高等数学某大学第三版下册课后习题及答案.pdf

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1、高 等 数 学 X X大 学 第 三 版 下 册 课 后 习 题 及 答 案 习 题 七 1.在 空 间 直 角 坐 标 系 中,定 出 下 列 各 点 的 位 置:A(l,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);Q(3,4,0);E(0,4,3);尸(3,0。).解:点 A 在 第 I 卦 限;点 B 在 第 H卦 限;点 C 在 第 W卦 限:点 D 在 xOy面 上;点 E 在，。z面 上;点 F 在 x轴 上.2 坐 标 面 上 的 点 的 坐 标 有 什 么 特 点?)，。z 面 上 的 呢?”面 上 的 呢?答:在 X。面 上 的 点,z=0;在 面 上 的 点，戸。;

2、在 Z。面 上 的 点，)，=0.3.x轴 上 的 点 的 坐 标 有 什 么 特 点?)，轴 上 的 点 呢?z轴 上 的 点 呢?答：x轴 上 的 点,)=z=0;)，轴 上 的 点,mz=0;z轴 上 的 点,x=)二 0.4.求 下 列 各 对 点 之 间 的 距 离:(1)(0,0,0),(2,3,4)；(2)(0,0,0),(2,-3,-4)；(3)(-2,3,-4),(1,0,3)；(4)(4,-2,3),(-2,1,3).解:5=2 2+3 2+42=0(2)5=2 2+(3)2+(T)2=晒(3)S=1+2)2+(0-3)2+(3+4)2=屈(4=长 2 4)2+(1+2)2

3、+(3 3)2=3 后.5.求 点(4,-3,5)到 坐 标 原 点 和 各 坐 标 轴 间 的 距 离.解:点(4,-3,5)到 x轴,y轴，z轴 的 垂 足 分 别 为(4,0,0),(0,-3,0),(0,0,5).故 s=2+(-3)2+52=5 2s=4 2+(-3)2+(5-5)2=5.Z6.在 z轴 上,求 与 两 点(-4,1,7)和 8(3,5,-2)等 距 离 的 点.解：设 此 点 为 例(0,0,z),则 14解 得 z=豆 14即 所 求 点 为 M(0,0,y).7.试 证:以 三 点 A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为 顶 点 的 三 角

4、形 是 等 腰 直 角 三 角 形.证 明：因 为 48=140=7.且 有 L4Cl2+IABl2=49+49=98=IBCl2.故 ABC为 等 腰 直 角 三 角 形.8.验 证:+b)+c=a+(b+c).证 明:利 用 三 角 形 法 则 得 证.见 图 7-1图 7-19.设 A+2,y=-+初 一。.试 用 ab c表 示 2-3九 解:10.把 ABC的 B C 边 分 成 五 等 份,设 分 点 依 次 为 1,D,04，再 把 各 分 点 与 A 连 接,试 以 uuur uur uuiiff iuir ULUT ULUT 一 A B=c f B C=a 表 示 向 量 A

5、,。A,。A 和 A.1 2 3 4uumr uur uuur j解.。1/1=BA B D=c a.1 1 5UULU,11.设 向 量。”的 模 是 4,它 与 投 影 轴 的 夹 角 是 60。，求 这 向 量 在 该 轴 上 的 投 影.解：设 M 的 投 影 为 M,则 12.一 向 量 的 终 点 为 点 B(2,-1,7),它 在 三 坐 标 轴 上 的 投 影 依 次 是 4,-4和 7,求 这 向 量 的 起 点 4 的 坐 标.解:设 此 向 量 的 起 点 A 的 坐 标(五,乂,则 解 得 x=-2,y=3,z=0故 的 坐 标 为 A(-2,3,0).13.一 向 量

6、 的 起 点 是 尸 1(4,0,5)终 点 是 尸(7,1,3)试 求:LUUff ULUff-(1)P P 在 各 坐 标 轴 上 的 投 影;(2)P P 的 模;IMS：ULU1T(3)P P 的 方 向 余 弦;(4)P P 方 向 的 单 位 向 量.lU lff解:a=Prj PP=3,I 牛 卜(7-4)2+(1-0)2+(3-5)2=/4a 3 2 師 而 14.三 个 尸 产(1,2,3),产(-2,3,-4)尸 3=(3,-4,5)同 时 作 用 于 一 点.求 合 力 R 的 大 小 和 方 向 余 弦.解:R=(1-2+3,2+3-4,3-4+5)=(2,1,4)15

