2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第1节：函数及其表示（学生版）.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 总 复 习 第 二 章 函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 第 1节 函 数 及 其 表 示 考 试 要 求 1.了 解 构 成 函 数 的 要 素，会 求 一 些 简 单 函 数 的 定 义 域 和 值 域，了 解 映 射 的 概 念；2.在 实 际 情 境 中，会 根 据 不 同 的 需 要 选 择 恰 当 的 方 法(如 图 像 法、列 表 法、解 析 法)表 示 函 数；3.了 解 简 单 的 分 段 函 数，并 能 简 单 地 应 用(函 数 分 段 不 超 过 三 段).I 知 识 诊 断 基 础 夯 实|知 识 梳 理 1.函 数 的 基 本

2、概 念(1)函 数 的 定 义 给 定 两 个 非 空 数 集 Z 和 8,如 果 按 照 某 个 对 应 关 系/,对 于 集 合/中 的 任 何 一 个 数 x,在 集 合 8 中 都 存 在 唯 二 的 数/(x)与 之 对 应，那 么 就 把 对 应 关 系/叫 作 定 义 在 集 合 力 上 的 函 数，记 作/：或 x W Z,此 时 x 叫 作 自 变 量，集 合/叫 作 函 数 的 定 义 域，集 合 Ax)|xG/叫 作 函 数 的 值 域.(2)函 数 的 三 要 素 是：定 义 域、值 域 和 对 应 关 系.(3)表 示 函 数 的 常 用 方 法 有：列 表 法、图

3、像 法 和 解 析 法.2.分 段 函 数(1)若 函 数 在 其 定 义 域 内，对 于 定 义 域 内 的 不 同 取 值 区 间,有 着 不 同 的 对 应 关 系，这 样 的 函 数 通 常 叫 作 分 段 函 数.(2)分 段 函 数 是 一 个 函 数，分 段 函 数 的 定 义 域 是 各 段 定 义 域 的 在 集，值 域 是 各 段 值 域 的 并 集.常 用 结 论 L 函 数 是 特 殊 的 映 射，是 定 义 在 非 空 数 集 上 的 映 射.2.直 线 x=a(a是 常 数)与 函 数 y=/(x)的 图 像 至 多 有 1 交 点.3.注 意 以 下 几 个 特

4、殊 函 数 的 定 义 域(1)分 式 型 函 数，分 母 不 为 零 的 实 数 集 合.(2)偶 次 方 根 型 函 数，被 开 方 式 非 负 的 实 数 集 合.第 1 页 共 1 0 页(3)/U)为 对 数 式 时，函 数 的 定 义 域 是 真 数 为 正 数、底 数 为 正 且 不 为 1 的 实 数 集 合.(4)若/(x)=x。，则 定 义 域 为 x|xWO.(5)正 切 函 数 尸 ta n x的 定 义 域 为 7 碗 十 子.诊 断 自 测 1.思 考 辨 析(在 括 号 内 打“J”或“义”)(1)函 数 _ y=l与 y=x。是 同 一 函 数.()(2)对 于

5、 函 数 f A-B,其 值 域 是 集 合 氏()(3辿%)=3 一 3+、2 x是 一 个 函 数.()(4)若 两 个 函 数 的 定 义 域 与 值 域 相 同，则 这 两 个 函 数 相 等.()2.若 函 数 的 定 义 域 为=x|-2 W x W 2,值 域 为 N=(y|0 yW2,则 函 数 _y=/(x)的 图 像 可 能 是().皿 3”（xWO）,P3.（2021 贵 阳 诊 断）已 知 函 数/（）=则 九 心 J=（）10g3X（XO）,A.-l B.2 C.S D.-24.(2020北 京 卷)函 数/(x)=一+In x 的 定 义 域 是 _.x+15.(易

6、 错 题)已 知/M)=x 1,则/(x)=.N+2,xW l,6.已 知 函 数/(x)=，v1，1 则/(x)的 值 域 为 _.X考 点 突 破 题 型 剖 析 考 点 一 函 数 的 定 义 域 1.函 数 y=/l x2+log2(tan X 1)的 定 义 域 是.第 2 页 共 1 0 页2.函 数./0)=+111(刀+1)的 定 义 域 为()A.(2,4-0)B.(-h 2)U(2,+0)C.(l,2)D.(-l,23.(2021 西 安 检 测)已 知 函 数 y=/(x)的 定 义 域 为-8,1,则 函 数 g(x)=J(丁+1)x+2的 定 义 域 是()A.(8,

