2017年湖南省岳阳市中考数学真题及答案.pdf

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1、2 0 1 7 年 湖 南 省 岳 阳 市 中 考 数 学 真 题 及 答 案一、选 择 题（本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 3 分，共 2 4 分）1 6 的 相 反 数 是（）A 6 B C 6 D 6【分 析】根 据 相 反 数 的 定 义 求 解 即 可【解 答】解：6 的 相 反 数 是 6，故 选 A【点 评】主 要 考 查 相 反 数 的 定 义：只 有 符 号 相 反 的 两 个 数 互 为 相 反 数 2 下 列 运 算 正 确 的 是（）A 5=x5C x3x2=x6D 3 x2+2 x3=5 x5【分 析】根 据 幂 的 乘 方，同 底 数 幂 的 乘 法 以 及

2、 合 并 同 类 项 计 算 法 则 进 行 解 答【解 答】解：A、原 式=x6，故 本 选 项 错 误；B、原 式=x5，故 本 选 项 正 确；C、原 式=x5，故 本 选 项 错 误；D、3 x2与 2 x3不 是 同 类 项，不 能 合 并，故 本 选 项 错 误；故 选：B【点 评】本 题 考 查 合 并 同 类 项、同 底 数 幂 的 乘 法、幂 的 乘 方，熟 练 掌 握 运 算 性 质 和 法 则 是 解 题 的 关 键 3 据 国 土 资 源 部 数 据 显 示，我 国 是 全 球“可 燃 冰”资 源 储 量 最 多 的 国 家 之 一，海、陆 总 储 量 约 为 3 9

3、0 0 0 0 0 0 0 0 0吨 油 当 量，将 3 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 用 科 学 记 数 法 表 示 为（）A 3.9 1 01 0B 3.9 1 09C 0.3 9 1 01 1D 3 9 1 09【分 析】用 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数 时，一 般 形 式 为 a 1 0n，其 中 1|a|1 0，n 为 整 数，据 此 判 断 即 可【解 答】解：3 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0=3.9 1 01 0故 选：A【点 评】此 题 主 要 考 查 了 用 科 学 记 数 法 表 示 较 大 的 数，一 般 形 式 为 a 1 0n，其 中

4、 1|a|1 0，确 定 a 与 n的 值 是 解 题 的 关 键 4 下 列 四 个 立 体 图 形 中，主 视 图、左 视 图、俯 视 图 都 相 同 的 是（）A B C D【分 析】分 别 分 析 圆 锥、圆 柱、球 体、三 棱 柱 的 主 视 图、左 视 图、俯 视 图，从 而 得 出 结 论【解 答】解：球 的 主 视 图、左 视 图、俯 视 图 都 是 圆，主 视 图、左 视 图、俯 视 图 都 相 同 的 是 B，故 选 B【点 评】本 题 考 查 三 视 图，熟 练 掌 握 常 见 几 何 体 的 三 视 图，是 解 决 问 题 的 关 键 5 从，0，3.1 4，6 这 5

5、 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数，抽 到 有 理 数 的 概 率 是（）A B C D【分 析】根 据 有 理 数 的 定 义 可 找 出 在，0，3.1 4，6 这 5 个 数 中 只 有 0、3.1 4 和 6 为 有 理 数，再 根 据概 率 公 式 即 可 求 出 抽 到 有 理 数 的 概 率【解 答】解：在，0，3.1 4，6 这 5 个 数 中 只 有 0、3.1 4 和 6 为 有 理 数，从，0，3.1 4，6 这 5 个 数 中 随 机 抽 取 一 个 数，抽 到 有 理 数 的 概 率 是 故 选 C【点 评】本 题 考 查 了 概 率 公 式 以 及 有 理 数

