2021年高考数学考点31数列的综合问题必刷题文【含答案】.pdf

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1、考 点 3 1 数 列 的 综 合 问 题 1.若 干 个 连 续 奇 数 的 和 3+5+7+(4n-l)=()A.2n2+n B.2+2n c.4M+2n),4n2-1D【解 析】方 法 一：把 连 续 的 奇 数 数 列 加】减 1变 成 1+3+5+7+(4n-3)+(4n-1)-1,把 相 邻 两 项 的 和 看 成 一 个 新 的 数 列，为 4+12+20+(刖-45=4n+x8-l=4+47i-4汽 1=4n2-1方 法 二：用 特 殊 值 检 脸 法，当 n=10寸，数 列 的 和 为 3,可 排 除 C；当=2B寸,数 列 的 和 为 15,可 排 除 A、B;所 以 选

2、D.2.已 知 数 列 4/满 足 q=1,an+l-an=(-).19 n 325 4 1 c20 462 84D由 已 知 条 件 得 到(-if 7/，nn+2)%。“39-41*39-139 4 1J2 1a a.a2-a.=|1-)-1,所 以 变 成 首 项=4,d=8 的 等 差 数 列，求 和 为-if(二+2).，贝 U数 歹 U 1-I)4 的 前 40项 的 和 为(204?左 右 两 侧 累 加 得 到4 0 一%9+%8 一%7+%6-。3 5+,+%一=g(卷 一 卷+一 焉+正 好 是 数 列(T)Z40项 的 和,消 去 一 些 项,计 算 得 到 二 20。4

3、1故 答 案 为 D。3.吴 敬 九 章 算 法 比 类 大 全 中 描 述：远 望 魏 巍 塔 七 层，红 灯 向 下 成 倍 增，共 灯 三 百 八 十 一，请 问 塔 顶 几 盏 灯？.()A.5 B.4 C.3 D.2C设 塔 顶 q 盏 灯，则 Y=381,解 得=3.故 选 C.4.已 知 数 列 满 足 q=。“+2,则%(；=()A.1024 B.1023 C.2048 D.2047B【解 析】如 尸 01+2；.at+i-Ou=2n；.2(1-29).(G 内)+(43一 6 升+(710-9)=2-22+2 吐-2=1022;.aio-ai=7iol=1022；/.aio=

4、lO23.本 题 选 择 3 选 项.2 1 1 15.已 知 数 列 an 满 足 a】a2a3an二 2(n N*),且 对 任 意 n N*都 有 一+t 则 t 的 取 值 范 围 4。2%为()1 1 2 2A.(-,+8)B.,+8)C.(,+8)D.,+8)3 3 3 3D二 数 列 为 满 足 当 a2d3%=2 M(刀 N*),时，囱=2；时，色 懑 为 为 _1=2(一，.可 得 马 十 2数 列|为 等 比 数 列，首 项 为 L 公 比 为 La.2 42一,+003.,对 任 意 z?cN*都 有 一+,+2）,若 对 任 意 的 G N*,1 4 0（5“一 4）4

5、3 恒 成 立，则 实 数 o 的 取 值 范 围 为（）A.(2,3 B.2,3 C.(2,4 D.2,4B【解 析】由 数 列 的 递 推 公 式 可 得：/_1-4=-：（q 一 4）,则 数 列 q-4 是 首 班 为-4=1,公 比 为 一（的 等 比 数 列,题 中 的 不 等 式 即 lpxg4 3恒 成 立,结 合 恒 成 立 的 条 件 可 得 实 数 P 的 取 值 范 围 为 2,3本 题 选 择 B 选 项.7.已 知 数 列 q j 满 足 q=2,4生=4，乎 是 等 差 数 列，则 数 列 的 前 10项 的 和 5 0=（）A.220 B.110 C.99 D.

