高中数学圆锥曲线存在性问题的五种类型大题100题(解析版).pdf

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1、圆 锥 曲 线 存 在 性 问 题 的 五 种 类 型 大 题 100题 类 型 一:存 在 性 问 题 一 一 一 角 度 关 系 1-2 0题 2 2 21.已 知 双 曲 线。:叁 方=l(a0,60)的 右 焦 点 为 F(c,0),离 心 率 为 2,直 线 C=号 与。的 一 条 渐 近 线 交 于 点 P,且(1)求 双 曲 线。的 标 准 方 程；(2)设 Q 为 双 曲 线。右 支 上 的 一 个 动 点 在 立 轴 上 是 否 存 在 定 点 使 得 N Q F M=2 N Q M/？若 存 在,求 出 点 M 的 坐 标;若 不 存 在 请 说 明 理 由.【答 案】-冷

2、=1(2)满 足 条 件 的 点 M 存 在，坐 标 为(-1,0)【分 析】(1)设 直 线，=f 与 渐 近 线 y=立 的 交 点 为 P,两 方 程 联 立 方 程 组 可 求 得 尸(田，普)，再 由 I 尸 川=V 3 列 方 程 可 求 出=3,再 由 离 心 率 为 2 可 求 出 a?=l,从 而 可 求 出 双 曲 线 方 程，(2)设 Q。,如)(皿 1)为 双 曲 线。右 支 上 一 点，则 就 一 等=1,当 而=2,可 得 N Q M F=45,从 而 可 2 X 求 得 M(-l,0)，当 g#2 时，则 由 A Q F M=2/Q M F,可 得 一 一 甥=-

3、6厂,，然 后 分 现 金 0 和 的 一/1(y(佻=0 求 解 即 可(1)根 据 双 曲 线 的 对 称 性 不 妨 设 直 线 啰=号 与 渐 近 线 夕 的 交 点 为 产，(a2x=则 联 立:得：y=xa由|P尸|=禽 可 得：(曰+卜 曰=3,即 b2=3,由 离 心 率 e=2 可 得：4=.士”=4,故 a?=1ar a所 以 双 曲 线 的 标 准 方 程 为：力 24=1.(2)假 设 存 在 点 M(t,0)满 足 题 设 条 件.由 知 双 曲 线 C 的 右 焦 点 为 F(2,0).设 一(%劭)(%1)为 双 曲 线。右 支 上 一 点，则 局 一 等=1 当

4、 囚)=2 时，y)=3.因 为 Z.QFM=2ZQMF*=90,第 1页，共 116页所 以 NQV田=4 5,于 是 M F=Q P=|端=3,所 以=1.即 M(1,0).当 区)W 2 时，ta n/Q F A/=kQ F=-tanAQMF=kQXf=2 x 吧 因 为 N Q F M=2 Z Q M F,所 以 一 一=一,的 一(占)一(i)当 的 W 0时，上 式 化 简 得：3就 一 端 一(4+41)以)+41+产=02又 若 一 牛=1即：3就 一 瑞=3,带 入 上 式 得：一(4+4t)x()+3+4t+t2=0所 以 U i：；口 解 得 Q T 即 M(T。)(ii

5、)当 为=0 时，力=-1,即 Af(1,0)也 能 满 足 NQFM=2NQM F综 上 可 得：满 足 条 件 的 点“存 在，其 坐 标 为(-1.0).2.已 知 双 曲 线。:-卓=1(&0力 0)，4 2,0),凤 一|，一 空)，。偿，呼),D(1,0),E(4,0)五 点 中 恰 有 三 点 在。上.(1)求。的 方 程;(2)设 尸 是 Q上 位 于 第 一 象 限 内 的 一 动 点，则 是 否 存 在 定 点。(巾,0)(山 0),使 得 Z P Q A+P A E=*,若 存 在，求 出 点 Q 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】/一(-1,0)

6、,E(4,0)在 双 曲 线。上，则 4(2,0),(-1,0),E(4,0)只 能 是 双 曲 线。的 顶 点，.A(2,0),D(-l,0),E(4,0)三 点 中 只 能 有 一 点 是 顶 点，都 在 双 曲 线。上，,.,3(2j。(多 1支),8 c 两 点 关 于(0,0)上 对 称，由 双 曲 线 顶 点 的 位 置 特 征 分 析 可 知，D(-1,0)在。上,第 2页，共 116页将。(-1,0),8(-春,一 尊)代 入 双 曲 线。的 方 程 2=1 中，2 2/a b9 15 2则”，得 a?=1,匕 2=3,故 Q 的 方 程 为 一 一 q=1.-v=l3a 假

