第七章概率+知识点总结梳理 高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册.docx

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1、2019新教材北师大版 数学必修第一册第七章知识点清单目录第七章 概率1 随机现象与随机事件2 古典概型3 频率与概率4 事件的独立性 9 / 9学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司第七章 概率1 随机现象与随机事件一、确定性现象与随机现象1. 确定性现象：在一定条件下必然出现的现象. 2. 随机现象：在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而且每次试验之前都无法预言会出现哪一种结果的现象.

2、二、样本空间1. 在概率与统计中，把观察随机现象或为了某种目的而进行的实验统称为试验，一般用E来表示，把观察结果或实验结果称为试验结果. 2. 把一个试验所有可能的结果一一列举出来的方法叫作列举法. 该方法是计数问题中最基本的方法. 3. 一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作. 样本空间的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作. 如果样本空间的样本点的个数是有限的，那么称样本空间为有限样本空间. 三、随机事件、必然事件与不可能事件1. 随机事件：一般地，把试验E的样本空间的子集称为E的随机事件，简称事件，常用A，B，C等表示. 2. 必然事件：样本

3、空间是其自身的子集，因此也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都必然发生，因此称为必然事件. 3. 不可能事件：空集也是的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称为不可能事件. 四、各事件之间的关系及符号和图形表示名称定义符号表示图形表示交事件(或积事件)一般地，由事件A与事件B都发生所构成的事件，称为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)并事件(或和事件)一般地，由事件A和事件B至少有一个发生(即A发生，或B发生，或A，B都发生)所构成的事件，称为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或A+B)互斥事件一般地

4、，不能同时发生的两个事件A与B(AB=)称为互斥事件AB=对立事件若AB=，且AB=，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记作AAB=，且AB=五、样本点与样本空间的确定1. 样本点的性质(1)是不能再分的最简单的随机事件；(2)不同的样本点不可能同时发生. 2. 探求样本空间中的样本点常用的三种方法(1)字典排列法：从首位开始，按照一定的顺序(如从小到大)列举第一位，对于每种情况，按同样的顺序列举第二位，以此类推. (2)列表法：将样本点用表格的形式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数以及要求事件所包含的样本点数. 此方法适用于互不影响的两步试验问题，例如抛掷两枚骰子. (3)

5、树状图法：用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析多步试验的较复杂问题. 六、斥事件与对立事件1. (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生. 2. 判断两个事件是不是互斥事件、对立事件的方法(1)判断两个事件是不是互斥事件，先对样本点进行逻辑划分，再看它们在一次试验中能否同时发生. 若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件；若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件. (2)判断两个事件是不是对立事件，先对样本点进行逻辑划分，再看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能

6、同时发生；二是必有一个发生. 如果这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件；如果这两个条件中有一个不成立，那么这两个事件就不是对立事件. (3)利用Venn图进行分析，类比集合的关系进行判断. (4)对于关系较难判断的两个事件，可考虑列出全部样本点，再进行分析. 七、事件的符号表示及其运算1. 事件的符号及其表示的含义符号事件方面集合方面必然事件全集不可能事件空集A 事件A的对立事件集合A的补集A+B(或AB)事件A与事件B的和事件(或并事件)集合A与集合B的并集AB(或AB)事件A与事件B的积事件(或交事件)集合A与集合B的交集AB=(或AB=)事件A与事件B互斥集合A与集合B的交集为空

7、集2. 事件的混合运算同数的加法、乘法混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算. 2 古典概型一、古典概型的概率计算公式1. 一般地，若试验E具有如下特征：(1)有限性：试验E的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间;(2)等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等. 则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型. 2. 对古典概型来说，如果样本空间包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A)= A包含的样本点个数包含的样本点总数= mn. 二、互斥事件的概率加法公式1. 在一个试验中，

8、如果事件A和事件B是互斥事件，那么有P(AB)=P(A)+P(B). 特别地，P(AA)=P(A)+P(A)，即P(A)+P(A)=1，所以P(A)=1-P(A). 2. 一般地，如果事件A1，A2，An两两互斥，那么有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An). 3. 互斥事件的概率加法公式和长度、面积、体积、质量等的加法公式本质上是一样的. 三、古典概型的概率的求解1. 求古典概型的概率的关键是求样本空间包含的样本点总数和所求事件A包含的样本点个数，这就需要正确列出该试验包含的所有的样本点，样本点的表示方法通常采用列举法，具体应用时可根据需要灵活选择合适的列举方法. 2. 解决

9、古典概型实际问题的步骤四、利用概率的性质求事件的概率1. 运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤(1)将要求概率的事件表示为彼此互斥的几个事件之和；(2)分别求出各事件的概率；(3)利用互斥事件的概率加法公式求其和的概率. 2. 运用对立事件的概率公式解题的一般方法(1)求正面思考较为困难的事件的概率，可以转化为求其对立事件的概率；(2)利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断所求事件的对立事件. 3. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤(1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示；(2)事件运算：将已知概率的事件进行适当的运算得到要求概率的事件；(3)求概率

10、：利用互斥事件、对立事件等的概率公式求相关概率. 3 频率与概率一、频率的概念1. 定义：在相同的条件下重复n次试验，观察某事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数m为事件A出现的频数，称mn为事件A出现的频率. 2. 范围：事件A出现的频率mn的范围是0mn1. 二、概率的统计定义及性质1. 统计定义：在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率通常会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性. 这时，把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A). 我们通常用频率来估计概率. 2. 性质：事件A的概率P(A)满足0P(A)1. 当A是必然事件时，P(A)=1；当A

11、是不可能事件时，P(A)=0. 三、用频率估计概率1. 频率与概率的关系(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率. (2)频率本身是随机的，在试验前不能确定. (3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关. 2. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率. 因此可以用频率估计概率. 4 事件的独立性一、随机事件的独立性1. 定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作相互独立事件.

12、2. 概率公式：两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的积，即P(AB)=P(A)P(B). 3. 性质：(1)如果事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B， A与B也相互独立. (2)如果事件A1，A2，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An). 并且此式中任意多个事件Ai(i=1，2，n)换成其对立事件A后等式仍成立. 4. “相互独立事件”与“互斥事件”的区别相互独立事件互斥事件判断方法一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB=概率公式A与B相互独立等价于

13、P(AB)=P(A)P(B)若A与B互斥，则P(AB)=P(A)+P(B)，反之不成立二、判断事件的独立性判断两个事件是否相互独立的方法1. 直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率. 2. 定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于两个事件发生的概率的乘积. 3. 转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与或与B或与是否相互独立. 三、相互独立事件与互斥事件的综合应用已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论：事件表示概率(A，B互斥)概率(A，B相互独立)A，B中至少有一个发生P(AB)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)或P(A)+P(B)-P(AB)A，B都发生P(AB)0P(A)P(B)A，B都不发生P(AB)1-P(A)+P(B)P(A)P(B)A，B中恰有一个发生P(ABAB)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)A，B中至多有一个发生P(ABABAB)P(A)或P(B)1-P(A)P(B)