6、，根 据 有 理 数 的 定 义 找 出 五 个 数 中 的 有 理 数 的 个 数 是 解 题 的 关 键 6 解 分 式 方 程=1，可 知 方 程 的 解 为（）A x=1 B x=3 C x=D 无 解【分 析】直 接 利 用 分 式 方 程 的 解 法，首 先 去 分 母，进 而 解 方 程 得 出 答 案【解 答】解：去 分 母 得：2 2 x=x 1，解 得：x=1，检 验：当 x=1 时，x 1=0，故 此 方 程 无 解 故 选：D【点 评】此 题 主 要 考 查 了 解 分 式 方 程，正 确 掌 握 解 题 步 骤 是 解 题 关 键 7 观 察 下 列 等 式：21=2

7、，22=4，23=8，24=1 6，25=3 2，26=6 4，根 据 这 个 规 律，则 21+22+23+24+22 0 1 7的 末位 数 字 是（）A 0 B 2 C 4 D 6【分 析】根 据 题 目 中 的 式 子 可 以 知 道，末 尾 数 字 出 现 的 2、4、8、6 的 顺 序 出 现，从 而 可 以 求 得 21+22+23+24+22 0 1 7的 末 位 数 字 本 题 得 以 解 决【解 答】解：21=2，22=4，23=8，24=1 6，25=3 2，26=6 4，2 0 1 7 4=5 0 6 1，（2+4+8+6）5 0 6+2=1 0 1 2 2，21+22

8、+23+24+22 0 1 7的 末 位 数 字 是 2，故 选 B【点 评】本 题 考 查 尾 数 特 征，解 答 本 题 的 关 键 是 发 现 题 目 中 的 尾 数 的 变 化 规 律，求 出 相 应 的 式 子 的 末 位 数字 8 已 知 点 A 在 函 数 y1=（x 0）的 图 象 上，点 B 在 直 线 y2=k x+1+k（k 为 常 数，且 k 0）上 若 A，B两 点 关 于 原 点 对 称，则 称 点 A，B 为 函 数 y1，y2图 象 上 的 一 对“友 好 点”请 问 这 两 个 函 数 图 象 上 的“友 好点”对 数 的 情 况 为（）A 有 1 对 或 2

9、 对 B 只 有 1 对 C 只 有 2 对 D 有 2 对 或 3 对【分 析】根 据“友 好 点”的 定 义 知，函 数 y1图 象 上 点 A（a，）关 于 原 点 的 对 称 点 B（a，）一 定 位于 直 线 y2上，即 方 程 k a2（k+1）a+1=0 有 解，整 理 方 程 得（a 1）（k a 1）=0，据 此 可 得 答 案【解 答】解：设 A（a，），由 题 意 知，点 A 关 于 原 点 的 对 称 点 B（a，），）在 直 线 y2=k x+1+k 上，则=a k+1+k，整 理，得：k a2（k+1）a+1=0，即（a 1）（k a 1）=0，a 1=0 或 k

10、a 1=0，则 a=1 或 k a 1=0，若 k=0，则 a=1，此 时 方 程 只 有 1 个 实 数 根，即 两 个 函 数 图 象 上 的“友 好 点”只 有 1 对；若 k 0，则 a=，此 时 方 程 有 2 个 实 数 根，即 两 个 函 数 图 象 上 的“友 好 点”有 2 对，综 上，这 两 个 函 数 图 象 上 的“友 好 点”对 数 情 况 为 1 对 或 2 对，故 选：A【点 评】本 题 主 要 考 查 直 线 和 双 曲 线 上 点 的 坐 标 特 征 及 关 于 原 点 对 称 的 点 的 坐 标，将“友 好 点”的 定 义，根 据 关 于 原 点 对 称 的

11、 点 的 坐 标 特 征 转 化 为 方 程 的 问 题 求 解 是 解 题 的 关 键 二、填 空 题（本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分）9 函 数 y=中 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 x 7【分 析】根 据 分 母 不 为 零，即 可 解 决 问 题【解 答】解：函 数 y=中 自 变 量 x 的 范 围 是 x 7 故 答 案 为 x 7【点 评】本 题 考 查 函 数 自 变 量 的 取 值 范 围，知 道 分 母 不 能 为 零 是 解 题 的 关 键 1 0 因 式 分 解：x2 6 x+9=（x 3）2【分 析】直 接 运 用 完 全 平