7、.求 出 向 量 a+0=2i+5 和。=-2i+2f的 模，并 分 别 用 单 位 向 量 e,e,e 来 表 达 向 量。,c.a b c解:1。1=2+1 2+1 2=不16.设 m=3i+y+81=2iR-7jtp=5切 44,求 向 量 a=4m+3n p 在 x 轴 上 的 投 影 及 在 y 轴 上 的 分 向 量.解:a=4（3荘 y+84）+3（2 7比）-（5坷 4*）=13i+7/+l5A在 x 轴 上 的 投 影=13,在 y 轴 上 分 向 量 为 7/.r17.解:设。=。,a,a 则 有 x y z求 得、毛.r r r设。在 面 上 的 投 影 向 量 为 b

8、则 有=似,x yr r兀 a-b V2则 cos=.r,r.=4 I4 IH 21,1则。2=求 得。=-y 4 2ax2+砂 2ax2+ay2又|=1,则 4 2+Q 2+Q 2=1X V Zr 1 I 丄 J I,1 1 丄 拒、从 而 求 得 a=5-或,土-UUUULT U l L U r ULUI18.己 知 两 点 MJ2,5,-3）,M2（3,-2,5）,点 M 在 线 段 叫/上,旦 M 1=,求 向 径 M的 坐 标.UUUT解：设 向 径 M=x,y,zUUUULT UUUULT因 为,M M=3 M M所 以,Ix-2=3(3-x)y-5=3(-2-y)z+3=3(5

9、z)=11X-41z=3U U L U,1 1 I故。”二 屋 3.19.已 知 点 尸 到 点 A（0,0,12）然 2 3 6的 距 离 是 7,。尸 的 方 向 余 弦 是,求 点 P 的 坐 标.解:设 P 的 坐 标 为（x,y,z）,1尸|2=+（2-12）2=49得 2+z2=-95+24 z又 COS ax 2#2+y 2+Z 2 7190 285 570故 点 P 的 坐 标 为 P(2,3,6)或 P(丁,一 777,不 49 49 4920.已 知 a 的 夹 角 P=刀-,且 村=3,例=4,计 算:(l)a-b;(2)(3a-2i)(a+2i).2兀 解:(1)a b

10、=cos0,所 以 cos。a ft _ 1lallftT2!兀 故。=arccos=.24.设。=(-2,7,6)=(4,-3,-8),证 明:以。与 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 互 相 垂 直.证 明:以。.为 邻 边 的 平 行 四 边 形 的 两 条 对 角 线 分 别 为。+.。,且。+=2,4,-2。=-6,10,14又(。+)(。-)=2 X(-6)+4 X 10+(-2)X 14=0故(。+)丄(。).25.已 知。=3讣,+2*,求：(l)a X J；(2)2aX7*;(3)7iX 2a;(4)aX a.2-1-1 3 3 2解:(i)q x

11、Z=_ i+2 7 k=3 1 j-5 k(2)2 a x 7 b=1 4(a x h)=4 2 i-9 8 j-70(3)7 x 2a=14(5 xa)=14(Q x)=-42i+98 j+704(4)x a=026.已 知 向 量。和 B 互 相 垂 直,且 I3=3,防 1=4.计 算:(l)l(a+*)X(a-ft)l；(2)l(3 a+i)X(a-2 i)l.(1)l(a+h)x(a-A)-a x a-a x b+b x a-b x b-2(axfc)I(2)l(3a+ft)x(a-2A)l=l3axa-6axft+ixa-2bxbl=l7(xa)|27.求 垂 直 于 向 量 31

12、 和 万+的 单 位 向 量,并 求 上 述 两 向 量 夹 角 的 正 弦.解:a xb=-4-1-1 1-113-42-1i+k=-5 i-5 j+5k32J+与。x b平 行 的 单 位 向 量 e(一),axb 5J3 5 0 3 a x b/6 乖 26,28.一 平 行 四 边 形 以 向 量=(2,1,1)和 5=(1,-2,1)为 邻 边,求 其 对 角 线 夹 角 的 正 弦.解:两 对 角 线 向 量 为 I=a+b=3 i-j,l=a-b=i+3 j-2 k因 为 x(曰 2i+6 j+l(渋 1=J140,./xZ I所 以 sinO=_ I _ a-IZ IIZ I即

13、 为 所 求 对 角 线 间 夹 角 的 正 弦.29.已 知 三 点 A(2,-1,5),8(0,3,-2),C(-2,3,1),点 朋,N,2 分 别 是 4B,BC,。的 中 点,证 明:uuur uuir 1 U U LT t u rM N xM P-(ACxB C).证 明：中 点 M,N,尸 的 坐 标 分 别 为uuur uuur i unr tu r故 M N x M P=_(A C x B C)4r r ri j kr r30.(1)解:a a ax y zh b bx y zr r ir则(a x b)C二(a b-a b)C 4-(a b-a b)C 4-(a b-a b

