2020-2021高三数学新高考第三次月考模拟试卷模拟卷（六）（解析版）.pdf

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1、2020-2021学 年 高 三 数 学 第 三 次 月 考 模 拟 卷（六）注 意 事 项：1.本 试 卷 共 6 页，包 含 单 项 选 择 题（第 1题 第 8题，共 40分）、多 项 选 择 题（第 9题 第 12题，共 20分）、填 空 题（第 13题 第 16题，共 20分）和 解 答 题（第 17题 第 22题，共 70分）四 部 分.本 卷 满 分 150分，考 试 时 间 120分 钟.2.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 等 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 填 写 在 答 题 卡、试 卷 和 草 稿 纸 的 指 定 位 置

2、 上.3.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 2 5铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 的 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 或 草 稿 纸 上 均 无 效.4.考 试 结 束 后，将 本 试 卷、答 题 卡 和 草 稿 纸 一 并 交 回.5.如 需 作 图，须 用 25铅 笔 绘、写 清 楚，线 条、符 号 等 须 加 黑、加 粗.一、单 项 选 择 题：（

3、本 题 共 8 小 题，每 小 题 5分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 意 要 求 的.）1.设 全 集 U=久 6 N|x 6,集 合 4=口,3,B=2,4,则 Cu（4 u B）等 于（）A.1,2,3,4 B.5 C.0,5 D.2,4【答 案】C【解 析】【分 析】本 题 考 查 并 集、补 集 的 求 法，考 查 并 集、补 集 定 义 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.求 出 全 集 U 和 A U B,由 此 能 求 出 Q（A U B）.【解 答】解：全 集 U=X N|X 6=0

4、,1,2,3,4,5）,集 合 4=1,3,8=2,4,A JB=1,2,3,4,CuG4UB)=0,5.故 选：C.2.“%0 是“x*0”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 C.充 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 D.即 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】A【解 析】【分 析】本 题 考 查 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 判 断，属 于 基 础 题.由 x 0可 得 x#0一 定 成 立;当 大 0时，x 0 不 一 定 成 立，即 可 得 解.【解 答】解：当 x 0时，x*0成 立，因 此 x 0是 x*0的 充 分 条 件；当 X K 0时，x 0

5、不 一 定 成 立，因 此 x 0 是#0 的 不 必 要 条 件，综 上 可 得，x 0 是#0 的 充 分 不 必 要 条 件.故 选 人 3.如 图 所 示，向 量 A,B,C在 一 条 直 线 上，且 前=4近,贝 心）A.OC=-OA+-OB B.OC=-OA+-OB2 3 2 2C.OC=-OA+2OB D.OC=OA+OB【答 案】。【解 析】【分 析】本 题 主 要 考 查 平 面 向 量 的 加 法，减 法 及 集 合 意 义，考 查 学 生 推 理 能 力，属 于 基 础 题.由 前=4 记 得，泥 一 万？=4（沆:一。万），即 可 求 解.【解 答】解：由 正=4 元

6、得，OC-OA=4(0C-函,所 以 3次=40B-0A，OC=-lOA+lOB-故 选 D4.一 个 正 方 体 的 展 开 图 如 图 所 示，A,B,C,。为 原 正 方 体 的 顶 点，则 在 原 来 的 正 方 体 中（）A.AB H CDB.AB与 C O相 交 C.AB 1 CDD.AB与 C D所 成 的 角 为 60。【答 案】D【解 析】【分 析】本 题 考 查 了 学 生 的 空 间 想 象 力 及 作 图 能 力、异 面 直 线 所 成 角 的 求 法，属 于 基 础 题.还 原 成 正 方 体，可 推 导 出 在 原 来 的 正 方 体 中 AB与 CD所 成 的 角

7、 为 60.【解 答】解：还 原 成 正 方 体 如 下 图，AB/DE,4CDE是 AB与 CD所 成 角,v CD=DE=CE,A ZCDE=60,在 原 来 的 正 方 体 中 AB与 CD所 成 的 角 为 60.故 选：D.5.学 校 举 办 运 动 会 时，高 一(1)班 有 2 8名 同 学 参 加 比 赛，有 15人 参 加 游 泳 比 赛，有 8人 参 加 田 径 比 赛，有 14人 参 加 球 类 比 赛，同 时 参 加 游 泳 和 田 径 比 赛 的 有 3 人，同 时 参 加 游 泳 和 球 类 比 赛 的 有 2 人，没 有 人 同 时 参 加 三 项 比 赛.则 同

