2023年上海市春考数学试卷(含答案).pdf

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1、2023年 上 海 市 普 通 高 校 春 季 招 生 统 一 文 化 考 试 数 学 试 卷 一、填 空 题(54分)1、不 等 式 国 1的 解 集 为:3 一 12、计 算：=_；mg n+23、设 集 合 A=X0 x2,8=4-1%0,函 数/(x)=x+2(l-x)sin(or),xe(0,l),假 设 函 数 y=2x-l与 y=/(x)的 图 像 有 且 仅 有两 个 不 同 的 公 共 点，那 么 a 的 取 值 范 围 是；12、如 图，在 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 20米，圆。的 半 径 为 1 米，圆 心 是 正 方 形 的 中 心，点 尸、。分 别

2、在 线 段 4 0、C 8 上，假 设 线 段 尸。马 圆。有 公 共 点，那 么 称 点。在 点 P 的“盲 区”中，点 尸 以 1.5米/秒 的 速 度 从 A 出 发 向。移 动，同 时，点。以 1 米/秒 的 速 度 从 C 出 发 向 8 移 动，那 么 在 点 P 从 A 移 动 到。的 过 程 中，点。在 点 P 的 盲 区 中 的 时 长 均 为 秒(精 确 到 0.1).二.选 择 题(20分)13.以 下 函 数 中，为 偶 函 数 的 是()A y=x_2 B y=x3 C y-x 2 D y=x314.如 图，在 直 三 棱 柱 A B C-A q G 的 棱 所 在

3、的 直 线 中，与 直 线 异 面 的 直 线 的 条 数 为(A 1 B 2 C 3 D 415.假 设 数 列 凡 的 前 项 和，“/是 递 增 数 列”是“S J 是 递 增 数 列”的()A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件 C 充 要 条 件 D 即 不 充 分 也 不 必 要 条 件 16、A、8 是 平 面 内 两 个 定 点，且 蓝=2,该 平 面 上 的 动 线 段 尸。的 两 个 端 点 P、。满 足：AP A P A B=6,A Q=-2 A P,那 么 动 线 段 P Q 所 围 成 的 面 积 为()A、50 B、60 C、72 D、108

4、三、解 答 题(14+14+14+16+18=76 分)17/(x)=cosx1 71(1).假 设/(a)=，且 ae0,泪，求 了(a)的 值；(2).求 函 数 y=/(2x)2/(x)的 最 小 值；218、a G R,双 曲 线：一 z y=1a（1）.假 设 点（2,1）在 上，求 r 的 焦 点 坐 标；（2）.假 设。=1,直 线 y 与 相 交 于 A 3 两 点，假 设 线 段 A B 中 点 的 横 坐 标 为 1,求 女 的 值；19.利 用“平 行 与 圆 锥 母 线 的 平 面 截 圆 锥 面，所 得 截 线 是 抛 物 线 的 几 何 原 理；某 公 司 用 两

5、个 射 灯（射 出 的 光 锥 视 为 圆 锥）在 广 告 牌 上 投 影 出 其 标 识，如 图 1 所 示，图 2 投 影 出 的 抛 物 线 的 平 面 图，图 3 是 一 个 射 灯 投 影 的 直 观 图，在 图 2 与 图 3 中，点 0、A、8 在 抛 物 线 上，0 C 是 抛 物 线 的 对 称 轴，O C，A 5 于 C,=3米，O C=4.5 米.（1）求 抛 物 线 的 焦 点 到 准 线 的 距 离：（2）在 图 3 中，O C 平 行 于 圆 锥 的 母 线 SO,A B,是 圆 锥 底 面 的 直 径，求 圆 锥 的 母 线 与 轴 的 夹 角 的 大 小（精 确

6、 到 o.or）.20.设 a o,函 数/（幻=1l+a-2（1）.假 设 a=l,求/（x）的 反 函 数/T（X）（2）求 函 数 y=/（x）（x）的 最 大 值，（用。表 示）（3）设 g（x）=/（x）/（x1）,假 设 对 任 意。（-8,0 遥（力 之 目（0）恒 成 立,求 a 的 取 值 范 围？21.假 设 c.是 递 增 数 列，数 列 4 满 足：对 任 意 e R 曰 机 e N*,使 得%二 4-W 0,那 么 称“是 c.册 一 c“+i的“分 隔 数 列”（1）设=2,a“=+l,证 明：数 列%是 g 的 分 隔 数 列;（2）设 c.=4,S“是%的 前

