【教案】椭圆与圆的伸缩变换+教学设计高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、椭圆与圆的伸缩变换一、 教材内容分析 解析几何是数学发展过程中的标志性成果。教材第三章 圆锥曲线的方程在“直线与圆的方程”基础上，帮助学生在平面直角坐标系中，认识椭圆的几何特征，建立它的标准方程；运用代数方法进一步认识圆锥曲线的性质以及它们的位置关系；运用平面解析几何方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想；提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。 圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容，根据解析几何的学科特点，教科书在对这些曲线的研究中都贯彻了“先用几何眼光观察与思考，再用坐标法解决”的策略。二、 学习者特征分析 学生已经在高二时完成高中解析几何内容

2、的学习，目前处于高三复习备考阶段。解析几何的学习对运算能力的要求颇高。对于学生而言，代数运算是主要“拦路虎”之一，解题过程中，许多学生都是因为不能顺利完成代数运算而导致失败。但必要的运算是不可避免的，这是由解析几何的学科特点决定的。关键是要学生正确理解解析几何中运算的特点：建立在几何背景下的代数运算。三、 教学目标1. 思政育人目标：学生在遇到困难时，要积极主动从旧经验中寻找新方法，不畏困难；2. 知识技能目标：学生在解决椭圆相关应用场景中，能利用图形的几何特征，将椭圆问题与圆的问题进行相互转化；3. 核心素养目标：学生在本节课的学习中，提升直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养

3、。4. 能力发展目标：学生在解决问题的过程中，进一步提升数形结合与转化的数学思想和能力。四、 教学重点和难点1. 教学重点：椭圆与圆的伸缩变换2. 教学难点：应用伸缩变换解决椭圆相关问题五、 教学方法与学法指导 引导启发式、参与发现式六、 教学资源 普通高中教科书数学 选择性必修 第一册、PPT演示文稿、几何画板和学案七、 教学过程环节一 发现痛点问题1：椭圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的范围是 教师活动 教师分析学生的解答情况，引出解决圆锥曲线问题的痛点：计算难度较大，斜率之积是定值不容易被直观发现。学生活动 学生分享这道题的解答过程媒体&信息技术应用 P

4、PT展示学生答题情况变式：圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的范围是 教师活动教师展示变式题和图形，引导学生发现圆的直观性质。教师引导学生思考：能否将椭圆的问题转化为圆的问题解决呢？学生活动借助圆的直观性质，学生可以直观地获得直线、斜率之积是-1，由此可以降低计算难度，求得直线斜率的范围。媒体&信息技术应用 PPT展示变式题和图形设计意图：通过暴露解析几何问题解决的难点和痛点，对比圆相关问题的直观性质，学生对转化成圆的问题来解决产生了兴趣。环节二 温故知新 回顾高中数学 选择性必修第一册第三章3.1.1 例2教师活动 教师引导学生回顾选择性必修第一册第三章3.1

5、.1 例2，椭圆概念的另一种形成过程（由圆伸缩变换而来）和伸缩变换的解答过程。学生活动借助几何画板，学生从直观上发现，圆通过椭圆的伸缩变换而来是可行的。媒体&信息技术应用PPT展示例2；几何画板演示椭圆与圆之间的变换设计意图：学生回顾了椭圆由圆的伸缩变换而形成的过程，为后续椭圆伸缩变换成圆做好知识和方法的铺垫。问题1：椭圆的左、右顶点分别为、，点在上且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的范围是 教师活动借助几何画板的动画，教师引导学生发现椭圆如何横向的伸缩变换得到椭圆，在此过程中直线、变换成为圆上的弦，由过原点的弦变换为圆的直径。教师引导学生分步骤进行思考：如何将椭圆问题变换为圆的问题，再由圆

6、的问题转化为椭圆？学生活动学生发现可以利用圆直径所对的圆周角是直角这一直观性质来解决问题。学生将以上步骤推广到一般情况，并获得在解决椭圆过原点的弦时可以应用此方法。媒体&信息技术应用PPT展示问题1；几何画板演示椭圆转换为圆的过程设计意图：学生经历了利用伸缩变换将椭圆问题转化为圆的问题，再转化为椭圆问题的全过程，并由此收获由特殊到一般的方法，提升学生解决问题的能力。环节三 灵活应用问题2：椭圆，斜率为的直线与椭圆交于、两点，平行四边形（为坐标原点）的对角线的斜率为，则椭圆的离心率为 教师活动教师演示几何动画，引导学生发现直观性质。教师进行方法小结：此方法可以应用于将椭圆的中点弦问题转化为圆的垂

7、径定理。学生活动学生发现：伸缩变换可将椭圆的平行四边形问题转化为圆的菱形问题，学生完成题目的解答，并分享他的解题思路。媒体&信息技术应用PPT展示问题2；几何画板演示椭圆转换为圆的过程问题3：椭圆上一点，在点处的切线方程是 教师活动教师演示几何动画，引导学生发现直观性质。教师进行方法小结：此方法可以应用于将椭圆的切线转化为圆的切线。学生活动学生发现：伸缩变换可将椭圆的切线转化为圆的切线，学生完成题目的解答，教师请学生分享他的解题思路。媒体&信息技术应用PPT展示问题3；几何画板演示椭圆转换为圆的过程设计意图：学生首先经历了判断此方法的应用场景（即能转换为圆的直观性质），再经历此方法的应用过程，

8、并由此收获另外两种应用场景，进一步提升学生解决问题的能力。环节四 课堂小结教师活动教师引导学生回顾本节课的知识和方法要点。教师布置课后作业学生活动 学生进行课堂小结和笔记整理。媒体&信息技术应用 板书展示小结设计意图：学生对运用伸缩变换解决椭圆的相关问题有了宏观的了解，有助于他们以后独立解决此类问题。八、 板书设计椭圆 圆（横坐标为原来的倍，纵坐标不变）直线斜率 直线斜率应用：过原点的弦 直径中点弦 垂径定理切线 切线九、 作业拓展与学习设计1. 求过椭圆上一点到直线的距离最值。2. 设椭圆的右焦点为，坐标原点为，过的直线与交于、两点，点的坐标为，证明：3. 动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条

9、切线相互垂直，求点的轨迹。4. 如图4，椭圆的左、右顶点分别为、，点是上异于、的一点，直线、分别交直线（为常数）于不同两点、，点为线段的中点，证明直线与椭圆相切。十、 教学特色与教学反思圆锥曲线是高中解析几何课程的重要内容，根据解析几何的学科特点，结合学生学习解析几何计算和数形结合能力不足等痛点和难点，本节课通过教授学生利用椭圆与圆的伸缩变换，利用圆的直观性质，解决椭圆的相关问题。通过这节课的学习，学生从中提升了直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象等数学核心素养；在解决问题的过程中，学生进一步提升数形结合与转化的数学思想和能力。 本节课较好地实现了预设的教学目标，借助几何画板等信息技术软件使学生进一步理解椭圆与圆之间的变换关系和圆的直观性质，在解决问题的过程中逐步向学生深化解决解析几何问题的“三步曲”。在教学过程中，教师也发现学生在作图以及较复杂的计算等能力仍有所欠缺，这也是在以后的教学过程中有待进一步加强的。6学科网（北京）股份有限公司