2021年高考数学考点43直线平面垂直的判定与性质必刷题理【含答案】.pdf

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1、考 点 4 3 直 线、平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 1.如 图，在 正 方 体 4BCC-&B1C1D1中,AB=1,过 直 线 切 氏 的 平 面 a _L平 面&BD,则 平 面 a截 该 正 方 体 所 小 D.4D【解 析】如 图 所 示，连 接 二 于 E,取 相 冲 点 广，连 接 EF、A C 易 得 E F I M G，ACtL 面 A*BD:,EF JL 面 A=BD$:EF u 面 TB=D*,.为 平 面 Q截 该 正 方 体 所 得 截 面，目 EF1B.D.:v AB=1,B：Di=4C.=事,EF=z A C,=,%:5必=2.EF=?,即 平 面 a截

2、 该 正 方 体 所 得 截 面 的 面 积 为 子.故 选 D.2.已 知 三 棱 锥 产-必 C 的 四 个 顶 点 都 在 球 0 的 球 面 上，P X 一 平 面，必 C,.18C是 边 长 为 2 的 等 边 三8/-J T角 形，若 球。的 体 积 为 3，则 直 线 尸。与 平 面 a 必 所 成 角 的 正 切 值 为 31A.TT B.TT3/10C.10叵 D.T o A取 4B的 中 点 M,则 4cpM为 所 求 线 面 角，利 用 勾 股 定 理 求 出 PM,CM即 可 得 出 答 案.【详 解】为 PA的 中 点,设 A ABC的 中 心 为 E,M为 A B

3、的 中 点，过。作。D_L P4 贝 JD.zCPM是 直 线 PC与 平 面 PHB所 成 角.A B C 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形-OD=AE=C M=：-n-0 P3=,/.O P=g PA=2PD=2xOP:-OD-=PM=vPA-+AM-=.3 3 3 3t a nC P M=S=蜜 故 选：A.3.某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示，其 中 每 个 小 格 是 边 长 为 1的 正 方 形，则 最 长 侧 棱 与 底 面 所 成 角 的 正 切 值 为（）8C.3A3D.2【解 析】由 题 意 可 知 三 视 图 对 应 的 几 何 体 的 直 观 图

4、 如 图：几 何 体 是 四 棱 锥,是 正 方 体 的 一 部 分，正 方 体 的 棱 长 为：2,显 然，最 长 的 棱 是：SC,AC=v22+l2=v15,则 最 长 侧 棱 与 底 面 所 成 角 的 正 切 值 为：AC V 5 54.如 图，四 棱 锥 P-4BCD中，4B=4D=2BC=2,BC/AD,AB LAD,APBD为 正 三 角 形.若 PA=2居 修 且 P4与 底 面 4BCD所 成 角 的 正 切 值 为 2.(1)证 明：平 面 P4BJ.平 面 PBC；D E=Ay/6(2)E是 线 段 CD上 一 点，记 瓦 一(01),是 否 存 在 实 数;I,使 二

5、 面 角 P-4E-C的 余 弦 值 为 名?若 存 在，求 出 入 的 值：若 不 存 在，请 说 明 理 由.(1)见 解 析；(2)5t解 析】(1)证 法 一:7 AB L AD,AB=AD=2,BD=22又 为 正 三 角 形，所 以 PB=PD=BD=2V2,又；AB=2,PA=2、e，所 以 AB 1 PB,X-AB LAD,BCHAD,:.ABLBC,P B C BC=B,所 以 1B_L平 面 PBC,又 因 为 ABU平 面 PAB,所 以 平 面 IS _L平 面 PBC.证 法 二：设 P在 平 面 ABCD内 的 射 影 为 Q,连 接 AQ,则 AQ即 为 AP在

6、平 面 6BCD内 的 射 影，故 d A Q 即 为 4P与 底 面 所 成 的 角，因 为 tanxPAQ=所 以 sindAQ=4而 sindAQ=，AP=2 所 以 PQ=2,AQ=2也又 21PBD为 正 三 角 形，所 以 PB=PD=BD=2、2 所 以 DQ=2由 AD=DQ=2,A Q=2 氏 得 AD 1 D Q,所 以 鼻 B=DQ,从 而 ABQD是 正 方 形，由 ABJ.BQ,月 BJ.PQ得：1B_L平 面 PBC,于 是 平 面 P月 B _L平 面 PBC(2)由(1)可 知，QDOHQB两 两 垂 直，以 它 们 所 在 直 线 分 别 为 x轴，)轴，丹

