《数学学科发展前沿专》讲座.pdf

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1、第 一 章 行 列 式 及 其 应 用 行 列 式 的 概 念 是 由 莱 布 尼 兹 最 早 提 出 来 的.日 本 著 名 的“算 圣”关 孝 和 在 1683年 的 著 作 解 伏 题 之 法 中 就 提 出 了 行 列 式 的 概 念 及 算 法.与 莱 布 尼 茨 从 线 性 方 程 组 的 求 解 入 手 不 同,关 孝 和 从 高 次 方 程 组 消 元 法 入 手 对 这 一 概 念 进 行 阐 述.行 列 式 的 发 明 应 归 功 于 莱 布 尼 兹 和 关 孝 和 两 位 数 学 家，他 们 各 自 在 不 同 的 地 域 以 不 同 的 方 式 提 出 了 这 个 概

2、念.1683年，日 本 数 学 家 关 孝 和 在 解 伏 题 之 法 中 第 一 次 提 出 了 行 列 式 这 个 概 念。该 书 中 提 出 了 乃 至 的 行 列 式，行 列 式 被 用 来 求 解 高 次 方 程 组。1693年，德 国 数 学 家 莱 布 尼 茨 从 三 元 一 次 方 程 组 的 系 统 中 消 去 两 个 未 知 量 得 到 了 一 个 行 列 式。这 个 行 列 式 不 等 于 零，就 意 味 着 有 一 组 解 同 时 满 足 三 个 方 程。由 于 当 时 没 有 矩 阵 这 个 概 念，莱 布 尼 茨 用 数 对 来 表 示 行 列 式 中 元 素 的

3、位 置：i j代 表 第 i行 第 j歹 II。1730年，苏 格 兰 数 学 家 科 林 麦 克 劳 林 在 他 的 论 代 数 中 已 经 开 始 阐 述 行 列 式 的 理 论，其 间 记 载 了 用 行 列 式 解 二 元、三 元 和 四 元 一 次 方 程 组 的 解 法，并 给 出 了 四 元 一 次 方 程 组 一 般 解 的 正 确 形 式。1750年，瑞 士 的 加 布 里 尔 克 莱 姆 首 次 在 他 的 代 数 曲 线 分 析 引 论 给 出 了 元 一 次 方 程 组 求 解 的 法 则，用 于 确 定 经 过 五 个 点 的 一 般 二 次 曲 线 的 系 数，但

4、并 没 有 给 出 证 明。此 后，行 列 式 的 相 关 研 究 逐 渐 增 加。1764年，法 国 的 艾 蒂 安 装 蜀 在 论 文 中 提 出 的 行 列 式 的 计 算 方 法 简 化 了 克 莱 姆 法 则，给 出 了 用 结 式 来 判 别 线 性 方 程 组 的 方 法。法 国 人 的 亚 历 山 德 西 奥 菲 勒 范 德 蒙 德 在 1771年 的 论 著 中 首 次 将 行 列 式 和 解 方 程 理 论 分 离，对 行 列 式 单 独 作 出 阐 述。此 后，数 学 家 们 开 始 对 行 列 式 本 身 进 行 研 究。1772年，皮 埃 尔-西 蒙 拉 普 拉 斯

5、在 论 文 对 积 分 和 世 界 体 系 的 探 讨 中 推 广 了 范 德 蒙 德 著 作 里 面 将 行 列 式 展 开 为 若 干 个 较 小 的 行 列 式 之 和 的 方 法，提 出 了 子 式 的 定 义。1773年，约 瑟 夫 路 易 斯 拉 格 朗 日 发 现 了 的 行 列 式 与 空 间 中 体 积 之 间 的 联 系：原 点 和 空 间 中 三 个 点 所 构 成 的 四 面 体 的 体 积，是 它 们 的 坐 标 所 组 成 的 行 列 式 的 六 分 之 一。行 列 式 被 称 为“determinant”最 早 是 由 卡 尔 弗 里 德 里 希 高 斯 在 他

6、的 算 术 研 究 中 提 出 的。“determinant”有“决 定”意 思，这 是 由 于 高 斯 认 为 行 列 式 能 够 决 定 二 次 曲 线 的 性 质。高 斯 还 提 出 了 一 种 通 过 系 数 之 间 加 减 来 求 解 多 元 一 次 方 程 组 的 方 法，即 现 在 的 高 斯 消 元 法。十 九 世 纪，行 列 式 理 论 得 到 进 一 步 地 发 展 并 完 善。此 前，高 斯 只 不 过 将“determinant”这 个 词 限 定 在 二 次 曲 线 所 对 应 的 系 数 行 列 式 中，然 而 奥 古 斯 丁 路 易 柯 西 在 1812年 首 次

