2021年高考数学考点23正弦定理和余弦定理的应用必刷题理【含答案】.pdf

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1、考 点 2 3 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用 1.在 AABC中，a,b,c分 别 为 角 A,B,C所 对 的 边，若，则 ABC是（）A.直 角 三 角 形 B.等 腰 三 角 形 C.等 腰 直 角 三 角 形 D.直 角 三 角 形 或 等 腰 三 角 形 D【解 析】由 条 件 可 得:s i必 _ sinBa2cosA b2cosB?所 以 由 正 弦 定 理 可 得:bb2cosB整 理 可 得：acosA=bcosB,所 以 sinAcosA=sinBcosB,所 以 2A=2B 或 2A F-2B,所 以 A=B 或 A-B=90.所 以 三 角 形 是 等

2、 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形.故 选：D.B J%2.在 A4BC中，3,AB=2,。为 4B的 中 点，ABCD的 面 积 为 4,贝 C等 于（）A.2 B.j C.V10 D.廓 B7T由 题 意 可 知 在 4BCD中，B=3,AD=1,1 1 G 3 GA ABCD K S=2 X BC X BD X s i nB=2 X BC X 2=4,解 得 BC=3,在 AABC中 由 余 弦 定 理 可 得：1AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=22+32-22*3*2=7,AC=a,故 选:B.3.设 4BC的 内 角 4,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c

3、,若 阮。sC+ccosB=asi/iA,则 4BC的 形 状 为 A.锐 角 三 角 形 B.直 角 三 角 形 C.等 边 三 角 形 D.等 腰 三 角 形B【解 析】因 为 bcosC+ccosB=a s i n A,所 以 sOz&osC+sinCcosB=stm4sim4所 以 sin(B+C)=sinAsinA,1=sinA,A=三 因 此 A ABC的 形 状 为 直 角 三 角 形,选 B.4.3cosZ J4 cM=-.已 知 锐 角 A/B C的 内 角 为 4,B,C,点 M为 4B上 的 一 点，J B,4 c=15,CM=3 1 3,则 4B的 取 值 范 围 为（

4、）A4MC中，由 余 弦 定 理 可 得,C.(d 月,15)D.+00AM2=AC2-CM2-2AC CMcos/ACM=72,AM=6&,4AMe中，由 正 弦 定 理 得,sinACM sinMAC得 sm d M C=%当 CB=90。时，AB=15、当 U B C=90。时，月 8=安，YABC为 锐 角 三 角 形，:.AB 15、AB的 取 值 范 围 为（麦 5后），故 选 A_5.如 图 所 示，设 4 B两 点 在 河 的 两 岸，一 测 量 者 在 4所 在 的 同 侧 河 岸 边 选 定 一 点 C,测 出 4 c的 距 离 为 50m,ACB=45,“4B=105后，

5、就 可 以 计 算 出 4 B两 点 的 距 离 为（）/8C*A2 5*_ _ _ fY lA.5 0*m B.50/3m c.25A/5m D.2A在 AABC 中，AC=50m,ZACB=45,NCAB=105,即 NABC=30,AB _ AC则 由 正 弦 定 理 SE U C B-s也 乙 4BC,50 x ACsinZ.ACB 2-=-=50J2m.sinzABC 1、得 AB=2 故 A.6.在 aA B C中，角 A,B,C的 对 边 分 别 为 a,b,A.4A/3 B.2 G C.3 G D.平 2a-c cosCc,若 b=cosB,b=4,则 AABC的 面 积 的

6、最 大 值 为 A【解 析】.在”B C 中 平=篱，.(2a c)cosB=bcosC)由 正 弦 定 理 得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,.2sin?lcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sin/1.又 sinA h 0,.cosB=c，0B 2ac-ac=ac,.ac 16,当 且 仅 当 a=c时 等 号 成 立.A,45C 的 面 积 S=；acsinB=ac 4yT故 选 A.7.在 A4BC中，AB=3AC=6,tanA=-,点。，E分 别 是 边 4B,4c上 的 点，且 DE=3,记 A4DE,四 边 fi形 BCED的 面