7、山，建 立 空 间 直 角 坐 标 系,贝 依(OQ.O)5P(002)/(220),C(0 QM(2QQ),由 丝=可 得 E(2 2 A Z 0),所 以,AE=(-2ZA-2.0),4P=(-2,2,2),设 平 面 PRE的 法 向 量 为 而=(x,y,z),则 信 濯:卜 眦 普/短。，=当 T所 以 记=(1，言 会)，显 然，炉=(002是 平 面 RCE的 法 向 量 设 二 面 角 P-R E-C 为 8,_ 作-一 3则 cosG-E QP-_!IZl!_-吐 勺 人 COSO _|司.而|.；工*旦)卬 汩 户 一 皿 2 J s+M依 题 意 有 万=?，解 得；康

8、5.如 图，在 斜 三 棱 柱 4BC-4B1G中，底 面 4BC是 边 长 为 2的 正 三 角 形，BB】=3,4%=回,(I)求 证：平 面 ABC，平 面 BCC/i；(II)求 二 面 角 B-4/-C的 正 弦 值.4774(1)见 解 析；(2)于【解 析】(1)取 BC的 中 点。,连 接 0 4 0比，因 为 底 面 BBC是 边 长 为 2的 正 三 角 形，所 以 0A 1 B C,且。4=3因 为 BBX=3,&CBB、=60s,OB=1,所 以。=l:+3:-2 x l x 3 x cos60=7,所 以 OBa=V 7,又 因 为 AB】=vTU,所 以。4二+OB

9、J=10=AB,所 以 0/Jj.OBz，又 因 为 OZfiBC=。，所 以。4平 面 BCQB,又 因 为 O A u 平 面 4BC,所 以 平 面 ABC 1平 面 BCC风(H)如 图 所 示，以 点。为 坐 标 原 点，OC为“轴，。月 为)，轴，0 为 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，其 中 B=2,则 4(0,V3,0),B(-l,0,0),C(l,0,0),(1,0.),所 以 丽=仔 一、氏/)，丽=(-1.-VJ.0),AC=(L-何 0),设 后=(孙 九 句)为 平 面 BB的 法 向 量，则IT-AB=0元 ABL=0 X.=Q即 i，%c，令%=b 得

10、二=（r 3 L l）J（右 一 国+%=0设 欢=O h)z：)为 平 面/4为。的 法 向 量，则 所 以 皿(有 利=黯|K=0=00,令 先=1,得 也=（V 3 L,）JZ=0 3所 以 二 面 角 8-月-C的 正 弦 值 为 11 一 三=3 1 3 76.如 图 所 示：四 棱 锥 P-4BCD,底 面 4BCD为 四 边 形，4C 1 BD,BC=CD,PB=PD,平 面 P4C _L平 面 PBD,AC=2 邓/PCA=30,PC=4 求 证：P4 1平 面 4BCD；(2)若 四 边 形 BCD中，NB4Z)=1 2 0/B，BC,是 否 在 PC上 存 在 一 点 M,

11、使 得 直 线 BM与 平 面 PBD所 成 的 角 3/57 PM的 正 弦 值 为 帘，若 存 在 求 近 的 值，若 不 存 在，请 说 明 理 由.(1)见 解 析；(2)1(1)设 4CnB0=0,连 接 P。v BC=CD AC 1 BD9.。为 8。中 点 又：PB=PD,PO 1 BD.平 面 PAC J平 面 PBD,平 面 PAC 评 面 PBD=POBD 评 面 P4C,而 24 u平 面 PAC:.PA 1 BD在/PC4中，由 余 弦 定 理 得 PA=PC:+4C二 一 2PC.Ccos30PA2=16+1 2-2 x 4 x 2 7 3 x=4,而 P却+心=PC

12、：PA LAC):.PA 1 BD|=PA 评 面 ABCDBDaAC=O)(2)过 月 作 AB垂 线 记 为)轴，AB为 K轴，AP为 4 由 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A(OOO),P(0.0.2),B(VXOQ),D(-乎=0),C(v,T3.0)而=(、仔。-2),而=(一 之 一 2),设 壁=2=PM=A M C2 2 NC设 平 面 P8D法 向 蚩 为 元=(x.y.z)71 竺=0m-PD=O x+/-2 z=0，取 元=(2.2V3.V3)设 BM与 平 面 PBD所 成 角 为 9-2y/3,0./3A,2y/3尸 一 d 1+A+l+l+3J57eosin-