6、55B设 等 差 数 列 区：的 公 差 为 d,则”=%+5,”=2+3小 将 已 知 值 和 等 量 关 系 代 入，计 算 得 4=2,I n J 6 6 3所 以=4+(l)d=2,a“=2,所 以 S|o=-q+4/+%+io=2(1+2+10)=110,n选 B.(1-)(1-)=8.己 知 数 列 4 满 足%a2%,neN,Sn是 数 列 呜 的 前 n项 的 和.(1)求 数 列 册 的 通 项 公 式；(2)若 ap,30,Sq成 等 差 数 列，ap,Sq成 等 比 数 列，求 正 整 数 p,q的 值；(3)是 否 存 在 k e N,使 得 Jak+i+16为 数 列

7、 册 中 的 项？若 存 在,求 出 所 有 满 足 条 件 的 k的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.(1)%=+1.(2)P=5,q=9.(3)=3或 14.【解 析】(1)因 为(1一 三)(1 一 三)(1 一 工)=!，neN*,5 f l j On所 以 当*=IB寸，1一 二=,tix=2,当 兀 N 2H寸,由(1 力 Q _ j)(1-=十 和(1_1)(1_?),“(1广)=六,al a2 an 0n al a2 flu-l n-1两 式 相 除 可 得,1 一：=L 即 金 一=1(H 2)*a。所 以，数 列 品 是 首 项 为 2,公 差 为 1的 等 差 数

8、 列.于 是，册=+L(2)因 为 ap,30,5q成 等 差 数 列，ap,18,S?成 等 比 数 列,所 以 ap+S,=60apSq=18:，%=6S q=5 4，嘴:。当 仁 5：时,显=54 解 得(二 9,（a=54 fp+1=54当=6 时，（业!2=6 无 正 整 数 解，所 以 P=5,q=9.（3）假 设 存 在 满 足 条 件 的 正 整 数 乙 使 得 丫 小 小+一+16=5 e，）,则 y(k+l)(k+2)+16=7 n+1,平 方 并 化 简 得，(2?n+2)=-(2Jc+3):=63,则(2m+2k+5)(27n-2k-1)=63,grpj（2m+2k+5

9、=63 2m+2k+5=21 _p2?n+2k+5=9所 以 1 2 m-2%-1=1 或 t 2 m-2 k-1=3 或（2 m-2 A-1=7，解 得：7 7 i=15,k=1 4,或 m=5,k=3,或 m=3,k=-1（舍 去），综 上 所 述，k=3或 1 4.9.设 数 列&的 前 兀 项 和 为%,且 满 足 时 浚 T=0 y（1）求 数 列%的 通 项 公 式；（2）是 否 存 在 实 数 4 使 得 数 列 Sn+S+2）4 为 等 差 数 列？若 存 在，求 出；I的 值，若 不 存 在,请 说 明 理 由.盘=2（正 旷）；答 案 见 解 析.(1)由 cin Sn-1

10、=02(n e/V*),1a.a.-1=0=Qr=2可 知 当 n=l时，2 1 1又 由 品 一：5“-1=0(n e N，).可 得 册+L-；5n+!-1=0,两 式 相 减，得(。计 1-：5计 工 一 1)一(M 一：5n-1)=0,即 二 小+工=，即/+，=2an.所 以 数 列 an提 以 2为 首 项,2为 公 比 的 等 比 数 列 故 品=2”(6旷).(2)由(1)知，s=a y)=2(2 1),1-q所 以 5n+(n+2)A=2(2-1)+(n+2nM若 5+5+2)沥 等 差 数 列,则 名 一(卜 2乂，S=+(2+22)A,53+(3+23成 等 差 数 列，

11、即 有 2 5=4-(2+2二)田=区 一(1-2)制 一 S(3-2?)而，艮 12(6-6=(2+3 即+(14+1U),解 得=-2.经 检 蛉 丸=一 2时，Sn+(H+2”)开 成 等 差 数 列，故/的 值 为 210.已 知 数 列%的 各 项 为 正 数，其 前 项 和 S“满 足 s”=(3(I)求 4,的 通 项 公 式：(H)设“=7 J-r,求 数 列 也 的 前 项 的 和 7；;(%+1)(%+1+1)（Ill）在（H）条 件 下,.L 27tl 一 47；%对 一 切 G N*恒 成 立，求 实 数 m 的 取 值 范 围.(1)4=2 一 1;(2)Tn=n4(

12、M+1)5 5(3)/?0,研 究 该 式 子 的 单 调 性，求 最 值。4(?+1)(?7+2)化 简 得 外 一=2,所 以 an=2/7-1(2)由 知，an=2 n-l则 bn=11=(a”+l)(am i+l)2(2+2)4 1 n+1所 以 工 2 2 3 n 7 7+1扪 1”+1 4(+1)(3)TnA-Tn=n+1 n 14(?+2)4(n+l)4(7 7+l)(?7+2)0,.7；单 调 递 增，.7；2 7；=n 1-4(?+l)4，2 4,使 得 m4恒 成 立,1 m 只 需 4 5m-2 1-一 4 8解 之 得 4 211.已 知 数 列 4 的 首 项 为 2