14、)Cy z z y X z x x z y x y y xr r ir r r ir若。,。,C 共 面,则 有 4 x 后 与 C是 垂 直 的.r r ir从 而(a x b).C=0反 之 亦 成 立.r r ir(2)Q(a x C=aXbXca ay zb by zC Cy z由 行 列 式 性 质 可 得:r r ir r ir r ir r r故 Q(a x b)C=(b x C)a=f C x a)b31.四 面 体 的 顶 点 在(1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,7,2)求 四 面 体 的 表 面 积.解:设 四 顶 点 依 次 取 为 A,6,C D则 由

15、B,三 点 所 确 定 三 角 形 的 面 积 为 1 ULHT U U L T 1 3 疗 5=-A B x A D=-5i+4j-2k=-1 2 2 2,同 理 可 求 其 他 三 个 三 角 形 的 面 积 依 次 为 J i b.3/故 四 面 体 的 表 面 积 S=+7+一:一.32.解:设 四 面 体 的 底 为 BC。,从 4 点 到 底 面 及 5。的 高 为,则 V=-S-h,3 V BCD1.uuir t u r 1 r r r a而、BC 訥 C x亜 4 f+8 又 姉 所 在 的 平 面 方 程 为:4x+y-8z+15=0则 人|4+1-8+15|_4/6+1+6

16、4 3,1 9 4 故 V 23 2 333.已 知 三 点 A(2,4,1),8(3,7,5),04,10,9),证:此 三 点 共 线,mar uutr证 明:45=1,3,4,AC=2,6,8uuir uuir显 然 AC=2ABuuir 111r uuur U L K T um tu r则 AB x AC=AB x 2AB=2(AB x AB)=0故 B,C三 点 共 线.34.动 点 与%(1丄 1)连 成 的 向 量 与 向 量 二(2,3,-4)垂 直,求 动 点 的 轨 迹 方 程.解:设 动 点 为 M(x,y,z)uunuur U U U L W因 丄 故/f=00 0即

17、2(x-l)+3(j-l)-4(z-l)=0整 理 得:2+3厂&一 即 为 动 点 M 的 轨 迹 方 程.35.求 通 过 下 列 两 已 知 点 的 直 线 方 程：(1)(1,-2,1),(3,1,-1)；(2)(3,-1,0),(1,0,-3).解:(1)两 点 所 确 立 的 个 向 量 为 s=3-l,1+2,-1-1=2,3,-2)故 直 线 的 标 准 方 程 为：x-1 y+2 z-1 x-3 y-z+1-=-=-或-=-=-2 3-2 2 3-2(2)直 线 方 向 向 量 可 取 为 s=1_3,0+1,-3-0=-2,1,-3故 直 线 的 标 准 方 程 为：x-3

18、 _ y+1 _ z l _ y _ z+3-2 1-3-2 1-32x+3y z 4 036.求 直 线,e 的 标 准 式 方 程 和 参 数 方 程.3 x-5 y+2z+l=0解:所 给 直 线 的 方 向 向 量 为 另 取=0 代 入 直 线 一 般 方 程 可 解 得 y0=7,z0=17于 是 直 线 过 点(0,7,1 7),因 此 直 线 的 标 准 方 程 为:且 直 线 的 参 数 方 程 为:37.求 过 点(4,-2)且 与 平 面 3x2y+6z=ll平 行 的 平 面 方 程.解:所 求 平 面 与 平 面 3x-2y+6z=l 1平 行 故 3,-2,6,又

19、过 点(4,1,-2)故 所 求 平 面 方 程 为：3(x-4)-2(y-l)+6(z+2)=0即 3x-2y+6z+2=0.38.求 过 点 M0(l,7,-3),且 与 连 接 坐 标 原 点 到 点 的 线 段。“垂 直 的 平 面 方 程.IIOUI解：所 求 平 面 的 法 向 量 可 取 为=1,7,3故 平 面 方 程 为：x-l+7(y-7)-3(z+3)=0即 x+7y-3z-59=039.设 平 面 过 点(1,2,-1),而 在 x轴 和 z轴 上 的 截 距 都 等 于 在 y轴 上 的 截 距 的 两 倍,求 此 平 面 方 程.解:设 平 面 在 y 轴 上 的

