北大版高数第十章习题解答.doc

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1、 第 十 章 双 线 性 函 数 与辛空间1、设 V是数域 P上的一个三维线性空间，e，e，e是它的一组基，f是 V上的123一个线性函数，已知f (e + e )=1,f ( e -2 e )=-1,f ( e + e)=-3 132312e ee求 f (X+X+X). 311223解因为 f是 V上线性函数，所以有f ( e ) f ( e)=1 31f (e )-2 f ( e)=-1 32f (e )+f ( e)=-3 21解此方程组可得f (e )4，f (e )7，f ( e)3 123于是e eeeeef (X+X+X).X f (1)X f ()X f (3) 311223

2、31224 X7 X3 X3122、设 V及 e，e， e同上题，试找出一个线性函数 f ,使312f (e + e )f ( e -2 e )=0, f ( e + e)=1 213231解 设 f为所求 V上的线性函数，则由题设有f (e ) f ( e)=0 31f (e )-2 f ( e)=0 32f (e )+f ( e)=1 21解此方程组可得f (e )1，f (e )2，f (e)1 123e， e，e 于是 a V,当 a在 V的给定基下的坐标表示为123e eea= X+X+X时，就有311223e ee) 3f (a)=f (X+X+X2 3112 eee)X f (=

3、 X f ()X f () 311223=-X +2 X + X123e e e3、设，是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令123e e1e e ee e2aaa1，2，331233a a a试证：1，2，3是V的一组基，并求它的对偶基。证：设e e ea a a（1，2，3）（，）A 123由已知，得 1 1 00 1 1A-1 1 1a a a因为A 0，所以1，2，3是V的一组基。a a a设g1,g2,g3是1，2，3得对偶基，则（g1,g2,g3）（f1,f2,f3）（A）-1 0 1 -11 -1 2 - - （f1,f2,f3）1 11因此g1=f2-f3 g2

4、=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 $ a中非零向量，试证：V，使 4.设V是一个线性空间，f1,f2,fs是V*a fi( )0 (i=1,2,s) 证：对s采用数学归纳法。$ aa 当s1时，f10,所以V，使fi( )0，即当s1时命题成立。$ a 假设当s=k时命题成立，即 V，a a使fi( )= i0 (i=1,2,k) 下面证明s=k+1时命题成立。aa$ b 若f ( )0,则命题成立，若f ( )0，则由f 0知，一定 Vk+1k+1k+1bb使f ( )b,设fi( )=di(i=1,2,k),于是总可取数c0，使 k+1 ai+cdi0(i=1,2,k) g

5、a bgV，且 令 c ，则= + gfi( )=ai+cdi0(i=1,2,k)gf ( )cb0 k+1即证。a aa5设 1， 2， s是线性空间 V中得非零向量，试证： a fi( )0 (i=1,2,s)ia证：因为 V是数域 P上得一个线性空间，V 是其对偶空间，若取定V中得一个非零向量 ，*则可定义V的一个线性函数a *如下： *aa *(f)=f( ) (fV *) 且a *是V*的对偶空间（V*)*中的一个元素，于是，V到其对偶空间的对偶空间（V ) 的* *映射 a a *a aaaa， 2a， s*是一个同构映射，又因为 1， 2， s是 V中的非零向量，所以 1*$中的

6、非零向量，从而由上题知， fV对偶空间V*的对偶空间（V*)*使 aaf( ) i (f) 0 (i=1,2,s) *i即证. 6.设VPx ,对P(x)=C0+C1x+C2x32V,定义 f (p(x)= 1p(x)dx10 f (p(x)= 2p(x)dx20 f (p(x)= -1p(x)dx30试证f ， f ， f 都是V上线性函数，并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使 312f ， f ， f 是它的对偶基。 312 ，对 g(x),h(x) V, kP,由定义有 证：先证是V上线性函数，即f V1* f （g(x)h(x)） g x h x dx+( ( ) (

7、 )110 1g(x)dx 1h(x)dx00 f (g(x)+ f (h(x) 1 1 f (kg(x)= 1kg(x)dx=k 1g(x)dx=k f (g(x) 1100即证1f 。同理可证f ， f V3*。2再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基，且f ， f ， f 是它的对偶基。若记 1 2 3 P1(x)= C0+C1x+C2x2则由定义可得 11 f (p(x)= 1p(x)dxC0+ C1+ C2=1 23108 f (p(x)= 2p(x)dx=2C0+2C1+ C2=0 32011 f (p(x)= -1p(x)dx=-C0+ C1- C2=0 2330