7、 将 determinant 一 词 用 来 表 示 行 列 式。柯 西 也 是 最 早 将 行 列 式 排 成 方 阵 并 将 其 元 素 用 双 重 下 标 表 示 的 数 学 家。柯 西 还 证 明 了 曾 经 在 雅 克 菲 利 普 玛 利 比 内 的 书 中 出 现 过 但 没 有 证 明 的 行 列 式 乘 法 定 理。十 九 世 纪 五 十 年 代，凯 莱 和 詹 姆 斯 约 瑟 夫 西 尔 维 斯 特 将 矩 阵 的 概 念 引 入 数 学 研 究 中。行 列 式 和 矩 阵 之 间 的 密 切 关 系 使 得 矩 阵 论 蓬 勃 发 展 的 同 时 也 带 来 了 许 多 关

8、 于 行 列 式 的 新 结 果。行 列 式 是 现 行 高 中 普 通 课 程 标 准（实 验）中 新 增 加 内 容，安 排 在 选 修 42 中，行 列 式 作 为 高 等 代 数 的 基 础 内 容 安 排 在 中 学 数 学 课 程 中 为 高 中 学 生 理 解 数 学 基 本 原 理、思 想、方 法，培 养 学 生 数 学 知 识 的 迁 移 能 力，进 一 步 学 习 提 供 必 要 的 数 学 准 备。行 列 式 作 为 一 种 重 要 的 数 学 工 具 引 进，从 更 高 的 角 度、更 便 捷 地 解 决 了 中 学 数 学 中 的 问 题。本 文 结 合 中 学 数

9、学 课 程 内 容，将 从 空 间 几 何、平 面 几 何、解 析 几 何、高 中 代 数 等 方 面 探 究 行 列 式 在 中 学 数 学 领 域 中 的 应 用。一、行 列 式 在 平 面 几 何 中 的 应 用 一 些 平 面 几 何 问 题，按 照 传 统 的 中 学 数 学 解 题 方 法，一 般 比 较 困 难，利 用 行 列 式 的 知 识 解 题 可 以 将 复 杂 的 理 论 问 题 转 化 为 简 单 的 计 算 问 题。例 1 证 明 不 存 在 格 点 三 角 形 是 正 三 角 形。证 明：（反 证 法）假 设 存 在 格 点 三 角 形 是 正 三 角 形。不 妨

10、 设 儿 函 是 格 点 三 角 形 且 是 正 三 角 形。设 其 顶 点 坐 标 分 别 为 4。内 3（巧 如）。（巧，Xjez（f=l2,3），疑=（0 一 天 6 一 J 0.C=（巧 一 鼻%-J i）所 以,噬 二：W0又 因 为 当 典 第（，（-以+（必-妊）2）更。前 后 矛 盾,所 以 不 存 在 格 点 三 角 形 为 正 三 角 形。例 2 证 明 三 角 形 三 条 中 线 交 于 一 点。（1980年 高 考 题）如 图 1如 图 1所 示，在 三 角 形 ABC中，H、I、J 分 别 为 边 BC、AC AB的 中 点。求 证：三 条 直 线 AH、BK CJ相

11、 交 于 一 点 C证 明：不 妨 以 AB所 在 直 线 为 x 轴，点 C 在 y 轴 上 作 直 角 坐 标 系。设 A、B、C 三 点 的 坐 标 分 别 为 A(a,0),B(b,0),C(0,c),则 显 然 有 H 分 别 求 得 直 线 方 程:AH：-x-y-=0b2a b-2a-x+jr c=0CJ：a+b-x+y-=0Bl：2b a 2b-a令 AH所 在 直 线 为 y=辰+“，则-得，（料 一 久 g i g o t+*=0.(2)b-2a。b=/de=ac代 入（2）得,b-2a,从 而 AH所 在 直 线 为 c ac-x v-0b-2a b-2a为:同 理，将

12、这 三 个 直 线 方 程 看 做 以 孤 产 为 未 知 数 的 齐 次 线 性 方 程 组，则 其 系 数 行 列 式 b-2a2ca+bacb-2a2b-2a2a+bb-2a2h-abe2h-a 2b-ab2b-ab-2a3b-3a(2b-a)(b-2d)(a+*X2a)3b-3aab-2ab-ab-2a(2&-旗 2a)3b-3a(a+M-3b-3a(2b-a-2a)b-ab-2a(2*-2a)a+b1 a+*-3c2（*-iO2一-旬 2 3-q）2 了 3-a）=0所 以 齐 次 线 性 方 程 组 有 唯 解，即 这 三 条 直 线 交 于 一 点。例 3 求 证：三 角 形 三

