北师大七年级（下）第一章：整式的乘除运算讲义（无答案）.docx

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1、整式的乘除法【解题方法与策略】整式的乘法1）单项式与单项式相乘：系数、同底数暴分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.如：3b4，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母。的嘉分 别是。和,乘积中。的得是3 ,同理，乘积中b的累是另外，单项式。人中不含C的累，而3/b3c2中含 ，故乘积中含。2.2）单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加.公式为：川（。+ +。）=w +根 +宓，其中根为单项式，4 + +。为多项式.13）多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中

2、的每一个单项式相乘，然后把积相加.公式为：（根 + ）（Q + b） = ma + mb + na + nb整式的除法1）单项式除以单项式：系数、同底数的最分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因 式.如：3/b3c2+ = 32c2 ,被除式为32。3，除式为而，系数分别为3和1 ,故商中的系数为3，的黑分别 为和。，故商中。的能为，同理，人的累为从，另外，被除式中含/ ,而除式中不含关于。的累，故 商中。的寨为，.2）多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加.公式为：+ + + m = a + m + b + +典例剖析【

3、例1】以下计算正确的选项是()【例2】直接写出结果：1 3a2b - 2a3b2 =(3) 6b-a3b =I 3 )3z4)(3W 2) 5ab3 a3b abc3I 4只 3) 3(x-y-y一T【练习】计算卷（x+y）2 （-1-丁）3 一y）3q（y-）2.【例4】 计算： （2/.（加/（-3）2.（_2；”）3；-|）（6q）（-。）2（-3同卜尹y -;孙2（*力2.y力3（_2中）.（-切2（_3孙2）3例5假设。除 .(37/m)=3。63 ,那么加=.【例6】 如果-3/和：/+尸+8。是同类项【例7】 直接写出结果：(1) -6(/:-n-2)=(-2a + 5b)(-3

4、砌=/1、(5) 一犬- %3+ (-3丁) =3)【例8】计算： 3cr(2a-b-acr -4)-x2F(3yH)2-(-2)3-x 一(5) _(f )4 . (-2x2y3) -(2/ )3 6十 , n =.，那么这两个单项式的积是.2) 2cl(cT -ab-b=(-6+8x-4)(_gx = Q?W-) =(2) 2(452 一必 + ) + 3(一曲)_/ i A|3(4 ab3 + b)-2a b-b2 (2优5)2 753【例9】 化简求值6/52（m+ 2- 1） + 4/%（3/xn），其中根=-1， = 2,24【例 10解方程 2x（x 2）6Mx-l） = 4x（

5、l九） + 16.【练习】假设2x（3% l） + 6x（x 3） = 16，那么 x =.【例11解不等式 2%2（%2） + 4（/x）Wx（2d+5）3.【例12】对代数式进行恰当的变形求代数式的值（1）假设 x + 5y = 6，求 M+5 *+ 30y ；（2）假设+利-1 =。，求加+2疗+2013 ；假设 2x+y =。，求4丁 + 29（x+y） + y3.【例13】直接写出结果：（6Z + /7）（m + 7?）=（x + 2）（尤-3） =（x-y）（3x + y） =【例14】以下计算正确的选项是：（）【例15】以下计算正确的选项是：（）【例 16】计算：（1） （3。+

6、 1）（2。3）（x+y）（x + 2y）（5） （。- 2）（。+ 2）（2 +1） ； 6【例 17】计算：（1） 。3 + 2）（。-3）(a + b)(m-2)=(y-3)(y-4) =(a-2)(2q-Z?) =(2) ( x+ 2)(4% )(-4-45)(-3)(/J?-%3/(%2一,2) (0.加一02)(0.3“ + 0.4)(3) (2x -3y)(x + 2y) Q+y)2(4) (2a + b(2q 33 + 0) (-x+y)(-x-y)(2+x2)(x2+A + y)(x-j)【例18】a2_a_3=0，那么（3）m+2）的值是【例19】 假设（2x + 3）（4

7、 5力=2+区+。，那么。=(2)假设(x-2)(x-)= x?-mx + 6，那么机=，=【例 20 （x + my）（x + ny） = x2 + 2xy -6y2，求（2 + n）mn的值.【例21】先化简再求值：（3a + l）（2a 3）（4a 5）（ 4），其中 =2.【例22】直接写出结果:x5 4-X2=_X8=9（孙厂(-“22-x 13+ (%) =6(q_“+!他一。)4=10)(71-3.14) =【例23】计算：1) x4m2x,n-xn(2/?)2(36z2)3(1 AanI 2 )(2)二 5-a824(5) 8 (m-n)- 4-(h m)【练习】计算：11)