8、解此方程组得 3 C0=C1=1,C2=- 2 故 3 P1(x)=1+x- x22 同理可得 1 1 p2(x)=- + x26 211 p3(x)= - +x- x232a b a7.设V是个n维线性空间，它得内积为（ ，），对 V中确定得向量 ，定义 V上的a *一个函数： a * ba b（ ）=（ ，）a1）证明*是V上的线性函数 2）证明 V 到 V 的映射是 V 到 V 的一个同构映射（在这个同构下，欧氏空间可看成*自身的对偶空间。）a：1）先证明a是V上的线性函数，即b 1，b 2V，对3） 证*V*kP，由定义有： a *（ 1 2）（ ，1 2）b ba b ba ba b

9、（ ，1）（ ，2） a ba b*（2）*（1）a *ba ba ba b*（k 1）=（，k 1）=k（，1）=k （1）a故是V上的线性函数。*e e e b2）设， 是V的一组标准正交基，且对 V由定义 n12 e知ebb（）（）(i=1,2,n) *ii =e e（）（，）0,i j1,i je e*ijije e ee e e是，于是*，*的对偶基，从而 V到 V 的映射是V与V* *12n12n中两基间的一个双射因此它也是V到 V 的一个同构映射 *A8设是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。A1）证明，对V上现行函数f，f 仍是V上的线性函数； 2）定义 V *到自身的映射为

10、ffA 证明A是V 上的线性变换； *e e ee eAf ， f ， f 是它的对偶基，并设在 ，1 2 1 23）设， 是V的一组基，n12ne的矩阵为 A。证明：A在f ， f ， f 下的矩阵为A。1 2*nn aA a证：1）对 V，由定义知（f ）（）A af（）是数域P中唯一确定的元，所A以f 是V到P的一个映射。 a bA a b又因为 ，V，kP,有（f ）（）A a bf（）abA A f（）（）ab （f ）（）（f ）（）AAaaaAAA （f ）（k ）f（k ）= f（k （）aaA=k（f ）（）A=k f（）A所以f 是V上线性函数。2）对 fVA，有A（f）=

11、 f VA,故*是V*上的线性变换。3）由题设知 e e ee e eA （， ）（， ）A 12n12nA设（f ， f ， f ）（f ， f ， f ）B *1 2 1 2nn e e e其中A=(a ) ,B=(b ) ,且f ， f ， f 是 ， 的对偶基，于是nnijnnij12n12nf A A *（f ），所以a = b (i,j=1,2, n),即证A*在f ， f ， f1jjjiij2n下的矩阵为B=A. 9.设V是数域P上的一个线性空间，f ， f ， f 是V上的n个线性函数。 n1 2 1）证明：下列集合 aa W Vf ( )=0(1in) i是V的一个子空间，

12、W成为线性函数f ， f ， f 的零化子空间； 21n 2）证明：V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。 证：1）因为f ， f ， f 是V上的n个线性函数，所以 fV (1in)，*12n且f (0)=0(i=1,2, n)，因而 0W，即证W非空。 i a b l又因为 ，V，P，有 a bab f ( )f ( )f ( )0 (i=1,2, n) iiif (la )l f (a )0 iia bla所以 W，W，即证W是V的一个子空间。 2）设W 是V的任一子空间，且dim（W ）m,则当mn时，只要取f为V的零函数 1 1，就有 aa W V V f ( )=01所以W

13、是f的零化子空间。 1e e ee e当m=2,f (a,b )是V上的一个对称双线性函数。xV中有非零向量使f ( ，)0 x x1）证明a b )是非退化的，则必有线性无关的向量，满足,f (x h2）如果x hf ( ，)1 x xh h)0 f ( ，)f ( ，a a aa b )是V上的对称双,证1）设， 为复数域上N维线性空间V的一组基，f (12na ba a a,线性函数，则f ()关于基 ，的度量矩阵A为对称矩阵，于是，存在非退12n化的矩阵T，使E 0=B TAT=r0 0e e e ea a a若令 （ ，n ）（ ， ）T 12312ne e e ee e e ea,

