三元齐次不等式问题的数学竞赛讲义——均值不等式与柯西不等式应用拓广.docx

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1、2023.7.2三元齐次不等式问题的解答讲义-均值不等式与柯西不等式应用拓广众所周知，三元齐次不等式是一类基本型不等式问题，证明所需技巧性简单，本文通过几个例题梳理证明的一般步骤：通常只要展开分析，考察展开式，能否首先使用均值不等式，均值不等式的元可以任意，其次考虑应用柯西不等式，能否配方，能否使用同一类型的3-u-v法证明。一、 基本三元齐次不等式问题原始问题：已知求证：证明：由2元，3元均值不等式得问题的加强1：已知求证：思考：本题是三元齐次不等式的加强，带有余项，可以考虑展开证明，结合均值不等式。证明：由19元、13元均值不等式得上式显然成立。问题的加强2：已知求证：证明：设则有恒等式其

2、中根据上述两个题，增加字母次数，变形改编一题，加强变形题1：已知，求证：证明：设舍掉一部分元素，使得题目条件难度加大，改编题目，加强变形题2：问题2023-06-25 00:00：已知，求证：证明：（1）设结合9元均值不等式得上式显然成立.（2）若设（3）若设综合（1）（3）知二、 复杂一点的三元齐次不等式问题：这类问题看能否使用均值不等式，凑一组不等式问题，使用均值不等式，若使用过程出现困难，则展开证明.问题1：已知求证：证明：由均值不等式得问题2：已知求证：证明：问题3：已知求证：证明：由3元均值不等式得上式显然成立.问题4：已知求证：证明：由7元均值不等式得上式显然成立.上述4小题统一使用均值不等式证明，取得较好效果.问题5（假如增加元素个数，拓展增元，如何使用均值不等式）：已知正实数满足求证：证明：由6元均值不等式得 .由4元均值不等式得.由得问题5是多元均值不等式的应用问题.再看一个题8次不等式的展开证明：已知求证：证明：只要证明设其中容易证明B的每一行非负。三、思考问题：已知求证：.证明：设则有恒等式其中.已知求证：证明：（1）（2）证法.由柯西不等式得只要证设则，其中，.证法：.由柯西不等式得只要证此为Schur不等式，显然成立.学科网（北京）股份有限公司