7、项 和，dn=c3n_2,判 断 数 列 S,J是 否 是 数 列“的 分 隔 数 列，并 说 明 理 由；（3）设 是%的 前 项 和，假 设 数 列 5 是 C,的 分 隔 数 列，求 实 数。国 的 取 值 范 围？32023年 上 海 市 普 通 高 校 春 季 招 生 统 一 文 化 考 试 数 学 试 卷 参 考 答 案 一、填 空 题：1、(,l)U(l,+);2、3：(百 J9、4;10 1-3-,+8 J；二、选 择 题：13、A；14、C；15 D；16、B；三、解 答 题：,、1+276,、317、(1)-；(2)-；6 218、的,0)(一 百,0)-2)19、(1)-

8、；(2)9.59；420、解 析：(1)2X xy,、1 1 y=,二+a-2x+a-2-x那 A y _ 2 r 2 rt a广+(a-+l,+a Qta以 at H-F+12 Q 2+2。+1t2 23、(0,1)；4、2;5、15;6、=1；7、5；8、180；(1 U 19 万”，；12、4.4；I 6 6/-I2；=log2Q-1 J=r(x)=log2c-1卜 e(0,1)；2A7(-2-+-4-Jl-+-a-2-)P 设 2-0,1-，因 为。0,所 以 3+旦 2 2。，当 且 仅 当 f=l时 取 等 号，所+a+Q 2+l1 tt即 y J o,二；4g(x)1l+a-2A

9、22+a-2x a 2err+3a 2*+2设 2*=t,因 为 x e(-8,0),所 以 f e(0,l),那 么 g(r)=-1-,假 设 a=2=f=，+2+3a t 0t1 当 一 乙 21 时，即 0 4 4 直，y=a2f+2+3a 单 调 递 减，所 以 y+3a+2,+oo),a t那 么 g(a)e 一,0,且 g)=r 一,故 满 足 g(x)N g(0),符 合 题 意;a+3a+2)a+3a+22 当 0,那 么 y=afd-1-3a 2 2-F3a=+3a,a t a(石、那 么 g(a)e(2后 一 3,0),因 为 g(x)mjn=g log2 wg(0),故

10、不 符 合 题 意，舍 去;综 上：a e(0,V2o21、解 析(1)依 题 意 得,因 为 m w N*,于 是，可 得，m=2 n,故 存 在 这 样 的 加，使 得 品 一 和 K 0,所 以 数 列 氏,是%的 分 隔 am-C+1数 列，得 证；(2)4,=。3,一 2=3-6,又 因 为 S“是%的 前 项 和，所 以 S“=(-3上 尸 4k=5 一 9,假 设 数 列 s“是 否 是 数 列 4,的 分 隔 数 列，那 么 必 定 存 在 m e N*,使 得 上 匚&0,SM-4+I代 入 不 并 化 简 得：所 以，6n 12 w2 Im 6n 6,5又 因 为 根(根-

11、7)=2&(&e Z),所 以 m(m-7)=6-12,6 一 10,6-8,对 于 任 意 的 e N*,三 个 方 程 m2-7 m=6n-12.m2-l m=6n-0 都 不 能 确 保 加 一 直 偶 整 数 解,m2-7m=6n-8.故 不 符 合 定 义，所 以 数 列 S,不 是 数 列 4“的 分 隔 数 列;另 解：举 出 反 例 即 可!r 当=1时，-6m(m-7)0m e N*n z=6,存 在;2当=2 时，!07?z(m-7)m=7,存 在;3 当=3 时，46m(m-7)m=8,存 在；m e N*4当=4 时,12 m(m-7)m=0,不 存 在;综 上，数 列

12、 s“不 是 数 列”“的 分 隔 数 列;(3)因 为 g 是 递 增 数 列，所 以，,或。0 0 0,不 符 合 数 列 m 是 匕 的 分 隔 数 列,工”一 m a-a故 舍 去。当 ql 时，Tn=aq,因 为 工 一%0,代 入 并 化 简 得:1-q Tm-C+lq-q-+lql qn+l-q+1,6令 m=n,那 么 夕 向 一+l q=q(q _2)+l N 0,对 任 意 的 e N*恒 成 立，那 么 q 2 2,而/i+l 4 4 n g i 21(恒 成 立)，故 数 列 出 是 匕 的 分 隔 数 列，且 此 时 a 0；当 0 q l时，因 为 7%一 4 0,代 入 并 化 简 得：q-q-+qm i,q+”+i 人 此 时 加 不 存 在，故 这 种 情 况，舍 去；综 上，。0或 夕 2 2。7