分布列概念2021年整理.doc

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1、 1. 分布列定义：xx设离散型随机变量所有可能取得的值为x,x,x,x,若取每一个值x(i=1,2,，n)的概率为1 2 3 nixP( =x) =P，则称表iix1x2 x i xn xP P1 P2 P Pnixx为随机变量的概率分布，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）Pi0,i=1,2，n；（2）P+P1 2+Pn=1 要点四、两类特殊的分布列1. 两点分布 随机变量 X 的分布列是 0 1 1-ppP 像上面这样的分布列称为两点分布列要点诠释：(1)若随机变量X的分布列为两点分布, 则称X服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-

2、1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的 买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；彩票是否中奖；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 2. 超几何分布一般地，N 件产品中，任取n件，其中恰有在含有M 件次品的 X 件次品，则则事件X=k发CkCn-kN-M ,k =0,1,2, ,m , 其 中 m =minM,n ，且Cn生 的概率为P(X =k) =MNn N,M N,n,M,N N*称分布列为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布0 1 mXPC0Cn-0N-MCmCn-mN-MMMCnNCnN1 / 15 要点

3、一、条件概率的概念1.定义设A、B为两个事件，且P(A) 0，在已知事件 发生的件概率。用符号P(B|A)表示。条件下，事件B发生的概率叫做条AP(B|A)读作：A发生的条件下B发生的概率。要点诠释在条件概率的定义中，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的应该说，每一个随机试验都是在一发生的概率概率是不同的，定条件下进行的而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下2P（AB）、P（AB）、P（B）的区别P（AB）是在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。P（AB）是事件A与事件B同时发生的P（B）是事件B发生的概率，无附加条件。概率，无

4、附加条件P(AB)P(B)它们的XXX是：P(A|B) =要点诠释一般说来，对于概率P(A|B)与概率P(A)，它们都以基本事件空间为总样本，前提是不相同的。概率P(A)是指在整个基本事件空间的条件下事件A 发生的可能性大小，而条件概率P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的表。从中任取一球，记A=“取得蓝球”，B=“取得玻璃 球”。基本事件空但它们取概率的可能性大小。例如，盒中球的个数如下11间包含的样本点总数为16，事件A包含的样本点总数为11，故P(A) = 。16玻璃木质总计红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计 6 10 16 如果已知取得玻璃 球的条件下取得蓝球的概率就是

5、事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，那么在事件B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃 球的总数”，即把样本空间压缩到2/ 15 4 2玻璃球全体。而在事件B发生的条件下事件A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故P(A|B) = =6 3。要点二、条件概率的公式1计算事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，常有以下两种方式： 利用定义计算=P(AB)P(B) 先分别计算概率P（AB）及P（B），然后借助于条件概率公式P(A|B)求解 利用缩小样本空间的观点计算 在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B，原来的事件A缩小为事件AB，从而P(A|B) = AB包含的基本事件数B包含的基

6、本事件数，即：P(B|A) =n(AB)n(A)，此法常应用于古典概型中的条件概率求解要点诠释概率P(B|A)与P(AB)的XXX与区别：XXX：事件A，B都发生了。区别：在P(B|A)中，事件A，B发生有时间上的差异，事件A先发生事件B后发生；在P(AB)中，事件A，B同时发生；基本事件空间不同在P(B|A)中，事件A 成为基本事件空间；在P(AB)中，基本事件空间仍为原基本事件空间。 2条件概率公式的变形 公式P(A|B) =P(AB)P(B)揭示了P（B）、P（AB）、P（AB）的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若P（B）0，则P（AB）=P（B）P（AB），该式称为

7、概率的乘法公式要点诠释 条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质如： 任何事件的条件概率取值在0到1之间； 必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； 条件概率也有加法公式： P（BCA）=P（BA）+P（CA），其中B和C是两个互斥事件要点三、相互独立事件3/ 15 1.定义：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，即P(B|A) =P(B)，这样的两个事件叫做相互独立事件。若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立。2相互独立事件同时发生的概率公式：A B表示事件A、B同时发生。对于事件A和事件B，用（1）若A与B是相互独立事件，则P(AB)

8、=P(A)P(B)；（2）若事件A,A, ,A 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概1 2n率的积， =P(A AA) P(A)P(A) P(A)。即：12n12n要点诠释（1）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积（2）两个事件A、B相互独立事件的充要条件是P(AB) =P(A)P(B)。3相互独立事件与互斥事件的比较 互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概

9、率没有影响。一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互 4. 几种事件的概率公式的比较已知两个事件A，B，它们发生的概率为P（A），P（B），将A，B中至少有斥事件的概率和也是不同的。一个发生记为事件A+B， AB +ABA B，恰有一个发生都发生记为事件AB，都不发生记为事件 记为事件 ，至多有一个 + + A B A B A B，则发生记为事件它们的概率间的关系如下表所示：概率A，B互斥A，B相互独立1-P(A)P(B)P（A+B） P（A）+P（B）P

