2023年小学数学最容易搞错的十五条基础概念.pdf

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1、2023年 小 学 数 学 最 容 易 搞 错 的 15条 基 础 概 念 今 天，林 紫 给 大 家 整 理 了 小 学 数 学 最 容 易 搞 错 的 1 5条 基 础 概 念,可 下 载 电 子 版，下 载 方 法 见 文 尾。最 小 的 一 位 数 是。还 是 1?这 个 问 题 在 很 长 一 段 时 间 存 在 争 论。先 来 看 看 九 年 义 务 教 育 六 年 制 小 学 数 学 第 八 册 教 师 教 学 用 书 第 9 8页 关 于 几 位 数 的 叙 述：通 常 在 自 然 数 里，含 有 几 个 数 位 的 数，叫 做 几 位 数。例 如 2 是 含 有 一 个 数

2、位 的 数，叫 做 一 位 数；30”是 含 有 两 个 数 位 的 数，叫 做 两 位 数；4 0 5 是 含 有 三 个 数 位 的 数，叫 做 三 位 数 但 是 要 注 意：一 般 不 说 0 是 几 位 数。再 来 听 听 专 家 的 说 明：在 自 然 数 的 理 论 中，对 几 位 数 是 这 样 定 义 的，只 用 一 个 有 效 数 字 表 示 的 数，叫 做 一 位 数；只 用 两 个 数 字（其 中 左 边 第 一 个 数 字 为 有 效 数 字）表 示 的 数，叫 做 两 位 数 所 以，在 一 个 数 中，数 字 的 个 数 是 几（其 中 最 左 边 第 一 个 数

3、 字 为 有 效 数 字），这 个 数 就 叫 几 位 数。于 此，所 谓 最 大 的 几 位 数，最 小 的 几 位 数，通 常 是 在 非 零 自 然 数 的 范 围 研 究。所 以 一 位 数 共 有 九 个，即：1、2、3、4、5、6、7、8、9 o0不 是 最 小 的 一 位 数。为 什 么 0 也 是 自 然 数？课 标 教 材 对 0 也 是 自 然 数”的 规 定，颠 覆 了 人 们 对 自 然 数 的 传 统 认 识。于 此，中 央 教 科 所 教 材 编 写 组 主 编 陈 昌 铸 如 是 说：国 际 上 对 自 然 数 的 定 义 一 直 都 有 不 同 的 说 法，以

4、法 国 为 代 表 的 多 数 国 家 都 认 为 自 然 数 从 0 开 始，我 国 教 材 以 前 一 直 都 是 遵 循 前 苏 联 的 说 法，认 为 0 不 是 自 然 数。2000年 教 育 部 主 持 召 开 教 材 改 编 会 议 时，已 明 确 提 出 将 0 归 为 自 然 数。这 次 改 版 也 是 与 国 际 惯 例 接 轨。从 教 学 实 践 层 面 来 说，将 0 规 定 为 自 然 数”也 有 着 积 极 的 现 实 意 义。2.1 0”作 为 自 然 数 的“好 处”众 所 周 知，数 学 中 的 集 合 被 分 为 有 限 集 合 和 无 限 集 合 两 类。

5、有 限 集 合 是 含 有 有 限 个 元 素 的 集 合，像 某 班 学 生 的 集 合。无 限 集 合 是 含 有 的 元 素 个 数 是 非 有 限 的 集 合，如 分 数 的 集 合。因 为 自 然 数 具 有 基 数 的 性 质，因 此 用 自 然 数 来 描 述 有 限 集 合 中 元 素 的 个 数 是 很 自 然 的。但 在 有 限 集 合 中，有 一 个 最 主 要 也 是 最 基 本 的 集 合，叫 空 集,元 素 个 数 为 0o如 果 不 把 0 作 为 自 然 数，那 么 空 集 的 元 素 的 个 数 就 无 法 用 自 然 数 来 表 示 了。如 果 把 0 作