14、b则，也是V的一组基，且 f ( )关于基 ，1 2 3n123n的度量矩阵为B，因此 eeeeee+Yxh, = YX + X+X+ Y1V,有1122nn122nnx h f( , )=X Y + X Y + +X Y1122rrx x f( , )=X21+X22+X (0rn) 2r故而 x x x当r=0时，对V中任一非零向量，恒有f( , )=0； e当r=1时，只要取 0，就有f( , )=0； xx x2e ex当r2时，只要取 i0， x x就有f( , )=0； +12a bx h2)如果 )是非退化的，则f( , )=X Y + X Y + +X Y1 1 2 2n n

15、因而只要取 ,f ( eee21 2e1i1ixh +，=22212就有1ii（）（）1 x h f( , )=（）22221i f( , )=（）（）0 2 22x x21i f( , )=（）（）0 2 22h h2即证。a b )是反对称的充要条件是：对任意的V，都,f (a13试证：线性空间V上双线性函数有, f( )=0 a aa ba,证：必要性。因为 )是反对称的，所以V，恒有f (a aa a, f( )=f( ) a a,故f( )=0 ,a b a b ,充分性。因为 )是双线性函数，所以 V，有,f (a b a b a ab b f ( + , + )=f( )=f(

16、, )=0 ,故 f (a,b )f(b,a ) a b )是反对称的。即 f ( ,a ba b,14设 )是V上对称或反对称的双线性函数，是V中的两个向量，若f (f (a,ba bx K是V的一个真自空间，证明：对K ,)0，则称正交，再设h必有 0xh aK+L( ) 使f( , )0对所有K都成立aa b )是对称的双线性函数的情形。,证明 ：1）先证f (a b )是K上的对称双线性函数，设dim（K）,因为K是V的子空间，所以f (ra b )关于a1,则f (K的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵，于是，必存在K的一组基，a aa b )在这组基,下的度量矩阵为对 ，使rf (角

17、矩阵2 Ddiag(d ,d , d) 12只要令x ax ax af ( , )f ( , )f ( , )rhaaa xd121d2dr12rh 且当d =0(1ir)时，就删除d 相应的项，则0 K+L( )，于是对任意 K,恒有 xaiih a f( , )0 2）再证 f (a,b )是反对称双线性函数的情形，e首先，若对给定 K，若存在 K，使f( , )=0,则可令 ， ，使得 x bx be x1l b-1f(e ，ex)=1.又因为K+L( )是V的子空间，所以 f (a,b )也是K+L( )上的反对称双线xi-ie eix性函数，于是可将 ， 扩充为K+L( )的一组基：

18、 -ieee-reeeh h h ， ， ， ， ， ， ， r1-12-212s使e ef ( , ) =1(i =1,2,.r)-iie ef ( , ) = 0(i + j 0)ija haxf ( , ) = 0( k +L( ),k =1,2,.r)k故而h hah a当s0时，只要取 ，则对 K，恒有f( , )=0; 1eee), -rh ex eeee当s=0时，只要取 ，则由 ，K=L( ， ， ， ， ，111-12-2r ah a对 K，也有f( , )=0。 x bx bh x其次，若对给定的 K，及任意 K，使f( , )=0,则只要取 即可。 15设V与 f (a,

19、b )同上题，K是 V的一个子空间，令aa bbV | f ( , ) = 0, K=1)试证 K 是 V的子空间（K 称为 K的正交补）； 2）试证：如果KK 0,则 VKK bb证：1）因为 K，恒有f(0, )=0,所以0K ，即 K 非空。 另一方面， a a b， K ， kP, K，有 12 a a ba ba b f( + , )=f( , )+f( , )=0 1212a ba b f(k , )=k f( , )=0 11a aa1故+ ， k K，从而 K是 V的子空间。122）由于 K和 K都是 V的子空间，知 K+ KV xxx 不妨设 K是 V的一个真子空间，V,若

20、K，则证毕，若 K，则存在 h 0 K+L( )，x使 h aa f( , )=0 （ K）h于是 K。又因为hbkx (bK,kP) 显然K 0,否则 h b K K 0h b从而 0，这是不可能的。因此有1k k1hxb K+ K故V K+ K。即证。a b16设 V，K同上题，并设f( , )限制，试证： VK+ Ka b的充要条件是f( , )在V上是非退化的. a b b证：必要性。设VK+ K ，且f( , ) 0 （ K）aa a a aa2 b，则 K，有下证 0，设 + ，K，K121a ba a ba ba b20f( , )f( + , )f( , )f( , ) 121a b f( , ) 1 a baa a0，从而K2由于f( , )在K上是非退化的，故1g同理