7、设 存 在 定 点 Q 满 足 题 意，N P Q 力+-y/P A E=y,/.2 Z P Q A+N P A E=n,2 Z P Q A=n-ZPAE,2 Z P Q A=ZPAQ.、当 P H _ L*轴 时，A(2,0).P(2,3),Z P Q A=:,在 R 力 A R Q A 中，|Q4|=|PA|,3=2 m,m=l,此 时 Q(1,0).、当 P 4 不 与/轴 垂 直 时，假 设 Q(1,0),满 足 2 N P Q A=ZPAQ.设 P(x0,y0),则 3就 一/=3,tan/PQ!=.鼻,2班 O/D/-1 4-H。+1 _ 2-(g+1)_ 2(g+1)_%a”Q

8、一(一 丫 一(叫+i)2诏-(的+1)2-3曷+3-2 一 的,又 ta.nZ.PAQ=亍 一,tan2ZFQA=tanZPAQ,即 2乙 P Q A=Z.PAQ,所 以 假 设 成 立.乙 二。故 存 在 定 点 Q(-l,0)，使 得 Z P Q A+十 乙 凡 4=3.已 知 椭 圆。：与+告=l(a b 0)的 离 心 率 为 冬,点 P(0,1)和 点 A(m,n)(m W 0)都 在 椭 圆 Ca b，上，直 线 P A 交 2 轴 于 点 M.(1)求 椭 圆 C 的 方 程,并 求 点 M 的 坐 标(用 山，n 表 示)；(2)设 O 为 原 点，点 B 与 点 4 关 于

9、 7 轴 对 称，直 线 P B 交，轴 于 点 N,问：？轴 上 是 否 存 在 点 Q,使 得 Z O Q M=N O N Q?若 存 在，求 点 Q 的 坐 标，若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】三+娟=1;河(岳,0)(2)存 在；Q(),2)或 Q(O,一 方)【分 析】5=1(1)根 据 椭 圆 的 几 何 性 质 得 出，詈=乎，即 可 求 出 桶 圆 方 程，再 求 出 R 4 的 方 程，即 可 得 解.d2=b2+c2(2)求 解 得 出“(壬 一，0),(白 一，0),运 用 图 形 得 出 tanNONQ=t a n/O Q M,强=三，求 解 J.T f J.

10、I Tl%N?/Q第 3页，共 116页即 可 得 出 即 VQ=XM-XN,寸+稼=1,根 据 7 7 2,m 的 关 系 整 体 求 解.6=1解：由 题 意 得 出 a 2a2=b2+c2解 得：a=V2,b=1,c=1 5+g=1,V F(O,l)和 点 A(zn,7z),1 n 号+n?=1,吭=2=2,；.VQ=V2,1 n故 沙 轴 上 存 在 点 Q,使 得 NOQM=ZONQ,Q(0,蓼)或 Q(0,-6)4.设 点 力、R 分 别 是 双 曲 线 9c23 y 2=i的 左 顶 点 和 右 焦 点，点 P 是 双 曲 线 右 支 上 的 动 点.(1)若 P 4 F 是 直

11、 角 三 角 形，求 点 P 的 坐 标；(2)是 否 存 在 常 数 九 使 得/P 7 M=/iNP4尸 对 任 意 的 点 P 恒 成 立？证 明 你 的 结 论.【答 案】(1,1)或 得，士 乎)；存 在，证 明 见 解 析.【分 析】结 合 双 曲 线 方 程 9/-3=1,分 类 讨 论 NAPR=90和 A F P=90两 种 情 况，即 可 求 解；(2)首 先 讨 论 当 当。尸，4 轴 时，求 出 心 然 后 讨 论 P R 不 垂 直 x 轴 时 的 情 况，根 据 双 曲 线 对 称 性，令 点 P 在 第 一 象 限，分 别 表 示 出 ta n/P F A,ta

12、n/P A F,再 结 合 点 P 在 双 曲 线 上，即 可 求 解.【详 解】第 4页，共 116页(1)设 尸 点 坐 标 为(x,y),由 已 知 呜,0),则 A P=(x+y.y),F P=(x-y,y),若 Z.AFP 90，则 c=号,代 入 9x2 3y2=1 得 y=1,.P点 坐 标 为(41).0若 N4PF=90。,则 而 同=(6+勘(0：4)+4=0.|(x+-y)(x-+y2=0 5 _ _ L V3由 3 八 3 f x=y=19炉 _ 3y2=1 12 40 点 坐 标 为(右，士 呼.综 上，P 点 坐 标 为(-y,l)或(吉,土).(2)当 产 R J