6、为 一 个 自 然 数，那 么 自 然 数 就 可 以 完 成 刻 画 有 限 集 合 元 素 个 数 的 任 务 了。于 此，从 自 然 数 的 基 数 性 这 个 角 度，我 们 看 到 了 把 0 作 为 自 然 数 的 好 处。2.2 把 0”作 为 自 然 数，不 会 影 响 自 然 数 的“运 算 功 能”0 加 入 传 统 的 自 然 数 集 合，所 有 的“运 算 规 则 依 旧 保 持,如 新 自 然 数 集 合 0,1,2,n，中 的 任 何 两 个 自 然 数 都 可 以 进 行 加 法 和 乘 法 运 算，而 运 算 结 果 仍 然 是 自 然 数。同 时，加 法、乘

7、法 运 算 的 结 合 律 和 交 换 律，以 及 乘 法 的 分 配 律 也 不 会 受 到 影 响。所 以，0 加 盟 到 自 然 数 集 合 实 属 理 所 当 然，而 不 仅 仅 是 人 为 的 规 定。它 让 我 们 更 好 地 理 解 自 然 数 和 它 的 功 能，同 时 也让 我 们 意 识 到 教 学 时 不 仅 要 知 道 和 记 住 数 学 的 定 义 和 规 定，还 应 该 思 考 规 定”背 后 的 数 学 涵 义。什 么 是 有 效 数 字 一 无 效 数 字？有 效 数 字 是 对 一 个 数 的 近 似 值 的 精 确 程 度 而 提 出 的。同 一 个 近 似

8、 数 如 果 在 取 舍 时，保 留 的 有 效 数 字 多，就 比 保 留 的 有 效 数 字 少 更 精 确。一 般 说，一 个 近 似 数 四 舍 五 入 到 哪 一 位，就 说 这 个 近 似 数 精 确 到 哪 一 位。这 时，从 左 边 第 一 个 非 零 的 数 字 起，到 那 一 位 上 的 所 有 数 字 都 叫 做 这 个 数 的 有 效 数 字。如 近 似 数 0.0 0 3 0 9 有 三 个 有 效 数 字：3、0、9;0.52 0 也 有 三 个 有 效 字：5、2、0o而 0.0 0 3 0 9 中 左 边 的 三 个 零，0.5 2 0 中 左 边 的 一 个

9、零，都 叫 做 无 效 数 字。加 法 与 减 法、乘 法 与 除 法 是 否 互 为 逆 运 算？加 法 与 减 法 互 为 逆 运 算、乘 法 与 除 法 互 为 逆 运 算 这 似 乎 成 了 许 多 老 师 的 口 头 禅，这 其 实 是 一 种 误 解。例 如：加 法 2+3=5,其 逆 算 为 5-2=3,5-3=2。故 此，加 法 的 逆 运 算 只 有 减 法；减 法 5-2=3,其 逆 算 有 5-3=2,2+3二 5“。故 此，减 法 的 逆 运 算 有 减 法 和 加 法 两 种 运 算。综 上 可 知，只 能 说 减 法 是 加 法 的 逆 运 算，而 不 能 说 加

10、法 与 减 法 互 为 逆 运 算。同 理，也 只 能 说 除 法 是 乘 法 的 逆 运 算，而 不 能 说 乘 法 与 除 法 互 为 逆 正 算。为 什 么 不 写 倍”？在 学 习 求 一 个 数 是 另 一 个 数 的 几 倍 应 用 题 时，很 多 小 朋 友 会 自 然 提 出 这 样 的 疑 问，如：饲 养 小 组 养 了 1 2只 小 鸡，3 只 小 鸭，小 鸡 的 只 数 是 小 鸭 的 几 倍？为 什 么 12+3=4 的 后 面 不 写 倍 呢？我 们 首 先 应 该 肯 定 学 生 的 质 疑（学 生 有 较 强 的 解 题 规 范 意 识）o但 同 时 又 该 对

11、学 生 说 明：在 解 答 应 用 题 时，得 数 后 面 一 般 要 写 上 的 是 数 的 单 位 名 称 如：1 2只 的 只；8 克 的 克。一 个 数 只 有 带 上 单 位 名 称,才 能 准 确 地 表 示 出 一 个 物 体 的 多 少、大 小、长 短、轻 重 等 等。但 是，倍 不 是 单 位 名 称，它 表 示 两 个 数 量 之 间 的 一 种 关 系。例 如，上 面 的 计 算 结 果 4,表 示 1 2里 面 有 4 个 3,就 是 12只 小 鸡 是 3只 小 鸭 的 4 倍。所 以，在 算 式 里 不 写 倍，以 免 倍 与 单 位 名 称 发 生 混 淆。倍 和