7、积 分 别 为 Si,S2,则 S2的 最 大 值 为()1 3 1 5A.4 B.8 c.3 D.12C【解 析】设 月 D=%，AE=y(0 x 6,0 y 2),因 为 ta】M=-V 5,所 以 4=120,所 以 DE，=x:+y2-2xycosl200=2xy+xy=3xy,又 DE=3,所 以 孙 3,当 且 仅 当 x=y=丫 弓 时 等 号 成 立,吗=黑 恶 12-x y=/-W S-=，故 选 C-1 1 o“38.我 国 古 代 著 名 的 数 学 家 刘 徽 著 有 海 岛 算 经.内 有 一 篇：“今 有 望 海 岛，立 两 表 齐,高 三 丈，前 后 相 去 千

8、步,令 后 表 与 前 表 相 直.从 前 表 却 行 百 二 十 三 步,人 目 著 地 取 望 岛 峰,与 表 末 参 合.从 后 表 却 行 百 二 十 七 步，人 目 著 地 取 望 岛 峰,亦 与 表 末 参 合.问 岛 高 及 去 表 各 几 何？”请 你 计 算 出 海 岛 高 度 为 步.（参 考 译 文：假 设 测 量 海 岛,立 两 根 标 杆，高 均 为 5 步,前 后 相 距 1000步,令 前 后 两 根 标 杆 和 岛 在 同 一 直 线 上,从 前 标 杆 退 行 123步，人 的 视 线 从 地 面（人 的 高 度 忽 略 不 计）过 标 杆 顶 恰 好 观 测

9、 到 岛 峰,从 后 标 杆 退 行 127步，人 的 视 线 从 地 面 过 标 杆 顶 恰 好 观 测 到 岛 峰，问 岛 高 多 少？岛 与 前 标 杆 相 距 多 远？）（丈、步 为 古 时 计 量 单 位，当 时 是“三 丈=5步”）1255 步 如 图 所 示，设 岛 高 工 步，与 前 标 杆 相 距 步，5 _ 123x 123+y5_ 127由 相 似 三 角 形 的 性 质 有 127+1000+y,解 得：（7=30750,则 海 岛 高 度 为 1255步.Z.C=9.如 图，在 A4BC中，AC=BCt 2,点。是 AABC外 一 点，04=2,05=1,则 平 面

10、四 边 形 04cB面 积 的 最 大 值 是AOCB【解 析】A 4BC为 等 腰 直 角 三 角 形，OA=20B=2,不 妨 设 AC=BC=m,用 由 余 弦 定 理，I2+22-2m:=4cos0,.m:=5A0Sg,：.S0 AB=sin0,S/c=4,记 平 面 四 边 形 OACB面 积 为 5,则 5=:cos0+sind=2sin(&-?)+：三 丫 2+：,当 6=争 寸，平 面 四 边 形。月 CB面 积 的 最 大 值 是 吃+：,故 答 案 为、，2+4 A 410.zUBC中，”=60,M 为 边 BC的 中 点，4 M=木,则 24B+AC的 取 值 范 围 是

11、.（明 4两 当 C 无 限 接 近 A 时，BC无 限 趋 近 于 AB,所 以 AB近 似 等 于 2AM,此 时 2AB+AC长 度 趋 近 于 45；当 B 无 限 接 近 A 时，BC无 限 趋 近 于 AC,则 AC近 似 等 于 2AM,此 时 2AB+AC长 度 趋 近 于 20.11.如 图 所 示，在 圆 内 接 四 边 形 4BCD中，4B=6,BC=3,CD=4,AD=5,则 四 边 形 4BCD的 面 积 为 6.710【解 析】如 图 所 示，连 接 B D,因 为 ABCD为 圆 内 接 四 边 形，所 以 A+C=180。，则 cosA=-c o s C,利 用

12、 余 弦 定 理 得 cosA=。七 产,cosC=。：；：一,解 得 BD，=”，所 以 cosC=由 sin=C+cos=C=1,得 sinC=三 二 因 为 月+C=180。，所 以 siiM=sinC=今，c v1 i o 1*v 1 n,S区 iABCD=S1 114b。+SgCD=三 X 5 X 6 X-F 7 X 3 X 4 X:=6y l 0.故 答 案 为：6卢 01 2.如 图，为 了 测 量 两 山 顶 D,C间 的 距 离，飞 机 沿 水 平 方 向 在 4 B两 点 进 行 测 量，在 A位 置 时，观 察 0点 的 俯 角 为 75。，观 察 C点 的 俯 角 为