13、_/轴 时，由 知 PF=AF,Z.PFA=2Z.PAF=.以 下 证 明：当 P R 不 垂 直 于 N 轴 时，NPE4=2NP4F也 成 立.设 P 点 坐 标 为(曲,防)，由 对 称 性，假 设 P 在 第 一 象 限，且 P F 不 垂 直 于 力 轴，:.tanZPFA=ta.nZ.PAF 1,-3瑞=1,的+9结 合 正 切 二 倍 角 公 式 联 立 以 上 三 式 可 得,tan2ZFlF=-=ta.nZ.PFA,出 厂 至 A P F A=2APAF.综 上，存 在 3=2,使 得/兄 4=2/已 4尸 对 任 意 的 点。恒 成 立.5.已 知 椭 圆 C:-4+-=l

14、(a50)的 离 心 率 为 3，左、右 焦 点 分 别 为 FX,F2,O 为 坐 标 原 点，点 P 在 az b 2椭 圆。上,且 满 足|朋|=4,|两 1 1 两|一 2两 网=0.(1)求 椭 圆。的 方 程；(2)已 知 过 点 0)且 不 与 工 轴 重 合 的 直 线 Z与 椭 圆。交 于 M,N 两 点，在 c 轴 上 是 否 存 在 定 点 Q,使 得 N M Q O=N N Q O.若 存 在，求 出 点 Q 的 坐 标;若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】(1)祭+毯=1；(2)存 在，。(8,0).1O，/【分 析】由 题 设 条 件 可 得 cosNEP=萼

15、 F=4，即/口。=60。，结 合 余 弦 定 理 以 及|。理=20 4*=*,可 得 解 a,b,c;(2)转 化 A M Q O=N N Q O 为 上 崂+M Q=0,用 点 坐 标 表 示 斜 率 可 得 第 5页，共 116页%Q+kNQ=五 吃+豆 勺;=2为 断+（2 m）（幼+怯）（物 1 一 7 n）（如 2-m）=0,将 直 线 和 椭 圆 联 立，结 合 韦 达 定 理 即 得 解.【详 解】（/11）由 l r n 尸 E-PFlCOSZ.FPF2 z=；=r郎|朋|十 知 N E P 月=60,在 EPE；中，|PE|=2a 4*=5,4c2=16+（2a 4）2

16、4（2a 4）,解 得 a=4,c=2,b2=12,所 以 椭 圆 C：恚+招=1;(2)假 设 存 在 点 Q(m,0)满 足 条 件，设 直 线，方 程 为 工=切+2,(x=ty+2设 刊(孙 幼),N(g,例 乂 x2 y2,116+I2=1消 去 力 有(3t2+4)y2+12ty-36=0,+92=-12t3/+4，助 1/2-363产+4 kM”Q 4-卜”改=的 _-m-F纺 x2-m2如 曲+（2-m）（i+物）（切 i-rn）（如 2一 馆）-72t 12（2-m）t3#+4 3/+4 n（切 16）（如 2-6）西 为 2 M Q O=2 N Q O,所 以 A；A/Q+

17、kN Q=0,即 一 72t 12（2 m）i=0,解 得 m=8.所 以 存 在 Q(8,0)，使 得 乙 M Q O=NNQO.6.已 知 椭 圆。:匕+4=l(ab0)的 上、下 焦 点 分 别 为 后、月，离 心 率 为 平，点 G 是 椭 圆 上 一 点,GF；网 的 周 长 为 4通+2n.(1)求 椭 圆。的 方 程；(2)过 点 R(0,6)的 动 直 线 I交。于 跖 N 两 点,y 轴 上 是 否 存 在 定 点 S,使 得 Z R S M+2 R S N=兀 总 成 立？若 存 在，求 出 定 点 S；若 不 存 在,请 说 明 理 由.【答 案】(1)告+年=1；(2)

18、S(0,2).【分 析】(1)由 离 心 率 e=苧，得 到 a=血。，再 由 GEE的 周 长，得 到 2a+2c=4/+276,求 得 a,b,c的 值，即 可 求 得 椭 圆 的 方 程；(2)假 设 存 在 这 样 的 点 S(0,)，使 得 R S M+4RSN=n,当 直 线 Z的 斜 率 存 在 时，设 Z:y=L+6,联 第 6页，共 116页立 方 程 组，得 到 为+g=12k 24 3,XXo=-奴+2 fc2+2,由 Z.RSM+Z.RSN=7L,得 到 kMS+Ms=0,代 入 求 得 12产+2x 2)=0,得 到 力=2,得 出 S(0,2);当 斜 率 不 存