12、 倍 数 的 区 别 在 第 一 学 段 我 们 学 习 了 倍 的 初 步 认 识，认 识 了 概 念 倍，而 在 第 二 学 段，我 们 又 学 习 到 倍 数 这 个 概 念。那 么，倍 和 倍 数 这 两 个 词 到 底 是 不 是 一 回 事 呢？这 两 个 词 之 间 有 什 么 区 别 呢？倍 指 的 是 数 量 关 系，它 建 立 在 乘 除 法 概 念 的 基 础 上。例 如：男 生 有 10人，女 生 有 30人，因 为 10 x3=30或 者 30+10=3,我 们 就 说，女 生 人 数（30）是 男 生 人 数（10）的 3倍，也 可 以 说，男 生 人 数（10）的

13、 3倍 等 于 女 生 人 数（30）o勿 宁 说，倍 其 实 表 示 的 是 两 个 数 的 商（这 个 商 可 以 是 整 数、小 数、分 数 等 各 种 表 现 形 式）。倍 数 指 的 是 数 与 数 之 间 的 联 系，它 建 立 在 整 除 概 念 的 基 础 o 例 如，3 0能 被 6 整 除，3 0就 是 6 的 倍 数。可 见，倍 数 是 不 能 独 立 存 在 的（具 有 特 定 的 指 向 性），而 且 对 数 的 形 式 有 特 别 的 要 求（必 须 为 整 数）。同 时 我 们 又 看 到，3 0也 是 6 的 5 倍，因 为 6x5=30,6x5表 示 6 的

14、5 倍。所 以 从 这 个 角 度 来 说，倍”的 涵 义 应 宽 泛 于 倍 数，后 者 可 以 视 为 前 者 在 特 定 情 形 下 的 一 种 表 现。“时 和“小 时 有 什 么 不 同？怎 样 使 用 时 和 小 时？首 先 应 该 明 确 的 是，小 时 并 非 国 际 时 间 单 位。在 1 9 8 4年 国 务 院 发 布 的 关 于 我 国 统 一 法 定 计 量 单 位 的 命 令 中，把 秒 作 为 时 间 的 基 本 单 位，把 非 国 际 单 位 制 的 时 间 单 位 天（日）、小 时、分 作 为 辅 助 单 位。（注：（）里 的 字，在 不 致 混 淆 的 情

15、况 下，可 以 省 略）。这 样，在 我 国 范 围 内 使 用 的 法 定 时 间 单 位 就 有：天（日）、小 时、分、秒。由 此，时 既 可 以 表 示 时 间，又 可 以 表 示 时 刻。由 于“时 间 和 时 刻 这 两 个 不 同 的 概 念 容 易 产 生 混 淆，在 实 际 应 用 时 间 单 位 时”时，现 行 教 材 作 了 如 下 处 理：7.1当 列 式 计 算 出 时 间 的 长 短 时，在 得 数 的 括 号 里 写 上 时 间 的 单 位 时。例 如:超 市 营 业 时 间：位-9=12（时）。（此 处 可 省 略 小 字）7.2 在 用 语 言 表 述 时 间

16、的 长 短 时，为 避 免 时 间 和 时 刻 这 两 个 概 念 产 生 混 淆，则 在 时 的 前 面 加 上 一 个 小 字。例 如：超 市 营 业 时 间 1 2小 时。7.3 在 用 语 言 表 示 时 刻 时，一 律 不 得 出 现 小 时 字 样。例 如：公 园 每 天 早 上 7 时 3 0分 开 园（而 非 7 小 时 3 0分）。改 写 和“省 略”是 一 样 的 吗？从 形 式 上 看，此 例 将 改 写 与 省 略”两 种 对 数 的 变 化 置 于 了 同 一 个 要 求 之 下（即 改 写 成 用 亿 作 单 位 的 数）。我 们 真 希 望 编 者 不 是 有 意

