第一篇二高考新动向数学归纳法和图像法解决多次碰撞问题讲义.pdf

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1、高 考 新 动 向 1 数 学 归 纳 法 和 图 像 法 解 决 多 次 碰 撞 问 题 当 两 个 物 体 之 间 或 物 体 与 挡 板 之 间 发 生 多 次 碰 撞 时，因 碰 撞 次 数 较 多，过 程 复 杂，在 求 解 多 次 碰 撞 问 题 时，通 常 可 用 到 以 下 两 种 方 法:数 学 归 纳 法 先 利 用 所 学 知 识 把 前 几 次 碰 撞 过 程 理 顺，分 析 透 彻，根 据 前 几 次 数 据，利 用 数 学 归 纳 法，可 写 出 以 后 碰 撞 过 程 中 对 应 规 律 或 结 果，然 后 可 以 计 算 全 程 的 路 程 等 数 据 图 像

2、法 通 过 分 析 前 几 次 碰 撞 情 况，回 出 物 体 对 应 的。一，图 像，通 过 图 像 可 使 运 动 过 程 清 晰 明 了，并 且 可 通 过 图 像 所 围 面 积 把 物 体 的 位 移 求 出 例 1(2022山 东 日 照 市 一 模)如 图 所 示，质 量=1.9 kg的 靶 盒 A 静 止 在 固 定 平 台 上 的。点(未 画 出)，轻 弹 簧 的 一 端 固 定，另 一 端 靠 着 靶 盒(不 连 接)，此 时 弹 簧 处 于 自 然 长 度，弹 簧 的 劲 度 系 数=184N/m.长 度/=2.25m、质 量 祖 2=1.0 kg的 木 板 B 静 止

3、在 光 滑 的 水 平 面 上，木 板 上 表 面 与 平 台 等 高，且 紧 靠 平 台 右 端 放 置，距 离 平 台 右 端 d=4.25 m 处 有 竖 直 墙 壁.某 射 击 者 根 据 需 要 瞄 准 靶 盒，射 出 一 颗 水 平 速 度 加=100 m/s、质 量 惆=0.1 kg的 子 弹，当 子 弹 从 靶 盒 右 端 打 入 靶 盒 后，便 留 在 盒 内(在 极 短 的 时 间 内 子 弹 与 靶 盒 达 到 共 同 速 度)，最 终 靶 盒 恰 好 没 有 从 木 板 的 右 端 脱 离 木 板.已 知 靶 盒 与 平 台、与 木 板 上 表 面 间 的 动 摩 擦

4、因 数 均 为 0.2,最 大 静 摩 擦 力 等 于 滑 动 摩 擦 力，弹 簧 始 终 在 弹 性 限 度 内，木 板 与 墙 壁 碰 撞 没 有 能 量 损 失，靶 盒 与 子 弹 均 可 视 为 质 点，取 g=10 m/s2.(弹 簧 的 弹 性 势 能 可 表 示 为：Ep=*/,&为 弹 簧 的 劲 度 系 数，x 为 弹 簧 的 形 变 量)求：4 e 墙 壁 平 口 光 滑 水 平 面(1)子 弹 射 入 靶 盒 的 过 程 中，系 统 损 失 的 动 能；(2)靶 盒 刚 离 开 弹 簧 时 的 动 能；(3)0点 到 平 台 右 端 的 距 离；(4)木 板 运 动 的

5、总 路 程.答 案(1)475 J(2)21 J(3)3 m(4)3.125 m解 析(1)子 弹 射 入 靶 盒 的 过 程 中，由 动 量 守 恒 定 律 有，o0o=(，i+，o)。，得 o=5m/s系 统 损 失 的 动 能 AEk=1/noWo21(mi+mo)v2,解 得 Ek=475 J;子 弹 进 入 靶 盒 后，设 靶 盒 向 左 运 动 的 最 大 距 离 为 x,由 能 量 守 恒 定 律 有解 得 x=0.5 m,靶 盒 再 次 返 回 到。点 时 离 开 弹 簧，设 此 时 动 能 为 Ek,由 动 能 定 理 有-2（如+mo）gx=Ek-；（机 i+团（）济，解