8、 时 参 加 田 径 和 球 类 比 赛 的 人 数 是()A.3 B.4 C.5 D.6【答 案】B【解 析】【分 析】本 题 考 查 同 时 参 加 田 径 比 赛 和 球 类 比 赛 的 人 数 的 求 法，考 查 韦 恩 图 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.设 同 时 参 加 田 径 比 赛 和 球 类 比 赛 的 人 数 为 x,只 参 加 田 径 比 赛 的 人 数 为 y,只 参 加 球 类 比 赛 的 人 数 为 z,作 出 韦 恩 图，由 韦 恩 图 能 求 出 同 时 参 加 田 径 比 赛 和 球 类 比 赛 的 人 数.【解 答】解：

9、设 同 时 参 加 田 径 比 赛 和 球 类 比 赛 的 人 数 为 X,只 参 加 田 径 比 赛 的 人 数 为 y,只 参 加 球 类 比 赛 的 人 数 为 Z,作 出 韦 恩 图，由 韦 恩 图，得(3+x+y=82 4-%+z=14(10+3+2+x+y+z=28解 得=4,y=1,z=8.同 时 参 加 田 径 比 赛 和 球 类 比 赛 的 人 数 为 4.故 选：B.6.已 知 一 个 扇 形 的 面 积 为 半 半 径 为 2,则 其 圆 心 角 为（）A.B.g C.76 3 4【答 案】A【解 析】解：设 扇 形 的 圆 心 角 为 a,扇 形 的 半 径 为 R=2

10、,扇 形 的 面 积 为 S=|-a/?2=|-a-22=p解 得 a=也 O故 选：A.本 题 考 查 了 扇 形 的 面 积 公 式，是 基 础 题.设 扇 形 的 圆 心 角 为 a,根 据 面 积 公 式 列 方 程 求 出 a的 值.7.函 数 y=，久 2+29 3的 单 调 递 减 区 间 为()A.(-oo,-3 B.(-00,-1 C.(l)+oo)D.(-3,-1【答 案】A【解 析】【分 析】本 题 主 要 考 查 复 合 函 数 的 单 调 性，二 次 函 数 的 性 质，体 现 了 转 化 的 数 学 思 想，属 于 中 档 题.令/+2%-3=1 2 0,求 得 函

11、 数 的 定 义 域.根 据 复 合 函 数 的 单 调 性，本 题 即 求 函 数 f在 y 的 定 义 域 内 的 减 区 间.再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 可 得，函 数/在 y 的 定 义 域 内 的 减 区 间.【解 答】解：令/+2%3=3 则 y=VF,t=(x+3)(%1).令 t N O,求 得 x W-3,或 x Z l,故 函 数 y 的 定 义 域 为(-8,-3 U 1+8).根 据 复 合 函 数 的 单 调 性，本 题 即 求 函 数，在 y 的 定 义 域 内 的 减 区 间.再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 可 得，函 数 f在)，的 定 义

12、域 内 的 减 区 间 为(-8,-3,故 选：A.8.若 偶 函 数 f(x)在 区 间(一 8,0上 单 调 递 减，且;(3)=0,则 不 等 式(x-l)/(x)0的 解 集 是()A.(-8,1)u(1,+8)B.(-3,1)U(3,+o)C.(-8,3)U(3,+8)D.(3,1 U(3,4-0)【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 题 意，由 函 数 的 奇 偶 性 与 单 调 性 分 析 可 得 当 3时，/(x)0：当 一 3x 3时，/(x)0,则 分 x 3与 3 x 0的 解 集，综 合 即 可 得 答 案.本 题 考 查 函 数 的 奇 偶 性 与 单 调 性 的

13、综 合 应 用，注 意 结 合 函 数 的 奇 偶 性、单 调 性，对 不 等 式 进 行 分 类 讨 论.【解 答】解：根 据 题 意，偶 函 数/为 在 区 间(-8,0上 单 调 递 减，则 其 在 0,+8)上 为 增 函 数，又 由/(3)=0,则/(-3)=0,则 有 当 x 3时，/(%)0；当 一 3 x 3时，/(x)0,当 x 3时，若(x-l)/(x)0,必 有 x-l 0,解 可 得 x 3,当 一 3 x 0,必 有 0的 解 集 是(3,1)U(3,+8)；故 选 比 二、多 项 选 择 题：(本 题 共 4 小 题,每 小 题 5分，共 20分.在 每 小 题 给