13、,前 项 的 和 为 S“，且 1an+-(n G N*).45-1(1)求 生 的 值;(2)设 bn=,求 数 列 4 的 通 项 公 式;(3)是 否 存 在 正 整 数，使 得 为 整 数，若 存 在 求 出，若 不 存 在 说 明 理 由.an(1)14；(2)b=n 3 M=1414【解 析】易 得 生=H(2)由 工-1a”4S“一 12得 行 二 叩 所 以 4S“1=.arlan所 以 4S”.1=2,anl-4+1由-，得 2az因 为 q+1*0,所 以 2=所 以 1+1-=2,即 计 2.计 1 一 一-=1,n即 限 1-九=1,所 以 额 列 也 是 公 差 为

14、1的 等 差 数 列.因 为 4=2,所 以 数 列 也 的 通 项 公 式 为 一 Lq-q 4 4 由 知，4=_1,所 以-=工+=112,%一 4 4%f1_i 4,7-14所 以 77代 J=4，所 以 数 列:是 常 数 列.4(n+l)-l 4n-l 14n-lJ由:1=，所 以%4 一 1).4x1-1 3 3Uii an3 _ 4n+ll _.12注 意 到 4-123,且 4-1为 12的 约 数,所 以 4 一 1=3,4612,由 eN*知 77=1.12.已 知 数 列 4、也,其 中，%=；,数 列 也 满 足 6+1)怎=(1)%T，(22,G N*),数 列 也

15、 满 足=2也+|=2.求 数 列 4、也 的 通 项 公 式：(2)是 否 存 在 自 然 数 加，使 得 对 于 任 意 wN*,2,有 1+上+恒 成 立？若 存 在，求 瓦 b2 b 4出 加 的 最 小 值；，为 奇 数(3)若 数 列%满 足 c,=4，求 数 列 c“的 前”项 和 北.%”为 偶 数.+4+3+%_1)为 奇 数(1)bn=2n；(2)存 在，加=16；(3)北=4 3七 网+：(2-1),为 偶 数(1)由(+l)a“=(T)a“_|,即 刍-=-%+1又 q=(，所 以 q=乌-也.吧”9-an-X 4-2 an-3。2。1_ 7L1 77-2 77-3 2

16、 2 1 _ _ _77 4-1 n?-1 4 3 2 打(+1)当 力=1时，上 式 成 立,因 为 4=2力 曰=2%,所 以 也 J 是 苜 项 为 2,公 比 为 2 的 等 比 数 列,故=2”.由(1)知 4=2”,则,1 1 1,1 11+-+.+-=1+.1,14 4ubn，2/假 设 存 在 自 然 数 W,使 得 对 于 任 意?6.2 1+-+-+-+-A b2 b“w-8 口”1 w-8 恒 成”，即 2 4 2 4恒 成 立，由 二 2 2,解 得 加 216.4所 以 存 在 自 然 数 胴，使 得 对 于 任 意 用 1+工+工+三 恒 成 立，此 时，烧 的 最

17、 小 b X bn 4值 为 16.1 1+（3）当 为 奇 数 时,=2+4 H-F(“+1)+(2*+2*H-1*2)4；1-4 2+77+1+1；、-十-.1-4,7*+4w+3+l(2-i-i)4当 为 偶 数 时,1 1-1-F+%3%(T)3+(b2+b4+-+bn)=(2+4+-+n)+(22+24+-+2n)2+M n2 24 I-42+-11-49 2+：&_)+4+3为 奇 数 因 此 骞=n2+2n；（2 1）,为 偶 数 13.已 知 数 列 满 足 出=1,n+i=2an+l（n e/V）求 数 列 册 的 通 项 公 式；(2)证 明。2 a3%!+1 2(1)%=

18、2-1；证 明 过 程 见 解 析【解 析】,-Q n+i m e N).册+2+1=2(%,+1),.册+1提 以 a_+l=2 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列.,.an+1=2%即 册=2-1.(2施 明：,念=5-I：二=，寸 二：,=:,k=L2,/.l+2i+.+-_1.an 见 出|Q（3）当；I=一 时，求 证：当“2 3 时，0 见 4 一.2 3（1）不 存 在，理 由 见 解 析（2）证 明 见 解 析（3）证 明 见 解 析（1）若 丸=0,则-+一=（）,即 s“=_（+,即 S,用=0,贝 Ij 邑=S3=Sn=0(C Nj7 2 2),所 以 不 存