6、得 反=21 J;（3）设。点 到 平 台 右 端 的 距 离 为 s,靶 盒 A 离 开。点 后 仅 在 摩 擦 力 的 作 用 下 做 匀 减 速 直 线 运 动，滑 上 木 板 后，木 板 与 墙 壁 多 次 碰 撞，最 终 靶 盒 停 在 木 板 右 端，由 能 量 守 恒 定 律 得 E k=W n i+mo）g（s+/）,解 得 s=3 m;（4）设 靶 盒 滑 上 长 木 板 时 的 速 度 大 小 为 vf由 动 能 定 理 有 一（如+m（i）gs=3（如+mo）v 12-Ek,解 得 v=3 m/s,设 之 后 靶 盒 与 木 板 达 到 共 同 速 度 V,+m（）v=（

7、zni+AHO+m2）vi,解 得 S,=2 m/s,该 过 程 中 木 板 的 位 移 为 si,木 板 的 加 速 度 为 a,=m2a,根 据 s 2 g,解 得 51=0.5 m J/,说 明 木 板 与 墙 壁 碰 撞 之 前 已 经 与 靶 盒 达 到 共 同 速 度，木 板 第 一 次 与 墙 壁 碰 撞 之 后 向 左 减 速，经 位 移 大 小 S速 度 减 为 0,再 向 右 加 速，设 与 靶 盒 达 到 共 同 速 度 0 2,以 向 右 为 正 方 向（下 同），有（如+机 0）。一 加 2。/=（m+m（）+m2）V29 可 得 0 2=/i,木 板 第 二 次 与

8、 墙 壁 碰 撞 之 后 向 左 减 速，经 位 移 大 小$2速 度 减 为 0,再 向 右 加 速 022=2 必 设 第 二 次 与 墙 壁 碰 撞 之 后，靶 盒 与 木 板 达 到 共 同 速 度 03,（m 1+tno）V2 m 1+mo+ni2）V3,1,。3=产=（#1,第 三 次 与 墙 壁 碰 撞 之 后，经 位 移 大 小$3速 度 减 为 0,再 向 右 加 速，u，=2as3,第 次 与 墙 壁 碰 撞 之 后，靶 盒 与 木 板 达 到 共 同 速 度 为+i,%+i=（gy%J经 位 移 大 小 s 速 度 减 为 0,再 向 右 加 速，%+/=2a%+,木 板

9、 的 路 程 L=d/+2i+2$z+2 s”+i,即 L=d-l+7 1+抖 打+S解 得 L=3.125m.例 2(2022山 东 潍 坊 市 高 三 期 末)如 图 所 示，在 光 滑 水 平 面 上 放 置 一 端 带 有 挡 板 的 长 直 木 板 A,木 板 A 左 端 上 表 面 有 一 小 物 块 B,其 到 挡 板 的 距 离 为 d=2m,A、B 质 量 均 为?=lkg,不 计 一 切 摩 擦.从 某 时 刻 起，B 始 终 受 到 水 平 向 右、大 小 为 F=9 N 的 恒 力 作 用，经 过 一 段 时 间,8 与 A 的 挡 板 发 生 碰 撞,碰 撞 过 程

10、中 无 机 械 能 损 失,碰 撞 时 间 极 短.重 力 加 速 度 g=10 m/s2.求：(1)物 块 B 与 A 挡 板 发 生 第 一 次 碰 撞 后 的 瞬 间，物 块 8 与 木 板 A 的 速 度 大 小；(2)由 静 止 开 始 经 多 长 时 间 物 块 B 与 木 板 A 挡 板 发 生 第 二 次 碰 撞，碰 后 瞬 间 A、B 的 速 度 大 小;(3)画 出 由 静 止 释 放 到 物 块 B 与 4 挡 板 发 生 3 次 碰 撞 时 间 内，物 块 8 的 速 度。随 时 间/的 变 化 图 像；(4)从 物 块 B 开 始 运 动 到 与 木 板 4 的 挡

11、板 发 生 第 次 碰 撞 时 间 内，物 块 8 运 动 的 距 离.答 案(1)0 6 m/s(2)g s 12 m/s 6 m/s(3)见 解 析 图(4)2+4(-I)m(=2,3,4,)解 析(1)8从 A 的 左 端 开 始 到 右 端 的 过 程，由 动 能 定 理 有 尸=；诂()2解 得 次)=6 m/s8 与 A 碰 撞 过 程，由 动 量 守 恒 和 能 量 关 系 有 mv()=inv+mv2；加 a2=2+；加 也 2解 得 功=0V2=6 m/s(2)第 一 次 碰 后 A 向 右 以 速 度 勿=6 m/s做 匀 速 运 动，B 做 初 速 度 为 0、加 速 度