10、（AB） 0 P（A）P（B）4/ 15 P(AB)1P（A）+P（B） P(A)P(B)P（A）+P（B）P(AB +AB)P(AB +AB +AB)P(A)P(B) +P(A)P(B)1 1P（A）P（B）要点二、独立重复试验的概率公式1.定义如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：P(k) =Ckpk(1-p) （k=0，1，2，n）n-knn令k =0得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为=P(0) C0p0(1-p)n =(1-p)nnn令k =n得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为=P(n) Cnpn(1-p)

11、0 = pn。nn要点诠释：1. 在公式中，n是独立重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，只有弄清公式中n，p，k的意义，才能正确地运用公式2. 独立重复试验是相互独立事件的特例，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式三、n次独立重复试验抛掷一枚均匀硬币 计算更方便要点常见实例：1.反复2.已知产品率的抽样3.有放回的抽样4.射手射击目标命中率已知的若干次射击 要点诠释：抽样问题中的独立重复试验模型：从产品中有放回地抽样是独立事件，可按独立重复试验来处理；从小数量的产品中无放回地抽样不是独立事件，

12、只能用等可能事件计算；从大批量的产品中无放回地抽样，每次得到某种事件的概率是不一样的，但由于差别太小，相当于是独立事件，所以一般情况下仍按独立重复试验来处理。要点四、离散型随机变量的二项分布1. 定义：在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中事件A发生的次数x是一个离散型随机变量如果在一次试验中事件A发生的概率是p，则此事件不发生的概率为5/ 15 q = 1-p，那么在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是xP ( =k) =P (k) =Ckpkqk = 0,1,2,.,n），（n-knnnx于是得到离散型随机变量的概率分布如下： 0 P C1 k n 0p

13、0qnC1p1qn-1 Ckpkqn-knCnpnq0nnn由于表中第二行恰好是二项展开式 (q +p)n =C 0p 0qn +C 1p1qn-1 +L +Ckpkqn-k +L +Cnpnq 0中各对应项的值，所以称nnnn这样的随机变量服从参数为 ，p的二项分布，记作 x B(n,p)xn要点诠释：判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：其一是独立性。即每次试验的结果是相互独立的； 其二是重复性。即试验独立重复地进行了n次； 其三是试验的结果的独特性。即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。 2如何求有关的（1）分清楚在n 次独立重复试验中，在一次试验中某事件A发生的概率是多少

14、，即确定p的值，最后即确定k的值； 二项分布共进行了多少次重复试验，即先确定 n 的值，然后确定再确定某事件A恰好发生了多少次，（2）准确算出每一种情况 下，某事件A发生的概率； （3）用表格形式列出随机变量的分布列。 要点一、离散型随机变量的期望1.定义：x一般地，若离散型随机变量的概率分布为xxxxi12P p1ppi2Ex = xp +xp + + xp + 为 的均值或数学期望，简称期望x则称1122nn要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平p = p = = p ，则有1 2x（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，

15、令n6/ 15 = = 1p = p = p ，E+x ) 1x (x + x +x，所以的数学期望又称为平均数、均值。=12n12nnn（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位2性质：x hx hE( + ) =E +E ；h xxhxE(a +b) =aE +b；)，是随机变量，则也是随机变量，有x若a b (a、b是常数= +xxE(a +b) =aE +b的推导过程如下：h的分布列为xx1x2xihax +bax +bax+bi12P P1P2Pih (ax +b)p + (ax +b)p + +(ax+b)p +E =于是1122iia(xp + xp + +xp + )+b

16、(p p+ + +p + )aEx +b112212iiixxE(a +b) =aE +b。要点二：离散型随机变量的方差与标准差1.一组数据的方差的概念：已知一组数据x，x，x ，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数12nS 2 = 1 (x -x) 2(x -x) 2(x -x) n2 叫做这组数据的方差。n122.离散型随机变量的方差：x离散型随机变量的一般地，若概率分布为xxxxi12P p1ppi2x- x - x (x E ) p (x E ) p2xx x E p 称为随机变量的方( - ) 2i则称D 22112nxx差，式中的E 是随机变量的期望7/ 15 xxx

17、sxD 的算术平方根D 叫做随机变量的标准差，记作要点诠释：x随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；x随机变量的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。3.期望和方差的关系：xxxD =E( 2) - (E )24.方差的性质：h xxhh)，是随机变量，则也是随机变量，Dxx= +=D(a +b) =a2D ；若a b (a、b是常数要点三：常见分布的期望与方差1、二点分布：x若离散型随机变量服从参数为p的

18、二点分布，则xE=p期望xD = p(1-p).方差xxP( = 0) =q,P( =1) = p,0 p1,p+q= 1证明：xE = 0q+1p= pxD = (0 -p)2 q+ (1-p)2 p= p(1-p).2、二项分布：xxn,p的二即 B(n，P),则项分布，若离散型随机变量服从参数为xE=nP期望xD =np(1-p)方差期望公式证明：x( = ) =P k Ckpk(1-p) =Ckpkqn-k-n k，nn8/ 15 xE = 0C 0p0qn +1C1p1q + 2C 2p2q + .+k Ckpkq + .+nCnpnq0，n-1n-2n-knnnnnn!n(n -1