19、 在 数 列 4 使 得 a=0.(2)由 三+=1 得 S”=an当”22时，Si=3,两 式 相 减 得 汽&T T q 一 1即 4+1=4,*1=卬：i,1-J _=A-J.+=i+i,an nA an当=1 时,一 4 1,即 F=1 综 上 H N1.S a q 证 1：由+J _=；ecN.)得 工 当“22时，$7=用、，两 式 相 减 得 冬=-七 一 用、，d 一，a 一 一 一 a 一 一 解 得 q?+i=r2 7,所 以 当 7?2 3时,。：-2a”+4因 为 a，-2a,i+4=宜 一 1+3 0,又 由 m+二 一=：(eN.)可 见 a：_i 0,所 以 4

20、0；另 一 方 面，氢 _ _ 0,故 0 4 4：.3 成 1-2。曰+4 3 3所 以 当“2 3时,2 s _ 2(S“2+4”-1)S_|_2 Sn_2+_1-2 2a,T+%2 始-2a,7 115.已 知 数 列 4 的 前 项 和 为 S“，点(,S.)在 抛 物 线 y=x2+x上，各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列也 满 足 也=.4 lo(I)求 数 列 4,5 的 通 项 公 式;(n)记 C=&+%,求 数 列 Q 的 前 n 项 和 7；.【解 析】(D S”当”=1时，q=5=23/c 1 3.4当 2 2时，S j=(n-l f+(?;-1)=7 厂 一

21、2.2 2：.an=Sn-S=3 n-l,，数 列 与 是 首 项 为 2,公 差 为 3的 等 差 数 列，.q=3-l又 勾 各 项 都 为 正 数，解 得 A=：4=：.=；!(n)C i+工=9”4+?广 工=X L i L!+2.*a a 2 J“7 2 7216.在 数 列 a 中，a2=.(1)若 数 列%满 足 2 4-勺+|=0,求 凡；(2)若%=4,且 数 列(2 一 1)。,+1 是 等 差 数 列.求 数 列 上 一 的 前 项 和 7；.%=；Tn=n2.试 题 分 析：(1)由%=12，2a“a+|=0 求 出 数 列 aj的 首 项，并 得 到 数 列 aj是

22、以 1:为 首 项，以 2为 公 比 的 等 比 数 列，由 等 比 数 列 的 通 项 公 式 得 答 案；(2)由 已 知 结 合 数 列(2n-l)a.+l 是 等 差 数 列 求 其 公 差，进 一 步 得 到 数 列(2n-l)a0+l 的 通 项 公 式，代 入|幺),再 由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 得 答 案.试 题 解 析：(1)；2%4+1=0,4=2，且 驮=2,即 数 列 怎 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列.3 a2.2-2 23 32 4(2)设 c“=(2 1)%+1,则 数 列 c,J 是 等 差 数 列，.的=(，%=，,。2=3,。4=5,.

23、数 列 c,J 的 公 差 为 1,cn=3+(?7-2)=/?+1,V(2M-l)an+1=c=7?+1,/.an=-,2 一 1z=2 1,即 数 列 是 首 项 为 1,公 差 为 2 的 等 差 数 列，=+=%217.在 数 列 也 中，。产 0,an+=y2an,S.为%的 前 项 和，记 4=旭:，则 数 列 an+&的 最 大 项 为 第 项.6【解 析】,:q 工 0,4+1,n：.an=ax l|=a 2，a”_.I；5 小-1)r，旷=当 2=当 60时，2=602i比 校 R5、氏 可 得 当 n=6时，&取 得 最 大 值.故 答 案 为：6.18.函 数/（x）=5

24、 l g（x）=/（x T）+La=ge+14的 通 项 公 式 为.1)+g(2)+g(_3)+g f 2M-1)A.，则 同 数 必 列 行 n n/k n n)an=272-1【解 析】由 川=容=三；=一 小)，函 数/(、)=言 为 奇 函 数,(x)+g(2-x)=/(x-l)+l+/(2-x-l)+l=/(x-l)+/(l-x)+2,由=为 奇 函 数，二/(X-D+/。-x)=0,二 g(x)+g(2-x)=2,e+1:一 2 弓 曲 卜 七 曰 次 则 数 列 4 的 通 项 公 式 为 q=2-1.1+Q”19.已 知 数 列 玛,满 足，+*1 1-%,若 4=2,则 玛