14、 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5分，部 分 选 对 的 得 3分，有 选 错 的 得 0分.)9.(多 选 题)加 工 爆 米 花 时，爆 开 且 不 糊 的 粒 数 占 加 工 总 粒 数 0：7-.1 I的 百 分 比 称 为“可 食 用 率”.在 特 定 条 件 下，可 食 用 率 p 与 加 0.5-+-工 时 间 t(单 位：分 钟)满 足 函 数 关 系 p=at2+bt+c(a,b,c 1,O 3 4 5 t是 常 数)，如 图 记 录 了 三 次 试 验 的 数 据.根 据 上 述 函 数 模 型 和 试 验 数 据，可 以

15、得 到 最 佳 加 工 时 间 不 可 能 为()A.3.50分 钟 B.3.75分 钟 C.4.00分 钟 D.4.25分 钟【答 案】ACD【解 析】【分 析】本 题 主 要 考 查 二 次 函 数 模 型 的 应 用.由 二 次 函 数 p=砒 2+况+(：的 图 象 过 点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),利 用 待 定 系 数 法 可 求 二 次 函 数 的 解 析 式，再 求 最 值 即 可；【解 答】解：由 实 验 数 据 和 函 数 模 型 知，二 次 函 数 2=就 2+bt+c的 图 象 过 点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),0.7=9a+36

16、+c(a=-0.2().8=1+4b+c,解 得(b=1.5,0.5=25u+56+c c=-2所 以 p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.8125,所 以 当 t=3.75时，可 食 用 率 p 最 大.故 选 ACD.2 210.已 知 椭 圆 C：*+念=l(m4)的 右 焦 点 为 F,点 做-2,2)为 椭 圆 C 内 一 点.若 椭 圆 C 上 存 在 一 点 P,使 得|P川+|PF|=8,则 小 的 值 可 以 为()A.6+2V5 B.6+4V5 C.24 D.25【答 案】BCD【解 析】【分 析】本 题 考 查 椭 圆 的 定 义 与 性 质，

17、属 于 中 档 题.由 题 意 得 椭 圆 的 左 焦 点 9(-2,0),由 点 A 在 椭 圆 内 部 得+总 1，可 解 得?的 范 围，结 合 椭 圆 的 定 义 可 得 P，F,A三 点 共 线 时|P又 一|PF|最 大,从 而|8-2标|AF=2,即 可 得 m 的 值.【解 答】解：设 椭 圆 的 左 焦 点 为 F,则 9(一 2,0),由 点 A 在 椭 圆 内 部 得 上+-74,m m 4解 得 m 6+2V5根 据 椭 圆 的 定 义 及|PA|+PF=8得|PA|-|P尸 1|=|8-2y/m,又 当 P,F,。三 点 共 线 时 f%最 大,从 而|8-2 标|A

18、F=2,解 得 9 m 25,综 上，6+2V5 m 故 选 BCD.11.函 数/(x)=sin(3*+9)(3 0,0 9 TT)的 部 分 图 象 如 图 所 示，BC x轴.当 x 0,时，若 不 等 式 Wsin2x恒 成 立，则 机 的 取 值 可 能 是 A.日 D.V 5【答 案】BD【解 析】【分 析】由 周 期 求 出 3,由 五 点 法 作 图 求 出 0 的 值，可 得 函 数 的 解 析 式，再 根 据 三 角 函 数 的 化 简和 三 角 函 数 的 性 质 即 可 求 出.本 题 属 于 三 角 函 数 的 综 合 题，考 查 了 三 角 函 数 的 周 期 性

19、和 已 知 定 义 域，求 三 角 函 数 的 值 域 等 问 题，属 于 中 档 题.【解 答】解：因 为 BC x轴，所 以/的 图 象 的 一 条 对 称 轴 方 程 为“沦+甘=多 得 一:7=；x-,所 以 3=2.4 4 0)由 2 x g+9=兀+krr,k G z,且 0 w 兀，得 所 以/(%)=sin(2x+$.不 等 式 f(x)-m/(x)-sin2x=sin(2x+g)-sin2x=sin2xcos-+cos2xsin-sin2x=cos(2x+3 3 6由 x0,与，得 2%+看 有 胃 则 g(x)=cos(2x+?)的 最 大 值 为 争 所 以。符 合，故