20、截 距 为 则 平 面 方 程 可 定 为+(+寸=12b b 2b又(1,2,-1)在 平 面 上,则 有 得=2.故 所 求 平 面 方 程 为+5+=14 2 440.求 过(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三 点 的 平 面 方 程.解:由 平 面 的 三 点 式 方 程 知 x-1 y-1 z+1代 入 三 已 知 点,有-2-1-2-1 2+1=01-1-1-1 2+1化 简 得 x-3)，-2z=0即 为 所 求 平 面 方 程.41.指 出 下 列 各 平 面 的 特 殊 位 置，并 画 出 其 图 形:(l)y=0;(2)3 厂 1=0;(3)2 3y-6

21、=0;(4)x-y=0;(5)2x-3y+4z=0.解:(1)=O表 示 xOz坐 标 面(如 图 7-2)(2)3xT=0表 示 垂 直 于 x 轴 的 平 面.(如 图 7-3)图 7-2图 7-3(3)2x-3)-6=0表 示 平 行 于 z轴 且 在 x 轴 及 y 轴 上 的 截 距 分 别 为 x=3和)=-2的 平 面.(如 图 7-4)(4)x-y=0表 示 过 z轴 的 平 面(如 图 7-5)(5)2x-3)，+4z=0表 示 过 原 点 的 平 面(如 图 7-6).图 7-4图 7-5图 7-642.通 过 两 点(I,1,1,)和(2,2,2)作 垂 直 于 平 面

22、x+y-z=0的 平 面.解：设 平 面 方 程 为 Ax+By+Cz+O=0则 其 法 向 量 为”=A,民 C己 知 平 面 法 向 量 为“尸 1,1,-1过 已 知 两 点 的 向 量/=1,1,1由 题 知”。,。1=0即 A+8-C=0A+B+C=Q=C=0,A=-B.所 求 平 面 方 程 变 为 AxAy+D=0又 点(1,1,1)在 平 面 上,所 以 有=0故 平 面 方 程 为 x-)，=0.43.决 定 参 数 k 的 值，使 平 面 x+ky-2z=9适 合 下 列 条 件:兀(1)经 过 点(5,-4,6)；(2)与 平 面 2x_3y+z=0成 的 角.-4解：(

23、1)因 平 面 过 点(5,-4,6)故 有 5-4k-2X6=9得 k=4.（2）两 平 面 的 法 向 量 分 别 为=l,V2n=2-3,1I I 3日 兀 WIn Un!屈 瓦 旧 4 2解 得=44.确 定 下 列 方 程 中 的/和 加:平 面 2x+/y+3z-5=0 和 平 面”?x-6y-z+2=0 平 行;(2)平 面 3x-5y+/z-3=0 和 平 面 x+3y+2z+5=0 垂 直.解:(1)n=2,l,3,n=m,-6,-i(2)=3,-5,/=1,3,2145.通 过 点(1,-1,1)作 垂 直 于 两 平 面 x-y+zT=0和 2x+y+z+l=0的 平 面

24、.解:设 所 求 平 面 方 程 为 Ax+By+Cz+=0其 法 向 量 m=4,8,Cn=l,-l,l,n=2,l,l)又(1,1,1)在 所 求 平 面 上,故 4 8+C+Q=0,得=0故 所 求 平 面 方 程 为 即 2x-y3z=046.求 平 行 于 平 面 3x-y+7z=5,且 垂 直 于 向 量 号+2t的 单 位 向 量.解:n=3,-1,7,2=1,-1,2).宀-1 7 7-1i+故=xnI 22 2=5 i+j-2 k则 e=(5i+j 2).n 回 47.求 下 列 直 线 与 平 面 的 交 点：x-1 y+1 z(1)二-丁=2,2x+3y+z-1=0;1

25、2+2 y-1 z-3(2)-2-=-,x+2y-2z+6=0.x=1+，解:(1)直 线 参 数 方 程 为 y=-i-2tz=6/代 入 平 面 方 程 得 仁 1故 交 点 为(2,-3,6).x 2+2t(2)直 线 参 数 方 程 为,y=i+3fz=3+2f代 入 平 面 方 程 解 得 r=0.故 交 点 为(-2,1.3).48.求 下 列 直 线 的 夹 角:5x-3y+3 z-9=0(2x+2y z+23-0和 3 x-2y+z-l=0 13x+8y+z-18=0(2)解:(1)两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为:i j ks=5-3,3 X 3,-2,1=5-3