12、 方 公 式 进 行 因 式 分 解 即 可【解 答】解：x2 6 x+9=（x 3）2【点 评】本 题 考 查 了 公 式 法 分 解 因 式，熟 记 完 全 平 方 公 式 的 结 构 特 点 是 解 题 的 关 键 1 1 在 环 保 整 治 行 动 中，某 市 环 保 局 对 辖 区 内 的 单 位 进 行 了 抽 样 调 查，他 们 的 综 合 得 分 如 下：9 5，8 5，8 3，9 5，9 2，9 0，9 6，则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 9 2，众 数 是 9 5【分 析】环 保 整 治 行 动 中，某 市 环 保 局 对 辖 区 内 的 单 位 进 行 了 抽 样

13、 调 查，他 们 的 综 合 得 分 如 下：9 5，8 5，8 3，9 5，9 2，9 0，9 6，则 这 组 数 据 的 中 位 数【解 答】解：这 组 数 据 从 小 到 大 排 列 为：8 3，8 5，9 0，9 2，9 5，9 5，9 6 则 中 位 数 是：9 2；众 数 是 9 5 故 答 案 是：9 2，9 5【点 评】本 题 考 查 了 众 数、中 位 数 的 定 义，注 意 中 位 数 是 大 小 处 于 中 间 未 知 的 数，首 先 把 数 从 小 到 大 排 列 1 2 如 图，点 P 是 N O M 的 边 O M 上 一 点，P D O N 于 点 D，O P D

14、=3 0，P Q O N，则 M P Q 的 度 数 是6 0【分 析】根 据 直 角 三 角 形 的 内 角 和，求 得 O，再 根 据 平 行 线 的 性 质，即 可 得 到 M P Q【解 答】解：P D O N 于 点 D，O P D=3 0，R t O P D 中，O=6 0，又 P Q O N，M P Q=O=6 0，故 答 案 为：6 0【点 评】本 题 主 要 考 查 了 平 行 线 的 性 质 以 及 垂 线 的 定 义，解 题 时 注 意：两 直 线 平 行，同 位 角 相 等 1 3 不 等 式 组 的 解 集 是 x 3【分 析】先 求 出 每 个 不 等 式 的 解

15、集，再 求 出 不 等 式 组 的 解 集 即 可【解 答】解：解 不 等 式 得：x 3，解 不 等 式 得：x 3，不 等 式 组 的 解 集 为 x 3，故 答 案 为：x 3【点 评】本 题 考 查 了 解 一 元 一 次 不 等 式 和 解 一 元 一 次 不 等 式 组，能 根 据 不 等 式 的 解 集 求 出 不 等 式 组 的 解 集是 解 此 题 的 关 键 1 4 在 A B C 中 B C=2，A B=2，A C=b，且 关 于 x 的 方 程 x2 4 x+b=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根，则 A C 边 上 的 中线 长 为 2【分 析】由 根 的 判 别

16、 式 求 出 A C=b=4，由 勾 股 定 理 的 逆 定 理 证 出 A B C 是 直 角 三 角 形，再 由 直 角 三 角 形 斜 边上 的 中 线 性 质 即 可 得 出 结 论【解 答】解：关 于 x 的 方 程 x2 4 x+b=0 有 两 个 相 等 的 实 数 根，=1 6 4 b=0，A C=b=4，B C=2，A B=2，B C2+A B2=A C2，A B C 是 直 角 三 角 形，A C 是 斜 边，A C 边 上 的 中 线 长=A C=2；故 答 案 为：2【点 评】本 题 考 查 了 根 的 判 别 式，勾 股 定 理 的 逆 定 理，直 角 三 角 形 斜