20、选 BD.12.下 列 命 题 中，正 确 的 是()若%V 0,则+：4 2;若%1,则 K+或 匕 3;若%0,贝!一+工)2x;若 a b,贝 H Vx a bA.B.C.D.【答 案】ABC【解 析】【分 析】本 题 主 要 考 查 不 等 式 性 质，基 本 不 等 式 应 用，考 查 推 理 能 力，属 于 基 础 题.利 用 不 等 式 性 质 以 及 基 本 不 等 式 依 次 验 证 选 项，即 可 得 到 答 案.【解 答】解：当 x l 时，X+J-=X-1+-L-+1 2+1=3,当 且 仅 当 x=2时 取 等 号，所 以 X 1 x 1 正 确；当 x 0时，/+：

21、2 2x o 方 4-2 M+1 N 0=（M 1）2 2 0,所 以 正 确;当 a 0 b 时，不 成 立，所 以 错 误.故 选 ABC.三、填 空 题：（本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分）13.在 三 棱 柱 48。一 4 8 传 1中，侧 棱 44i _L平 面 ABiG，AAr=1,底 面 ABC是 边 长 为 4 的 正 三 角 形，则 此 三 棱 柱 的 体 积 为.【答 案】2 V H【解 析】解:如 图，连 接&（7,则/-8&C=唳-&C1C，乂 匕-B81C=/ABC=匕-4181c1,匕 8C_48Q=3 匕 M j q，V AAr _L平 面

22、4B1G，AAi=1,底 面 ABC是 边 长 为 4 的 正 三 角 形,ABr-ACr-V42 l2 V15,SA倜 Q=：X 4 X 7154=2Vil,ABC-A1BlCi=3匕-AiBiJ=3 X g X 1 X 2A/1T=2aT.故 答 案 为：2vH.由 等 积 法 证 明 以 8C-A出 Q=3 匕-4出 C J 然 后 利 用 棱 锥 的 体 积 公 式 求 得 答 案.本 题 考 查 三 棱 柱 的 体 积 的 求 法，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.14.已 知 抛 物 线 C：y2=2px（p o）的 焦 点 为 F,过 F 且 倾 斜 角 为 60。

23、的 直 线/与 抛 物 线 C 在 第 一、四 象 限 分 别 交 于 A、B 两 点,与 它 的 准 线 交 于 点 P,则 黑=.【答 案】I【解 析】【分 析】本 题 考 查 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系，考 查 抛 物 线 的 定 义，属 于 中 档 题.设 出 A、8 坐 标，利 用 焦 半 径 公 式 求 出|4B|,结 合 逐 2=今，勺+犯=?，求 出 A、B的 横 坐 标，然 后 结 合 抛 物 线 定 义 求 解.【解 答】解：设 4（xi，%），B（x2,y2）.则%2=2p%i，y22=2pxzAB=+&+P，由 直 线/倾 斜 角 为 60。，则 直 线

24、/的 方 程 为：y 0=H(x-，联 立 抛 物 线 方 程，消 去 y 并 整 理，12/-20px+3P2=0,4 o,则 XiX2=?,xi+x2=y-可 得 Xi=|p，x2=1p,则|4P|=(|p+x 2=4p,.AB|P+P 2*AP 4p 一 3故 答 案 为|.15.等 比 数 列 册 中,an 0,a5a6=9,则 logs的+log3a2+/g3a3+l 3a10=-【答 案】10【解 析】【分 析】本 题 考 查 了 对 数 的 运 算 性 质，等 比 数 列 的 性 质.属 于 基 础 题.根 据 等 比 数 列 的 性 质，得 出=a2a9=a3a8=。4&7=a

25、5a6=9，再 根 据 对 数 的 运 算 性 质 化 简 计 算 即 可.【解 答】解：根 据 等 比 数 列 的 性 质，=a2a9=a3a8=a4a7=9,.logsai+log3a2+logs03+logsio=Iog3(ia23-aio)=logsWafi)，=51og3(ayM)=51og)=5 x 2=10,故 答 案 为 10.向 半 圆 外 作 等 腰 直 角 三 角 形/BCQ4为 直 角 顶 点），使 改 造 后 的 公 园 成 四 边 形 0AC8,如 图 所 示，当 0 C 取 得 最 大 值 时，乙 4。8=.【答 案 或【解 析】【分 析】本 题 考 查 了 正