26、3=3,4,-1)3-2 1i j ks 2,2,-1 X 3,8,1=2 2-1=10,-5,10)3 8 1由 S1,s2=3xl0+4x(-5)+(-1)x10=0 知 丄 52Tt从 而 两 直 线 垂 直,夹 角 为.x 2 y 3 z-l I=(2)直 线-6=一 的 方 向 向 量 为 S=4,T2,3,直 线-1-24-1 2 J x=l的 方 程 可 变 为 2 y-z+2=01.,可 求 得 其 方 向 向 量 s,=,2,-1卜 1,0,0=0,-1,-2,于 是 x-1=049.求 满 足 下 列 各 组 条 件 的 直 线 方 程：(1)经 过 点(2,-3,4)(且

27、 与 平 面 3x-y+2z-4=0垂 直;(2)过 点(0,2,4),且 与 两 平 面 x+2z=l和，-3z=2平 行;x y-3 z-1(3)过 点(T,2,1),且 与 直 线=一 1=平 行.2 1 3解:(1)可 取 直 线 的 方 向 向 量 为 s=3,-1,2)故 过 点(2,-3,4)的 直 线 方 程 为(2)所 求 直 线 平 行 两 己 知 平 面,且 两 平 面 的 法 向 量 与 巴 不 平 行,故 所 求 直 线 平 行 于 两 平 面 的 交 线,于 是 直 线 方 向 向 量 故 过 点(0,2,4)的 直 线 方 程 为(3)所 求 直 线 与 已 知

28、直 线 平 行,故 其 方 向 向 量 可 取 为 s=2,-1,3故 过 点(-1,2,1)的 直 线 方 程 为x+1 y 2 z-l50.试 定 出 下 列 各 题 中 直 线 与 平 面 间 的 位 置 关 系:+3 y+4 z(1)-和 4x2y-2z=3;x y z(2)-=不 I 3x-2y+7z=8;3 2/x-2 y+2 z 3(3)-：和+v+z=3.3 1-4解:平 行 而 不 包 含.因 为 直 线 的 方 向 向 量 为，=-2,-7,3平 面 的 法 向 量=4,-2,-2,所 以 于 是 直 线 与 平 面 平 行.又 因 为 直 线 上 的 点(-3,-4,0)

29、代 入 平 面 方 程 有 4 x(3)2 x(4)2*0=4*3.故 直 线 不 在 平 面 上.(2)因 直 线 方 向 向 量 s 等 于 平 面 的 法 向 量,故 直 线 垂 直 于 平 面.(3)直 线 在 平 面 上,因 为 3 x l+lx l+(-4)x l=0,而 直 线 上 的 点(2,-2,3)在 平 面 上.51.求 过 点(1,-2,1),且 垂 直 于 直 线 的 平 面 方 程.i j k解:直 线 的 方 向 向 量 为 1-2 1=i+2 j+3上,1 1-1取 平 面 法 向 量 为 1,2,3),故 所 求 平 面 方 程 为 l x(x l)+2(y+

30、2)+3(z l)=0即 x+2y+3z=O.52.求 过 点(1,-2,3)和 两 平 面 2x-3y+z=3,x+3y+2z+l=0的 交 线 的 平 面 方 程.解:设 过 两 平 面 的 交 线 的 平 面 束 方 程 为 2x 3y+z 3+九(x+3)，+2z+1)=0其 中 人 为 待 定 常 数，又 因 为 所 求 平 面 过 点(1,-2,3)故 2 x 1 3 x(2)+3 3+九(l+3 x(2)+2 x 3+l)=0解 得 X=-4.故 所 求 平 面 方 程 为 2x+15y+7z+7=053.求 点(-1,2,0)在 平 面+2厂 z+l=O上 的 投 影.解:过

31、点(-1,2,0)作 垂 直 于 已 知 平 面 的 直 线,则 该 直 线 的 方 向 向 量 即 为 已 知 平 面 的 法 向 量,即 s=n=1,2,1)X=-l+Z所 以 垂 线 的 参 数 方 程 为 y=2+2/z=-t将 其 代 入 平 面 方 程 可 得（-1+2（2+2（。+1=02得 一 15 2 2于 是 所 求 点（-1,2,0）到 平 面 的 投 影 就 是 此 平 面 与 垂 线 的 交 点（一 至）x+y-z+l=054.求 点（3,-1,2）到 直 线 版 4 c 的 距 离.2x y+z-4=0解:过 点（3,7,2）作 垂 直 于 已 知 直 线 的 平