7、-2)U(-2,3B.(8,-2)U(-2,1-_9 C.2 Ju(-2,0_9 _ 7,2D.L 2 4.已 知 函 数/(2x1)的 定 义 域 为 0,1,则/(一 十 1)的 定 义 域 是()10g2(x+1)A.(-L 0)B.(1,0C.-l,0)D.-l,0考 点 二 求 函 数 解 析 式 例 1 求 下 列 函 数 的 解 析 式：(1)已 知/(lsinx)=cos2x,求/(x)的 解 析 式；(2)已 知 求/(x)的 解 析 式；(3)已 知 外)是 一 次 函 数 且 双 x+l)一(xl)=2x+17,求 人 x)的 解 析 式；(4)已 知/(x)满 足 2/

8、(x)+/(-)=3x,求/(x)的 解 析 式.第 3 页 共 1 0 页训 练 1(1)已 知=l g x,则“x)=(2)(2021 黄 冈 检 测)已 知.号，则 於 尸(3)(2022唐 山 模 拟)已 知/(x)是 二 次 函 数 且/(0)=2,/(x+1)/(x)=x 1,则/(x)=考 点 三 分 段 函 数 角 度 1 分 段 函 数 的 求 值 z,.Q x,x，一 1,例 2(1)已 知 函 数 加)=,则/(0)一/(3)=_.lO g2(1 X),X 0(2)设 函 数/)=二 二:(心 0且 a W l),若 人 2)=4,则 大 2 023)=_.f(x+4a)

9、,x 2例 3(1)(2021浙 江 卷)已 知 a R,函 数/(%)=若 则。x-3+a,x 2.Iog2(3 x),xWO,i(2)(2022长 沙 质 检)已 知 函 数 加)=,若 儿/-1)=匕 则 实 数 a2X1,x0,2角 度 3 分 段 函 数 与 不 等 式 log2X，X 1,例 4(2021合 肥 模 拟)已 知 函 数 段)=,则 危)y x+1)的 解 集 为()x 1,xW 1,A.(-1,+0)c 昌+TB.(-h 1)D.(?03 x v 训 练 2(1)函 数 x)=则 关 于 函 数 作)的 说 法 不 正 确 的 是()Inx,第 4 页 共 1 0

10、页A.定 义 域 为 R B.值 域 为（-3,+8）C.在 R 上 为 增 函 数 D.只 有 一 个 零 点 2 _丫 x0（2）（2021 郑 州 调 研）已 知 函 数/（x）=若/（-1）=3,则 不 等 式/（x）W5a+1,xWO,的 解 集 为（）A.2,1 B.3,3C.-2,2 D.-2,3微 点 突 破/函 数 的 值 域 求 函 数 值 域 的 一 般 方 法：（1）单 调 性 法；（2）不 等 式 法；（3）配 方 法；（4）换 元 法；（5）数 形 结 合 法；（6）分 离 常 数 法；（7）导 数 法.一、单 调 性 法 2 023x+l+2 022例 1 已 知

11、。0,设 函 数 兀 0=；彳 23；1+2 0 2 3.丁 口 一。，0）的 最 大 值 为 加，最 小 值 为 N,则 M+N 的 值 为（）A.2 023 B.2 024C.4 045 D.4 046二、不 等 式 法 主 要 是 指 运 用 基 本 不 等 式 及 其 变 形 公 式 来 解 决 函 数 最 值 问 题 的 一 种 方 法.常 用 的 基 本 不 等 式 有 以 下 几 种：a2+b22ab（a,b 为 实 数）;审 亍 丽（心 0,心 0）；b 为 实 数）.例 2 设 x,z 为 正 实 数，x-2 y+3 z=0,则 记 的 最 小 值 为.XZ第 5 页 共 1

12、 0 页三 配 方 法 配 方 法 是 求 二 次 函 数 最 值 的 基 本 方 法，如 函 数 E(x)=q/2(x)+a/(x)+c的 最 值 问 题,可 以 考 虑 用 配 方 法.例 3 已 知 函 数=a)2(eR,qWO),求 函 数 y 的 最 小 值.四 换 元 法 换 元 法 有 两 类，即 代 数 换 元 和 三 角 换 元，我 们 可 以 根 据 具 体 问 题 及 题 目 形 式 去 灵 活 选 择 换 元 的 方 法，以 便 将 复 杂 的 函 数 最 值 问 题 转 化 为 简 单 函 数 的 最 值 问 题，从 而 求 出 原 函 数 的 最 值.例 4(1)函