8、(41)2+8/ *3)3 +加2 )2(0.8x2/)3-(42/)2【例24】-x3y 3，求、m、的值.【例25】【例26】化简求值:直接写出结果:2 V-a(-2/)2 .Q，其中a = 5.(6,91+12/3 = (12x3 -18x2 +6x)+(-6x)=_【例27】计算：- (-a4bJ - - a2b6) - (-ab3)2393(2)(28x3-14x2-7x)-(-7x) = (4)(6dy3 一813,2 +9%2丁)+(-2刈= 2) (|a%2 g/ 一1 8c”)+(o $对a2x +rz3x4 -0.9ax5 +0.6ax )5222m(7n3m3+28疗/

9、-2lm5n3+(-7冽，)【例28】先化简，再求值：（/人4（ +4（3，其中二,b = l.【练习】（3 + 2b）（3a 2b） + （。一23（5一26）卜4，其中【例29】【练习】【例30】【例31】a-b-c =、? 1%2-6x + 1 = 0，求x +f的值. X3x2-5x-3 = 0，求/+4的值. x多项式三一212+办的除式为区一1，商式为犬一 X + 2，余式为2，求、/?的值.将一多项式07/一3% + 4）-（62+法+ 4,除以（5X + 6）后，得商式为（2x + l）余式为1求【例32（X+ 3）与（2x m）的积中不含x的一次项，那么相=【例33】如果（x

10、 + l）（栗-5以+。）的乘积中不含上项，那么a为【练习】(5-3% +/2-6/)(1-2工)的计算结果中不含X3的项，那么加的值为.【例 34计算(-1 + 2x2- 5)(2x2-3x+1).【例35】g? +区+ i与一 3x + l的积不含丁的项，也不含x的项，试求与b的值.【练习】使(Y + px + 8)(f 一3%+幻的积中不含工2和工3，求，4的值.【例36在(公+办+/(2/3%-1)的积中 3项的系数是5 ,%2项的系数是-6，求Q、b的值.【练习】多项式/ +丁 +/ +2三(/ +g+)(工2 +依+2)，求加与雇的值.【例37】实数a、b、x、y满足以+b=3 ,

11、缈一区=5,求+62)(%2+ 9)的值.【例38】规定一种新运算“*：人=(。+ 2)0 + 5)(。+ 3)0 + 4)，试化简(根1)*( + 1).【练习】规定一种新运算“*：对于任意实数(1，门恒有(x，V)*(x ,y) = (x+y + l 2一y一1).假设实数。,b 满足(a ,6)*(。,b) = (b 9a)，那么a，。的值为多少?【例39(2x + l) =ax5 +Z?x4 +cx3+ex + f，那么 a + + c + d + e + / 的值为； a-b + c-d + e- f的值.【练习】(3x-2)6 = ax6 + bx5 + ex4 + ex2 + f

12、x- g，那么 a + c + e + g 的值为；b + d + f的值为.乘法公式知识回忆计算： (% + 2)(%-2) (3x + l)(3x-l) (a + b)(a-J) (2x + 3)(2x 3) (x + 1)2(2x-l)2(4 + 0)2(_32【解题方法及策略】平方差公式平方差公式的特点：即两数和乘以它们的差等于这两数的平方差.左边是一个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数.右边是乘方中两项的平方差相同项的平方减去相反项的平方).注意：公式中的。和可以是具体的数也可以是单项式或多项式.如：(。+ 2)(。- 2) = a? _ 4 ； (x + 3yx尤

13、-3y) = x2 - 9y2;不能直接运用平方差公式的，要善于转化变形.如：97x103 = (100 3)(100 + 3) = 9991 ； (a + /?)(-/? + a) = (a + b)(a - b) = a1- b?完全平方公式即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的2倍.完全平方公式的特点：左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项 式中的每一项的平方，另一项为哪一项左边二项式中两项乘积的2倍，可简单概括为口诀：“首平方，尾平方， 积2倍在中央.注意：公式中的。和匕可以是单项式，也可以是多项式。一些本来不是二项式的式子的

14、平方也可以利用完全平方公式来计算，【例1】如图，从边长为。的正方形内去掉一个边长为。的小正方形，然后将剩余局部拼成一个长方形，上述操 作所能验证的公式是.【练习】如图，在为。的正方形中剪去一个边长为匕的小正方形(人)，把剩下的局部拼成一个梯形，分 别计算这两个图形的面积，验证了公式.【例2】如图，四张全等的矩形纸片拼成的囱形，请利用图中空白局部面积的不同表示方法，写出一个关于、Z?的恒等式.a h【练习】如下图的几何图形可以表示的公式是【例3】直接写出结果：1） （、+），）（尤一y） =（2） （y + %）（x-y） =（3（丁一%）（丁 + 工）=（4（x+y）（y + x）=（3） （

15、%-y）（-x-y） =（r-y）（r+y）=【例4】运用平方差公式计算：（x-3y）（x + 3y）（x + ab）（x-a。）（3）（合+/乂片12）（4） a2y-Xx2y + ）5） （。+犷）（一）6） 2 3）1” + 2x3【例5】运用平方差公式计算：(2 + c)(-2b + c)(2)(-岛2 +- 2)（-4。- 1）（-4。+ 1）【练习】以下各式中能使用平方差公式的是（【例6】利用平方差公式简化计算：x y、4-2, (2 102x98(3) 123462-12345x1234711514x15【例7】：x、y为正整数，且4d9丁=31，求出满足条件X、的值. 如果（2

