”解：抛物线开口方向向上，a0，

18、对称轴在 y 轴的右侧，b0，抛物线与 y 轴交于负半轴，c0故答案为，13. 如图，AB 为O 的直径，AB10，CD 是弦，ABCD 于点 E，假设 CD6，则 EB 1解：连接 OC，如以下图：弦 CDAB 于点 E，CD6，CEED CD3，在RtOEC 中，OEC90，CE3，OC AB5，OE4，BEOBOE ABOE541， 故答案为：114. 如图，PA，PB 是O 的两条切线，A，B 为切点，假设 OA2，APB60，则 PB2解：PA、PB 是O 的两条切线，APB60，OAOB2，BPO APB30，BOPBPO2AO4，PB故答案是：2215. 放缩尺是一种绘图工具，它

19、能把图形放大或缩小制作：把钻有假设干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点 A，B，C，D 处连接起来，使得直尺可以围着这些点转动，O 为固定点，ODDACB，DCABBE，在点A，E 处分别装上画笔画图：现有一图形M，画图时固定点O，把握点A 处的笔尖沿图形 M 的轮廓线移动，此时点 E 处的画笔便画出了将图形 M 放大后的图形 N原理：假设连接 OA，OE，可证得以下结论：ODA 和OCE 为等腰三角形，则DOA 180ODA，COE 180 OCE；四边形 ABCD 为平行四边形理由是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ；DOACOE，于是可得 O，A，E 三点在一条直线上；当时，图形 N

20、 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的倍得到的解：ODA 和OCE 为等腰三角形，DOA 180ODA，COE 180OCE；ADBC，DCAB，四边形 ABCD 为平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；连接 OA，AE，DOACOE，O，A，E 三点在一条直线上； ，设 CDABBE3x，ODADBC5x，四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AODEOC， ，图形 N 是以点 O 为位似中心，把图形 M 放大为原来的 ，故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 16. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，P4，3，O 经过点 P点 A，点 B 在

21、y 轴上， PAPB，延长 PA，PB 分别交O 于点 C，点 D，设直线 CD 与 x 轴正方向所夹的锐角为 （1） O 的半径为 5 ；（2） tan 解：1连接 OP.P4，3，OP5，故答案为：52设 CD 交 x 轴于 J，过点 P 作 PTAB 交O 于 T，交 OC 于 E，连接 CT，DT，OTP4，3，PE4，OE3，在 RtOPE 中，tanPOE ，OEPT，OPOT，POETOE，PDT POTPOE，PAPBPEAB，APTDPT，TDCTCD，PTx 轴，CJOCKP，CKPTCK+CTK，CTPCDP，PDTTDC+CDP，TDPCJO，CJOPOE，tanCJO

22、tanPOE 故答案为： 三、解答题此题共 52 分，第 17、18、2022 题每题 5 分，第 19 题 6 分，第 2325题每题 5 分17计算：2sin60tan45+cos230 解：原式18. 关于 x 的方程 x2+2x+k40（1） 假设方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2） 假设 k1，求该方程的根解：12241k4204k方程有两个不相等的实数根，0204k0， 解得 k5；2当 k1 时，原方程化为 x2+2x30，x1x+30， x10 或 x+30， 解得 x11，x2319. 借助网格画图并说理：如以下图的网格是正方形网格，ABC 的三个顶点是网格线的

23、交点，点 A 在 BC 边的上方，ADBC 于点 D，BD4，CD2，AD3以BC 为直径作O，射线DA 交O 于点 E，连接 BE，CE（1） 补全图形；（2） 填空：BEC 90，理由是 直径所对的圆周角是直角 ；（3） 推断点 A 与O 的位置关系并说明理由；4BAC BEC填“”，“”或“”解：1补全图形见图 1（2） BC 是直径，BEC90直径所对的圆周角是直角 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角（3） 点 A 在O 外 理由如下：连接 OABD4，CD2，BCBD+CD6，r3ADBC，ODA90，在 RtAOD 中，AD3，ODBDOB1，OAr，点 A 在O 外（4） 观

24、看图像可知：BACBEC 故答案为：20. 二次函数 yax2+bx+ca0的图象经过3，0点，当x1 时，函数的最小值为4（1） 求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2） 直线 xm 与抛物线 yax2+bx+ca0和直线 yx3 的交点分别为点 C，点D，点 C 位于点 D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围解：1当 x1 时，二次函数 yax2+bx+ca0的最小值为4，二次函数的图象的顶点为1，4，二次函数的解析式可设为 yax124a0，二次函数的图象经过3，0点，a31240 解得 a1该二次函数的解析式为 yx124； 如图，2由图象可得 m0 或 m321. 如图，

25、AB 为O 的直径，AC 为弦，点 D 在O 外，BCDA，OD 交O 于点 E（1） 求证：CD 是O 的切线；（2） 假设 CD4，AC2.7，cosBCD，求 DE 的长【解答】1证明：如图，连接 OCAB 为O 的直径，AC 为弦，ACB90，OCB+ACO90OAOC，ACOABCDA，ACOBCDOCB+BCD90OCD90CDOCOC 为O 的半径，CD 是O 的切线；2解：BCDA，cosBCD，cosAcosBCD在 RtABC 中，ACB90，AC2.7，cosAAB6OCOE3在 RtOCD 中，OCD90，OC3，CD4，DEODOE53222. 如图，正方形 ABCD