13、 条 高 线 交 于 一 点。一%2（占 _力 2痴 叫 4 BC=(T,c C=(*)因 为 直 线 AD法 向 量 为(一 瓦,),且 过 点 4%),所 以 直 线 AD为。同 理，直 线 B E%+=+向=0,直 线 CF 为 x=0o-ftr+y+a&=0将 三 个 直 线 方 程 看 做 是 以 X,y,1 为 未 知 数 的 齐 次 线 性 方 程 组，其 系 数 行 列 式 为 b c 曲-a c ab1 0 0ab abc-abc=0ab故 齐 次 线 性 方 程 组 有 唯 一 解，即 三 条 直 线 交 于 1点。利 用 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 充

14、 要 条 件 这 一 理 论，能 给 出 中 学 解 析 几 何 中 直 线 方 程、圆 锥 曲 线 方 程 等 的 行 列 式 形 式。竽 I 雪 母 例 4 求 经 过 点 I/和 I)且 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 方 程。W=1解：设 椭 圆 方 程 为 026,若 点(军 的)和(在 椭 圆 上，则 h*得-1=。将 其 看 成 关 于 2.*2和 T 的 齐 次 线 性 方 程 组，因 为 它 有 非 零 解，所 以 椭 圆 方 程 可 写 成:0.=32-99-41163记 2+ly111竺 116-21X11132199一 4解 得 例 5 求 经 过 点 伊、口）和

15、4 2,且 焦 点 在 x轴 上 的 双 曲 线 方 程。-口=1解：设 双 曲 线 方 程 为 非 X,若 点 值 心）和 点（巧 遇）在 双 曲 线 上，则 0;0;0.3-1T-11FlVIV-2-2e+JflUI a一-_2-22X不 巧 将 其 看 成 关 于 a）,方？和 T 的 齐 次 线 性 方 程 组，因 为 它 有 非 零 解，所 以 椭 圆 方 程 可 金 上=1解 得 9 4占*炉=1例 6 求 椭 圆 5 4 内 接 三 角 形 ABC面 积 的 最 大 值。解：不 妨 设 三 角 形 ABC的 坐 标 分 别 为 国 八 色 巧，则 有 5 4 4（1=12,3）,

16、易 知:为 圆,=5 上 三 点，不 妨 依 次 设 为“学。又 在 圆 里 正 三 角 形 面 枳 最 大,即 椭 圆 5 4 内 接 三 角 形 ABC面 积 的 最 大 值 为 2。每 个 多 项 式 都 可 以 表 示 成 几 个 多 项 式 的 和 或 者 差，而 每 个 多 项 式 又 可 以 表 示 成 几 个 多 项 式 的 乘 积，因 此 利 用 行 列 式 的 定 义，就 可 以 将 任 一 多 项 式 表 示 成 一 个 行 列 式，进 而 利 用 行 列 式 的 性 质 对 其 进 行 分 析.例 如，设 任 一 个 多 项 式 为 F,它 总 可 以 表 示 成 为

17、尸=月。一 岫，F=其 中 为 多 项 式，于 是 NQ应 用 行 列 式 进 行 分 解 因 式 重 在 构 造，利 用 行 列 式 的 性 质 进 行 运 算，以 使 得 可 以 提 取 公 因 式。例 7 分 解 因 式+解.x+x-x+l-x C x+I)-!)/t r r x2 x-2=1 X+1(第 一 列 乘 以 1加 到 第 二 列)W j+x-21 x+2K(X+2RX-I)x+2（提 取 公 因 式）=U+2)(x-1)(x+lX-x+I)例 8 分 解 因 式 X3+4X2+X-6解：原 式 n 7 G+与 T-D G-_ x2 x-6 1 x+4r2-1 2J C-2

18、X+1=(x-I)-1 x+4-12x+4|=(x-i)(x+2Xx+3)例 9 分 解 因 式/+。_ 2产 2+如+7,_ 3解：原 式=（五+2或 其 一 期 一（一 9（如+7 9 3）=(x+2jr-IX x-jr+3)例 1 0 分 解 因 式 J+x+1解：原 式=-一（一 9（工+口 K3-1 x2+x+lj 2|r-l 1l-i/r(jc+x+T i 金=(x2 tx+fx5-X2+D例 1 1 分 解 因 式 5 f+24X3-15X2-H&C+24解：原 式=3（5 3+见 一 均 一 2（59其-12）25 9 x 1 2|5x?+24r-15-lO+llr+lSx2