17、 而 为 之，因 为 改 写 与 省 略 其 本 质 是 完 全 不 同 的。表 现 在：8.1 目 的 不 同 改 写 的 目 的 是 方 便 对 大 数 的 读 写，而 省 略 则 是 取 数 的 近 似 值。8.2 方 法 不 同 此 处 的 改 写 是 去 掉 亿 位 后 面 的 0,再 写 上 一 个 亿 字，而 省 略”除 了 要 找 准 亿 位，还 要 考 虑 被 省 略 的 尾 数 的 最 高 位 是 几，然 后 用 四 舍 五 入 法 求 出 近 似 数。8.3 符 号 不 同改 写 只 改 变 了 数 的 表 现 形 式，大 小 并 未 改 变，所 以 用=号 连 接；而

18、省 略 既 改 变 了 数 的 形 式，又 改 变 的 数 的 大 小，所 以 用 7 连 接。“路 程 就 是 距 离 吗？这 两 个 词 在 许 多 老 师 的 教 学 语 言 中 是 替 代 使 用 的，其 实 不 然。路 程 是 指 从 一 个 地 点 到 另 一 个 地 点 所 经 过 路 线 的 长 度；而 距 离 则 指 连 接 两 个 地 点 而 成 的 直 线 段 的 长 度。路 程 所 经 过 的 路 线 可 以 是 曲 形 线，也 可 以 是 直 形 线，还 可 能 是 折 形 线。一 般 情 况 下，两 个 地 点 之 间 的 路 程”要 大 于 它 们 之 间 的 距

19、 离，只 有 当 两 个 地 点 之 间 的 路 线 为 直 线 时，路 程 和 距 离 才 相 等。虽 然 老 师 们 都 知 道 这 个 等 式 是 成 立 的，但 我 们 的 学 生 却 没 有 相 应 的 知 识 储 备，怎 样 绕 开 极 限 寻 找 能 为 小 学 生 所 理 解 和 接 受 的 证 明 途 径。最 大 的 分 数 单 位 是 1/2还 是 1/1?先 看 看 分 数 单 位 的 含 义：把 单 位 1 平 均 分 成 若 干 份，表 示 这 样 一 份 的 数。显 然，在 分 数 意 义 中，关 键 是 分，没 有 分，就 没 有 份。因 为 把 单 位 1 平

20、均 分 成 的 最 少 份 数 是 2 份（如 果 是 1 份，也 就 无 所 谓 分）,由 此 得 到 的 分 数 单 位 是 1/2,所 以 1/2是 最 大 的 分 数 单 位。尽 管 就 广 义 的 分 数 来 说，1/1也 可 视 作 分 数，但 它 已 不 是 我 们 通 常 意 义 上 认 识 的 与 整 数 对 立 的 那 种 分 数（在 平 均 分 的 基 础 上 所 产 生），故 此，最 大 的 分 数 单 位 应 以 1/2为 宜。像 0/3、0.2/3,3/0.2这 样 的 数 是 不 是 分 数？分 数 的 定 义 明 确 告 诉 我 们:把 单 位 1 平 均 分

21、成 若 干 份，表 示 这 样 一 份 或 几 份 的 数，叫 分 数。其 中，分 成 的 份 数 叫 做 分 数 的 分 母，要 表 示 的 份 数 叫 做 分 子。由 此 可 知，分 数 的 分 子 和 分 母 都 应 该 是 非 零 自 然 数。从 这 个 意 义 来 说，以 上 这 几 个 数 徒 具 分 数 的 形 式，而 不 具 分 数 的 实 质，因 此 都 不 应 该 视 为 分 数。进 而，在 考 查 学 生 对 分 数 涵 义 的 理 解 时，应 着 眼 于 通 常 意 义 上 的 分 数，将 上 述 这 些 变 异 形 式 纳 入 思 考 的 范 围，其 本 身 对训 练

22、 学 生 的 思 维 并 无 多 大 实 际 意 义，而 且 会 令 诸 如 分 数 都 大 于 0 等 命 题 的 真 与 假 陷 入 尴 尬。比 6 多 1/2的 数 应 该 是 6+1/2 还 是“6+(1+1/2)”要 弄 清 这 个 问 题，先 得 弄 清 6 的 性 质。显 然，此 处 的 6其 实 质 是 一 个 数，而 非 一 个 量，求 比 6 多 1/2的 数 应 属 于 求 比 一 个 数 多 几 的 数 的 范 畴，问 题 中 的 多 几 都 是 确 定 的 具 体 数，这 里 的 几 既 可 以 是 整 数，也 可 以 是 小 数 或 分 数。所 以，这 里 的 1/