13、BM）=-=-r 1 3+9A2+4 3 8sirup=-J（1+乃）._P_M_=解 2=1,M C7.已 知 斜 三 棱 柱 ABC-AiB的 侧 面 A1ACC1与 底 面 ABC垂 直，NABO90。，BO2,AC=28,且 A A1 _L A1C,AA=A1C.(I)求 侧 棱 A|A与 底 面 ABC所 成 角 的 大 小；(II)求 侧 面 AiABBi与 底 面 ABC所 成 二 面 角 的 大 小。【答 案】见 解 析;(2)60。【解 析】(D 解：作 A iD j_ A C,垂 足 为 D,.平 面 A iA C C il平 面 A B C,平 面 AiACCi。平 面

14、ABC=AC,.A iD l平 面 ABC,.,.N A iA D即 为 A iA与 平 面 ABC所 成 的 角.4 A ilA iC,AAi=AiC,ZAuAD=45,；恻 棱 A iA与 底 面 A B C所 成 角 为 45。.(H)解 法 一：作 D E I A B,垂 足 为 E,连 A i E,则 有 A i D l平 面 ABC,AB由 三 垂 线 定 理 得 A iE lA B,/.Z A iE D是 平 面 AiABBi与 平 面 ABC所 成 二 面 角 的 平 面 角.由 已 知 得 A B 1 B C,所 以 ED IIBC.又 D 是 A C的 中 点，BC=2,A

15、 C=2 6,DE=1,AD=AiD=V,在 RtA ED 中,t a n：ED=詈=、氏/.ZA iED=600,二.侧 面 AiABBi与 底 面 ABC所 成 二 面 角 的 大 小 为 60。.(n)解 法 二：由(D 可 知&D 1平 面 A B C,于 是 以。为 原 点，过 点 平 行 于 BC、A B的 直 线 为 x、y 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 所 示.则 见 L V I 0),E(L 0,0)4(0,0,7 3).设 平 面 的 法 向 量 为 斤=(a,b.c),由(元 BE=0 je f y/2b=0出 I元 瓦 1=0 1寸 l-a-6+=0令

16、 c=1,贝|a=y/3,b=0,.,.n=(、0.1).又 平 面 A B C的 法 向 量 为 D&=(0 0、,由 三 垂 线 定 理 得 A iE lA B,/.Z A iE D是 平 面 AiABBi与 平 面 ABC所 成 二 面 角 的 平 面 角.由 已 知 得 A B 1 B C,所 以 ED IIBC.又 D 是 A C的 中 点，BC=2,A C=2 6,DE=1,AD=AiD=V3,在 RtA儿 ED 中,t a n.ED=9=、氏 DE/.ZA iED=600,二.侧 面 AiABBi与 底 面 ABC所 成 二 面 角 的 大 小 为 60。.(n)解 法 二：由(

17、D 可 知&D 1平 面 A B C,于 是 以。为 原 点，过 点 平 行 于 BC、A B的 直 线 为 x、y 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 所 示.则 见 L V I 0),E(L 0,0)4(0,0,7 3).设 平 面 的 法 向 量 为 元=a-b.c,由(元 BE=0 je f y/2b=01元 BAZ=0 寸 I a/2b+3c-0令 c=1,贝|a=、氏 b=0,.,.n=.又 平 面 A B C的 法 向 量 为 过=(0.0,、同，力 温 叫 曲 1cos=-=-=.|n|DAX 2(3 2,由 图 形 得 侧 面 AiABBi与 底 面 ABC所 成

18、 二 面 角 为 锐 角,二 侧 面 AiABBi与 底 面 ABC所 成 二 面 角 的 大 小 为 60.（1）用 几 何 法 求 空 间 角 时.，要 体 现 出“一 作、二 证、三 计 算”的 步 骤，即 先 作 出 所 求 的 角，然 后 通 过 解 三 角 形 得 到 所 求 角 的 大 小（或 某 一 三 角 函 数 值）.（2）用 向 量 法 求 空 间 角 时;在 求 得 两 向 量 的 夹 角 后，还 要 注 意 向 量 的 夹 角 和 所 求 空 间 角 的 关 系，即 要 把 向 量 的 夹 角 转 化 为 所 求 的 空 间 角.8.（题 文）（题 文）在 三 棱 锥

19、 4-BCD中，AB=AD=BD=2,BC=DC=*,AC=2.（1）求 证：BD1AC.（2）点 P为 AC上 一 动 点，设。为 直 线 BP与 平 面 4CD所 形 成 的 角，求 sin。的 最 大 值.43 见 解 析；（2）不【解 析】（1）取 8D中 点 E,连 接 AE,CE,：AB=AD=BD=2,又 E为 BD中 点，：.AE 1 BD,同 理 可 得 C E 1 BD,又 RE C I C E=E,：.BD评 面 力 CE,又 A C u平 面 ACE,BD LAC.(2)：AB=AD=BD=2,BC=D C=2,B CD为 直 角 三 角 形,且 力 E=,C E-1,