17、 边 上 的 中 线 性 质；证 明 A B C 是 直 角 三角 形 是 解 决 问 题 的 关 键 1 5 我 国 魏 晋 时 期 的 数 学 家 刘 徽 创 立 了“割 圆 术”，认 为 圆 内 接 正 多 边 形 边 数 无 限 增 加 时，周 长 就 越 接 近圆 周 长，由 此 求 得 了 圆 周 率 的 近 似 值，设 半 径 为 r 的 圆 内 接 正 n 边 形 的 周 长 为 L，圆 的 直 径 为 d，如 图 所示，当 n=6 时，=3，那 么 当 n=1 2 时，=3.1 0（结 果 精 确 到 0.0 1，参 考 数 据：s i n 1 5=c o s 7 5 0.2

18、 5 9）【分 析】圆 的 内 接 正 十 二 边 形 被 半 径 分 成 顶 角 为 3 0 的 十 二 个 等 腰 三 角 形，作 辅 助 线 构 造 直 角 三 角 形，根据 中 心 角 的 度 数 以 及 半 径 的 大 小，求 得 L=6.2 0 7 r，d=2 r，进 而 得 到=3.1 0【解 答】解：如 图，圆 的 内 接 正 十 二 边 形 被 半 径 分 成 如 图 所 示 的 十 二 个 等 腰 三 角 形，其 顶 角 为 3 0，即 O=3 0，A B O=A=7 5，作 B C A O 于 点 C，则 A B C=1 5，A O=B O=r，B C=r，O C=r，A

19、 C=（1）r，R t A B C 中，c o s A=，即 0.2 5 9=，A B 0.5 1 7 r，L=1 2 0.5 1 7 r=6.2 0 7 r，又 d=2 r，=3.1 0，故 答 案 为：3.1 0【点 评】本 题 主 要 考 查 了 正 多 边 形 和 圆 以 及 解 直 角 三 角 形 的 运 用，把 一 个 圆 分 成 n（n 是 大 于 2 的 自 然 数）等 份，依 次 连 接 各 分 点 所 得 的 多 边 形 是 这 个 圆 的 内 接 正 多 边 形，这 个 圆 叫 做 这 个 正 多 边 形 的 外 接 圆 1 6 如 图，O 为 等 腰 A B C 的 外

20、 接 圆，直 径 A B=1 2，P 为 弧 上 任 意 一 点（不 与 B，C 重 合），直 线 C P 交A B 延 长 线 于 点 Q，O 在 点 P 处 切 线 P D 交 B Q 于 点 D，下 列 结 论 正 确 的 是（写 出 所 有 正 确 结 论的 序 号）若 P A B=3 0，则 弧 的 长 为；若 P D B C，则 A P 平 分 C A B；若 P B=B D，则 P D=6；无 论 点 P 在 弧 上 的 位 置 如 何 变 化，C P C Q 为 定 值【分 析】根 据 P O B=6 0，O B=6，即 可 求 得 弧 的 长；根 据 切 线 的 性 质 以

21、及 垂 径 定 理，即 可 得 到=，据 此 可 得 A P 平 分 C A B；根 据 B P=B O=P O=6，可 得 B O P 是 等 边 三 角 形，据 此 即 可 得 出 P D=6；判 定 A C P Q C A，即 可 得 到=，即 C P C Q=C A2，据 此 可 得 C P C Q 为 定 值【解 答】解：如 图，连 接 O P，A O=O P，P A B=3 0，P O B=6 0，A B=1 2，O B=6，弧 的 长 为=2，故 错 误；P D 是 O 的 切 线，O P P D，P D B C，O P B C，=，P A C=P A B，A P 平 分 C A

22、 B，故 正 确；若 P B=B D，则 B P D=B D P，O P P D，B P D+B P O=B D P+B O P，B O P=B P O，B P=B O=P O=6，即 B O P 是 等 边 三 角 形，P D=O P=6，故 正 确；A C=B C，B A C=A B C，又 A B C=A P C，A P C=B A C，又 A C P=Q C A，A C P Q C A，=，即 C P C Q=C A2（定 值），故 正 确；故 答 案 为：【点 评】本 题 主 要 考 查 了 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质，垂 径 定 理，切 线 的 性 质 以 及 弧