13、 数 人 x)=x+2/，的 最 大 值 为；(2)函 数 歹=x 一 4=)的 值 域 为.五 数 形 结 合 法 数 形 结 合 法，是 指 利 用 函 数 所 表 示 的 几 何 意 义，借 助 几 何 方 法 及 函 数 的 图 像 求 函 数 最 值 的 一 种 常 用 的 方 法.a,一 例 5 对 a,记 maxq,b=函 数/(x)=max|x+1|,|x2|(xR)b，ab，的 最 小 值 是.六、分 离 常 数 法 例 6 已 知 人 x)=22x口+1，求 此 函 数 的 值 域.X3第 6 页 共 1 0 页七 导 数 法 例 7 已 知/(x)=2 x I n x,求

14、/(x)的 值 域.防 层 训 练 巩 固 提 升 A级 基 础 巩 固 1.如 图 是 张 大 爷 晨 练 时 离 家 距 离 8)与 行 走 时 间(x)之 间 的 函 数 关 系 的 图 像.若 用 黑 点 表 示 张 大 爷 家 的 位 置，则 张 大 爷 散 步 行 走 的 路 线 可 能 是()、_,，A B C D2.下 列 所 给 图 像 是 函 数 图 像 的 个 数 为()A.1)x+1 x V 03.已 知 函 数 r)=,贝 IJ攸 8)等 于(),1 10g2X,X0,A.-1 B.C.-D.22 2第 7 页 共 i o 页4.设 函 数 火 1+JJ=X,则/(x

15、)的 表 达 式 为()1+x 1+x-1)B.1)1-X X11-Y 0 xC-1)D.-(xW-1)1+x x+12x-15.已 知 函 数/(x)=,)i 且/(xo)=3,则 实 数 xo的 值 为()3x,x0,A.-l B.lC.-l 或 1 D.-l 或 一 13/(2x 1)6.(2021 兰 州 质 检)已 知 函 数 人 x)的 定 义 域 是-1,1,则 函 数 g(x)=/的 In(1 X)定 义 域 是()A.0,1 B.(0,1)C.0,1)D.(0,17.(2021 成 都 检 测)高 斯 是 德 国 著 名 的 数 学 家，近 代 数 学 奠 基 者 之 一，享

16、 有“数 学 王 子”的 称 号，用 其 名 字 命 名 的“高 斯 函 数”为：设 x R,用 幻 表 示 不 超 过 x的 最 大 整 数，则 歹=幻 称 为 高 斯 函 数.例 如：-0.5=-1,.已 知 函 数./(X)=1 x-3 X2v+4(0 x2),则 函 数 y=/U)的 值 域 为()一 _1 3 A.L 2 2J B.-1,0,1)C.-1,0,1,2 D.0,1,2,仔+x,x20,8,已 知 函 数.3x,x0,则 实 数“的 取 值 范 围 为()A.(l,+)B.(2,+8)C.(8,-1)U(1,+8)D.(8,-2)U(2,+8)9.函 数./(x)=ln1

17、 一 炉 的 定 义 域 为.第 8 页 共 1 0 页2x|10.(2022 西 安 质 检)已 知 函 数=,则 满 足 火。)1 的 实 数”的 2,x20,取 值 范 围 是.11.已 知 函 数 y(x)满 足 x)=2x(xW0),则 八-2)=,/=X12.具 有 性 质：)=外 幻 的 函 数，我 们 称 为 满 足“倒 负”变 换 的 函 数，下 列 函 数 满 足“倒 负”变 换 的 函 数 的 是.x,01.X|B级 能 力 提 升 13.(2022 河 南 名 校 联 考)已 知 函 数/(x)=，若 危 一 4)况 2%3),则 实,1,x0,数 x 的 取 值 范

18、围 是()A.(-h+8)B.(8,-1)C.(-L 4)D.(8,i)14.已 知 函 数/()=1 2)x+3“xl的 值 域 为 R,则 实 数。的 取 值 范 围 是 2 I15.若 函 数/(x)满 足：在 定 义 域。内 存 在 实 数 xo,使 得/(xo+l)=/(xo)+/(l)成 立,则 称 函 数/(x)为“1 的 饱 和 函 数”.给 出 下 列 四 个 函 数：/(x)=i；颔 x)=2、；X()/(x)=lg(x2+2)；/(x)=cos(7tr).其 中 是“1 的 饱 和 函 数”的 所 有 函 数 的 序 号 为.第 9 页 共 1 0 页Y216.已 知 函 数 於)=/.1+xz(1)求/(2)与.6,/(3)与.6；(2)由(1)中 求 得 的 结 果，你 能 发 现/(x)与 有 什 么 关 系？证 明 你 的 发 现;(3)求/(2)+)+/(3)+|+/(2 022)+/的 值.第 1 0 页 共 1 0 页