19、在 是，得 到 直 线/过 点 S(0,2),即 可 得 到 结 论.【详 解】(1)由 题 意，椭 圆 C：5+工=1的 离 心 率 为 冷，可 得=挈，即 a=Cc,又 由 点 G 是 椭 圆 上 一 点，GEE的 周 长 为 4代+2V6,可 得 2a+2c=4 3+2/6,即 2V2c+2c=4/3+2遥，解 得 c=V6,所 以 Q=2V3,b2=a2-c2=6,、y2 T2所 以 椭 圆 的 标 准 方 程 为-2+=1.设”(初 项),N(J；2,仇)，且 凡(0,6),假 设 存 在 这 样 的 点 S(0,t)，使 得 N H S M+N K S N=孙 当 直 线 4的 斜

20、 率 存 在 时，设，：y=hr+6,(y=kx+6联 立 方 程 组(y2 x2，整 理 得 出+2)/+12+24=0,运+1可 得 力 l+%2=12fe村+20/1 人，、，、=144fc2 96(k-+2)=48(妒-4)0,K 乙 因 为 A R S M+2 R S N=兀，可 得 kMS+kzs=0,即 3=+也 工=0,刈 12整 理 得 电(%)+1(%土)=x(kx1+6 t)+x2(kx2+6 t)=2kxX2+(6 t)(Xi+x2)=2k 24k2+212kfe2+21+(6-。%(-2)=O,因 为 k0,所 以 t=2,即 点 S(0,2);当 斜 率 不 存 在

21、 是，此 时 直 线，的 方 程 为 工=0,直 线 Z过 点 S(0,2).综 上 可 得，在 y 轴 上 存 在 定 点 S(0,2),使 得 N R S M+N R S N=兀 总 成 立.7.已 知 双 曲 线 C：耳 鸟=l(a 0,6 0)的 实 半 轴 长 为 1,且。上 的 任 意 一 点 M 到 C 的 两 条 渐 近 线 a b的 距 离 乘 积 为,4(1)求 双 曲 线。的 方 程；(2)设 直 线，过 双 曲 线。的 右 焦 点 F,与 双 曲 线。相 交 于 P,Q两 点，问 在 立 轴 上 是 否 存 在 定 点。，使 得 2 P D Q 的 平 分 线 与 7

22、轴 或?/轴 垂 直？若 存 在，求 出 定 点 D 的 坐 标;否 则，说 明 理 由.2【答 案】/一 号=1；(2)存 在 点,0)使 得 4 P D Q 的 平 分 线 与。轴 或 沙 轴 垂 直.【分 析】(1)由 已 知 得 a=1,渐 近 线 为 历;士 夕=0,利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 列 方 程 即 可 求 得 6,进 而 可 得 双 曲 第 7页，共 116页线。的 方 程;假 设 存 在(i,0)满 足 题 意，可 得 kP D+%D=0,设 设 P(即 功)，Q(g,仇)，直 线 I:y=fc(s-2)与 双 曲 线 方 程 联 立，消 去 y 可 得

23、 关 于 z 的 二 次 方 程，得 出+布、工 厂 电 代 入 如 0+kQ D=0 即 可 求 解.【详 解】2(1)由 题 意 可 得：a=l,所 以 双 曲 线。:/一=1所 以 渐 近 线 方 程 为 bg=0,、几 A i 1ali 历 设 一 端|bg+加 3 日 J 局 一 瑞|段”(如 如，则/寸 X R 寸 一 W，即*3_因 为 M(g,如 在 双 曲 线 上，所 以 若 一 点=1,即 面-必=妁 人 2 Q所 以”，解 得：=3,O+1 42所 以 双 曲 线 C 的 方 程 为：丁 一 q=1O 假 设 存 在 使 得 N P O Q 的 平 分 线 与 2 轴 或

24、 沙 轴 垂 直，则 可 得)+牝 0=0,尸(2,0),设 PQi,),Q(力 2,优)，直 线 Z：U=k(一 2),由?可 得：（3 k2）/+或 2业 23=0,13N 一 y=34 k 2所 以=门 4炉+3TF3_,所 以 kpD+kQD=x1 t以=y g-t）+&3-1）二 x2t XiX2-力（电+x2）+F0,仇 即 kx 2）3%）+k（2 2）（优 3）=0 恒 成 立,整 理 可 得：k2xx2（e+2）（力 1+g）+4灯=0,所 以 q 2 x-+2）x7#+4 q=oL k-3 3 k3 fe 3所 以 8炉+6 4必。+2)+4必 k23)=(),所 以 6-