13、30。；在 B位 置 时，观 察 D点 的 俯 角 为 4 5,观 察 C点 的 俯 角 为 6 0,且 AB=3kmf则 C,D之 间 的 距 离 为 _.y/Skm【解 析】在/ABD中，/.BAD=75。,U B D=45。,二 DB=60。,由 正 弦 定 理 可 得 缶 即*-=乜 s in A B D sin60 sin45-；/D=包 业 s E 6(r=y/2k)n 由 题 意 得 乙 48c=120,AC=Z.BCA=307 BC=AB=f3km,：-AC=3km,在 2UCD中,由 余 弦 定 理 得 CD2=AC2 A D2-2AC-ADsinDAC=5,即 CD=75k

14、m,故 答 案 为 V5km.13.在 一 幢 10加 高 的 房 屋 顶 测 得 对 面 一 塔 顶 的 仰 角 为 60,塔 基 的 俯 角 为 30。，假 定 房 屋 与 塔 建 在 同 一 水 平 地 面 上，则 塔 的 高 度 为 加.40如 图 所 示，过 房 屋 顶 C 作 塔 A B 的 垂 线 CE,垂 足 为 E,则 CD=10,ZACE=60,ZBCE=30,.BE=CD=10,BC=2CD=20,EC=BD=JB C?-CD?=10平.V ZACE=60,ZAEC=90,.AC=2CE=20A/3,.AE=jAC2-CE2=30.AAB=AE+BE=30+10=40.故

15、 40.BD=-14.如 图，在 A4BC中，Sin2.一 号，点 D在 线 段 4c上，且 4D=2DC,一 飞 二 则 A4BC的 面 积 的 最 大 值 为 _3 M.【解 析】由 sin辔=匏 得：c o s=,贝”sin 乙 4BC=2sin V c o s=于.由 sin”=F 当 可 知：半 4 5、则 乙 4 B C 0,y O.z 0),在 毋。中 由 余 弦 定 理 可 得：cos乙 2X X2Zb 在 曲 中 由 余 弦 定 理 可 得：问 血。=率 由 于 乙 BDA+乙 BDC=180%故 cos乙 BDA=-c o s乙 BDC 即:2 X X 2 Z Z X-X

16、Z整 理 可 得：16+6 z2 r 2 y2=0.在“8 C中，由 余 弦 定 理 可 知：x2+y-2 x y x 1=(3z)=,贝 ij：6zz=x2+；y2-；x y,代 人 式 整 理 计 算 可 得：1 x2+；y:+；ry=16,由 均 值 不 等 式 的 结 论 可 得：16 2 j*X；尸+；孙=与 孙,故 孙 9,当 且 仅 当=3 v 0 y=攵 时 等 号 成 立，据 此 可 知 U 8 C 面 积 的 最 大 值 为：Sm ax=i x M B x BC)max X s in B C=9 x 手=3但 1 5.已 知 A4BC的 三 个 内 角 4,B,C的 对 边

17、 分 别 为 a,b,c,若(a+c)(s E 4-s in C)=b(s E 4-s i n B),且 bc=G,则-2的 取 值 范 围 为 a b csinA=,sinB=,sinC=由 正 弦 定 理 2R 2R 2R,得(a+C)(Q-c)=b(a-b)gpc2=a2+b2-ab由 余 弦 定 理=a2+b2-2abcosC27r A+B=3nC=得 3又,c=y/k3 s inC=2R.,./?=1b sinBa-=2R(sinA-)27r=2sinA-s i n(-A)3 方=sinA-cosA2 2n=y3sin(A-)27r由 题 可 知 0 A 371 7 T 7 T A

18、V-贝(!6 6 2邓 b 广 b,2 2”即 2的 范 围,b16.AABC的 内 角 4B,C的 对 边 分 别 为 a,瓦 c,且 满 足 b 1-cosB一,a 一 cosA,若 点。是 A4BC外 一 点,人 ioc=e（oe7r）,OA=2,OC=I,则 平 面 四 边 形 OABC面 积 的 最 大 值 是+2【解 析】由*=e s s,化 为 sinbcosA=sinA sinAcosB,a cosA所 以 sin(4+B)=sinA,所 以 sinA=sinC,A,C 6(O./r),所 以 A=C,又 b=c,可 得 2L48C为 等 边 三 角 形，设 4 ABe 的 边