26、余 弦 定 理，以 及 解 三 角 形 的 实 际 应 用，考 查 三 角 函 数 最 值 求 法，属 中 档 题.依 题 意，设 4408=a,484。=/?,根 据 正 余 弦 定 理 求 得 0C?=2 x 10（）2+1。2（3 一 25/2cos a）+200V2 x lOOsin a.化 简 即 可 求 解.【解 答】解：设 N40B=a,乙 BAO=B，在 4。中，由 余 弦 定 理 得 0C2=2 x 1002+AC2-200V2-AC-cos(/?+90)=2 x 1002+AC2+200&CsinB，在 A AOB 中,由 正 弦 定 理 得 怒=器 所 以 煞=100si

27、n 得 ACsin0=lOOsina,由 余 弦 定 理 得 AB?=1002+(100V2)2-2 x 100 x 100V2 x cos a=1002(3 2A/2COS a).所 以 4c2=ioo2(3-2Vicos a),所 以 OC2=2 x 1002+1002(3-2V2cos a)+200&x lOOsin a=5 x 1002+1002 x 2位(sin a-cos a)=5 x 1002+4 x 1002sin(a-)所 以 当 a 即 a 时，存 在 四 边 形 OACB,O C 取 得 最 大 值 300.4 2 4故 答 案 为 4四、解 答 题：(本 题 共 6小

28、题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.)17.ABC中，角 A,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,h,c.已 知 扁 in.A a c o(D;).b(I)求 角 B的 大 小；(n)a=2,c=3,求 b和 s in(2 A-B)的 值.【解 析】本 题 考 查 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式，考 查 正 余 弦 定 理 的 运 用，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.(I)由 正 弦 定 理 得 bsinA=a s in B,与 加 讥 A=acos(B-/由 此 能 求 出 B.(口)由 余 弦 定 理 得

29、 b=V 7,由 加 讥 力=acos(B-*),得 sim4=奈 cosA=合 由 此 能 求 出 sin(2 4-B).【答 案】解：(I)在 4BC中，由 正 弦 定 理 得=得 bsirM=asinB,ybsinA=acosB-),6 asinB=acosB-),6即 sinB=cos(B-)=cosBcos-4-sin B sin-=叵 cosB+-sinB1 6，6 6 2 2 tanB=V3,r r又 B e(0,7T),B=-.(n)在 4BC中，Q=2,c=3,S=p由 余 弦 定 理 得 b=Va2 4-c2-2accosB=V7由 bsE4=acos(B-)得 sbt4=

30、昙 v a c,.2 cosA=手，：sin2A=2sinAcosA=，7cos2A=2COS2A-1=-,7:、sin(2/l _ B)=sin2AcosB-cos2AsinB=-x-x=.k 7 7 2 7 2 141 8.如 图，在 四 棱 柱 中,44i L平 面 ABC。,底 面 48CO是 矩 形,AB=1,BC=V2,CCi=2,。为 棱 CCi的 中 点.(1)求 直 线 DiQ与 平 面 BC】Di所 成 角 的 正 弦 值;(2)求 二 面 角 Q-BD1-G 的 余 弦 值.【解 析】本 题 考 查 空 间 中 的 线 面 位 置 关 系 以 及 空 间 向 量，考 查

31、考 生 的 逻 辑 思 维 能 力、空 间 想 象 能 力 和 运 算 求 解 能 力.【答 案】解：由 题 意 知，四 棱 柱 ABCDA B iG D i是 直 四 棱 柱，以 力 为 坐 标 原 点，砺，DC，E 的 方 向 分 别 为 x 轴、y 轴、z轴 的 正 方 向 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 4(a,0,0),F(V 2,l,0).(0,1,2),。式 0,0,2),Q(0,l,1),所 以 顺=(0,1,-4)，BC=(-7 2,0,2).57G=(0,1,0).西=(一 夜,-1,2)，BQ=(-7 2,0,1).(1)设 平 面 B C i

32、A的 法 向 量 为 沅=(a,4 c),所 以(%沅=0,即 _&a+2c=0,(01cl 沆=0,(b=0,令 Q=&，则 沅=(a,0,1)为 平 面 BC15的 一 个 法 向 量,故 即 你，函 1=腺 邛 所 以 直 线 DiQ与 平 面 B G 劣 所 成 角 的 正 弦 值 为 些.6(2)设 平 面 QB。1的 法 向 量 为 元=(x,y,z),则(”,吵=，即(-V2x-y+2z=0,1 n-BQ=0,t ypZx+z=0,令=1,贝 悦=(1,加,企)为 平 面 Q B%的 一 个 法 向 量.故 8s(m，n=丽=时=7山 图 象 可 知 l,二 面 角 Q 8C1-