25、=0,解 得 力=4，所 以 存 在 点。(3,()4更 得/P D Q 的 平 分 线 与 1 轴 或 g 轴 垂 直.8.已 知 点 4 一 2,0),B(2,0),动 点 同 切 满 足 直 线 A M 和 的 斜 率 之 积 为 一 十,记 M 的 轨 迹 为 曲 线 C.(1)求 曲 线。的 方 程；第 8页，共 116页(2)问 在 第 一 象 限 内 曲 线。上 是 否 存 在 点 P 使 得 A P B A=2NPAB,若 存 在，求 出 点 P 的 坐 标，若 不 存 在,请 说 明 理 由.【答 案】4+娟=1(2);(2)存 在,P(笔 景).【分 析】(1)设 河(工,

26、切，根 据 斜 率 之 积 为 一 即 可 求 得 方 程；(2)设 P(rr，u)(2 0,夕 0),由 题 可 得 tan/PZM=ta,n2Z.PAB,结 和 已 知 可 得,3x2+4x y2 4=0,与 曲 线。联 立 即 可 求 解.【详 解】解：(1)设 M(z,y),2由 题 意 可 得，kA M-kliM=甥.-=一 7 彳=一；(工 2),x-r 2 X 2 x 4 4化 简 可 得 与+才=1(。#2),2故 曲 线 C 的 方 程 为 用-+娟=1(#2);49(2)设 P(工,“)3 o,n 0),且 4+才=1Q 片 土 2),ta.nZ.PBA=-,tanZFXB

27、=,2-x x+2因 为 Z.PBA=2Z.PAB,所 以 tanNP8/l=tan2ZFAZ5,2 一 即-7T=-2 化 简 可 得 3X2+4X 一 炉 一 4=0 2-x y 2由 可 得，13/+16土-2()=0,解 得 a;=黑 或 c=-2(舍)，此 时 y=善，所 以 第 一 象 限 内 曲 线。上 存 在 点 P(41，4 1)使 得 N P B A=2APAB.JLD l o z9.已 知 椭 圆 C:/+手=l(a b 0),点 冏(0,1)为 焦 点，过 回 且 垂 直 于 y 轴 的 直 线 交 椭 圆 于 S,T 两 点，且 的 放=一!，点 P(JJ,0)为 立

28、 轴 上 一 点，直 线?=仇(纨 芹 0)与 椭 圆。交 于 不 同 的 两 点 4B.(1)求 椭 圆 C 的 方 程；(2)直 线 P A、P B 分 别 交,轴 于 Al、N 两 点，O 为 坐 标 系 原 点，问：轴 上 是 否 存 在 点 Q,使 得 N O Q N+A O Q M=与？若 存 在，求 出 点。的 坐 标;若 不 存 在,请 说 明 理 由.【答 案】+4=1；存 在,Q(2,0).【分 析】第 9页，共 116页 由 格 丽=一”,得|RS|=曰=殳，又 c=l,根 据 桶 圆 中 a,b,c之 间 的 关 系 即 可 求 解；4/Q(2)假 设 存 在 4 轴

29、上 的 点 Q(m,0)满 足 题 意，由 对 称 性，设 出 4、B 的 坐 标，求 出 直 线 产 人 P B 的 方 程,令 4=0 求 出 M、N 的 坐 标，再 由 Z O Q N+NOQA/=,得 t a n/O Q N=tanZO M Q,即|OQ=ON/OM,结 合 点 力(而,加)在 椭 圆 上 即 可 求 解.【详 解】解：由 题 意，格 而=一|我|2=一?,即|E S|=曰=8=至 二 工 解 得 a=2,b=4，4/Q QV2 x2所 以 椭 圆。的 方 程 为=1；假 设 存 在 点 Q 使 得 NOQN+/。=，设 Q(m,0),因 为 Z.OQN+Z.O Q M

30、=专,所 以 N O Q N=NOMQ,则 ta n/O Q N=tanZO M Q,即，所 以 OQ2=ON/OM.|OQ|OM因 为 直 线=现 交 椭 圆 C 于 A,3 两 点，则 A,6 两 点 关 于 9 轴 对 称.设 4 g，g0)田(一 小%)(与#V 3),因 为 F(V3,0),则 直 线 P 4 的 方 程 为：y=纳 一/)，令 c=0,得 统/=一 x0 Vo xn V3直 线 P B 的 方 程 为：y=-r-(x-V3)，令 I=0,得 以=一、，X Q-V 3 v 3因 为 Q Q|2=Q N O M|,所 以 病=要 1,3-痂 又 因 为 点 4 的,加)