23、长 公 式 的 综 合 应 用，解决 问 题 的 关 键 是 作 辅 助 线，构 造 三 角 形，解 题 时 注 意：垂 直 弦 的 直 径 平 分 这 条 弦，并 且 平 分 弦 所 对 的 弧 三、解 答 题（本 大 题 共 8 小 题，共 6 4 分）1 7（6 分）计 算：2 s i n 6 0+|3|+（2）0（）1【分 析】根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 值、零 指 数 幂 的 运 算 法 则、负 整 数 指 数 幂 的 运 算 法 则、绝 对 值 的 性 质 进 行化 简，计 算 即 可【解 答】解：原 式=2+3+1 2=2【点 评】本 题 考 查 的 是 实 数 的

24、混 合 运 算，掌 握 特 殊 角 的 三 角 函 数 值、零 指 数 幂 的 运 算 法 则、负 整 数 指 数 幂的 运 算 法 则、绝 对 值 的 性 质 是 解 题 的 关 键 1 8（6 分）求 证：对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 小 红 同 学 根 据 题 意 画 出 了 图 形，并 写 出 了 已 知 和 求 证 的 一 部 分，请 你 补 全 已 知 和 求 证，并 写 出 证 明 过 程 已 知：如 图，在 A B C D 中，对 角 线 A C，B D 交 于 点 O，A C B D 求 证：四 边 形 A B C D 是 菱 形【分 析】由

25、 命 题 的 题 设 和 结 论 可 填 出 答 案，由 平 行 四 边 形 的 性 质 可 证 得 A C 为 线 段 B D 的 垂 直 平 分 线，可 求得 A B=A D，可 得 四 边 形 A B C D 是 菱 形【解 答】已 知：如 图，在 A B C D 中，对 角 线 A C，B D 交 于 点 O，A C B D，求 证：四 边 形 A B C D 是 菱 形 证 明：四 边 形 A B C D 为 平 行 四 边 形，B O=D O，A C B D，A C 垂 直 平 分 B D，A B=A D，四 边 形 A B C D 为 菱 形 故 答 案 为：A C B D；四

26、边 形 A B C D 是 菱 形【点 评】本 题 主 要 考 查 菱 形 的 判 定 及 平 行 四 边 形 的 性 质，利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 证 得 A B=A D 是 解 题 的 关 键 1 9（8 分）如 图，直 线 y=x+b 与 双 曲 线 y=（k 为 常 数，k 0）在 第 一 象 限 内 交 于 点 A（1，2），且 与 x轴、y 轴 分 别 交 于 B，C 两 点（1）求 直 线 和 双 曲 线 的 解 析 式；（2）点 P 在 x 轴 上，且 B C P 的 面 积 等 于 2，求 P 点 的 坐 标【分 析】（1）把 A（1，2）代 入 双 曲 线 以

27、 及 直 线 y=x+b，分 别 可 得 k，b 的 值；（2）先 根 据 直 线 解 析 式 得 到 B O=C O=1，再 根 据 B C P 的 面 积 等 于 2，即 可 得 到 P 的 坐 标【解 答】解：（1）把 A（1，2）代 入 双 曲 线 y=，可 得 k=2，双 曲 线 的 解 析 式 为 y=；把 A（1，2）代 入 直 线 y=x+b，可 得 b=1，直 线 的 解 析 式 为 y=x+1；（2）设 P 点 的 坐 标 为（x，0），在 y=x+1 中，令 y=0，则 x=1；令 x=0，则 y=1，B（1，0），C（0，1），即 B O=1=C O，B C P 的 面

28、 积 等 于 2，B P C O=2，即|x（1）|1=2，解 得 x=3 或 5，P 点 的 坐 标 为（3，0）或（5，0）【点 评】本 题 主 要 考 查 了 反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 交 点 问 题，解 题 时 注 意：反 比 例 函 数 与 一 次 函 数 交 点 的 坐标 同 时 满 足 两 个 函 数 解 析 式 2 0（8 分）我 市 某 校 组 织 爱 心 捐 书 活 动，准 备 将 一 批 捐 赠 的 书 打 包 寄 往 贫 困 地 区，其 中 每 包 书 的 数 目 相 等 第一 次 他 们 领 来 这 批 书 的，结 果 打 了 1 6 个 包 还 多 4