19、 长 为 a,则=l2+2=-2 x l x 2cos6,则 5gse=|x l x 2sin6+a2=sind+y(l2+2=-2 x 1 x 2cos8)=2sin(0-+乎,当 8=管 寸，5gB趣 得 最 大 值 2+7O 417.在 圆 内 接 四 边 形 4BCD中，4C=8/B=24D,NB4D=6 0,贝 必 BCD的 面 积 的 最 大 值 为 6 0cBD由 RB=2ADBAD=60。:可 知/.转 色 直 角 三 角 形，其 中 NACB=90。,设 N BAD=8,A B=2 r,贝 BC=8tan6,AD=r=咦 CO SuC D AD C Dsitu.CAD sin

20、z.ACD sin(60:-91 sin(120s-9 0s).CD=8sin(6O:-0)cos9在/A C D中,5皿 o=zBC-DCsinzBCD=16、，可.；岁 迎=16 v 3(1 ta n e-9 a M e令 t=tan0 则 Z 5 CD=8 V t-)当 t=E，即 tanB=,寸，5A Be 的 最 大 值 为 8、6（；-；）=6v4故 答 案 为：6VT1 8.如 图，在 A4BC中，AB=,4 c=1,以 BC为 斜 边 构 造 等 腰 直 角 三 角 形 A B C D,则 得 到 的 平 面 四 边 形 4BCD面 积 的 最 大 值 为 一 D【解 析】设

21、血 c=e,在 4月 BC中，因 为 AB=y,A C=1,其 面 积 为 另=x、，3 x lsin0=s in 0,在 ZMBC中，由 余 弦 定 理 得 BC。=AB2+AC2-2AB-ACcosd=3+1-2 x y*3 x Icosd=4-2vcosJ 所 以 等 腰 直 角/B C D中，其 面 积 为 名=BD CD=x B C x B C=；BC=1-c o s 9?所 以 四 边 形 48CD的 面 积 为 S=52+52=E s in d+1-c o s d=1+”sin(6-)当 sin（8-；）=1时）取 得 最 大 值,最 大 值 为 Smax=1+号.1 9.在 中

22、，角 4、B、。所 对 应 的 边 分 别 为 Q、从 c,若 儿=1,b+2ccosA=01则 当 角 B取 得 最 大 值 时,三 角 形 的 内 切 圆 的 半 径 为.I分 析：根 据 b+2ccos4=0得 到 3tmC+tGM=0,故 可 用“比 表 示 颁 B,利 用 基 本 不 等 式 得 到 B的 最 大 值 和 B取 最 大 值 时 C、4的 取 值，最 后 利 用 等 积 法 求 内 切 圆 的 半 径.A E 阳)详 解：因 为 b+2 c c o s/=0,所 以 2 J且 sinB+2sizrCcos4=0即 3sbiceosA+c o sC si=0,3tanC+

23、tanA=0.tanA+tanC 2tanC y/3 n ntanB=-=-C=B=-1-tanAtanC i+3tan2c 3,当 且 仅 当 6时 等 号 成 立，故 max 6,所 以 B=C即 b=c=l,a=R1 1 J3 3-r(2+J3)=-x 1 x l x r=J 3-此 时 2V 2 2,解 得 V 2.2 0.为 丰 富 农 村 业 余 文 化 生 活，决 定 在 4 6,从 三 个 村 子 的 中 间 地 带 建 造 文 化 中 心.通 过 测 量，发 现 三 个 村 子 分 别 位 于 矩 形 4?5 的 两 个 顶 点 A,6 和 以 边 4?的 中 心 为 圆 心