23、2”是 指 在 6 的 基 础 上 多 1/2这 个 1/2 数 的 本 身，而 非 6 的 1/2 0所 以，比 6 多 1/2的 数 应 该 是 6+1/2.当 然，如 果 题 目 确 定 为 比 6 多 它 的 1/2的 数，那 答 案 则 属 于 后 者。计 算 出 勤 率 可 不 可 以 不 乘 100%?先 来 看 看 新 人 教 版、北 师 大 版 和 苏 教 版 三 个 不 同 版 本 的 教 材 对 类 似 问 题 的 理 解。同 一 课 程 标 准 下，不 同 的 教 材 给 出 了 不 同 的 理 解，这 给 执 教 者 带 来 困 惑：到 底 可 不 可 以 不 乘 1

24、00%呢？笔 者 以 为，求 XX率 其 结 果 必 定 为 百 分 率。以 出 勤 率 为 例，就 是 求 实 际 出 勤 人 数 占 应 出 勤 人 数 的 百 分 之 几。如 果 公 式 只 写 成：出 勤 率;实 际 出 勤 人 数/应 出 勤 人 数，我 们 说 这 只 是 分 数 形 式（也 即 是 求 实 际 出 勤 人 数 占 应 出 勤 人 数 的 几 分 之 几），并 不 是 百 分 数。因 此，在 公 式 后 面 乘 上 1 0 0%”,既 可 以 使 计 算 数 值 大 小 不 变，又 能 保 证 结 果 形 式 满 足 百 分 数 的 要 求。因 此，计 算 出 勤

25、率、发 芽 率、出 粉 率、合 格 率 的 公 式 中，都 应 乘 1 0 0。同 时 建 议 各 版 本 教 材 的 编 委 统 一 思 想，以 免 给 一 线 教 师 造 成 认 识 上 的 混 乱。小 于 9 0度 的 角 都 是 锐 角 吗？根 据 课 标 教 材 定 义：小 于 9 0 度 的 角 叫 做 锐 角。答 案 似 乎 是 肯 定 的，但 由 此 又 产 生 一 个 新 的 问 题：。度 的 角 是 什 么 角，也 是 锐 角 吗？事 实 是，锐 角 定 义 有 一 个 隐 含 的 前 提，就 是 小 学 数 学 中 所 讨 论 的 角 都 是 正 角。习 惯 上，我 们

26、把 射 线 按 逆 时 针 方 向 旋 转 而 得 到 的 角 叫 做 正 角，射 线 按 顺 时 针 方 向 旋 转 而 得 到 的 角 叫 做 负 角，当 一 条 射 线 没 有 做 任 何 旋 转 时，就 把 它 看 成 零 角。如 果 将 角 的 概 念 推 广 到 任 意 大 小 的 角，就 应 分 为 正 角、负 角、和 零 角。由 此，严 格 意 义 上 的 锐 角 定 义 应 是：大 于。度 而 小 于 9 0度 的 角 叫 做 锐 角。足 球 比 赛 记 分 牌 上 的 3：2 是 数 学 中 的“比”吗？我 们 至 少 可 以 从 两 个 方 面 来 理 解 它 们 的 差

27、 别。第 一，球 类 比 赛 中 的 3：2 表 示 的 是 比 赛 双 方 的 得 分 情 况，是 差 比，即 表 示 相 差 关 系，一 方 得 3分，另 一 方 得 2分，双 方 相 差 1分；数 学 中 的 3：2 表 示 的 是“3+2,是 倍 比，商 为 1.5。有 鉴 于 此，球 类 比 赛 中 的 比（其 实 是 比 分），其 后 数 可 以 为 0 的，而 数 学 中 的 比，其 后 数（相 当 于 除 数）是 不 可 以 为 0的。第 二，数 学 中 的 比 是 可 以 化 简 的，如 4：2=2：1;同 样 的 4：2 放 在 球 类 比 赛 中，却 不 可 以 化 简，如 果 化 简 就 不 能 反 映 双 方 在 比 赛 中 的 实 际 得 分 了。