12、 为 Fa=9 m/s2的 句 加 速 运 动，则 第 二 次 碰 撞 时 有 V2t=al24解 得/=1 s此 时 B 的 速 度 为 s=G=1 2 m/s,第 二 次 碰 撞 时，同 样 由 动 量 守 恒 和 能 量 关 系 有 nW2+诂 3=+mV5niVT2+=/?U42+8 疗 解 得 A、8 的 速 度 为 04=12 m/s05=6 m/s(3)同 理 第 三 次 碰 撞 时 有Vst+2=V4t4解 得 t=，s此 时 B 的 速 度 为 06=05+=18 m/s从 开 始 运 动 到 第 一 次 碰 撞 的 时 间 0()2to=。=3 s由 静 止 释 放 到 物

13、 块 8 与 A 挡 板 发 生 3 次 碰 撞 时 间 内，物 块 B 的 速 度 v 随 时 间 t的 变 化 图 像 如 图 所 示；(nrs-i)2 10 z/s(4)由 以 上 分 析 可 知，从 第 一 次 碰 后，到 下 一 次 碰 撞，8 向 前 运 动 的 距 离 都 比 前 一 次 多 8 m,由。一/图 像 可 知，从 B 开 始 运 动 到 第 1次 碰 撞，2 运 动 的 距 离 为 2 m;从 第 1次 到 第 2 次 碰 撞，B 运 动 的 距 离 为 8 m;从 第 2 次 到 第 3 次 碰 撞，8 运 动 的 距 离 为 8 m+8 m=1 6 m;从 第

14、3 次 到 第 4 次 碰 撞，B 运 动 的 距 离 为 16m+8 m=24m;根 据 数 学 知 识 可 知 从 物 块 B 开 始 运 动 到 与 木 板 A 的 挡 板 发 生 第 n 次 碰 撞 时 间 内，物 块 B 运 动 的 距 离 s=2 m+(n 1)X8 m+y(1)(-2)m=2+4/(-1)m(/j=2,3,4,)专 题 强 化 练 1.(2022 湖 南 岳 阳 市 质 检)如 图 所 示，小 滑 块 A 位 于 长 木 板 B 的 左 端，现 让 小 滑 块 A 和 长 木 板 B 一 起 以 相 同 速 度。0=3 m/s在 光 滑 的 水 平 面 上 滑 向

15、 前 方 固 定 在 地 面 上 的 木 桩 C.A、B 的 质 量 分 别 为 如=2 kg,7722=1 kg,已 知 8 与 C 的 碰 撞 时 间 极 短，且 每 次 碰 后 B 以 原 速 率 弹 回，运 动 过 程 中 A 没 有 与 C 相 碰，A 也 没 从 8 的 上 表 面 掉 下，已 知 A、3 间 的 动 摩 擦 因 数“=0.1,(g=10 m/s2)求：B(11与 C 第 二 次 碰 前 瞬 间 的 速 度 大 小；(2)欲 使 A 不 从 B 的 上 表 面 掉 下，B 的 长 度 至 少 是 多 少;(3)8与 C第 一 次 碰 后 到 最 终 停 止 运 动，

16、B 运 动 的 总 路 程.答 案(1)1 m/s(2)6.75 m(3)5.062 5 m解 析(1)第 一 次 碰 后 A、8 达 到 共 同 速 度 且 为 B 与 C 第 二 次 碰 前 瞬 间 的 速 度，设 为 oi,以 向 右 为 正，由 动 量 守 恒 定 律 有 机 100 相 2。0=(11+W2)V1M 汨 g f 2.1,解 传。尸 而 研=铲=1m/s(2)全 过 程 由 能 量 守 恒 定 律 有 阳 igL=g(如+/?72)PO2可 得 L=6.75 m(3)设 8 与 C 第 一 次 碰 后 向 左 运 动 的 最 大 距 离 为 si,对 长 木 板，由 动

17、 能 定 理 fim igsi=0-2W 2 V02解 得 5i=-o2=2.25 m2/i mg第 二 次 碰 后 由 动 量 守 恒 定 律 有 mV 一=(m+机 2)02解 何。2=而 二 1 1=铲 1=(1)00设 3 与 C 第 二 次 碰 后 向 左 运 动 的 最 大 距 离 为 贝，对 长 木 板，由 动 能 定 理 一 加 1 gS2=0-严 2VI2-2 2 可 付 S2=%G=S|第 三 次 碰 后，由 动 量 守 恒 定 律 有 tnV2m2V2=(m+?2)。3,可 得 03=5 2设 8 与 C 第 三 次 碰 后 向 左 运 动 的 最 大 距 离 为 S 3