20、AE:+ECz=AC:f：.LAEC=IP/IE 1 EC,又 A E BD,所 以 A E _ L 平 面 B C D.以 E为 坐 标 原 点，EC为 x轴，ED为）轴，E4为 z轴 建 立 如 图 直 角 坐 标 系 E-x”.则 B(O,-1,O),D(O,1,O),C(1,O,O),4(0,0/),设 P(X0,yo，z(j),AP=AAC(OA1 尼=(l,0,-&),AP=xQ,yQ,zQ-73)；(XoJo,o-,3)=-,3)=(A,0,-4 入),%=4y0=*0=2二 Z-=-7引，即 Z=y05=-0，（尢 0 4-同，丽=(Z L V3-V耿)，Ei=(O,-l,V5

21、),DC=(l.-l,0),设 元=(%JI Z：提 平 面 BCD的 法 向 量，由 何%=0 得 f-yx+事 z、=0%加=0 倚 1 A f=o 令 X，=1,得 以=1,zt=拳/.n=(l.l,),疝”I 1=|卜 丁 金，二=、VO A 1,.,.-22=-3A+2 2,a sin0 誓,sin。的 最 大 值 为 学.9.如 图，在 三 棱 柱 4 B C-4 B 1 G中，=4B=BC=M/C=2,平 面 力 J.平 面 4B C/A14 c=45 求 证：.平 面 4 8 1 工 平 面 4 C；(H)在 棱 4避 1上 取 一 点 M,B；M=4 8/1(0 4 4 W

22、1),若 CM与 平 面 4 B R所 成 角 的 正 弦 值 为 飞；求 儿A=-(1)见 解 析(2)2【解 析】所 以 尹 翊 B/1 平 面 A 3)解：如 图 所 示，取 4c的 中 点 为 乩 则 由 勺 月=41c=在“=450,得&”=1.A.H1AC,又 平 面 月 3 4 1 平 掰 ABC,平 面 月 C Q 4 C 平 而 ABC=AC、所 以 儿 HJ.平 面 ABC,又 AB=BC,所 以 BH 1 AC,以 为 原 点，丽.近.沅 1 的 正 方 向 为 x轴、J轴、井 由 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，-孙 z,则 月(0,-1.0),C(0.

23、1.0),-(0.0.1)尻(LL1),B(LOQ),设 M(x.y,z),则 由 B_M=/.B_L(x=1-A,_得 y=1 2,所 以 M(1 7 1 A,1),CM=(1 2,-x.l)z=L由(D 知 平 面 AB式 的 一 个 法 向 量 为 不=(L 0,-l)所 以 亘=|cos|=|-J、,八 6 1 1 Iv？X V Cl-A+A-+l*解 得=;或-1伪 值 舍 去)，所 以 1 0.如 图，和 所 在 平 面 互 相 垂 直，&AB=BC=BD=2,4ABC=NDBC=120。，E,尸 分 别 为 AC,欧 的 中 点.(1)求 证：EFLBC；(2)求 二 面 角 一

24、 跖 一 C的 正 弦 值.E2.(1)见 解 析(2)可 1解 析】(戈 正 明：如 图，过 E 作 E 0 1 5 C,垂 足 为。，连 接。尸，由 题 意 得 可 证 出 AECX叁 匕。，四 所 以/EOC=NFOC=5,B P FO_ BC,y 0 1 BC,EOVFO=O,因 此 BC_L平 面 EFO又 EFu平 面 EFO,所 以 E F lB U(2施 明：由 题 意，以 B为 坐 标 原 点，在 平 面 D B C 内 过 B 作 垂 直 于 B C 的 直 线 为 x轴，B C 所 在 直 线 为 y 轴,在 平 面 A B C 内 过 B 作 垂 直 B C 的 直 线

25、 为 z轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，易 得 5(0,0=0),4(0,-1,檎,D-1,0),C(032,0),1 巫 1因 而 E(0,2,2),尸(2,2,0),由 题 得 平 面 昉。的 一 个 法 向 量 为 711=(0,0,1).设 平 面 8 E F的 法 向 量 为 汨=(x,y,z),”2.阱=0,亚 工 1 蛆 又 前=12,2,0),屉 二(0,2,2),由 m 旗=0,得 其 中 一 个 加=(1,一 小，1).设 二 面 角 E-BF-C 的 大 小 为 6,且 由 题 意 知 0为 锐 角,则 COS e=|c o s 1，2|“2|