24、，以 加 长 为 半 径 的 圆 弧 的 中 心”处，且 AB=8kni,B C=k m.经 协 商，文 化 服 务 中 心 拟 建 在 与 4 6 等 距 离 的。处，并 建 造 三 条 道 路/。，做 A0与 各 村 通 达.若 道 路 建 设 成 本 6 0段 为 每 公 里 媳。万 元，A。段 为 每 公 里 a 万 元，建 设 总 费 用 为 w万 元.NC D（1）若 三 条 道 路 建 设 的 费 用 相 同，求 该 文 化 中 心 离 川 村 的 距 离;（2）若 建 设 总 费 用 最 少，求 该 文 化 中 心 离 力 村 的 距 离.（1）（峭-8师：（2）3 国【解 析

25、】（D 不 妨 设 U B O=/依 题 意，0 e o,耳，且 M C=4、，4,由 40=8。=七 4。=4齐-4tana若 二 条 道 路 建 设 的 费 用 相 同，则 烹 J x、,2 J=（4v-4tan0）a所 以 sin（；-8）=，所 以 6=由 二 倍 角 的 正 切 公 式 得,tan0=tan-7=2-、氏 即 N。=83 8答：该 文 化 中 心 离 N 村 的 距 离 为（8、5-8）江(2)总 费 用 3=2 x+a(4y/3 4tan0),6 6 o,-COS自 L 3 J8J2-4sin0 a)=-a 4-4j3a即 cosO v,令“0 sinO/2,c o

26、 0,.8y/2sin0-40)=-1J2=o,得=-sinO 所 以 当 sind 0,J7 厂 4 o)tanO=,NO=44-有 最 小 值，这 时，7 7答：该 文 化 中 心 离 小 村 的 距 离 为 S ACD sinZ-B2 1.在 ABC中,D G BCf S&ABD sin 乙 C（1）求 证：4。平 分 ZB47；A=1 DC=巫(2)当 2时，若 4。=1,2,求 BD和 4 c的 长(1)见 解 析；(2)8。=,，C=1.【解 析】(D 在 月 BC中，由 正 弦 定 理 得 念=*S IC 1 Z.C AB因 为 山 区=也&AUD sinz.C亡 广-A C A

27、Dsiru.CAD所 以;一 一.一 一 _ AC_-A B ADsiru.BAD-AB所 以 sinz_CAD=sinz.BXD,因 为“AD+/.BAD n,所 以 4C4D=BAD,即 AD平 分 NBAC.因 为 拉 士 CD所 以 DC=2,所 以 BD=V2,在 ABDQA ADC中,由 余 弦 定 理 得 AB?=A D2+BD:-2 A D-BD-COSAADB,AC2=AD:+DC2-2AD-DC-cosU D C,因 为 cosU D B+cosz-4 DC=0,所 以 AB。+2AC2=3AD:+BD:+2D C2,因 为 4。=1,X A B2+2ACZ=6,因 为 妥

28、 所 以 月 B=2ACf所 以 4C=1.2 2.在 A4BC中，a,瓦 c分 另 ij是 角 4,B,C的 对 边，3cosAcosC(tanAtanC-1)=1.(I)(II)57rsin(2B)求 6 的 值；若 a+c=亍，b=G,求 A4BC的 面 积.7-4 m 1 5#(I)18；(H)32.(I)由 3cos4cosc(tan/tanC _1)=1得:sinAsinC3cosAcosC-1)=1c os Ac os C 3(sinAsinC-cosAcosC)=1:.cos A+0=-g cosB g又 0 B 7TsinB=3.%sin2B=2sinBcosB=cos2B=

29、1-2sin2B=-9 95n 5JT 57r 4 2 3 7 sin(25)=sin2Bcos cos2Bsin=-r(-)(-)o o o 9 z 91 7-4y6*2=18-(n)由 余 弦 定 理 得：cosB=三 F=i f 又 a+c=胃，b=3,acAABC1 15V2=-acsinB=2 3.已 知 A4BC的 内 切 圆 面 积 为，角 4B,C所 对 的 边 分 别 为 a,瓦 c,(1)求 角 4(2)当 脑 尼 的 值 最 小 时，求 AZBC的 面 积.4 _n_(1)-3；3 G.(1)由 正 弦 定 理 得(2sbiB-sinC)cos4=sinAcosCf.2s