32、面,平 面 的 法 向 量 可 取 为 直 线 的 方 向 向 量 i j k即=s=l 1-1=-3 j-3 k2-1 1故 过 已 知 点 的 平 面 方 程 为 y+z=.x+y-z+l=0联 立 方 程 组,2x-y+z-4=0j+z=l,1 3解 得=1,丁=,=I 3 即（1，,1）为 平 面 与 直 线 的 垂 足 于 是 点 到 直 线 的 距 离 为=,(1-3)2+(-;+1)2+(g 2)2255.求 点（1,2,1）到 平 面 x+2y+2zT0=0 距 离.解:过 点（1,2,1）作 垂 直 于 已 知 平 面 的 直 线,直 线 的 方 向 向 量 为 s=l,2,

33、2）x=1+，所 以 垂 线 的 参 数 方 程 为,y=2+2，z=1+2/1将 其 代 入 平 面 方 程 得，=g.故 垂 足 为（,1）,且 与 点（1,2,1）的 距 离 为 1=;）2+（$2+（|）2=1即 为 点 到 平 面 的 距 离.56.建 立 以 点（1,3,-2）为 中 心，且 通 过 坐 标 原 点 的 球 面 方 程.解:球 的 半 径 为=J?+32+（-2）2=14 设（X,y,z）为 球 面 上 任 一 点，则（xT）2+（厂 3）2+（Z+2）2=14即 x2+y2+z2-2x6y+4z=0为 所 求 球 面 方 程.57.动 点 离 点（2,0,-3）的

34、 距 离 与 离 点（4,-6,6）的 距 离 之 比 为 3,求 此 动 点 的 轨 迹 方 程.J(X-2)2+(y-0)2+(Z+3)2解:设 该 动 点 为 M(x,y,z),由 题 意 知 二=3.-4”+(y+6”+(z-6)2化 简 得:8+8)，2+8z2-68x+108厂 114z+779=0即 为 动 点 的 轨 迹 方 程.58.指 出 下 列 方 程 所 表 示 的 是 什 么 曲 面,并 画 出 其 图 形:(I)。,2+丁=(,2；(2)-y+y=1;X2 Z 2(3)9+4=1；(4)z=0；(5)X 2-y 2=o；(6)x2+y 2=0.解:(1)母 线 平

35、行 于 z轴 的 抛 物 柱 面,如 图 7-7.(2)母 线 平 行 于 z轴 的 双 曲 柱 面,如 图 7-8.图 7-7图?-8(3)母 线 平 行 于 y轴 的 椭 圆 柱 面,如 图 7-9.(4)母 线 平 行 于 x轴 的 抛 物 柱 面，如 图 7-10.图 7-9 图 7-10(5)母 线 平 行 于 z轴 的 两 平 面,如 图 7-11.(6)z 轴,如 图 7-12.图 7-11 图 7-1259.指 出 下 列 方 程 表 示 怎 样 的 曲 面,并 作 出 图 形：(1)V2 Z2X2+一=1.(2)4 936x2+9 4z=3 6；(3)X 2-=I(4)4 9

36、 取 X 2+-.=11*4 9(5)X 2+W 一 g=0解:(1)半 轴 分 别 为 1,2,3 的 椭 球 面,如 图 7-13.(2)顶 点 在(0,0,-9)的 椭 圆 抛 物 面,如 图 7-14.图 7-13 图 7-14 以 x轴 为 中 心 轴 的 双 叶 双 曲 面,如 图 7-15.(4)单 叶 双 曲 面，如 图 7-16.图 7-15 图 7-16(5)顶 点 在 坐 标 原 点 的 圆 锥 面，其 中 心 轴 是 z轴，如 图 7-17.图 7-1760.作 出 下 列 曲 面 所 围 成 的 立 体 的 图 形：a(I)x2+y2+z2=2 与 z=O,z=(0)

37、;(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2 及 z=0;(3)z=4-x2,x=0,y=0,z=0 及 2x+y=4;(4)z=6-(x2+y2)x=0,)，=0,z=0 及 x+y=L解:(1)(2)(3)(4)分 别 如 图 7-18,7-19,7-20,7-21 所 示.图 7-18 图 7-19图 7-20 图 7-2161.求 下 列 曲 面 和 直 线 的 交 点:X2 V2 Z2,x-3 y-4 Z+2+=1与=r=-3 81 36 9 3-6 4,X2(2)+,16殳=1与=上=z+2T 9解:（1）直 线 的 参 数 方 程 为 代 入 曲 面 方 程 解 得 u

38、0,r=l.得 交 点 坐 标 为（3,4,-2）,（6,-2,2）.（2）直 线 的 参 数 方 程 为 代 入 曲 面 方 程 可 解 得，=1,得 交 点 坐 标 为（4,-3,2）.62.设 有 一 圆，它 的 中 心 在 z轴 上,半 径 为 3,且 位 于 距 离 X。），平 面 5 个 单 位 的 平 面 上,试 建 立 这 个 圆 的 方 程.解：设（x,y,z）为 圆 上 任 一 点，依 题 意 有 即 为 所 求 圆 的 方 程.X2 V2 Z2.63.试 考 察 曲 面 丁 一 玄+彳=1在 下 列 各 平 面 上 的 截 痕 的 形 状,并 写 出 其 方 程.平 面