33、C1为 锐 二 面 角，所 以 二 面 角 Q-B 2-q 的 余 弦 值 为 19.某 镇 在 政 府“精 准 扶 贫”的 政 策 指 引 下，充 分 利 用 自 身 资 源，大 力 发 展 养 殖 业，以 增 加 收 入，政 府 计 划 共 投 入 72万 元，全 部 用 于 甲、乙 两 个 合 作 社，每 个 合 作 社 至 少 要 投 入 15万 元，其 中 甲 合 作 社 养 鱼，乙 合 作 社 养 鸡，在 对 市 场 进 行 调 研 分 析 发 现 养 鱼 的 收 益 M(单 位：万 元)、养 鸡 的 收 益 N(单 位：万 元)与 投 入 a(单 位：万 元)满 足”=竹%2 2

34、5，/孑 36,N=久+20.设 甲 合 作 社 的 投 入 为 M 单 位：万 元)，两 个 合 作 社 的 总 收 益 为/。)(单 位：万 元).(1)当 甲 合 作 社 的 投 入 为 25万 元 时，求 两 个 合 作 社 的 总 收 益；(2)试 问 如 何 安 排 甲、乙 两 个 合 作 社 的 投 入，才 能 使 总 收 益 最 大？【解 析】本 题 主 要 考 查 函 数 的 应 用 问 题，根 据 条 件 求 出 函 数 f(x)的 解 析 式，利 用 分 段 函 数 的 性 质 是 解 决 本 题 的 关 键.综 合 较 强，考 查 学 生 的 运 算 能 力.(1)结

35、合 所 给 的 关 系 式 求 解 当 甲 合 作 社 的 投 入 为 25万 元 时，两 个 合 作 社 的 总 收 益 即 可;(2)首 先 确 定 函 数 的 定 义 域，然 后 结 合 分 段 函 数 的 解 析 式 分 类 讨 论 确 定 最 大 收 益 的 安 排 方 法 即 可.【答 案】解：(1)当 甲 合 作 社 投 入 为 25万 元 时，乙 合 作 社 投 入 为 47万 元，此 时 两 个 合 作 社 的 总 收 益 为 f(25)=4V25+25+：X 47+20=88.5(万 元)；(2)设 甲 合 作 社 的 投 入 为 x万 元(15 W x W 57),则 乙

36、 合 作 社 的 投 入 为(72-乃 万 元，当 15WXW36 时，36 4 72-X W 5 7,则 L 1/(x)=4五+25+2(72-x)+20 X+4/x+81.令 t=正，得 VIK s t w 6,则 总 收 益 为 g(t)=-产+4t+81=1(t-,4)2+89,显 然 当 t=4时，函 数 取 得 最 大 值 g(t)=89=/(16),即 此 时 甲 合 作 社 投 入 16万 元，乙 合 作 社 投 入 56万 元 时，总 收 益 最 大，最 大 收 益 为 89万 元；当 36 c x s 57时，1 5 W 7 2-x 3 6,则 f(x)=49+|(72-x

37、)+20=-1x+105,易 知 f(x)在(36,57 上 单 调 递 减，：f(x)87,.当 甲 合 作 社 投 入 16万 元，乙 合 作 社 投 入 56万 元，总 收 益 最 大，最 大 总 收 益 为 89万 元.20.已 知 离 心 率 为 平 的 椭 圆 捻+y2=i(al),与 直 线/交 于 P,。两 点，记 直 线 OP的 斜 率 为 七，直 线 O Q 的 斜 率 为 七.(1)求 椭 圆 方 程；(2)若 自 的=-3，则 三 角 形 OPQ 的 面 积 是 否 为 定 值？若 是，求 出 这 个 定 值；若 不 是，请 说 明 理 由.【解 析】本 题 考 查 椭