26、 的边长为 4，点 E 在 AB 边上，BE1，F 为 BC 边的中点将正方形截去一个角后得到一个五边形 AEFCD，点 P 在线段 EF 上运动点 P 可与点 E，点F 重合，作矩形 PMDN，其中 M，N 两点分别在 CD，AD 边上设 CMx，矩形 PMDN 的面积为 S（1） DM 4x用含 x 的式子表示，x 的取值范围是 0x1；（2） 求 S 与 x 的函数关系式；（3） 要使矩形 PMDN 的面积最大，点 P 应在何处？并求最大面积解：1正方形 ABCD 的边长为 4，CMx，BE1，DMDCCM4x，其中 0x1 故答案是：4x，0x1；2如图，延长 MP 交 AB 于 G，

27、正方形 ABCD 的边长为 4，F 为 BC 边的中点，四边形 PMDN 是矩形，CMx，BE1，PMBC，BFFC BC2，BGMCx，GMBC4，EGPEBF，EG1x，即PG22x，DNPMGMPG422x2+2x，SDMDN4x2x+22x2+6x+8，其中 0x13由2知，S2x2+6x+8，a20，此抛物线开口向下，对称轴为 x ，即，当 x 时，y 随 x 的增大而增大x 的取值范围为 0x1，当 x1 时，矩形 PMDN 的面积最大，此时点 P 与点 E 重合，此时最大面积为 1223. 抛物线 y x2+x（1） 直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标；（2）

28、 该抛物线经过 A3n+4，y1，B2n1，y2两点假设 n5，推断 y1 与 y2 的大小关系并说明理由；假设 A，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且 y1y2，直接写出 n 的取值范围 解：1y x2+x，对称轴为直线 x1，令 x0，则 y0，抛物线与 y 轴的交点坐标为0，0，ABAB2x x 3n+42n1n+5，x 13n+413n+33n+1，x12n112n22n1xxx当 n5 时，x 10， 10， 0ABABA，B 两点都在抛物线的对称轴 x1 的左侧，且 x x ，AB抛物线 y x2+x 开口向下，在抛物线的对称轴 x1 的左侧，y 随 x 的增大而增大y1y2；假设点

29、 A 在对称轴直线 x1 的左侧，点 B 在对称轴直线 x1 的右侧时，由题意可得，不等式组无解，假设点 B 在对称轴直线 x1 的左侧，点 A 在对称轴直线 x1 的右侧时，由题意可得：， n1，综上所述： n124. 在 RtABC 中，ACB90，ABC30，BC将ABC 绕点 B 顺时针旋转 0120得到A”BC”，点 A，点 C 旋转后的对应点分别为点 A”，点 C”（1） 如图 1，当点 C”恰好为线段 AA”的中点时， 60，AA” 2；（2） 当线段 AA”与线段 CC”有交点时，记交点为点 D在图 2 中补全图形，猜测线段 AD 与 A”D 的数量关系并加以证明；连接 BD，

30、请直接写出 BD 的长的取值范围解：1C90，BCACBCtan301，AB2AC2，BABA，ACAC，ABCABC30，ABA是等边三角形，60，AAAB2 故答案为：60，2，ABC30，2补全图形如以下图：结论：ADA”D理由：如图 2，过点 A 作 A”C”的平行线，交 CC”于点 E，记1将RtABC 绕点 B 顺时针旋转 得到RtA”BC”，A”C”BACB90，A”C”AC，BC”BC213ACB190，A”C”DA”C”B+290+AEA”C”AEDA”C”D90+4180AED18090+9034AEACAEA”C”在ADE 和A”DC”中，ADEA”DC”AAS，ADA”

31、D如图 1 中，当60时，BD 的值最大，最大值为当 120时，BD 的值最小，最小值 BDABsin302 1，1BD25. 对于平面内的图形 G1 和图形 G2，记平面内一点 P 到图形 G1 上各点的最短距离为 d， 点 P 到图形 G2 上各点的最短距离为 d2，假设 d1d2，就称点 P 是图形 G1 和图形 G2 的一个“等距点”在平面直角坐标系 xOy 中，点 A6，0，B0，21在 R3，0，S2，0，T1，0 ；（2） 直线 y2三点中，点 A 和点 B 的等距点是 S2，假设点 A 和直线 y2 的等距点在 x 轴上，则该等距点的坐标为 4，0或8，0 ；假设直线 ya 上

32、存在点 A 和直线 y2 的等距点，求实数 a 的取值范围；（3） 记直线 AB 为直线 l1，直线 l2：yx，以原点 O 为圆心作半径为 r 的O假设O 上有 m 个直线 l1 和直线 l2 的等距点，以及 n 个直线 l1 和 y 轴的等距点m0，n0，当 mn 时，求 r 的取值范围解：1点 A6，0，B0，2，R3，0，S2，0，T1，AR3，BR，AS4，BS4，AT2，BT2，ASBS，点 A 和点 B 的等距点是 S2，0， 故答案为：S2，0；（2） 设等距点的坐标为x，0，2|x6|，x4 或 8，等距点的坐标为4，0或8，0， 故答案为：4，0或8，0；如图 1，设直线 ya 上的点 Q 为点 A 相直线 y2 的等距点，连接 QA，过点 Q 作直线 y2 的垂线，垂足为点 C，点 Q 为点 A 和直线 y2 的等距点，QAQC，QA2QC2点 Q 在直线 ya 上，可设点 Q 的坐标为 Qx，ax62+a2a22 整理得 x212x+324a0，由题意得关于 x 的方程 x212x+324a0 有实数根12241324a16a+10 解得 a1；（3） 如图 2，3直线 l1 和直线 l2 的等距点在直线 l ：4直线 l1 和 y 轴的等距点在直线 l ： 由题意得或 r3上l或 ：上5