19、2 3-45X2+24X-15-1 0 r-9,_fex2+24x-15 5x2+14x-24=(x-2)n2 x+2 2 x+4=(x-2 X x+4)ix2+24x 15 5 x-62 1=(r-2 X r+4 X 5 x-lX x+3)应 用 行 列 式 解 决 代 数 不 等 式 问 题：例 1 2 求 证 不 等 式 3 一，其 中 4 瓦 c w J T。-abc 5 3 3证 明：要 证 明 3，只 需 证 明*c-3 o&c N 0；a b ca5+ft3+c3-3a&c=c a bb c a(将 第 二 行 和 第 三 行 分 别 加 到 第 一 行)ii+ft+c a+i+

20、c a+&+c=c a bb c a=(a+ft+c)(a2+ft2+c2-a 6-A c-a c)=l(a+*+c)(a-*)2+(a-c)2+(*-c)22因 为 a也 c C+,所 以/+廿+，-3 0乩 之 0,故 3 一 得 证。例 1 3 求 证 不 等 式 H+后=(皿+硬 证 明：(+-+)2a2 4-ft2 ac+bd=a c+*rf C 2 M(根 据 行 列 式 线 性 性 质 展 开)=0+a2r f2 a&c rf+A 2 c 2-a&a f t oJ a d-b c 1 0。即 证。例 1 4 求 证：当 r N+占+c 时，不 等 式证 明(r-a X x-*X-

21、c)-ac(x-&)-破 五 一 c)-*c(x-明-2abcjc-a b ca x-b cF A C（第 二 行 乘 以 1加 到 第 一 行）X X 0a x-b cb A C（第 三 行 乘 以 1加 到 第 二 行）x x 00 x x一 b X-C（分 别 从 第 一 行 和 第 二 行 提 取 公 因 式 x）1 1 0X2 0 1 1-a b x-cf(xr a A c)所 以 当 xNa+B+c 时，Q x-a-b-c）0。故 不 等 式（工 一 公（五 一 占）（无 一 0）一 火 兀 _与 _此 任 _4 _ 阳/_ 4）=20配 恒 成 立 例 1 5 用 行 列 式 证

22、 明 柯 西 不 等 式：求 证 不 等 式（a；+.2+A+a1 12 g 2+A+A；）N（a品+4人+A+a力 了,其 中，力 1w K证 明：，也 e A,0=（片+a：+A+a：烟+环+A+*：）（alftk+A”热 丫 Y+A*a：+A+a/a.N+A+a上 0 g+A+比&*=叫 M L U i-l M瓦 4又 由 于 I J/7 J I，/2 D=(唯-。g?=之 3 人-*)2 A 0从 而 7 R 博 瓦 7 即 0 2,即 证 得 柯 西 不 等 式。+.2 取 2+A+儿 2）之（哂”晟+A+&A）2O在 中 学 数 学 中 详 细 介 绍 了 一 元 二 次 方 程

23、的 解 法，而 学 生 要 解 决 未 知 数 含 根 式 或 高 次 的 方 程 就 需 要 较 强 的 解 题 技 巧 和 思 维 能 力，而 采 用 行 列 式 这 个 有 用 的 数 学 工 具 去 解 决 这 类 问 题 就 可 以 取 得 事 半 功 倍 的 效 果。5X+7+/x-3 _，7 9+yJx 3例 16 解 方 程：5/3 x+7-V x-3 V7X-9-V X-3 O解：（出 口 7+&-3）-（6 工-9 V x 9+J H-3）-（加 兀#7/x-3）=01x4-7+:工-3-j7 x-9+/x 31 2/3x+7日 n L x+7 V x 3-7x 9 3 x

24、+7%/x 3 j T r-9-J“-3即 111一 尸 药|=0|V x-3 V x-3|,一 臼 系 7=o一 2、/项*7-j7 x 9）=0五 一 3=0 或 7 3 r+7-J 7K-9=0解 得：无=3,x=4o6例 1 7 已 知 反 比 例 函 数 五 和 一 元 二 次 函 数,=f+4其+1,求 在 实 数 域 内 它 们 的 交 点 所 构 成 的 图 形 的 面 积。=3+4 x+l-,解：由 已 知 得 X,即 V+4J/+X-6=0O，+4 f+五 一 6=3（五+与 一（一 9（五 一 8x2 X-6=-1 x+4（第 一 列 乘 以 1加 到 第 二 列）x2

25、jt+x-6=-1 x+3x2（x+3 X x-2）-1 x+3（提 取 公 因 式）x-2(r+3)(x+2X x-D所 以 舞=T,巧=-2,4=1,在 实 数 域 内 有 三 个 交 点 且 分 别 设 为 A,B 和 C。um uu易 知&T-2)5(-X-3),C Q 3,即 期=d D,幺=(4&所 以 这 三 个 交 点 构 成 的 三 角 形 面 积 为：3 海 苒 啡 6将 形 如/+%扬+/传 的 分 式 有 理 化(其 中)，显 然 直 接 采 用 中 学 数 学 现 行 的 理 论 是 不 能 解 决 这 个 问 题 的，我 们 不 妨 利 用 中 学 数 学 中 求