29、 0 本；第 二 次 他 们 把 剩 下 的 书 全 部 取 来，连 同 第 一 次 打包 剩 下 的 书 一 起，刚 好 又 打 了 9 个 包，那 么 这 批 书 共 有 多 少 本？【分 析】设 这 批 书 共 有 3 x 本，根 据 每 包 书 的 数 目 相 等 即 可 得 出 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程，解 之 即 可 得 出 结论【解 答】解：设 这 批 书 共 有 3 x 本，根 据 题 意 得：=，解 得：x=5 0 0，3 x=1 5 0 0 答：这 批 书 共 有 5 0 0 本【点 评】本 题 考 查 了 一 元 一 次 方 程 的 应 用，根 据 每 包

30、书 的 数 目 相 等 列 出 关 于 x 的 一 元 一 次 方 程 是 解 题 的关 键 2 1（8 分）为 了 加 强 学 生 课 外 阅 读，开 阔 视 野，某 校 开 展 了“书 香 校 园，从 我 做 起”的 主 题 活 动，学 校 随机 抽 取 了 部 分 学 生，对 他 们 一 周 的 课 外 阅 读 时 间 进 行 调 查，绘 制 出 频 数 分 布 表 和 频 数 分 布 直 方 图 的 一 部 分如 下：课 外 阅 读 时 间（单 位：小 时）频 数（人 数）频 率0 t 2 2 0.0 42 t 4 3 0.0 64 t 6 1 5 0.3 06 t 8 a 0.5 0

31、t 8 5 b请 根 据 图 表 信 息 回 答 下 列 问 题：（1）频 数 分 布 表 中 的 a=2 5，b=0.1 0；（2）将 频 数 分 布 直 方 图 补 充 完 整；（3）学 校 将 每 周 课 外 阅 读 时 间 在 8 小 时 以 上 的 学 生 评 为“阅 读 之 星”，请 你 估 计 该 校 2 0 0 0 名 学 生 中 评 为“阅 读 之 星”的 有 多 少 人？【分 析】（1）由 阅 读 时 间 为 0 t 2 的 频 数 除 以 频 率 求 出 总 人 数，确 定 出 a 与 b 的 值 即 可；（2）补 全 条 形 统 计 图 即 可；（3）由 阅 读 时 间

32、 在 8 小 时 以 上 的 百 分 比 乘 以 2 0 0 0 即 可 得 到 结 果【解 答】解：（1）根 据 题 意 得：2 0.0 4=5 0（人），则 a=5 0（2+3+1 5+5）=2 5；b=5 5 0=0.1 0；故 答 案 为：2 5；0.1 0；（2）阅 读 时 间 为 6 t 8 的 学 生 有 2 5 人，补 全 条 形 统 计 图，如 图 所 示：（3）根 据 题 意 得：2 0 0 0 0.1 0=2 0 0（人），则 该 校 2 0 0 0 名 学 生 中 评 为“阅 读 之 星”的 有 2 0 0 人【点 评】此 题 考 查 了 频 率（数）分 布 表，条 形

33、 统 计 图，以 及 用 样 本 估 计 总 体，弄 清 题 中 的 数 据 是 解 本 题 的关 键 2 2（8 分）某 太 阳 能 热 水 器 的 横 截 面 示 意 图 如 图 所 示，已 知 真 空 热 水 管 A B 与 支 架 C D 所 在 直 线 相 交 于 点 O，且 O B=O D，支 架 C D 与 水 平 线 A E 垂 直，B A C=C D E=3 0，D E=8 0 c m，A C=1 6 5 c m（1）求 支 架 C D 的 长；（2）求 真 空 热 水 管 A B 的 长（结 果 保 留 根 号）【分 析】（1）在 R t C D E 中，根 据 C D E

