高等数学下册综合练习题Ⅴ.doc
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1、 高数下册答案第九章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念一、设 f(x, y)=x2+y , (x, y)=x2-y2, 求: f (x, y),y2.jj2答案:f( (x, y), y2)=(x2-y2)2+y4=x4-2x2y2+2y4j二、求下列函数的定义域:1、 f(x, y)= x2(1- y)( x, y) | y2+x21;1-x-y222、 z=arcsinxy( x, y) | yx ,x 0;三、求下列极限:x2 sinyx2+y21 、 lim(x,y)(0,0)(0)lim (1+xy)3x2 、(e6)(x,y)(,2)四、证明:当沿着 x 轴趋于(0,0)
2、时,极限为零,当沿着 y=x2趋于(0,0)时,极限1为 , 2 二者不相等,所以极限不存在五、证明:当(x, y)(0,0)时, f(x, y)为初等函数,连续 。当 (x, y)=(0,0) 时,1lim xy sin(x,y)(0,0)=0=f(0,0) ,所以函数在(0,0)也连续。所以函数x2+y2在整个 xoy面上连续。六、设 z=x+y2+f (x+y)且当 y=0时 z=x2,求 f(x)及 z的表达式.解:f(x)=x2-x,z=x2+2y2+2xy-y 1 高数下册答案 2 偏导数 zzyyx1、设 z=xy+xex ,验证 x+y =xy+z证明:xzyzyx e , x
3、z+yxyz=+ =+yyxyyx=y+ex-xe ,=+ xxy xy xe xy zz x y=+221 在点( 23 , 12,1)处切线与 y轴正向夹角( 4 )p2、求空间曲线G:y=23、设 f(x, y)=xy+(y-1)2arcsin xy , 求 f (x,1)( 1)xu u uzy4、设u=x , 求, ,xyz解:u zuzu 1z yzyzyzy-1x,y=-yx lnx=x lnx=x y25、设 u= x2+y2+z2 ,证明 :2uuu 222+ + =x2y zu226、判断下面的函数在(0,0)处是否连续?是否可导(偏导)?说明理由1x+y2xsin, x2
4、+y20 f(x, y)=0,2 x y 0+22lim f(x, y)=0=f(0,0) 连续; fx(0,0)=limsin 1fy(0,0)=lim 0-0=0y 0-y0x2 不存在,x0y0x0f(a+x,b)-f(a-x,b)x7、设函数 f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求 limx0(2fx(a,b))2 高数下册答案 3 全微分1、单选题(1)(D)既非充分又非必要条件(2)(B)偏导数连续,则全微分必存在2、求下列函数的全微分:11) z=exydz=exy (-xy dx+ dy)x22) z=sin(xy2) 解:dz=cos(xy2) (y2dx+2xydy)
5、3)u=x yz解:du=zy xyzdx+ x yz lnxdy-zy x yz lnxdz1z-123、设 z=ycos(x-2y), 求dzp(0, )4 解:dz=-ysin(x-2y) dx+(cos(x-2y)+2ysin(x-2y) )dypp p dz|(0, ) dx- dy=4 42z251 (-2dx-4dy+5dz)4、设 f(x, y,z)=x2+y2求:df(1,2,1)1x2+y25、解: lim (x2+y2)sin(x,y)(0,0)=0=f(0,0) 所以 f(x, y) 在(0,0)点处连续。f (0,0)= lim f(Dx,0)-f(0,0)=0 ,
6、f (0,0)= lim f(0,Dy)-f(0,0)=0DxDyxy(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)f(Dx,Dy)-0 0,所以可微。(Dx)2+(Dy)2 3 高数下册答案 4 多元复合函数的求导法则 1、设 z=uv,u=sint,v=et,求 dzdt2、dzdt解: =cost.(sint) e lnsint(sint) e+tet-1tetzzxy3、设 z=(x+y)2x-3y,,求 ,yz=(2x-3y)(x+y)2x-3y-1-3(x+y)2x-3y ln(x+ y),4、设 z=xn f( xy ), f 可微,证明 x +2y =nzzxzy22z ,2z2z,
7、y25、设 z=f (x2-y2,2xy) ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求x2xyz解: =2xf+2yf,x12zy2z=2x( f(-2y)+f2x)+2f+2y( f(-2y)+f 2x)=-2yf+2xf,xy12111222122=2f-4xyf+4(x2-y2) f+4xyf11112222zy22zx2=2f+4x2 f+8xyf+4y2 f,=-2f+4y2 f-8xyf+4x2f111122211112226、设 z=f(xy, xy)+g( xy) ,其中 f 具有二阶连续偏导数、 g具有二阶连续导数,求2zxy解: =fy-xy f+1y g,xz1222zx y1