38、 圆 方 程 的 求 法，考 查 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系 的 应 用，训 练 J三 角 形 面 积 的 求 法，考 查 计 算 能 力，是 中 档 题.(1)由 题 意 列 关 于“，b,c的 方 程 组，求 解 可 得 椭 圆 方 程；(2)当 直 线 P。的 斜 率 存 在 时，设 其 方 程 为 y=+与 椭 圆 方 程 联 立，利 用 弦 长 公 式 及 点 到 直 线 的 距 离 公 式 结 合 三 角 形 面 积 公 式 求 解；当 直 线 的 斜 率 不 存 在，直 接 求 得 三 角 形 面 积 得 结 论.【答 案】解：(1)由 题 意,Z?=1e=孚，解 得 Q

39、=3,C-2V2,a 3a2=h2+c2 b2=a2 c2=1.椭 圆 方 程 为 菰+f=1；(2)设 Q(如，当 直 线 P Q的 斜 率 存 在 时，设 其 方 程 为 y=k%+m,联 立 椭 圆 方 程 可 得：(9/c2+l)x2+IQkmx+9m2 9=0.则 1+x2=-18km97n2_9赤 X1%2=赤 TPQ=+k2y/(X+不)2-4%1%2=6V l+fc2V9/c2-m2+l9k2+1点。到 直 线 的 距 离 4=悬.SS Q=Q|S=3层 正 高.由 用 用 yty2 _ k2x1x2+km(x1+x2)+m2X1X2 xrx219化 简 得：9k2=2m2-l

40、,代 入 三 角 形 面 积 可 得 SAPOQ=；若 直 线 的 斜 率 不 存 在，可 得 SAP Q=|.综 上 可 得，三 角 形 P。的 面 积 为 定 值|.2 1.设 a,b 6 R,|a|S 1,已 知 函 数/*(x)=%3 6x2 3a(a 4)x+b,g(x)exf(x).(1)求 f(%)的 单 调 区 间；(2)已 知 函 数 y=g(x)和 y=e*的 图 象 在 公 共 点(x。,)处 有 相 同 的 切 线，求 证：f(x)在 x=g 处 的 导 数 等 于 0；(ii)若 关 于%的 不 等 式 g(x)蟾 在 区 间 X。-1,而+1 上 恒 成 立，求。的

41、 取 值 范 围.【解 析】(1)求 出 函 数 f(x)的 导 函 数，得 到 导 函 数 的 零 点，由 导 函 数 的 零 点 对 定 义 域 分 段，列 表 后 可 得/(x)的 单 调 区 间；(2)求 出 g(x)的 导 函 数，由 题 意 知 需 求 解 可 得 优;)蓝,得 到/(x)在 x=无。处 的 导 数 等 于 0；(i)由(1)知&=a,且/(%)在(。-1,Q)内 单 调 递 增,在(a,a+1)内 单 调 递 减，故 当%。=Q时，f(X)工 f(a)=1在 a-1,Q+1 上 恒 成 立,从 而 g(x)e”在-l,x0+1 上 恒 成 立.由 f(a)=a3

42、6a2 3a(a 4)a+b=1,得 b=2a3 6a2+1,-1 a 1,构 造 函 数 或%)=2/_ 6/+1,x e-1 4,利 用 导 数 求 其 值 域 可 得 的 范 围.本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性，考 查 了 利 用 研 究 过 曲 线 上 某 点 处 的 切 线 方 程，训 练 了 恒 成 立 问 题 的 求 解 方 法，体 现 了 数 学 转 化 思 想 方 法，是 难 题.【答 案】(1)解：由/(%)=%3-6x2 3a(a 4)x+b,可 得 尸(x)=3x2 12x 3Q(Q 4)3(x-ci)x(4 a)，令/(%)=0,解 得

43、 x=a,或=4-Q.由|a|4 1,得 a 4-a.当/变 化 时，f(x),的 变 化 情 况 如 下 表：X(-00,a)(d,4(i)(4 a,+8)fM+/(x)7 7/(%)的 单 调 递 增 区 间 为(-8,a),(4-a,4-00),单 调 递 减 区 间 为(a,4-a)；(2)。)证 明：g。)=(/()+1(x)，由 题 意 知：黑，)X，(久 0)蜡=ex zgzgf/Cxo)=1 lexo(/(xo)+/,(x0)=ex flf(x0)=O-/(x)在 x=Xo处 的 导 数 等 于 0；(五)解：V g(x)0,可 得/(x)W 1.又 r/(xo)=l，r(x0