25、 的 前 2017项 的 积 为 1 3(2.2)因 为 厮+1+%=2n+1,所 以 册+册-1=2几-1 5 2 2),两 式 作 差 得%+1一 册 _=2(22),数 列 中，奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 为 公 差 等 于 2 的 等 差 数 列，又 由 条 件 可 得 力=m,1 3 1 3一 m V 一 一 a2=3-m,a3=2+m,a4=5-mt若 数 列 为 递 增 数 列，则 只 需 小。2。3,解 得 2 2.故 填(2,2).点 睛：本 题 也 可 利 用 数 列 的 通 项 公 式 求 解，由 题 的 解 法 可 知 数 列%43，。5，,“和 数 列。2，。

26、&”,分 别 为 等 差 数 歹|,2c _ 1+册 1+2 0 1 1 71+1 1-%,%=2,1-2-，同 理 可 得：的 一/4一 爹。5-，可 得%+4=%,2a3a4=2 x(-3)x x-=1则%)的 前 2017 项 的 积 为 2a3a4)4x 4=1 x 2=2.20.已 知 数 列 E 的 首 项=叫 且%+1+询=2“+1,如 果%是 单 调 递 增 数 列，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是可 分 别 求 出 其 通 项 公 式，然 后 根 据 册-册-1求 解，注 意 分 类 讨 论，即 当 n 为 奇(偶)数 时，-1为 偶(奇)数.21.已 知 数 列 品

27、满 足 ai=m,且%+】+%=2n+1,如 果 aj是 单 调 递 增 数 列，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 _ O1 3(2.2)解 析】.&+*+册=2n+1/.an+册-1=2n-1(2)得 小+工 一 品-1=2(找 22)。,数 列 3 中,幺,如 g,和 分 别 为 公 差 为 2 的 等 差 数 列。又 由 条 件 可 得 a：-m.a:-3?n.a3=2+m,(i4=5 m,若 数 列 为 递 增 数 列，则 只 需 a.a,a2,即?n 3-?n 2+?n,解 得 三 m?。实 数 m 的 取 值 范 围 是 答 案：G，；)22.设 S,为 数 列 4 的 前

28、项 和，q=0,若%+|=1+(1)”“+(-2)”(eN*),则 Woo=-2-21013当 为 奇 数 时，+=(-2)，则 4 二(一 2)，“4=(2)3，00=(-2)99,当 为 偶 数 时，a+】=2%+(2)=2%+2，则。3=24+22=0,a5=24+24=0,，为 9=228+2於-0,又 q=0,2 _ 2101,*Si。=a2-a4-1 F q0G=-2-2 故-35/-7 5 2 3.已 知 数 列%满 足：3牝 322(w N*),令 T=an+。+。+5(N*),则 北 的 最 小 值 为.15、【解 析】由 题 意 可 得：=3,则：5n2-75nq+/+为+

29、q=-;-，数 列 4 的 前 n 项 和 是 不 含 常 数 项 的 二 次 函 数，则 该 数 列 为 等 差 数 列，其 通 项 公 式 为：(5 2_75 f 5(n-l)2-75(n-l)1/,八 a-1-2-H-2-j-5?7+40,令 a*=0 可 得：=8，贝 i j：Tn=|q,+a*T+。”5|(“入)的 最 小 值 可 以 是：T”辰+生+角+q+q j=15.24.数 列 a“满 足：nan+2+(/?+l)a=(2w+1)an+1-1,q=1,a2=6,令 c“=a“cos”,数 列 c“的 前 n 项 和 为 S“，则 S4n=.16 2+6 由 递 推 关 系 整

30、 理 可 得：n(an_2-a,.,)=(+-an)-1,则:%1+l n,据 此 可 得:以 上 各 式 相 加 可 得：二%=4+1：。什|-。”=4+1,n 再 次 累 加 求 通 项 可 得：an=2?:-7 7（?7 2）,当”=1 时 该 式 也 满 足 题 意，综 上 可 得：a=2rr-n,贝（，4n-3+，+。4”-1+。4”=4n-2+。4=，1 0：n(22+32n-10),S4fj=-=167厂+6n25.设 数 列,的 前 项 和 为 S“，且 q=l,+/用=：（=1,2,3,），则 S 2,i=.试 题 分 析：因 为 6=1,。“+%+|=，7(=1,2,3/一)，所 以$2,_1=a,+(a2+a3)+.+(a2n_2+a2n_=l+导*+白 1-),故 答 案 为 g.