【课件】导数的概念及其几何意义第二课时 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

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1、5.1.2 导数的概念及其几何意义（第二课时）接上回，导数是瞬时变化率的数学表达。接上回，导数是瞬时变化率的数学表达。一求增量二求平均变化率二求平均变化率三求极限情境情境1 1：跳水运动员的速度：跳水运动员的速度情境情境2 2：抛物线的切线斜率：抛物线的切线斜率过程过程1 1：物理学中由平均速度过渡到瞬时速度。：物理学中由平均速度过渡到瞬时速度。过程过程2 2：几何学中：几何学中特殊曲线特殊曲线由割线过渡到切线，由割线过渡到切线，由割线斜率过渡到切线斜率。由割线斜率过渡到切线斜率。过程过程3 3：一般函数一般函数 从平均变化率过渡从平均变化率过渡到瞬时变化率，进而形成到瞬时变化率，进而形成导数

2、的概念。导数的概念。回溯：回溯：从特殊到一般，从特殊到一般，从具体到抽象从具体到抽象本节课学习目标本节课学习目标：通过函数通过函数图象直观图象直观理解导数的理解导数的几何意义。几何意义。体会导数的体会导数的内涵与思想内涵与思想。23:41:44一、切线定义的进化（第一阶段）一、切线定义的进化（第一阶段）圆的切线：圆的切线：直线和圆只有唯一的公共点。直线和圆只有唯一的公共点。切线判定定理：切线判定定理：过圆上一点且垂直于该点半径。过圆上一点且垂直于该点半径。1828年前的切线定义：一条与曲线接触但不切割接触但不切割曲线的直线。问题1：什么是圆的切线？23:41:441828年后的切线定义：指的是

3、一条刚好触碰刚好触碰到曲线上某一点到曲线上某一点的直线。问题2：下面三个图中的直线是切线吗？一、切线定义的进化（第二阶段）一、切线定义的进化（第二阶段）23:41:44对于切线的定义：对于切线的定义：“只交一点只交一点”，最，最直观直观，但是显然为错误的观念，但是显然为错误的观念.“刚好触碰刚好触碰”，最，最感性感性，但是配不上数学的理性，但是配不上数学的理性.（1）（2）（3）切线定义的进化问题3：图（1）中的直线是切线吗？假设地面光滑，（2）、（3）图中哪个墙面与球相切？P0Poxyy=f(x)割割线线一个确定的位置一个确定的位置T二、动手作图（从割线到“切线”）23:41:44三、概念生

4、成23:41:45 如左图所示，红色线是一条割线，它与曲如左图所示，红色线是一条割线，它与曲线交于两点。让其中一个交点固定不动，而让线交于两点。让其中一个交点固定不动，而让另一个交点沿着曲线另一个交点沿着曲线不断靠近不断靠近那个不动点，在那个不动点，在这个过程中，割线不断旋转。当二者之间的距这个过程中，割线不断旋转。当二者之间的距离离无限靠近无限靠近时，就形成了时，就形成了一条特殊的割线一条特殊的割线哦，此时不再是割线了，而是哦，此时不再是割线了，而是一条被定义为一条被定义为“切线切线”的直线的直线。所以，切线是什么？切线就是割线的交点所以，切线是什么？切线就是割线的交点无无限靠近时的极限状态

5、（微分思想）。限靠近时的极限状态（微分思想）。德国伟大的数学家戈特弗里德德国伟大的数学家戈特弗里德 威廉威廉 莱布尼兹莱布尼兹（Gottfried Wilhelm LeibnizGottfried Wilhelm Leibniz，1646164617161716）切线定义的进化（第三阶段）综上所述，圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线(交点可能不惟一)适用于各种曲线。这个定义反映了切线的直观本质。认识切线（形形）问题问题问题问题4 4 4 4：导数的导数的导数的导数的 几何意义是什么？几何意义是什么？几何意义是什么？几何意义是什么？割线P0P 的

6、斜率k切线P0T 的斜率k0点P 点P0函数 yf(x)在x=x0处的导数 f(x0)曲线 yf(x)在点P0(x0,f(x0)处切线的斜率k0导数f(x0)的几何意义四、认识切线（从形到数）P0 xyOT即点斜式点斜式问题5：如何求在曲线上一点处的切线方程？如何求在曲线上一点处的切线方程？解决切线问题的关键解决切线问题的关键:利用导数的几何意义求出利用导数的几何意义求出切线的斜率切线的斜率k0=f(x0).五、知识应用（求切线方程）在点P0附近的曲线可以用点P0处的切线P0T 近似代替，这是微积分中重要的思想方法以直代曲.xyOyf(x)f(x0)x0TP0P问题问题问题问题问题问题7 7

7、7 7 7 7：图中哪条直线最贴近点图中哪条直线最贴近点图中哪条直线最贴近点图中哪条直线最贴近点P P0 0附近的曲线？附近的曲线？附近的曲线？附近的曲线？六、思想深化（以直代曲）例4.下图是高台跳水运动中运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线分别在t0,t1,t2 附近的变化情况。在t0,t1,t2 附近的曲线在t=t0,t1,t2处的切线近似代替斜率刻画斜率的正负：增减趋势 斜率绝对值的大小：增减快慢以 直代 曲六、思想深化（以直代曲，形中有数）xy12O3课本课本P70练习练习T2：函数：函数f(x

8、)的图象如图所示，下列数的图象如图所示，下列数值排序正确的是值排序正确的是().(A)f(1)f(2)f(3)0 (B)f(1)f(2)f(3)0 (C)0f(1)f(2)f(2)0f(3)A六、思想深化（以直代曲，形中有数）例5.如图表示人体血管中的药物浓c=f(t)(单位:mg/ml)随时间t(单位:min)变化的函数图像,根据图像,估t=0.8(min)时,血管中药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式列出.(精确到0.1)血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度.函数f(t)在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.数形结合以直代曲以简单对象刻画复杂的对象七、探究归纳

9、（从特殊到一般）导函数的概念八、概念生成解决切线问题的关键解决切线问题的关键:利用导数的几何意义求出利用导数的几何意义求出切线的斜率切线的斜率k0=f(x0).(2)导函数导函数 f(x)是指某一区间内任意点是指某一区间内任意点x而言的而言的,就是函数就是函数 f(x)的导数的导数.(3)函数函数 f(x)在点在点x0处的导数处的导数 f(x0)就是就是导函数导函数 f(x)在在x=x0处的函数处的函数值值,，这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一.f(x0)与f(x)的联系与区别解解1：解解2：3.3.利用利用导数的几何意义导数的几何意义解释实际生活问题解释实际生活问题,体会体会“数形结合数形结合”,“,“以直代曲以直代曲”的数学思想方法的数学思想方法.课堂小结