44、)=0,故 Xo为/(x)的 极 大 值 点，由(1)知%o=a.另 一 方 面，由 于|a|Wl,故 a+l 4-a,由 知 f(x)在(a-1,a)内 单 调 递 增，在(a,a+1)内 单 调 递 减，故 当&=a时，/(x)f(a)=1 在 a-l,a+1上 恒 成 立,从 而 g(x)e*在 苑-l,x0+1上 恒 成 立.由/(a)=6。2 3a(a 4)a+b=1,得 b=2。3 6a?+1,-1 a tz(x)=6x2 12x,令 t(x)=O,解 得 x=2(舍 去)，或 x=0.t(-l)=-7,t(l)=-3,t(0)=l,故 t(x)的 值 域 为-7,1.6的 取 值

45、 范 围 是-7,1.22.设 数 列 an 满 足 吗=(1+1即 _1+Ma2-%)2，其 中 几 2 2,且 neN,4为 常 数.(1)若 an 是 等 差 数 列，且 公 差 d 芋 0,求；I的 值;(2)若 a 1=1,a2=2,a3=4,且 存 在 r G 3,7,使 得 m-an n-r对 任 意 的 n N*都 成 立，求 加 的 最 小 值：(3)若;1工 0,且 数 列 an 不 是 常 数 列，如 果 存 在 正 整 数 T,使 得 0n+T=而 对 任 意 的 n e/V*均 成 立.求 所 有 满 足 条 件 的 数 歹 尤 即 中 T的 最 小 值.【解 析】本

46、 题 考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 定 义 和 通 项 公 式 的 运 用，以 及 数 列 不 等 式 恒 成 立 问 题 和 周 期 数 列 的 判 断 和 证 明，考 查 化 简 整 理 的 运 算 能 力，属 于 中 档 题.(1)由 等 差 数 列 的 通 项 公 式，化 简 可 得(4-l)d 2=0,又 d H O,可 得 所 求 值；(2)求 得 4=0,数 列 a 是 首 项 为 1，公 比 4=2的 等 比 数 列，运 用 等 比 数 列 的 通 项 公 式，可 得 存 在 r e 3,7,使 得 m/n T N n-r,即 r 2 n-m 2。一】对 任

47、意 n C N*都 成 立，由 参 数 分 离 可 得 成 的 最 小 值；(3)由 题 意 可 得 7 2 2,讨 论 T=2,T=3,根 据 条 件，推 理 得 到 结 论.【答 案】解：(1)由 题 意，可 得 W=(%,+d)(an-d)+九 产，化 简 得(4 l)d2=0,又 d H 0,所 以 2=1.(2)将 a1=l,a2=2,a3=4.代 入 条 件，可 得 4=1 x 4+2,解 得 4=0,所 以 成=*必 1，所 以 数 列 an 是 首 项 为 1,公 比 q=2的 等 比 数 列，所 以 C ln=2n-1.欲 存 在 r e 3,7,使 得 m-2nt n-r,

48、即 r n-m-2“7 对 任 意 n G N*都 成 立，则 7 n-m-2n-1,所 以 m 貂 对 任 意 n G N*都 成 立.A I n 7 m.i,n 6 n 7 8 n令 勾=布，则 垢+1 一 b=3-一 行=F所 以 当 n 8时、bn+1 bn-,当?1=8时、无=%；当 几 bn.所 以 以 的 最 大 值 为 仇=坛=白？所 以 的 最 小 值 为 去；IZo 1Zo(3)因 为 数 列 小 不 是 常 数 列，所 以 7 2 2,若 7=2,则 与+2=%恒 成 立，从 而。3=%,a4=a2,所 以 a2=ai+/(a?ai)2ai=a2+a/所 以 4(02-Q

49、i)?=0，又 义 工 0，所 以。2=。1，可 得。九 是 常 数 列，矛 盾.所 以 7=2不 合 题 意.(l,n=3k 2 若 T=3,M X an=j2,n=3fc-1(*),满 足 an+3=(1rl恒 成 立.(3,九=3k(k W N*)由 涕=a1a3+A(a2 0 i)2 得 入=7.则 条 件 式 变 为 谥=fln+ln-1+7.由 2?=1 X(-3)+7,知 喙 T=2a3k+2(。2。1)2；由(一 3)2=2 X 1 4-7,知 a金=a3k-la3k+l+，(。2-。1)2；由 1.2=2 X(-3)+7,知 语 k+1=a3ka3k+2+-。1)2；所 以，数 列(*)适 合 题 意.所 以 丁 的 最 小 值 为 3.