2023年高考数学压轴大题含答案解析.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 压 轴 题 1.如 图，曲 线 T的 方 程 是 X2-M P|=1,其 中/、8 为 曲 线 T与 x 轴 的 交 点，/点 在 8 点 的 左 边，曲 线 T与 y 轴 的 交 点 为 D 已 知 a(-C,0),Fl(c,0),c 0,ADB乃 的 面 积 为 1+五 2,(1)过 点 8 作 斜 率 为 左 的 直 线/交 曲 线 T 于 P、。两 点(异 于 8 点)，点 P 在 第 一 象 限,设 点 尸 的 横 坐 标 为 xp、0 的 横 坐 标 为 X 0,求 证：Xp X0是 定 值；(2)过 点 尸 2的 直 线 与 曲 线 T有 且 仅 有

2、一 个 公 共 点，求 直 线”的 倾 斜 角 范 围；(3)过 点 8 作 斜 率 为 衣 的 直 线/交 曲 线 T 于 P、。两 点(异 于 8 点)，点 P 在 第 一 象 限,当 F；P-F；Q=3+2迎 时，求|几|=刈 元|成 立 时 入 的 值.【解 答】解：(1)证 明：设 直 线 方 程 F=(x-1)与 x 2-/=i 2 0)交 点 坐 标 盯=微|,_ _ 2 _ 1设 直 线 方 程=左(X-1)与+y=1(y W O)交 点 坐 标%(2=再 不，*.XP9XQ=1；1 1+V2(2)根 据 面 积 5 x 1 X(14-c)=工 一，得 c=V2,y=m(x-V

3、2)广+,2=1 只 有 一 个 交 点，故 方 程%2+y)xPXQ+(V2-fc2)(xP+和)+2,第 1 页 共 5 页4+%Q=：4 _，XpXQ=1,：.-%Q=(3+2k2)+(V2-k2)-=3+2企,k2=V2,：.xP=3+2VL XQ=3-2VL AP=J40+28&,AQ=，8-4 心,A 2=卜:+：譬=J17+1 2 a=3+2&.J 8-4V22.已 知 函 数(x)=4x2-alnx-a(aGR).(1)求/(x)的 单 调 区 间；(2)已 知 不 等 式/(x)(2-a)/NX-ox+4x2对 任 意 的(0,1 恒 成 立，求 证：当 a取 最 大 值 时

4、，f(x)22历 2-1.【解 答】解：(1)由 题 意 得 了(x)的 定 义 域 是(0,+8),f(x)=8、，=虻 工，J X X若 a W O,则/(x)0 恒 成 立，故/(X)在(0,+8)上 单 调 递 增，若 a 0,令/(x)0,解 得：x 字，令/(x)0,解 得：0 0 时，f(X)在(0,)递 减，在(一，+8)递 增；4 4(2)证 明：,不 等 式 f(x)2(2-Q)-仪+4工 2对 任 意 xE(0,1 恒 成 立，故(x-1)-2/xN0对 任 意 xE(0,1 恒 成 立，令 h(x)=a(x-1)-2lnx xE(0,1,则 力(x)=。一,=，若 a

5、W O,则/(x)V O 恒 成 立，故 人()在(0,1 递 减，故(x)min=h(1)=0,当 0。2 时，hf(x)2 时，0 V 上 V I,令(x)0,解 得：一 a a2 2 2令(x)2),x第 2 页 共 5 页9则 很(x)=-1+p 由 x2,解 得:u(x)0,故(x)在(2,+8)递 减，故(x)2时，h(x)在(0,1 上 的 最 小 值 是 2-4-2/n-V0,a故 a2不 合 题 意，综 上：oW2 时，。的 最 大 值 是 2,当 a 取 最 大 值 时，f(x)=4工 2-21nx-2,1 1/(x)在(0,-)递 减，在(5，+8)递 增，1f(X)mi