39、x=2;(2)平 面)，=0;(3)平 面 y=5;(4)平 面 z=2.其 形 状 为 x=2平 面 上 的 双 曲 线.X2 茶,+=1（2）截 线 方 程 为 j 9 4y=。为 xOz面 上 的 个 椭 圆.-+-戸（3）截 线 方 程 为（3虫）2（272）2=5为 平 面 y=5上 的 个 椭 圆.E 竺=o(4)截 线 方 程 为 9 25=2为 平 面 z=2上 的 两 条 直 线.64.求 曲 线 X2+y2+z2=02j2+y2=Z2在 xO y面 上 的 投 影 曲 线.解:以 曲 线 为 准 线,母 线 平 行 于 Z轴 的 柱 面 方 程 为 X2+)2=故 曲 线

40、在 x y 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 为 22=065.建 立 曲 线 m+y2=z,z=x+l在 xO y平 面 上 的 投 影 方 程.解:以 曲 线 为 准 线,母 线 平 行 于 z轴 的 柱 面 方 程 为,1、5X2+y2=X+1 即(X 彳)2+y2-2 4(%-)2+V2=2-42=0习 题 1.判 断 下 列 平 面 点 集 哪 些 是 开 集、闭 集、区 域、有 界 集、无 界 集?并 分 别 指 出 它 们 的 聚 点 集 和 边 界:(x,y)lx#0;(2)(x,y)llWx2+w4;(3)(x,y)l)，r2;(4)(x,y)l(x-1)2+W 1 U(j

41、)|(x+1)2+W 1).解:开 集、无 界 集,聚 点 集:R 2,边 界:(x,y)140.既 非 开 集 又 非 闭 集,有 界 集,聚 点 集:(x,y)l 1 Wx2+y2W4,边 界:(x,y)lx2+y2=1)U(x,y)lx2+y2=4.开 集、区 域、无 界 集,聚 点 集:(x,y)W m,边 界:(x,y)ly=x2).(4)闭 集、有 界 集,聚 点 集 即 是 其 本 身,边 界:(x,)心 1)2+1 U(X,y)l(x+1)2+2=1.2.已 知/(X J)=X 2+、2-A tan 一,试 求/(比,).解:f(tx,ty)=(a)2+)2-tx tytan=

42、t2f(x,y).3.已 知,匕 卬)=,+卬,试 求/(x+y,x-y,町).解:./U+y)y)=(x+y)o+(。x+y+r)=(x+y)+(孙)2r.4.求 下 列 各 函 数 的 定 义 域:解:(l)D=(x,y)ly2-2x+l0.5.求 下 列 各 极 限:ln(l+eo),解:(1)原 式=,二 ln2.J I 2+O 2(2)原 式=+8.4-xy-4 1(3)原 式=hm 其=.ioxy(2+Jxy+4)4y-0 原 式(呼 1:D=2.X T O xy+1-1 原 式=limX T Oy rO(6)原 式=limK T Oy Osinxy 1-y=1x0=0.砂 1(Z

43、 X 2 4-V 2)22rX2y2.=h m-=0.(x 2+y2 把.*?*.0 2e(+)y-06.判 断 下 列 函 数 在 原 点。(0,0)处 是 否 连 续:Z=vX2y2X2y2+(y)20,X 2+w,2+=;解:(1)由 于 04sin(x3+户)X 2+y2X 3+X 2+y2 士 里 気 xi+Msin(x3+户)X3+户 1 I I 八 v sin(x3+y3)sinw 1又 hm(|x|+|引)=0,且 h m-=lim-=1,x-0 A-0*3+M-0 y-0故 lim z=0=z(。,).x-0y-0故 函 数 在。(,0)处 连 续.(2)lim z lim-

44、=1 w z(0,0)=0 x-0 w-0y-0u故。(,。)是 z 的 间 断 点.若 P(x,y)沿 直 线 产 趋 于(0,0)点,则 X2-X2lim z=lim-1-x-0=x-0若 点 尸(x,y)沿 直 线 y=-x趋 于(0,0)点,则 故 lim Z 不 存 在,故 函 数 z在。(0,0)处 不 连 续.A-0y-07.指 出 下 列 函 数 在 向 外 间 断:X2%2 4-0(iy(,)=x-y 2X3 4-y3(2 加 工 y)=y2+2xy2-2x 1(3次,y)=ln(l x2y2)；(4(xj)=0y=x-0 x f 0 X2故(0,)是 函 数 的 间 断 点