26、1|=1 1”1旧 2|1=小,-f=2*2小 因 此 s i n。=7 5=5,即 二 面 角 6-母 一 C 的 正 弦 值 为 5.11.如 图，已 知 四 棱 锥 P-4BCD的 底 面 为 菱 形，rBCD=120,AP=BP(1)求 证：P C I AB,(2)若 PC=4,PD=4中,4,求 二 面 角 8 _ 2。_ 0的 余 弦 值.7 a(1)见 解 析(2)【解 析】(1)证 明：设 中 点 为 E,连 接 史 瓦 谖，依 题 意 相=8 5&B C=60 C 为 等 边 三 角 形：.A B A.C E.:PA=PB ABA.PE.:PEC E=E:.AB1 平 面 P

27、CS又 r P C u 平 面 PCE,ABS.PC(2)解：由(D 知：PC LCD PC=4,即=40,；.DC=43A i,cos Z.PCB=-_*8 中，4,由 余 弦 定 理 得，PB=25，由 知，PE=2 C E=2/,PC1=PE1+CE,.PELCS又!.朋 C E c4B=E,：,F E J 平 面 48 8以 E为 坐 标 原 点，以 向 量 加，电”分 别 为 X 轴、丁 轴、Z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 BQ20,PQ0,2),我 2祗 0,0),以 2 a-4,6,sr-(0,-22),定=。0,恐，CD=(0,-40)-p-A

28、P-0 2+方 0设 万=(x,y,z)是 平 面 郎 c 的 一 个 法 向 量 k 死-o=b&g-o,令 x=l,G=(l,、层 的,=0 扬 _2”0设 制=(x,y,z)是 平 面 FCZ)的 一 个 法 向 量 k须-0=1-4，令 x=l,莉=。,。,物 设 二 面 角 B T C-D 的 平 面 角 为 0,则 r M 7又.二 面 角 B-P C-D 为 钝 角；.二 面 角 8-P C-D的 余 弦 值 为 一 手 1 2.如 图，在 棱 长 为 3的 正 方 体 4BCD-&B1CW1中，E,F分 别 在 棱 4B,CD上，且 4E=CF=1.(1)已 知 M为 棱 D

29、i上 一 点，且 01M=1,求 证：BM_L平 面 E R(2)求 直 线 F0I与 平 面 4道 6 所 成 角 的 正 弦 值.3/190(1)见 解 析；(2)95(1)过 M作 用，劣 于 点 7,连 B,则 4 J=1.易 证：A A 4 iE m A 4 iB,于 是 乙 4&E=/4 B J 由 147+4/瓦=90。,知 闻，E+zX1TBi=90。,：.A1E 1 BLT.MT1.AA1B1B,而 4xE u 面 AALBLB,：.MT LA tE,n MT=T,.,.AlMTB,.X*E_LMBr连 B也,则 瓦 2 1 4 0又 B1D1nD1Af=Dx,二 A_C_

30、_L 面 MD_B_,1 MB；.由 儿 E _L M 尻，41clJ.M 瓦,ALEn A1Ci=Alf J 面 A工 EQ.（2）在 D C 上 取 一 点 N,使 1,连 接 EE易 知 儿 E幺 FM.以 L”C,=%-FC|=%-NPC|=SANFC x 3=；（；x 2 x 3）x 3=3.对 于 d?4.EQ,4；C_=3Vz A E=VTU,而 EC=y/22,由 余 弦 定 理 可 知 cos，E L G=W 笠=W.zL4_EC_ 的 面 积 5=1C1-41FsinzE1C=：X 3、，2 X、，TU.冷 由 等 体 积 法 可 知 F到 平 面 A E G 之 距 离/

31、i满 足 尹 M S=4-EFC,，则:x h=3,.h=右，又 FC=v 0,设 FC工 与 平 面 AEC二 所 成 角 为 8,.sinJ=性=多 善.13.如 图，四 棱 锥 P-ABCD中，侧 面 P4D为 等 边 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 力 BCD,AD=2BC=2,/.BAD=LABC=90.（1）证 明：ADI PC.(2)若 直 线 P C 与 平 面 P40所 成 角 为 30。，求 二 面 角 4-SB-C的 余 弦 值.2 a(1)证 明 见 解 析；(2)一.(1)取 力 D的 中 点 为 0,连 接 P0,C0,.二 回 防 等 边 三 角 形，：.P0