26、等 比 数 列 前 N项 和 的 方 法 构 建 一 个 齐 次 线 性 方 程 组，结 合 行 列 式 给 出 解 决 这 类 分 式 有 理 化 的 通 法。一 1一 般 地，不 妨 设 S=%+.不+4 也 2,即 将 3 有 理 化，分 别 用 取 和 相 去 乘 S,得 到：S=.4,弘#,彳 岳 书 G s=.4,指 斗.和 2变 形 为,4,即,2=0,(勺 一 班 切 桁+=0).力？=0O将 其 看 成 关 于 1，五，花 的 齐 次 线 性 方 程 组，有 非。解，故 系 数 行 列 式 等 于 0,即:例 1 8将 1+即+2而 分 母 有 理 化。1 1 2 1 1由

27、2 1-1+3=占 2*。2一 加 8 5/知 等 式 中 不 含 COSA和 COS。，则 我 们 将 射 影 定 理 变 形 为：ccos5+ftcosC f1=00-cosB+acosC(Accos=0acosB+0-cosC(c bcos=0将 其 看 成 关 于 8sB,c o s C和 T 的 三 元 齐 次 线 性 方 程 组,该 方 程 组 必 有 非 0 解,c b a0 a b c m sA所 以&0 c-b c o s A=o,将 其 展 开 有 c b a0 a b coos Aa c8c o s=皿 2 a&ccosZ+aft2 aftccasZ-ao即 a2=*2+

28、c2-2 6 e c o s j4)得 证。同 理 可 证(2)和(3)。例 2 0 证 明 三 角 恒 等 式：cns2a+c o s2+cos2(a+)2cosrzcoscxs(z+)=1证 明 cos2a+c o s2 cos2(a+)-2 c o s a c o s c o s(z+)-l1 cos acos a 1cos 尸 c o s(a+/9c o s,c o s(a+)1 0 00 sin a jn/T3fi p0-anzsm p s n2.2sm a一 d n a dn f i=0 q n/TqnSi2 1附：1。应 用 行 列 式 解 决 空 间 几 何 问 题 中 学 数

29、 学 必 修 4 和 选 修 2 T 已 经 针 对 平 面 向 量 和 空 间 向 量 有 了 较 为 深 刻 的 研 究，新 课 标 要 求 学 生 掌 握 空 间 向 量 的 线 性 运 算 和 数 量 积，在 此 基 础 上 我 们 引 入 空 间 向 量 的 外 枳 和 混 合 积，探 寻 行 列 式 的 几 何 意 义，以 新 的 视 角 去 认 识 向 量 与 空 间 几 何 的 紧 密 关 系，开 辟 新 的 解 题 思 路 和 方 法，为 初 等 数 学 和 高 等 数 学 的 衔 接 做 好 铺 垫。A A J L定 义 1：两 个 向 量 a 与 8 的 外 积 内 占

30、仍 是 个 向 量，它 的 长 度 规 定 为 1”又 可=1小|6|一,它 的 方 向 规 定 为：a 与 均 垂 直，并 且 使（瓦”又 与 成 右*A A A手 系，即 当 右 手 四 指 从 a 弯 向 方（转 角 小 于）时，拇 指 的 指 向 就 是“乂 方 的 方 向。向 量 的 外 积 亦 称 向 量 积。J L J L M f f f定 义 2：设“，卜，c 是 3 个 向 量，称（“X彷-c 为 这 三 个 向 量 的 混 合 积。（a x 6）-c 可 记 作（瓦 c）。在 直 角 坐 标 计 算 向 量 的 外 积 和 混 合 积：设 1工 工 幻 是 一 个 右 手

31、直 角 标 架，a,方，c在 其 中 的 坐 标 分 别 是 8，%为 0(/4，。,则 丽 化 求#3Oa 4 c1(4瓦 c)=(axA)-c=a7%c24 4 Go例 1 已 知 正 方 体 ZBCD-dBdZ)的 棱 长 为 1,M 点 是 棱 AA的 中 点，点。是 对 角 线 BD的 中 点。(2010年 四 川 高 考 卷 18题)(1)求 证：0M为 异 面 直 线 AA和 BD的 公 垂 线；(2)求 二 面 角 腹 一 A C-S的 大 小；(3)求 三 棱 锥.一 O 8 C 的 体 积。解：以 点 D 为 坐 标 原 点，建 立 如 图 1所 示 的 空 间 直 角 坐