19、)!又kCk =k nk!(n -k)! = (k -1)!(n -1) - (k -1)!=nCk-1，n-1xE = np(C0n-1p0qn-1C1n-1p1qn-2Ck-1pk-1q(n-1)-(k-1)Cn-1 n-1q 0 )pn-1n-1=np(p +q)n-1 =np3、几何分布：独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试x k = 0,1,2,3, ,n,P(x =k) = (1-p)k-1p，验次数 是随机变量，且x，称离散型随机变量 服从xxP( =k) =g(k，P)。几何分布，记作：xx若离散型随机变量 服从几何分布，xP( =

20、k) =g(k，P)，则且期望E = 1 .xp1-p方差Dx =p2要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。4、超几何分布：x若离散型随机变量 服从参数为N,M ,n的超几何分布，则nMx期望E( ) =N要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用x1、求离散型随机变量 的期望、方差、标准差的基本步骤：x x理解 的意义，写出 可能取的全部值；x求 取各个值的概率，写出分布列；xx1x2xi9/ 15 P p1ppi2x x sx根据分布列，由期望、方差的定义求出E 、D 、：Ex =xp +xp + +xp +1122nnDx = x-Ex p

21、 + x -Ex)2p + + x -Ex( )2 ( )2p +1122nnsx = Dx . 注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用 离散型随机变量的期望， 随机变量的方差与数据波动越大。反映了随机变量取值的平均水平；标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大x xxE当需要了解他们的平均水平时，可比较 和的大小。1xE2对于两个随机变量和，12xxxD 和相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较 和，1xD2EE12方差值大时，则表明 比较离散，反之，则表明 比较集中品种

22、的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关【典型例题】 正态分布编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1. 了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。2. 了解正态曲线与正态分布的性质。【要点梳理】要点诠释：要点一、概率密度曲线与概率密度函数1概念：对于连续型随机变量X ，位于x轴上方，X落在任一区间（a，b内的概率等于它与x轴、直线x=a与直x=b线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做X 的概率密度曲线，以其作为图象的函数f (x)叫做X 的概率密度函数。10 / 15 2、性质：概率密度函数所取的每个值均是非负的。夹于概率

23、密度的曲线与x轴之间的“平面图形”的面积为1 P(a X 0,- +（）s其中x是随机变量的取值；为正态变量的期望； 是正态变量的标准差. 2正态分布（1）定义j =如果对于任何实数a,b(a - + ），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。（0, f(x)2正态曲线的性质：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；m曲线是单峰的，它关于直线x 对称；=1mx = 时达到峰值曲线在ps ；2mm当x 时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x渐近线，向它无限靠近. 轴为曲线与x轴之间的面积为1；m决定曲线的位置和对称性；s当 一定时，曲线的对称轴位置由确定mmx轴平；如下图所示，曲

24、线随着的变化而沿移。12/ 15 s确定曲线的形状；smss当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。要点诠释：性质说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x 轴）性质并且说明了函数具mss有对称性；性质说明了函数在x= 时取最值；性质说明 越大，总体分布越分散，越小，总体分布越集中要点四、求正态分布1. 随机变量取值的概率与面积的关系在给定区间上的概率ms 若随机变量服从正态分布N( , 2)，那么对于任意实数a、b（ab），当随机变量在区间（a，b上取值时，其取值的概率与正态曲线与直线x=a，x=

25、b以及x轴所围成的图形的面积相等如图（1）中的阴影部分的面积就是随机变量孝在区间（a，b上取值的概率 一般地，当面积，如图（2）随机变量在（a，+）上取值的面积，如图（3） 根据以上概率与面积的随机变量在区间（，a）上取值时，其取值的概率是正态曲线在x=a左侧 以及x轴围成图形的概率是正态曲线在x=a右侧以及x轴围成图形的关系，在有关概率的计算中，可借助与面积的关系进行求解13/ 15 2、正态分布在三个特殊区间的概率值：m sm sP( - X + ) =0.683；m sm sP( -2 X +2 ) =0.954 ；m sm sP( -3 X +3 ) =0.997 。上述结果可用下图表

26、示：要点诠释：m sm s m s- +3 )内的概率约为0.997，落若随机变量X 服从正态分布N( , 2)，则X 落在 ( 3 ,m s m s在 ( 3 ,-+3 )之外的概率约为0.003，一般称后者为小概率事件，并认为在一次试验中，小概率事件几乎不可能发生。m sm s m s- +3 )之间的值，简称一般的，服从于正态分布N( , 2)的随机变量X 通常只取 ( 3 ,s为3 原则。3、求正态分布在给定区间上的概率方法（1）数形结合，利用正态曲线的对称性及曲线与x轴之间面积为1。mmx=正态曲线关于直线对称，与对称的区间上的概率相等。x=m sm s例如P(X + )；P(X a) =1-P(X a)；mm1-P( -b X +b)m若b ，则P(X b) =。2(2)利用正态分布在三个特殊区间内取值的概率：m sm sP() 0.6826 ；- X + =14/ 15 m sm s2 ) 0.9544 ；- X + =P( 2m sm s3 ) 0.9974 。- X + =P( 3【典型例题】15/ 15