32、 1 AD.底 面 ABCD中，可 得 四 边 形 ABC0为 矩 形,：.C0 LAD,：P 0nC 0=0,：.AD 片 面 POC,P C u平 面 POC,：.AD 1 PC.又 AD/BC,所 以 AD LPC.(2)由 面 PAD _ L 面,4BCD,P。1.4D知，PO_L平 面.43CD,.0P,0D 0C两 两 垂 直，直 线 PC与 平 面/MD所 成 角 为 3 0,即 NCP0=30，由 4D=2 知 P0=、氏 得 C O=1.分 别 以 次.而.赤 的 方 向 为 X轴，声 由，2轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 0-町 2,Jj?jP(O,

33、O(V3),D(0,l,0),C(l,0,0),B(1,-1,0),：.BC=(0,1.0),丽=(1.0,-XCD=(-1,1.0)设 平 面 PBC的 法 向 量 为 汀=(x,y.z).，小 M.则 n=(回,1),设 平 面 P 的 法 向 量 为 市=(x,yz)./.卜-3z=0.则=mn 4 2、/7cosm,n)=-|m|n|2 0 7,2 二 由 图 可 知 二 面 角 4-SB-C的 余 弦 值 一 7,1 4.如 图，。、E分 别 是 正 三 棱 柱 4BC-&B1C1的 棱 4 4、B r1的 中 点，且 棱=8,A B=4(1)求 证：&E 平 面 B O Q；【解

34、析】(1)在 线 段 BC 取 中 点 F,连 结 EF、DF.则 EF D&,且 EF=Da，；.EFD月 是 平 行 四 边 形：.AZE/FD,又 月 工 E C 平 面 FD u平 面 BDC_,;.A E/平 面 BDC.(2)易 知 月 潭 1 航 过 点 E 作 EH 1 BC_于 乩 连 接 t 乩 则 乙 4_HE为 二 面 角 儿-B Q-反 的 平 面 角，即 Z-AHE=/求 其 正 切 即 可.在 工 C；中,由 等 面 积 法 可 知 斜 边 BC上 的 高 为 4 普=则 EH=：x?=O L|M 3 3又&E=2、区 在 R a HE中，tanU_HE=詈=ta

35、n。故 tan28=-詈 为 所 求.(法 二：坐 标 法，利 用 空 间 向 蚩)15.如 图，已 知 四 棱 锥 P-4BCD中，平 面 24。，平 面 力 ECD,平 面 PCD 1平 面 力 ECD,E为 PB上.任 意 一 点,为 菱 形 4BCD对 角 线 的 交 点。(1)证 明：平 面 E4cl平 面 PBD；(2)若 NB4D=6 0,当 四 棱 锥 的 体 积 被 平 面 EAC分 成 3：1两 部 分 时，若 二 面 角 B-4E-C的 大 小 为 45,求 PD：4D的 值。(1)过 点 B作 BG14D于 点 G,由 于 平 面 P4D，面 48CD,所 以 BGJ.

36、面 P4DPDu 面 P4D,故 PD_LBG；同 理，过 点 B作 BH J.CD于”，则 PD J.BHBG u 面 ABC。，BH c 面 ABCD,且 BH cBG=B所 以 P D，面 ABCDo所 以 PD 1 A C,又 从 C 1 BD,故 AC_L面 P B D,所 以 面 EAC_L面 面 PBD。(2)若 四 棱 锥 的 体 积 被 面 瓦 4c分 成 3：1两 部 分，贝 正-ABC的 体 积 是 整 个 四 棱 锥 体 积 的 设 三 棱 锥 E-月 BC的 高 为 八，贝 除 J s h=；s-P D(s为 菱 形 月 BCD的 面 积)，所 以 h=：P D,故

37、此 时 E为 PB的 中 点，此 时 E。=钟 D,E O/P D,故 面 E4C_L面 4B C D,故 B0 1面 E.4C,BO 1 AE,过 点。作。F 1 AE于 点 F,贝 3 E，面 3 0 F,连 接 3 F,则 4 E 1 BF,故 KOFB即 为 二 面 角 B-AE-C的 平 面 角,即 4OFB=4 5。设 月 D=a,贝“BD=a.OB=7,OA=(a,在 R7 A BOF中，tanzOFfi=1,故 OF OA-OE=OF-AE可 解 得 OE=?a,故 PD=兰 a,:.PD:AD=、2解 法 二：如 图 建 立 坐 标 系，设。B=m,则。4=、5 或，设。E=

38、h,则 4(4 m,0,0),B(0,m,0),E(0,0,h)面 4EC的 法 向 量 为 由=(0，1，0),设 面 面 4BE的 法 向 量 为 敢=泛，2),则n2-AB=0,五 BE=0=-/3mx+m y=O./ny hz=0,取 x=1,则 h 展 一=,:.PH,.AD-vo：2m 216.如 图，四 边 形 力 氏 力 为 正 方 形，PDL平 面 ABCD,N加，=30,/d/个 于 点 A F E/C D,交 加 于 点 后(1)证 明：的 _平 面 4小；(2)求 二 面 角 力 的 余 弦 值.(1)证 明：.如 _L平 面/及 力，/Zt平 面 力,C.PDVAD.