32、 标 系”一 统 则 由 已 知(0,0叫 用 1吸 3 心 以。(0皿 M Q 0 2 T L 2 T,2 T N T)(1)证 明：8 04 f=Q T,-2 7，o),J/=(O,O,1),即=(_,-1,1)。unr 1*nnrOM A A OM BD=-2-X+2+0=0：.OM LA X OM BD又 因 为 0M与 异 面 直 线 AA和 BD都 相 交,所 以 0M为 异 面 直 线 AA和 BD的 公 垂 线。(2)取 平 面 A*。的 一 个 法 向 量 为%=(0,1,0),设 平 面 四 的 法 向 量 为 啊，因 为 U L UM=(0,1,2一)，所 以23&舟=郎

33、 K j=23。由 图 分 析 可 知，二 面 角“一 屹 一 为 锐 角，故 二 面 角 一 一 犷 的 大 小 为 1anxos-3。(3)因 为.=(2-*,2 T,o)(2-2,2),(2,2,2),例 2 如 图 3 所 示，人 族。和 八 伙 力 都 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，平 面 平 面 BCD,a s 工 平 面 BCD,djg=2出。(2010年 江 西 理 科 卷)尺(1)求 点 A 到 平 面 M B C的 距 离；/求 平 面 幺 吸 与 平 面 所 成 二 面 角 的 正 弦 值。fi T 解:建 立 如 图 4 所 示 的 直 角 坐 标 系 一/，

34、则 由 已 知 0 5 0,0叫 c a o叫 腹 3 0,出 b欢 招 4 0,后 2 月),图 3 方 法 一：方=电。，一 动)，=a-A-2)AM=(0.5,-)所 以 0 1 0也 0 君-8一 地-2 出 y/3=x6=16因 为 说=a-5,0),痂=0-杷,回t n u n2 J C x W=(-B-50 0闾 括 oho _后 所 以 U K i u m r-r-即 BCxjRAf=C-X-v3,-v 3),I.m u nS I B C X A M所 以 21又 因 为 3(d为 点 A 到 平 面 MBC的 距 图 4 2 4 5a=-离)，代 入 值 解 得 5方.法 设

35、 平 面 BCAf的 法 向 量 为 n,因 为 B C=d Y，6，B M=0-回 出 入 所 以,泥 x S S=(T-石-我 乂 找 二 口 一 道,-2回-3+3+6 6 2回 陋+3+3 一 芯-5故(2)设 平 面 d C M 的 法 向 量 为,由 于 2=(-、氏 2氏 0/=(T&回，从 而 7 sl=C A C M=G B,历 设 平 面 BCD的 法 向 量 为 3,由 于 丽=(L 在 以 丽=(-2 0,0)从 而=Cff xCD=0括 ol 0-1 1-1 百 0 00-2 1 2 0=(0,02 回 2275从 而 平 面 ACM与 平 面 BCD所 成 二 面

36、角 为 锐 角，其 正 弦 值 为 5。例 3 如 图 所 示，在 长 方 体 3c-4%M i中，已 知 3=4 切=*以=2,E、F 分 别 是 线 段 AB,BC上 的 点，且 R E=B F=1,点 M、N 分 别 为 线 段 3，H 的 中 点。求 证 点 尸.Z 平 面；(2)求 点 N 到 直 线 ME的 距 离；求 异 面 直 线 匹，叫 的 距 离。解：如 图 6 所 示 以 D 为 坐 标 原 点 建 立 空 间 坐 标 系 D-xyz,则 力 电。，G 9 4 2),4(0,0,2),刘 6 3,0，)产(24,0)，M(0,2,2)，N(0,4D M E=(X L T)

37、板=Q 2 T)U U K“N=(Q Z-D,这 三 个 向 量 的 混 合 积 为：3 2 01 2 2=-6-8+2+1 2=0-2-2-1UUUL显 然 有 这 三 个 向 量 M E 2，张 成 的 平 行 六 面 体 体 积 为 0,故 这 三 个 向 量 共 面,所 以 四 点 久 Z 共 面。|UUUK I U I,|IU K|U I|,U M U U(2)由 向 量 外 积 定 义 知 网 xAffi卜 网-网,设 点 N 到 直 线 ME的 距 离 为 d,所 以,3面 a=-,解 得：7UUJHL(3)设 异 面 直 线 叫 的 距 离 为 小，题 g=(T L 2),町=