31、在 椭 圆 C：-+4-=1上，所 以 3*=1 2-4 so,4 o所 以 7 7 7?=W 与=4,即 7 7 2=2,3一 九 所 以 存 在 点 Q(2,0)，使 得 NOQN+A O Q M=成 立.2 21 0.已 知 双 曲 线。:点 一 方=l(a 0,6 0)的 离 心 率 为 2,过 点 F(0,V 6)且 斜 率 为 1的 直 线 Z交 双 曲 线。于 4,8 两 点.且 苏 丽=3.(1)求 双 曲 线。的 标 准 方 程.(2)设 Q 为 双 曲 线 C 右 支 上 的 一 个 动 点，F 为 双 曲 线。的 右 焦 点，在 c 轴 的 负 半 轴 上 是 否 存 在

32、 定 点”.使 得 A Q F M=2ZQ7WF?若 存 在，求 出 点”的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由.2【答 案】(1)/一 4=1;存 在，坐 标(-1,0).O【分 析】第 10页，共 116页(1)由 离 心 率 可 设 双 曲 线 C 的 方 程 为 一 s=1,将 直 线=rr+述 与 双 曲 线。联 立，结 合 瓦？ar 3a9=3 可 解 得 a,进 而 可 得 双 曲 线 C 的 标 准 方 程；(2)在 工 轴 的 负 半 轴 上 假 设 存 在 定 点 M 满 足 题 意，当 Q F 垂 直 于 7 轴 时，易 得 M(-1,O)，当 Q F 不 垂 直

33、 于/轴 时，由 斜 率 公 式 和 二 倍 角 正 切 公 式 也 可 解 得 M(-1,O).【详 解】设 双 曲 线。的 焦 距 为 2c.由 双 曲 线 C 的 离 心 率 为 2 知 c=2a,所 以 b=V3a,72 y2从 而 双 曲 线。的 方 程 可 化 为 匹 7 一 系 7=1.or 3a仅=工+血，令 工 2 y2 得 2/_ 2 述 工 _6 _ 3 标=0.g 一 左=1设 A(如 幼)，以 如 功).因 为 A=(2A/6)2 4 x 2 x(6 3a.2)=72+24a.2 0,所 以 i+色=通，x-x2=3-1-a2.因 为 O 4 O B=3,所 以 xx

34、x2+yy2=+(为+VO)(X2+V6)=3,于 是+A/6(IT 1+。2)+6=2 x(3(i)+V6 x V6+6=3,解 得 a=1,2所 以 双 曲 线 C 的 标 准 方 程 为 j?=i.O(2)假 设 存 在 点 M U，O)V O)满 足 题 设 条 件.由 知 双 曲 线。的 右 焦 点 为 尸(2,0).设 Q(g,%)(gl)为 双 曲 线 C 右 支 上 一 点.当 g=2 时，因 为/.QFM=2 N Q M F=90,所 以 NQMF=45,于 是 M F=Q F=3,所 以 t=-l.即 M(-lt0).当 g W 2 时，tanNQFAf=kQ F=ta.n

35、ZQMF=kQ M=0 z g 因 为 N Q R M=2 N Q M R,所 以 一 2 x 4y x0t-力 斯 一 2 y。将%=3汨-3 代 入 并 整 理 得 一 2渥+(4+2%)()-4t=-2就 一 2垓()+尸+3,第 11页，共 116页所 以 f 4+办 2一/，2 2t 解 得 力=-1,即 M(-1，O)综 上，满 足 条 件 的 点 M 存 在，其 坐 标(一 1,0).11.在 直 角 坐 标 系 中，动 圆 Q 经 过 点(0,1)且 与 直 线？=-1 相 切.(1)动 圆 Q 圆 心 Q 的 轨 迹 为 曲 线 C,求 曲 线。的 方 程；直 线 Z：y=k

36、z+a(a 0)交 曲 线。于“，M y 轴 上 是 否 存 在 一 点 P,使 得 当 k 变 动 时，都 有 N O P M=N O P N?说 明 理 由.【答 案】/=4 y;(2)存 在，理 由 见 解 析.【分 析】(1)利 用 抛 物 线 的 定 义 即 可 求 解.(2)设 P(0,b)为 符 合 题 意 的 点，”(如),N(g,)，直 线 P M,P N 的 斜 率 分 别 为 品，比,将 直 线 沙=山 4+a 与 C 联 立，利 用 韦 达 定 理 得 出 品+A=)，使 b=-a 即 可 求 解.【详 解】(1)设 动 圆 Q 圆 心 Q(,切，则 Q 到 定 点(0

37、,1)的 距 离 等 于 到 直 线 U=-1,圆 心。的 轨 迹 为 抛 物 线，即 与=1,即 p=2,所 以 a?=4y(2)存 在 符 合 题 意 的 点，证 明 如 下：设 P(0,6)为 符 合 题 意 的 点，M g%),N(如 如,直 线 P M,P N 的 斜 率 分 别 为 由，比,将 夕=far+a 代 入。得 方 程 整 理 得 土 2 4kir-4a=0./+g=4%,XtX2=4a.g=三 十 X-22kg 2+(a b)Qi+g)_ fc(a+b)XX2 a当 b=a 时，有 岛+E=0,则 直 线 PA/的 倾 斜 角 与 直 线 P N 的 倾 斜 甭 互 补