34、=3 0，D E=8 0 c m，求 出 支 架 C D 的 长 是 多 少 即 可（2）首 先 在 R t O A C 中，根 据 B A C=3 0，A C=1 6 5 c m，求 出 O C 的 长 是 多 少，进 而 求 出 O D 的 长 是 多 少；然后 求 出 O A 的 长 是 多 少，即 可 求 出 真 空 热 水 管 A B 的 长 是 多 少【解 答】解：（1）在 R t C D E 中，C D E=3 0，D E=8 0 c m，C D=8 0 c o s 3 0=8 0=4 0（c m）（2）在 R t O A C 中，B A C=3 0，A C=1 6 5 c m，

35、O C=A C t a n 3 0=1 6 5=5 5（c m），O D=O C C D=5 5 4 0=1 5（c m），A B=A O O B=A O O D=5 5 2 1 5=9 5（c m）【点 评】此 题 主 要 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用，要 熟 练 掌 握，注 意 将 实 际 问 题 抽 象 为 数 学 问 题（画 出 平 面图 形，构 造 出 直 角 三 角 形 转 化 为 解 直 角 三 角 形 问 题）2 3（1 0 分）问 题 背 景：已 知 E D F 的 顶 点 D 在 A B C 的 边 A B 所 在 直 线 上（不 与 A，B 重 合），D

36、 E 交 A C 所在 直 线 于 点 M，D F 交 B C 所 在 直 线 于 点 N，记 A D M 的 面 积 为 S1，B N D 的 面 积 为 S2（1）初 步 尝 试：如 图，当 A B C 是 等 边 三 角 形，A B=6，E D F=A，且 D E B C，A D=2 时，则 S1S2=1 2；（2）类 比 探 究：在（1）的 条 件 下，先 将 点 D 沿 A B 平 移，使 A D=4，再 将 E D F 绕 点 D 旋 转 至 如 图 所 示 位置，求 S1S2的 值；（3）延 伸 拓 展：当 A B C 是 等 腰 三 角 形 时，设 B=A=E D F=（）如

37、图，当 点 D 在 线 段 A B 上 运 动 时，设 A D=a，B D=b，求 S1S2的 表 达 式（结 果 用 a，b 和 的 三 角 函数 表 示）（）如 图，当 点 D 在 B A 的 延 长 线 上 运 动 时，设 A D=a，B D=b，直 接 写 出 S1S2的 表 达 式，不 必 写 出 解 答 过程【分 析】（1）首 先 证 明 A D M，B D N 都 是 等 边 三 角 形，可 得 S1=22=，S2=（4）2=4，由 此 即 可解 决 问 题；（2）如 图 2 中，设 A M=x，B N=y 首 先 证 明 A M D B D N，可 得=，推 出=，推 出 x

38、y=8，由S1=A D A M s i n 6 0=x，S2=D B s i n 6 0=y，可 得 S1S2=x y=x y=1 2；（3）如 图 3 中，设 A M=x，B N=y，同 法 可 证 A M D B D N，可 得 x y=a b，由 S1=A D A M s i n=a x s i n，S2=D B B N s i n=b y s i n，可 得 S1S2=（a b）2s i n2（）结 论 不 变，证 明 方 法 类 似；【解 答】解：（1）如 图 1 中，A B C 是 等 边 三 角 形，A B=C B=A C=6，A=B=6 0，D E B C，E D F=6 0，

39、B N D=E D F=6 0，B D N=A D M=6 0，A D M，B D N 都 是 等 边 三 角 形，S1=22=，S2=（4）2=4，S1S2=1 2，故 答 案 为 1 2（2）如 图 2 中，设 A M=x，B N=y M D B=M D N+N D B=A+A M D，M D N=A，A M D=N D B，A=B，A M D B D N，=，=，x y=8，S1=A D A M s i n 6 0=x，S2=D B s i n 6 0=y，S1S2=x y=x y=1 2（3）如 图 3 中，设 A M=x，B N=y，同 法 可 证 A M D B D N，可 得 x