16、q + 2Z? + 1）（2 + 2Z? 1） = 63 ，那么 + 的值是.【练习】下面计算（7 +人）（7 ，一。）正确的选项是1）A .原式=(-7 + 6Z + )-7 -(6Z + Z?) = 72 +(6Z + Z?)2 B.原式=(7 + Q + b)7 (a + ) = 72(a + b)2 C.原式=(7 ab)(7 + + ) = 72 (q + bp D.原式=(7 + a) + b(7 + a) 习=(7 + q一 【例 8】计算:(x+l)(x2+l)(x-l)(x4+l) (2 + l)(224-l)(24+l)(28 + l)L(2m + 1)(6z+3)(tz2

17、 +9)( + 3c)(a + 2b-3c)(3) (a + b-hc)(a-b-c)4) (2x-y + 2)(y-2x + 2)(3) (x + 5y-9)(x-5y+ 9)(a + 3-4c)(-a + 3 + 4c)例5 填空：()2 +/=5 + 勿2 ；(2)+ 人2 = (a _ b)2+；13) cr -b + ；4)(一 h) = (a + Z?)2 .(4) a2 +Z?2 =16 , a+b = 5，求。Z? = .【练习】假设(x + 2)2+(x 3)2=13，那么(x + 2)(3 x) =.【例16】假设+=11 ,必=3 ,那么 + b=.【练习】a+b = 3

18、, q/? = 1,求一。的值.【例17(。+4=7 ,伍-32=3，求必的值及/+的值.【练习】。(一1)一(。2 一)= 一5，求”；4。的值.【例18】假设x+y = 3，xy = 2 ，求/ + y4的值.【练习】a + b = 3 , a2b + ab2=-6 ，那么 /+2b2 +一1=.【例19】设。为有理数，且。+人=20，设/+片的最小值为加，。力的最大值为，那么2 + = *【例 20】填空：(1) f+4V =(x+2y)2；(2) 9a2-+12 仍 2=(3。一)2;(3)4/ + 4mn += (2m +)2. 4) + 6 += (3x + y)?.【例21(1)

19、如果多项式/+履+ g是一个完全平方式，那么女的值为.(2)如果多项式/一日+4是一个完全平方式，那么女的值为.【练习1】如果4Y + g +9y2是完全平方式，试求。的值为.【练习2】假设整式4/+Q + 1是完全平方式，请你写满足条件的单项式。是.【例22】求以下式子的最值：(1)当x为何值时，/+9有最小值；2)当了为何值时，f+6x 15有最大值.【练习】求q2+4一2q 4b + 3的最值.【例23】假设。，。为有理数，且2/_2 + /+4 + 4 = 0 ，那么/ + /=.【练习1】a、b、。满足2+26 = 7222c = 16a = 17 ,那么q + Z? + c的值为.

20、【练习2】设Pn/k+s 9Q = 2ab-a2-4a，假设尸=Q，那么实数。工满足的条件是.【例24】假设。，匕为有理数，且片一2灿+ 22+4。+ 8 =。，那么ab =.【练习】假设代数式a4 + 1=3，那么代数式3 + 4尸+6 4的值为.【例25】设、。是三角形A3。的三边长，且/+/+/=。 +人。+。，关于此三角形的形状有以下判断:是等腰三角形；是等边三角形；是锐角三角形；是斜三角形.其中正确的选项是.【例 26) a =2013x + 2012 ,b =2013x + 2013 ,c = 2013x4-2014 ,求多项式， + 从一成一/。一比的值e【练习1】如图，立方体的

21、每一个面上都有一个自然数，相对的两个面上两个数之和相等，如果13 ,9 ,3的对面的数分别。、b、c，jjt a2 4-Z72 +c2-ah-hc-ac的值.【练习 2假设 a + 2/? + 3c = 12，a1 -tr -c1 =ab-bc + ca，那么4 + +/=.作业 (a-2b)(2b-a)1 .请设计一个几何图形，验证2 .计算：(1) (一2尤+ 3)2(4)(q- + ah + h )(6Z - cih + h)(4) (2x - y + 2)( y - 2x + 2)31313 .计算：(1) (xy)2(x+y)(xy)(2) (2x-y-z)(-y-z + 2x)4 . ct+b 3 , ab = 12，求以下各式的值：1片+从；(2cr ab + b1 - (3) (a-b)-5 .假设4d1工+ = 0，那么x = . 假设炉+8町+公是一个完全平方式，那么=.(3)假设4*+也7 + 2是一个完全平方式，那么k =.6 .假设 4 = 199 , b = 1991, c = 1992 ,那么 / +/一-be-ac =.7 .求多项式2f_4xy +5y2_12y + 13的最值.