30、inBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sinB,/sinB。0,2cosA=1,nA=-c)cosA=acosC.(2)由 余 弦 定 理 得 a，=bz+c2-be,由 题 意 可 知 1 6 BC的 内 切 圆 半 径 为 1,如 图，设 圆/为 三 角 形 月 BC的 内 切 圆，D.E为 切 点，可 得 A/=2MD=A E=vG,则 b+c a=2 V5,于 是(b+c 2 v)-=b:+cz be,化 简 得 4、5+P b c=4(b+c)8限,所 以 be 1域 be/3.c 3,所 以 be A 1 2,即 AB AC=bc e 6,+co),当 且 仅 当 b

31、=efl寸，屈 赤 的 最 小 值 为 6,此 时 三 角 形 ABC的 面 积=e s h X=i x 12 x sin=3 24.Z(asim4+bsinB-csinC)4BC的 内 角 4,B,C所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,已 知 A4BC的 面 积 为 2 1(1)求 c；(2)若 D为 AB中 点,且 c=2,求 CD的 最 大 值.7 TC【解 析】(1)先 设 面 积 公 式 S=：absinC,化 角 为 边，整 理;absinC=c(asiih4+bsinB-csinC)求 出 C。(2)利 用 余 弦 定 理 列 出 中 线 在/ACD中，在 BCD中 的 表

32、达 式，由 两 角 互 补 化 简 两 组 表 达 式，得 出 CD的 关 系 式，再 用 均 值 不 等 式 求 解 最 值。解 法 一：(1)依 题 意 得，|a&sinC=|c(asiiL4+bsinB-csinC),由 正 弦 定 理 得，abc=c(a2+&2-c2),BPa2+b2 c2=ab,由 余 弦 定 理 得，cosC=氏=：,又 因 为 C e(O m),所 以 C=*(2)在 ACD中，AC2=A DZ+C D2-2AD-CDcos/-ADC,艮 lb：=1+C D2-2CDcosADC,在 BCD中，BCZ=B D2+CD2-2BD-CDcos/.BDC,艮 la=1

33、+CD:-2CDcosBDC.因 为“DC+/BDC=n,所 以 cosD C=-cosz.BDC,所 以 CD=(a。+b2)-1,由 及 c=2得，az+b2-4：=ab(a:+b2),所 以=(a。+&2)4,所 以 CD?=)小+b：)-l w 3,IPCD V3,当 且 仅 当 a=b=2时，等 号 成 立.所 以 CD的 最 大 值 为、氏 解 法 二：(1)同 解 法 一.因 为+5-2=ab,c=2,所 以 ab=a2+川-4 N 2ab-4,gpab 4-1/1CD=-(CA+CB)因 为 D为 AB中 点，所 以 2，1所 以 2=；(以 2+CB2+2CACB)=；(房+

34、a2+ab)=：(4+2ab)1(4+8)=34,当 且 仅 当 a=b=2时，等 号 成 立.所 以 CD的 最 大 值 为 G.25.已 知 向 量 2=人 肾 叫 力 函 数 能)=(扛 分 2-2.(1)求 函 数/(x)的 最 小 正 周 期 及 单 调 递 增 区 间；(2)在 A/BC中，三.内 角 4B,C的 对 边 分 别 为 田 瓦 c,已 知 函 数/(乃 的 图 像 经 过 点 卜 4,b,a,c成 等 差 数 列，且 AB AC=9,求 a 的 值.7 T 7 T,kn-Q,k7T+z(kw Z)6(1)5 L 3 6J(2)Q=312【解 析】(D f(x)=(+3

35、)左 一 2 二|n|2+3-2=7cosZx+sin 2 x=sin(2x+孑)，最 小 正 周 期:T=7 7=J T,由 2k/r 一 三 三 2x+-2kn+-,(k e Z)得 k H X kjr+(/c c Z),2 6 2 3 6所 以 了(%)的 单 调 递 增 区 间 为 M-泞 斤+米 k e Z)(H)由 fG4)=s in(2 A+4=三 可 得：2 4+己=三+2/成 卫+2女 开(6 2),所 以 力=H6 6 6 3又 因 为 b,a,c成 等 差 数 列，所 以 2a=b+cAB AC=bccosA=-be=9,be=18而 21(b+c)2 一 a2-2bc 4a2-a2cosA=-=-=-2 2bc 36a2厂-1=3-1,Q=3/2