40、 y=a b，S1=A D A M s i n=a x s i n，S2=D B B N s i n=b y s i n，S1S2=（a b）2s i n2 如 图 4 中，设 A M=x，B N=y，同 法 可 证 A M D B D N，可 得 x y=a b，S1=A D A M s i n=a x s i n，S2=D B B N s i n=b y s i n，S1S2=（a b）2s i n2【点 评】本 题 考 查 几 何 变 换 综 合 题、等 边 三 角 形 的 性 质、等 腰 三 角 形 的 性 质、相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质、三 角 形 的 面 积 公 式

41、 锐 角 三 角 函 数 等 知 识，解 题 的 关 键 是 灵 活 运 用 所 学 知 识 解 决 问 题，属 于 中 考 压 轴 题 2 4（1 0 分）如 图，抛 物 线 y=x2+b x+c 经 过 点 B（3，0），C（0，2），直 线 l：y=x 交 y 轴 于点 E，且 与 抛 物 线 交 于 A，D 两 点，P 为 抛 物 线 上 一 动 点（不 与 A，D 重 合）（1）求 抛 物 线 的 解 析 式；（2）当 点 P 在 直 线 l 下 方 时，过 点 P 作 P M x 轴 交 l 于 点 M，P N y 轴 交 l 于 点 N，求 P M+P N 的 最 大 值（3）设

42、 F 为 直 线 l 上 的 点，以 E，C，P，F 为 顶 点 的 四 边 形 能 否 构 成 平 行 四 边 形？若 能，求 出 点 F 的 坐 标；若 不 能，请 说 明 理 由【分 析】（1）把 B（3，0），C（0，2）代 入 y=x2+b x+c 解 方 程 组 即 可 得 到 结 论；（2）设 P（m，m2 m 2），得 到 N（m，m），M（m2+2 m+2，m2 m 2），根 据 二 次 函数 的 性 质 即 可 得 到 结 论；（3）求 得 E（0，），得 到 C E=，设 P（m，m2 m 2），以 C E 为 边，根 据 C E=P F，列 方 程 得到 m=1，m=0

43、（舍 去），以 C E 为 对 角 线，连 接 P F 交 C E 于 G，C G=G E，P G=F G，得 到 G（0，），设 P（m，m2 m 2），则 F（m，m），列 方 程 得 到 此 方 程 无 实 数 根，于 是 得 到 结 论【解 答】解：（1）把 B（3，0），C（0，2）代 入 y=x2+b x+c 得，抛 物 线 的 解 析 式 为：y=x2 x 2；（2）设 P（m，m2 m 2），P M x 轴，P N y 轴，M，N 在 直 线 A D 上，N（m，m），M（m2+2 m+2，m2 m 2），P M+P N=m2+2 m+2 m m m2+m+2=m2+m+=（m

44、）2+，当 m=时，P M+P N 的 最 大 值 是；（3）能，理 由：y=x 交 y 轴 于 点 E，E（0，），C E=，设 P（m，m2 m 2），以 E，C，P，F 为 顶 点 的 四 边 形 能 否 构 成 平 行 四 边 形，以 C E 为 边，C E P F，C E=P F，F（m，m），m m2+m+2=，m=1，m=0（舍 去），以 C E 为 对 角 线，连 接 P F 交 C E 于 G，C G=G E，P G=F G，G（0，），设 P（m，m2 m 2），则 F（m，m），（m2 m 2+m）=，0，此 方 程 无 实 数 根，综 上 所 述，当 m=1 时，以 E，C，P，F 为 顶 点 的 四 边 形 能 否 构 成 平 行 四 边 形【点 评】本 题 考 查 了 待 定 系 数 法 求 函 数 的 解 析 式，平 行 四 边 形 的 性 质，二 次 函 数 的 性 质，正 确 的 理 解 题 意是 解 题 的 关 键