39、又 CDLAD,PDHCDD,./，平 面 上?.又 用 3平 面 PCD,：.ADV PC.又 A F I PC,A D A F=A,.力 _平 面 4 A,即 CFL平 面 4 K(2)设 4片 1,则 在 RtZ2/中，CD=,：.PC=2,P D=小,ZPCD=60.近 1由(1 柒 口 C尸 1。尸，.DF=8sin6(r=2,CF=CDcos 60e=2.DE CF 亚 y.FEU CD,：.77D=PC=4f：.DE=43 3同 理 EF=4CD=4.如 图 所 示，以。为 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D-D?,则 4 0,0,1）,爵,。）,犀）,P（小,0,0

40、）,0（0,1.0）.rn L/lA设 m=(x,y,2）是 平 面 4 M 的 一 个 法 向 量,XH7T=l 3-4则 I EF.o o令 x=4,则 z=5,w=（4,0,巾）.由（1决 口 平 面 3 尸 的 一 个 法 向 量 为 双，=（-5,1.0）,设 二 面 角 D-/R E 的 平 面 角 为 8,可 知 8为 锐 角，皙 2病 故 COS8=COS|=|m|PC=V19x2 IQ2屈 故 二 面 角 D-4F-E的 余 弦 值 为 19.1 7.如 图，0是 AC的 中 点，四 边 形 BDEF是 菱 形，平 面 BDEF，平 面 ABC,FBD=60,AB 1 BC,

41、AB=BC=J2.E(1)若 点 M是 线 段 BF的 中 点，证 明：B F 1平 面 4MC；(2)求 平 面 成 产 与 平 面 BCF所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值.1(1)见 解 析；(2)7.【解 析】(1)连 接 M D,广 四 边 形 BDEF为 菱 形，且 乙 FBD=60。，.D B广 为 等 边 三 角 形.为 肝 的 中 点，.DM 1 BF.：AB IBC,AB=BC=yf2,又。是 AC 的 中 点,：.BD LAC.B D E F=B D,平 面.4BC 评 面 BDEF,AC u平 面 ABC,：.AC 1 平 面 BDEF.又 B F u平 面 8

42、DEF,.。M C J.B F.由 DM 1 BF,AC 1 BF,D M ex AC=D,：.BF J平 面 4MC.(2)设 线 段 EF的 中 点 为 N,连 接 D M 易 证 D N 1 平 面 ABC.以 D为 坐 标 原 点，DB,DC,DN所 在 直 线 分 别 为 x轴,)轴,z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 贝 以(0.LO),E(-=,0冯，呢，0#,B(l,O,O),C(O,l.O).荏=（一=,L），EF=（1.0.0）,肝=（_：。竺），BC=（-1.1.0）.1设 平 面 A E F,平 面 3。广 的 法 向 量 分 别 为 而=n=

43、(x2,y2,z2)y.幅 发;n_ 衿+必+字 1=0，工=0解 得 以=一/z*.取 4=-2,.布=（0,、氏 一 2）.又 由 露 着 x2+）=0士 二+4.=0 解 得=侬-取 z二=1,.,.n=（何 0,1）.cos Imllnl=一 一 V/-V/7二 平 面 AEF与 平 面 BCF所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 兴 18.在 四 棱 锥-BCD中，P A D 为 等 边 三 角 形,底 面 ABCD为 等 腰 梯 形，满 足 4B CD,AD=DC=24 B=2,且 平 面 P4D,平 面 4BCD.(.1)证 明:B忆 平 面 P4C；(2)求 二 面

44、角 4PD-C的 余 弦 值.更(1)详 见 解 析(2)-5【解 析】(1)在 梯 形 月 BCD中，取 4B中 点 E,连 结 D E,则 IE B C,且 DE=BC.故 D E=：4 B,即 点 D在 以 为 直 径 的 圆 上，所 以 BD，AD.因 为 平 面 P4D1平 面 总 BCD,平 面 PADri平 面 ABCDflD,BDu平 面 1BCD,所 以 BD1平 面/MD.(2)取 4D中 点。,连 接 P。，则 PO _UD,连 接 OE,JJJJOE/BD,：.OELAD.以。为 原 点，分 另 以。儿 0 E,。然 x轴，)铀，z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间