38、,故 N O P M=NO尸 N,所 以 尸(0,一 Q)符 合 题 意.12.已 知 抛 物 线 G：姬=2 p/(p 0)与 离 心 率 为 乌 的 椭 圆。2：瑞=l(a b l)的 一 个 交 点 为 P(l,i),点 p 到 抛 物 线 G 的 焦 点 的 距 离 为 2.(I)求 6 与 G 的 方 程；(n)设 O 为 坐 标 原 点,在 第 一 象 限 内，椭 圆 C2上 是 否 存 在 点 4,使 过。作。工 的 垂 线 交 抛 物 线 G 于 点 5,直 线 交 y轴 于 点 E,且 Z.OAE=4 E O B?若 存 在，求 出 点 A 的 坐 标;若 不 存 在，请 说

39、 明 理 由.2【答 案】(I)G：/=4 2,G 管+晋=i；(n)不 存 在 点 Ay【分 析】第 12页，共 116页(I)由 抛 物 线 的 定 义 可 知 到 焦 点 的 距 离 等 于 到 准 线 的 距 离，代 入 准 线 方 程 可 求 出 p 值，从 而 求 出 抛 物 线 方 程;代 入 抛 物 线 方 程 可 求 出。点 坐 标，代 入 椭 圆 方 程，结 合 离 心 率 联 立 可 解 出 a,b,从 而 求 出 椭 圆 方 程；(n)直 线 A B与 2轴 交 于 点。，因 为 且 有/O A B=N E O D=90,可 得 出 Z.OAD Z.DOA,Z.DOB

40、N D B O,即 D 为 线 段 4 B 中 点，则 有 yA珈,设 直 线 0 4 的 方 程 为：y 航(A:0),求 出 直 线 0 8 的 方 程，分 别 与 椭 圆 和 抛 物 线 联 立，求 出 点 坐 标，代 入 求 解 即 可.【详 解】解：(1)因 为 抛 物 线 方 程 为 y2=2px(p0),则 准 线 方 程 为:x=考，点 P(l)到 焦 点 的 距 离 等 于 1(/=9会 联 立 求 解：缶=9到 准 线 的 距 离，所 以 有 1+今=2,解 得：p=2,抛 物 线 方 程 为：y2=4x.则 P(l,2)或 P(l,-2),且 点 P 在 椭 圆 上，有

41、7+3=1,又 椭 圆 离 心 率 为 平，即 g=即 与=ar b/z a,所 以 椭 圆 方 程 为=1.2(D)由 题 意，直 线。4 斜 率 存 在 且 大 于 0,设 直 线 0 4 的 方 程 为：y=fc r(k 0),因 为 O A _L O B,则 有 直 线 O B的 方 程 为：4=r C由 1由/g 72y=kxg2=4二 I T 得:y-kx得:3kVl+2k2 Vl+2k-x=33 设 直 线 4 3 与 a;轴 交 于 点。，因 为 在 第 一 象 限 内，满 足 O A E=A E O B,又 N O/6=N E O D=90,所 以 有 Z O A D=ADO

42、A,/.DOB=/O B O,所 以 4。=O。=，即。为 线 段 A B 中 点，所 以 yA=VB,3kJi+2k2即=4k,V1+2fc2=-7-b 0)经 过 点 A(2，0)，且 离 心 率 为 ar bz 2(1)求 椭 圆 E 的 方 程；(2)过 点 P(4,0)任 作 一 条 直 线 Z与 椭 圆。交 于 不 同 的 两 点 M,N.在/轴 上 是 否 存 在 点 Q,使 得 A P Q M+Z P Q N=180?若 存 在，求 出 点 Q 的 坐 标;若 不 存 在,请 说 明 理 由.【答 案】亨+=1；存 在，Q(l,0).4 Z【分 析】(1)由 顶 点 得 a,结

43、 合 离 心 率 求 得 c,然 后 可 求 得 b,得 椭 圆 方 程；(2)存 在 点 Q(?n,0)满 足 题 意，题 意 说 明 直 线 Q M和 Q N的 斜 率 存 在，分 别 设 为 由，灯.等 价 于 母+%第 13页，共 116页=0,设 M(N1,劭)，N(g,例)，设 直 线，的 方 程 为 U=4),与 椭 圆 方 程 联 立 消 元 后 应 用 韦 达 定 理 得 为+x2,XX2，代 入+七=0 求 得 参 数 m,得 定 点.【详 解】(1)由 条 件 可 知，椭 圆 的 焦 点 在 力 轴 上，且 Q=2,又，=系 得 仁=，.由 一 b2=c2 得 b2=a