6、n=f(5)=2ln2-1,故 当 a 取 最 大 值 时，f(x)22历 2-1.3.已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点，对 称 轴 为 x 轴、轴，且 过 N(0,-2),B d-1)2两 点.(1)求 E 的 方 程；(2)设 过 点 尸(1,-2)的 直 线 交 E 于 M,N 两 点，过 M 且 平 行 于 x 轴 的 直 线 与 线 段 交 于 点 兀 点，满 足 解=而.证 明：直 线 4 N 过 定 点.2 2【解 答】解：(1)设 E 的 方 程 为 t 三=1，4=1将 A(0,-2),-1)两 点 代 入 得 9 1，,2 2=14a b解 得 2=3,炉

7、=4,2 2故 E 的 方 程 为 二 1；3 4 由 A(0,-2),B(-1,-1)可 得 直 线 AB：y=-x-2 若 过 P(l,-2)的 直 线 的 斜 率 不 存 在，直 线 为 x=l,代 入 万 宅=1，可 得 M(l,平)，N(l.争)，第 3 页 共 5 页将 y二 2零 代 入 AB：y=-x-2,可 得 T(遍+3,20 Q 0由 M T=T H，得 H(W+5,2；“-),D易 求 得 此 时 直 线 HN：y=x-2-过 点(0，-2)；3 若 过 尸(1,-2)的 直 线 的 斜 率 存 在，设 履-厂(攵+2)=0,M(xi,yi),N(X2,kx-y-(k+

8、2)=0联 立 小 口 得(3F+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,X1故 有，X1x2=6k(2+k)2 3k2+4=3k(4+k)3k 2+4-8(2+k)Y 1+y2=3 k 4 日-2 4 k(*、4(4+&-2k2 且 勺 丫 2+乂 2为=；=(),y 1 y 广-o-。K+a1 z 3k J+4、1 3yl联 立 2，可 得 T(5+3,yj),H(3 yt+6-xj y1)，y=yx-2/可 求 得 此 时 HN：y-y=-(x-X 0),z 3 y j+6-x!-x2 z将(0,-2)代 入 整 理 得 2(xi+x2)-6(yi+y2)+xiy2+x2yi-2

9、)yyi-12=0,将(*)代 入，得 24/+12庐+96+4弘-24k-48-48什 243-36-48=0,显 然 成 立.综 上，可 得 直 线 V 过 定 点(0,-2).4.已 知 函 数/(x)In(1+x)+axe x.(1)当 a=l 时，求 曲 线 y=f(x)在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程；(2)若/(x)在 区 间(-1,0),(0,+8)各 恰 有 一 个 零 点，求”的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)当。=1 时，/(x)=/(1+x)+泥 一”,则 钎(x)=+ef_xe-x,1+x：.f(0)=1+1=2,又/(O)=0,，所 求 切 线 方

10、程 为 y=2r；e第 4 页 共 5 页若.20,当-IVxVO 时，f(x)0,/(x)单 调 递 增，则/(x)/(0)=0,不 合 题 意；故“0,解 得-l x 1-&或 x l W L 令 g(x)0,解 得 1-V 2 x l 时，g(x)0 若 g(0)=1+。2 0,当 x0 时，g(x)0,/(x)单 调 递 增，不 合 题 意；若 g(0)=l+a0,g(0)g(1)0,则 存 在 xo(0,1),使 得 g(xo)=0,且 当(0,xo)时，g(x)g(0)=0,f(x)单 调 递 减，则/(xo)l 时，/(x)ln(1+x)+a0,f(ea-1)0,则 由 零 点 存 在 性 定 理 可 知/(x)在(1,e 1)上 存 在 一 个 根，当 1-&X(M，g(x)0,f(x)单 调 递 减，f(0)=0，当-1 X 1-&时，/(x)ln(1+x)-ae0,f(e06-1)0,则 由 零 点 存 在 性 定 理 可 知/(x)在(eae-l,1-&)上 存 在 一 个 根.综 上，实 数。的 取 值 范 围 为(-8,-1).第 5 页 共 5 页