45、 直 角 坐 标 系，易 得 OE=：BD=事 则 4(1,0,0),D(-l,0,0),E(0,vTO),PCO.O.vI),DC=4 E=(-l，A 0),DP=(L.0/3).取 平 面 PAD的 一 个 法 向 量 为?=(0,1,0),设 平 面 PDC的 一 个 法 向 量 为 m=(x,y,z),由 DC.77i=0,DP-7n=3 导：卜+步=：令)=1,得 m=(何 L-l),所 以 cs(而/=焉=m，因 为 二 面 角 力-P D-C的 平 面 角 为 钝 角，所 以 二 面 角 A-P D-C的 余 弦 值 为 19.在 四 棱 锥 P-4BCD中，底 面 4BCD为

46、正 方 形，PB=PD,(1)证 明：面 24cl 面 4BCD：(2)若 P4与 底 面 力 BCD所 成 的 角 为 30,4，。,求 二 面 角 3-00-0的 余 弦 值.1(1)见 解 析；(2)7【解 析】(1)证 明：连 接 ACRD交 点 为 0,.四 边 形 ABCD为 正 方 形，：PB=PD,OB=0D,：.BD 1 OPJLJOP CyAC=0,：.BD 1 面 PAC又 BD c 面 PAC,：,而 PAC L 面 ABCD.(2):醺 AC L 面 ABCD 过 点 P做 P E U垂 足 为 E：.PE 1 函 ABCD：PA与 底 面 ABCD所 成 的 角 为

47、 30。，月 C=30,又 加 1 P C,设 PC=2,则 AP-2 v P E=3,AE=3,AC 4MD=2y2如 图 所 示，以 A为 坐 标 原 点，布.而 为 x y 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 4-盯 Z月（0 0 0）,8（2、0 0,0）,以 2衣,2 v l.0）.D（0.2v1.0）,P(苧 挈 同 设 面 PBC法 向 量 为 元=(x,y,z),BC=(0,2、，2 0),而=(一 争 一 争（7 屈=0.（2、2 y=0（元 CP=0-x+合 y-、&=0，令 z=量 则 y=0,x=/.n7=（V6,O.1）同 理 面 PCD的 法 向

48、 量 亚=(0,、1),cos伍，五=尚 薇=；.求 二 面 角 3 PC-D的 余 弦 值 一：2 0.在 三 棱 柱 BC-ABIG中，侧 面 4CC/1是 边 长 为 2 的 菱 形，乙 4/C=60,BA=BC4,HG4 4-、-cB(I)证 明：4C 1B；(H)若 底 面 是 以 B为 直 角 顶 点 的 直 角 三 角 形，且&B=2,求 二 面 角 4-B C I-C的 正 弦 值.V42 见 解 析；(2)亍.【解 析】(1)证 明：连 接 LC,.四 边 形 4CQ4是 菱 形，目 乙 M C=6(T,.月 以 二 为 等 边 三 角 形.取 的 中 点。，连 接。4,0

49、B,则 ACJ.O4,又,：BA=BC,：.AC 1 OB,。42n0B=。,。4工、OBu 平 面。二 B,：.AC J_平 面 O&B,又.&BU平 面 0&B,(2)由(1)及 题 意 可 知 0&=、，OB=1,AiB=2,则 OB 1 0Al f 又 OB 1 A C,则。B，平 面 占 4 C,以。为 坐 标 原 点，分 别 以 OB,0C,0 4 所 在 的 直 线 为 x轴，甘 由，z轴 建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系。-xyz,则 C(0,L0),4(0,-1,0),ff(l.O.O),41(0.0，V3),O(O.O,O),.-.o Z=(0.0，v/3),AC=(

50、0.2,0),AB=(l,O.-v),.0 C=o l7+=瓯+就=(0.2.何)，.(0 2商，.-.17c=(0.2.0),设 平 面 的 法 向 量 为 而=贝 上 祭 U，可 得 二 缶 2=。，故 可 取 而=(0 0.1).设 平 面 BQC的 法 向 量 为 元，同 理 可 取 元=(一、氏 一 氏 1),.cos=二.二 面 角 4 BQ-C的 正 弦 值 为 学.2 1.如 图，在 底 面 一 为 等 边 三 角 形 的 斜 三 棱 柱 B e-4】/。中，4 a=J 1 4 B,四 边 形 位 GCB为 矩 形，过“也 作 与 直 线 BG平 行 的 平 面 1CD交 AB