38、(-X Y R,F=(-U 0),所 以 异 面 直 线 g，叫 的 公 垂 线 的 方 向 向 量 为 岭 风=fl心 1 22,22-_32=Q0,X14),异 面 直 线 g，叫 的 距 离 为 直 线 EC1上 任 意 一 点 和 直 线 FD1上 任 意 一 点 连 线 在 公 垂 线 的 方 向 向 量 的 投 影,d9=EF ECFD.iBBK 即 怛 g g迪.102+22+142 152.应 用 行 列 式 解 决 数 列 问 题 定 理 1若 一 等 差 数 列 Q 第 k,l,n 项 分 别 为%,则 1.%=0证 明:根 据 等 差 数 列 通 项 公 式=,+（”一，

39、变 形 为=必+（/团，则 三 点（七，）（/）（小 4）满 足 直 线 方 程 产=*（4 吟 k d-at+(0=0,0.#(a1 rf)=0,nrf a.-rf)=0.三 个 直 线 方 程 看 成 以 2 L（.一 刈 为 未 知 数 的 齐 次 线 性 方 程 组，其 系 数 行 列 式 为:故 由 三 点 共 线 的 充 分 必 要 条 件 得 1%n a.=0例 1 等 差 数 列 刎 力，已 知 求 解：令-二%,由 定 理 1得,n m m m x 00m-x=0,=0-m=0 J i 4 力=0,m+n x m+n xm n JI-Xn-x(m-n)x=0,x=0 即”=0

40、一=0例 2 等 比 数 列 第 工 项 分 别 为，人,则|41 _证 明：根 据 等 比 数 列 通 项 公 式 4=%/，变 形 为 旬=同 一 国，闻*闻 一*k W-f c N=-k|f f|-k H，W“一 取|。+a”=0-(*)从 而，三 点（七%满 足 直 线 方 程（*）,则 W|g|一 七 一 看 言=o,-取 b l-ig|.|+ig 触=0.魁 团-”一%反|+魁 秆=0-q9Ig.-H g三 个 直 线 方 程 看 做 以 为 未 知 数 的 齐 次 线 性 方 程 组，其 系 数 行 列 式 为 故 三 点 共 线 的 充 分 必 要 条 件 得,n例 3 若 在

41、 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 中，/,4=1 0,求 的 值。解：由 已 知 4，W N二 等 比 数 列 的 通 项,n q g llo g,=lo gr+(n-l)logrq 其 中 0且 f#l,所 以 数 列,两 边 同 时 取 时 数 L 是 等 差 数 列。nn对 等 比 数 列 Q 两 边 同 时 取 自 然 对 数，由 定 理 1得 E+”1解 得：3%i=o,故 4-T定 理 2 若 一,%是 等 差 数 列 第 k,l,n 项 则 也 是 等 差 数 列 9 1,a 1=0的 第 k,l,n 的 充 分 必 要 条 件 是 鼠 1 o 一 瓦 一 瓦 I-J

42、 t证 明：由 等 差 数 列 通 项 公 式 4=%+(”-D d,得，一 an-k,例 4 已 知 等 差 数 列 a,b,c中 三 个 数 都 是 正 数，且 公 差 4#,求 证 它 们 倒 数 所 组 成 的 1 1 1数 列 a,。不 可 能 成 等 差 数 列。(1984年 高 考 文 科 卷)证 明：设 a,b,c 是 等 差 数 列 吗 的-1 a-1c c a1,2,3项，其 中(的 公 差 为 d,且“，不，c 是 数 列，1%)的 第 1,2,3项，则 所 以 由 定 理 2得，数 列“，方，。不 可 能 成 等 差 数 列。例 5 已 知-C)1，-K+(C a)加

43、g y+Q 8)log z=若 瞰 A jr,z成 等 比 数 列 且 其 中 E 且 求 证 a,b,c成 等 差 数 列。证 明：因 为 正 数 不 乂 2 成 等 比 数 列，所 以 lo g.%,lo g.y Jog*z 成 等 差 数 列，由 定 理 2得：10gB 无 a 1log.J b 1=*lo g.x+clog,jr+alogB z-ftlo g,z-c lo g,x-alog.ylog.z c 1=-C)log.(c-o)lo g.y+(a-&)logBz=0所 以 a,b,c成 等 差 数 列。定 理 3 若 等 差 数 列 第 1,j项 分 别 为 前 n 项 和 为

44、，贝 I J,1/1j 勺 1=0n2 2SB-F n%=、+5 f d-n(n-I)S.=+-d证 明：由 等 差 数 列 通 项 公 式 和 前 n项 和 公 式 I 2，变 形 为，=赤+5-囚-4=血+(%-0，则 三 点 I 1 在 直 线 Ir f-.+(0j tf)=0,.Jd _+(o(_ rf)=0,Z2SB、/公 八./-(5 一)*(,-d)=0.=&+(-d)I v n三 个 直 线 方 程 看 成 以&-1（.一 吟 为 未 知 数 的 齐 次 线 性 方 程 组，其 系 数 行 列 式 为:。由 三 点 共 线 的 充 要 条 件 得:/勺 1=0n2 2s.-n0