45、,而 在 其 余 各 点 处 均 连 续.8.求 下 列 函 数 的 偏 导 数:X(l)Z=X2y+；y2U 2 4-V2(2)5=-uv Z=x l n+y 2；x(4)z=lntan;y z=(l+;(6)=乙;(7)w=arctan(x-y)z；(8)u=x zdz.1解:訴=2孙+，&2x=X2-u v ds 1 V(2)5=4-=V U du V U 2ds而 U 1+一.V 2 U(3)在=11I炉 2+3+.1 1#2+y2 2 2+y2 2x=Jn(x2+)+X 2X2+y idz 率=1Xtan 1 2 2x sec2一 二 esc,y y y yy（5）两 边 取 对 数

46、 得 In z=y ln（l+xy）故=（1+盯）yln（l+）=（1+盯）=y2（l+xy）-i.dx x 1+孙 du.（6）k=inz,z*y,yoxdu.du=in z-zxy-x=xy-z-【dy dzdu 1/zx-yz-（7）=-z（x-y 上 一=-dx l+（x-y）z 2 1+（y）2zdu y y_1 凌 X2y29.已 知 求 证:x+ydu du.x+y=5udx dy证 明:du _ 2xy2（x+y）-x2y2 _ 2+2孙 3dx（x+y）2（x+y）2du X2y2+2yx3由 对 称 性 知 不=Q+y）du du _ 3尤 2y2（x+y）于 是、瓦+呑、

47、(x+y)23u 什+丄&10.设 名=6，丿,求 证:X2+y2=2z.dx dy由 z关 于 x,y的 对 称 性 得 故 4+y上 丄*;）dx dy X21 丄+丄+y2 e y）=尸=2乙 11.设 J x,y）=x+（y-1）arcsin 求 4 頂 1).解:则/(x/)=l+O=l.12.求 曲 线,_ X2+y 24 在 点(2,4,5)J=4处 的 切 线 与 正 向 x 轴 所 成 的 倾 角.=1,(2,4,5)设 切 线 与 正 向 X 轴 的 倾 角 为 a,7C则 tana=l.故 413.求 下 列 函 数 的 二 阶 偏 导 数:(1)Z=R4+y4-4x2*

48、；y(2)z=arctan;X(3)z=y*;(4)z=e 解:(1)一 dz=4人 x3-ios xy2,-d-z-=1、2、x 2-Soy2,dx dx2-=-16xydxdy由 x,y的 对 称 性 知 dz 1 yX2+y2dxd?z6x2A In 2 y,（4）“2&=e.H+y,14.设 4,%=种+卯+,求/(0,。,1),/(0,1,0),/(2,0,1)-火 ZZX解:f(x,y,z)=y2+2zx15.设 z=xln(),求 及 T-Z-.oxw y oxdy2dz y解:=*+In（孙）=1+In（），ox xy16.求 下 列 函 数 的 全 微 分:Z=巳+;二 4、

49、&解:（1）=+2羽=+尸 2）y(2)Z=.;5 2+y2 dz=2xev2+y2dx+2yeH+dy=2e述+(xdx+ydy)dz(1 y 2x xy dx(X 2+y2)2X2+J2(X2+y2)3/2 dz=-(ydx-xdy).(2+2)3/2du du.(3)=y g i=n x 1ox oy du=y2xyz-dx+In尤 zy d y+ln x-xyz Any-y-dz-du.zy 上 亠 1 x f y/.du=xz dx-lnx-xz-dy+n x-xz-dz.Z Z I Z 2 丿 17.求 下 列 函 数 在 给 定 点 和 自 变 量 增 量 的 条 件 下 的 全

50、 增 量 和 全 微 分:（1）z=X 2 _%y+2y2,x=2,y=-l,A r=0.2,Ay=-0.1;(2)z e冲,x=1,y=1,Av=0.15,Ay=0.1.解:(l)Az=(x+AX)2 _(x+Ar)(y+Ay)+2(y+Ay)2-z-9.6 8-8=1.68(2)Az=e(-t+A x)(y+A-)-Q x y=e(eo.265-1)=0.30e.利 用 全 微 分 代 替 全 增 量,近 似 计 算:(1)(1.02)3(0.97)2；4(4.05)2+(2.93”,(1.97)1.05.解:(1)设 外,y)=x 3,则 故 dfx,y)=3x2y2dx+2x3ydy=