8、1x x2y-x221 1x y222- g-yx gf y( fx+f )f ( fx+f )=+1-1112123dudx7、设u=F (x, y,z), z=f(x, y), y= (x) ,求j4 高数下册答案dudx解: =F+F (x)+F ( f+f (x) 。j j123xyzzzxuvyz=-2 +avzzu2z=2z+2z+2u7、证明:=+uvx2u2v22z=42z-4a2z+a22u2z=-22z+(a-2)2z+a2uuvxy=0uvy2u2v2u2v2得:(10+5a)2z2ua=3+(6+a-a2)uvv2f (1,1)=a, f /(1,1)=b8、设函数 f
9、(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1,/12又,j(x)=f x, fx, f(x,x)求j 和j/(1)(1).(1) , (a+ab+ab2+b)3 5 隐函数的求导公式 1、设 yln y=x+y,求 dydxdy 1解:令 F (x, y)=yln y-x-y, F=-1,F=lny, =dx lnyxyzy2、设 z=z(x, y)由方程 x2+y2+z2=yf( ) 确定,其中 f 可微,证明(x2-y2-z2)xz+2xyyz= 2xz3、设 z=z(x, y)由方程 xz=ey+z所确定,其中 f 可微,求2zx yzzzz2z=-zx(1+z)3, =- ,x=x
10、(1+z)y 1+zxyx y z 1+=dy dz,求 ,dx dxdy x dz(=- , =0)dx y dx2224、设z=x2+y2zzxy5、设 z=z(x, y)由方程 F (xy, y+z, xz)=0所确定, F 可微,求 ,5 高数下册答案解:令 F (x, y, z)=F (xy, y+z, xz) ,则F y FF+xFzFx FFy+zFzFx+F=- x=-, =- y=-1 213F+xF zz23236、 设 z=f(x, y)由方程 z+x+y-ez+x+y=0所确定,求 dz ( dz=-dx-dy)z zx y7、设 z=z(x,y)由方程 3xy+xco
11、s(yz)-z3=y所确定,求 ,z=3xy.yln3+cos(yz)z=x.3xy ln3-xzsin(yz)-1y3z2 xysin(yz),x3z2+xysin(yz)+ 6 微分法在几何中的应用 p1、 求螺旋线 x=2cost, y=2sint,z=3t 在对应于t=4 处的切线及法平面方程3pz-x- 2=y- 2=4解:切线方程为- 2233p法平面方程- 2(x- 2)+ 2(y- 2)+3(z- )=04x-3=y-4=z-5 ,法平面方程:4x-3y=02、解:切线方程为4-303、求曲面2x2+3y2+z2=9在(1,-1,2)处的切平面及法线方程解:切平面方程为2(x-
12、1)-3(y+1)+2(z-2)=0及法线方程 x-1=y+1=z-22-324、证明:令 F(x, y,z)=f(ax-bz,ay-bz) ,则F=fa, F=fa, F=-bf-bf ,n=( f a, f a,-bf-bf )x1y2z121212n(b,b,a)=0 ,所以在(x , y , z )处的切平面与定向量(b,b,a )平行。0 0 0=23x , F=23y , F=23z ,232323231313135、证明:令 F(x, y,z)=x y z a ,则 F+-xyz( )131313在任一点 x , y , z 处的切平面方程为 x (x-x )+y (y-y )+
13、z (z-z )=0-000000000在在三个坐标轴上的截距分别为 x a , y a , z a23, 在三个坐标轴上的截距的平2323131313000方和为a26 高数下册答案证明曲面 z=xf( xy)上任意一点 M(x , y , z ),(x0)处的切平面都通过原点00007、证明 :F (tx,ty,tz)=tkF (x, y,z)两边对 t求导,并令 t=1xFx+yFy+zFz=kF(x, y, z)设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为:+=0Fx(x , y , z )(x-x ) F y(x0, y0, z0)(y-y0) Fz(x0, y0, z0)(z-z0)00
14、00此平面过原点(0,0,0) 7 方向导数与梯度 1、设函数 f (x, y)=x2-xy+y2,1)求该函数在点( 1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向 l 的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向解:梯度为 gradf(1,3)=-i+5j,fl (1,3)=-cos+5sin , 方向导数达到最大值的方向为s=(-1,5),方向导qq数达到最小值的方向为-s=(1,-5)。2、解:方向导数 为ul为梯度的方向3 3,该点处方向导数达到最大值的方向即=1+2(1,2,-1)gradu(1,2,-1)=2i+5j-3k,此时最大值为u= 38l (1,2,-1)3、解:ux=
15、y2z3, =2xyz3, =3xy2z2,s=(1,2,3) ,该函数在点(1,1,-uyuz1)处的方ul= 414,向导数为(1,1,-1)4、解:u2x, =u2yu, =2zx=x2+y2+z2y x2+y2+z2z x2+y2+z2 ,7 高数下册答案gradu(1,1,-1)= i+ j-23k2 23 3 8 多元函数的极值及求法 1、求函数 f (x, y) 3x 3y 2x 2y 2的极值。= + -+2 21 1答案:( , )极小值点 3 32求函数 f (x, y) x y 2ln x-18ln y的极值=+-2 2答案:极小值 f (1,3)=10-18ln33.
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