45、f n11=0所 以 1 科 一。例 6 等 差 数 列 吗 的 前 n 项 和 为 K，且 鼻=6,=4,则 公 差 等 于（）（2009年 福 建 理 科 卷 第 3 题）A.1 B.C.2 D.339解：由 定 理 3 得 4 112 3.32 4 q6 1 2-6 al00M 晨 1-眄=。，解 得：.=0八 寸=2故 答 案 为 C opq定 理 4 若 等 差 数 列 前 p,q,r 项 和 为 S g,则 n(n-D.+-d证 明：由 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 2,变 形 为 所 以，J-S a=0d)d)+p=0d,d*不 一 S g=0工-4 _ s=0 d a

46、 2 2，将 其 看 成 关 于 2 2 的 齐 次 线 性 方 程 组,p p Spq q Sg.2 C必 有 非。解，所 以 其 系 数 矩 阵 等 于 0,即,。例 7 已 知 等 差 数 列 中，$=1 0 0,$0 0=1 0,求$1。解：由 定 理 4 得:10 102 100100 1002 10110 1102第 1列 的 10倍 分 别 加 到 第 2 歹 U、第 3 歹！J,得 10 0 0100 9000-990110 11000 Sl l o-llO O=0.9000-990iiooo 6n o noo=0,将 第 1列 提 取 1 0 0 0,第 1行 提 取 9 得

47、 1-1 1 011 3 1 1 0 0=0-1 1 0 0+1210=0解 得 例 8 已 知 等 差 数 列 蝠 满 足：9 O（心 的 前 n项 和 为 名。（2010年 山 东 理 科 高 考 卷 18题）求,及 久；令 4 T,求 数 列 a.的 前 n项 和。解：因 为 2%=%+，=2 6,所 以=1 3。3 7 16 13 1=由 定 理 1得 4 1 39+/+7 n-B n-3 4-42=0整 理 得：1 3 13 7 1=0=2+1o由 通 项 知 当 n=l时，=3,所 以 由 定 理 3 得 X 2 s,一 3n 第 3 列 的-1 倍 加 到 第 1列,第 3 列

48、的(-3)倍 加 到 第 2 列,得 0 0 12 4 1J i2-J i 2S.61 n整 理 得：Sa=2+2o8 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _ 1(2)-N-l Q n+l)-1 一 廿+4”=五 1一 81一 24一 7 91221=0n由 定 理 3 得，8,1将 第 3 列 的 一 1倍 加 至 第 1歹 I J,将 第 3 行 的&倍 加 至 第 2 列 得,2T _1B+_L(2_)=0 T=-n2+l n4 12,24 6。从 上 面 可 以 得 出，结 合 直 线 上 三 点 共 线 和 齐 次 线 性 方 程 组 有 非 零 解 的 理 论 就 可 以 探 求 到

49、行 列 式 与 等 差 数 列 问 题 的 结 合 点.在 求 解 等 差 数 列 问 题 时，行 列 式 解 答 可 以 撰 脱 传 统 中 学 数 学 解 决 此 类 问 题 对 首 项 和 公 差 的 依 赖。由 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 关 系，上 述 定 理 还 可 以 推 广 等 比 数 列 中 的 一 些 应 用。第 二 章 矩 阵 及 其 应 用“矩 阵(Matrix)”术 语 是 由 西 尔 维 斯 特 创 用 并 由 凯 莱 首 先 明 确 其 概 念 的。19世 纪 50年 代,西 尔 维 斯 特 引 入“矩 阵”一 词 来 表 示“一 项 由 m行 n 列

50、 元 素 组 成 的 矩 形 阵 列”或“各 种 行 列 式 组”，凯 莱 作 为 矩 阵 理 论 的 创 立 者,首 先 为 简 化 记 法 引 进 矩 阵,然 后 系 统 地 阐 述 了 矩 阵 的 理 论 体 系。随 后，弗 罗 伯 纽 斯 等 人 发 展 完 善 了 矩 阵 的 理 论 体 系 形 成 了 矩 阵 的 现 代 理 论。然 而,矩 阵 思 想 的 萌 芽 由 来 已 久,早 在 公 元 前 1世 纪 中 国 的 九 章 算 术 就 己 经 用 到 类 似 于 矩 阵 的 名 词。但 那 时 矩 阵 仅 是 用 来 作 为 一 种 矩 形 阵 列 解 决 实 际 问 题，并