18、,对 长 木 板，由 动 能 定 理 即 1 g$3=0-可 得 S3=7 2=&2S|Si,S2,S 3,，S”为 等 比 数 列，公 比 为 盛,B 运 动 的 总 路 程 5 m.1-92.(2022河 南 省 模 拟)窗 帘 上 部 结 构 可 以 简 化 为 如 图 所 示 的 模 型：长 滑 杆 水 平 固 定，上 有 9 个 相 同 的 滑 环，滑 环 厚 度 忽 略 不 计，每 个 滑 环 的 质 量 均 为，力=0.1 kg；每 相 邻 的 两 个 滑 环 之 间 由 不 可 伸 长 的 柔 软 轻 质 细 线 相 连，细 线 长 度 均 为/=0.2 m；滑 环 与 水 平

19、 滑 杆 间 的 动 摩 擦 因 数 均 为“=0.25.开 始 时 所 有 滑 环 可 近 似 地 看 成 挨 在 一 起 处 于 滑 杆 右 侧 边 缘 处，滑 环 间 无 挤 压；第 9 个 滑 环 被 固 定 在 滑 杆 最 右 端.现 给 第 1个 滑 环 一 个 初 速 度。o,使 其 在 滑 杆 上 向 左 滑 行(可 视 为 只 有 平 动)；在 滑 环 滑 行 的 过 程 中，前、后 滑 环 之 间 的 细 线 绷 紧 后，两 个 滑 环 立 即 以 共 同 的 速 度 向 前 滑 行，细 线 绷 紧 的 过 程 用 时 极 短，可 忽 略 不 计.取 g=10m/s2.上

20、幺 丈 旦 观(1)若 如=1.25 m/s,求 第 1、2 个 滑 环 间 的 细 线 刚 刚 绷 紧 瞬 间 第 2 个 滑 环 的 速 度 大 小;(2)若 第 4 个 滑 环 已 被 细 线 拉 动，求 第 3、4 个 滑 环 间 的 细 线 绷 紧 后 瞬 间 整 个 装 置 动 能 与 绷 紧 前 瞬 间 整 个 装 置 动 能 的 比 值;(3)为 让 所 有 的 细 线 都 被 拉 直，第 1个 滑 环 至 少 需 要 获 得 多 大 的 初 速 度？(计 算 结 果 可 用 根 号 表 示)答 案(1)0.375 m/s(2)(3)2百 m/s解 析(1)设 第 1、2 个

21、滑 环 间 的 细 线 刚 刚 绷 紧 前 第 1个 滑 环 的 速 度 为。由 动 能 定 理 得 解 得 Pi=0.75 m/s设 第 1、2 个 滑 环 间 的 细 线 刚 刚 绷 紧 瞬 间 两 个 滑 环 的 速 度 变 为 0 2,由 动 量 守 恒 定 律 得 tnV=2/如 2解 得 6=0.3 7 5 m/s(2)设 第 3、4 个 滑 环 间 的 细 线 绷 紧 前 瞬 间 整 个 装 置 的 速 度 为 s,第 3、4 个 滑 环 间 的 细 线 绷 紧 后 瞬 间 整 个 装 置 的 速 度 为 以，由 动 量 定 理 得 3%如 3=4/加 43解 得 0 4=早 3

22、则 第 3、4 个 滑 环 间 的 细 线 绷 紧 后 瞬 间 整 个 装 置 动 能 与 绷 紧 前 瞬 间 整 个 装 置 动 能 的 比 值 为 匚 X4mV42 Qk4_=3-=4 第 1个 滑 环 向 左 运 动 至 细 线 被 拉 直 的 过 程 中 有 一 加 g/=E k i-E k o第 2 个 滑 环 向 左 运 动 至 细 线 被 拉 直 的 过 程 中 有 一 X 2mgi=变 形 可 得 一 X 22mgi=2Ek2Ek i第 3 个 滑 环 向 左 运 动 至 细 线 被 拉 直 的 过 程 中 有 一 X 32 mg/=3反 3-2反 2第 4 个 滑 环 向 左 运 动 至 细 线 被 拉 直 的 过 程 中 有 一 X 42/HZ=4Ek43Ek3则 第 8 个 滑 环 向 左 运 动 至 细 线 被 拉 直 的 过 程 中 有 一 X 8 赤 g/=8&87反？要 让 所 有 细 线 均 被 拉 直，有 反 8 2。联 立 有/zwg/-(l2+22+32+42+,+82)=8Ek8koOmvo2-2 12+22+32+42 H-F82)解 得 加 2、204 m/s=2#T m/s.