44、c2=2.所 求 椭 圆 的 方 程 为 1;(2)若 存 在 点 Q(m,0),使 得 Z.PQM+4P Q N=180,则 直 线 Q M和 Q N的 斜 率 存 在，分 别 设 为 用，比.等 价 于 际+k2=0.依 题 意，直 线/的 斜 率 存 在，故 设 直 线，的 方 程 为 y=4).仅=3 4)由 小 姬 I 丁+二 一 1得(2k2+l)x2 16k2x+32k2 4=().因 为 直 线 Z与 椭 圆。有 两 个 交 点，所 以 A 0.即(16炉)2 4(2妒+l)(32fc2-4)0,解 得 fc2+(g rn)yi=0,当 k#0 时，2必 2+4)(1i+x2)

45、+8m=0,2 x32k24.16fc2,Q n r-(m+4)xw r+8 m=0化 简 得,8(m 1)2fc2+l所 以 772=1.当 4=0 时，也 成 立.所 以 存 在 点 Q(1,0),使 得 NPQM+4P Q N=180.2 21 4.已 知 分 别 是 椭 圆。:与+旨=l(a b 0)的 左、右 焦 点，点 P(V 6,1)在 椭 圆。上，且 a b 的 垂 心 为 H(V 6,2).(1)求 椭 圆。的 方 程；(2)过 点 4 0,1)的 直 线 K斜 率 为 卜)交 椭 圆。于 M，N两 点，在 V轴 上 是 否 存 在 定 点 E,使 得 射 线 EA平 分 N

46、 M E N?若 存 在，求 出 点 E 的 坐 标;若 不 存 在,请 说 明 理 由.第 14页，共 116页【答 案】（1）等+与=1；（2）存 在,（0.4）.o 4【分 析】利 用 垂 心 的 性 质 和 斜 率 公 式 列 式 解 得。2=4,再 根 据 点 P（C,1）在 椭 圆。上，可 求 出 a2=8,b2=4,从 而 可 得 结 果；2（2）假 设 存 在 定 点 E 满 足 题 意，其 坐 标 为（0,771）,联 立 直 线，：y=k+1与 椭 圆：9+亍=1,利 用 韦 o 4达 定 理 得 到 皿+X,与 t的，根 据 斜 率 公 式 得 到 kM E+fcN B=

47、2Ml+1 匹），再 根 据 2吊 1+O1 m3)=。对 卜 恒 成 立 可 解 得 结 果.【详 解】（1）设 R（-c,0），凡（c,0）,由 式 尸 片 的 垂 心 为 H（通 2）,得 E H L PF2,2X_ J _ c V6 V6-所 以 际 而 外=一=1,则 6 c?=2,解 得?=4,c所 以/=4.由 点 P（n,l）在 椭 圆 C 上，得 号+才=1，解 得。2=8,=4,、7*2 V2故 椭 圆 C 的 方 程 为+-4-=1.8 4（2）假 设 存 在 定 点 E 满 足 题 意，其 坐 标 为（0,m）,易 知 直 线 Z的 方 程 为 g=k%+1,代 入+j

48、-=1,o 4消 去 y,得（1+2k2）x2+Akx 6=0,=64fc2+24 0,6设“31,必），N G，阴），则 为+N2=-4k中 彦 为 电=一+2肥 所 以 kfE+kNE m+仍 一 kx1+1-m+kx2+1-mXy Xo2k+(1 TR,=2k+力 IX-24fe=2k+(1 m)1=2k+等(1 m)=2Ml+6_ J1ml+2fc23由 已 知 得 2k（1+1m）=0 对 任 意 的 k 恒 成 立,所 以 1+=0,解 得 m=4,1 m33此 时 点 E 的 坐 标 为（0,4）.所 以 存 在 定 点 E 满 足 题 意，其 坐 标 为（0,4）.15.已 知

49、 椭 圆 0：5+，=1（0。）的 短 轴 长 和 焦 距 都 为 2,直 线”=如 与 椭 圆 交 于 不 同 的 两 点 4,B.第 15页，共 116页(1)求 椭 圆。的 方 程；(2)已 知 P(O,l),直 线 P A P B 分 别 交?轴 于 M,N两 点，问：y 轴 上 是 否 存 在 点。，使 得 NOQN+NOQM=5?若 存 在，求 出 点。的 坐 标;若 不 存 在,请 说 明 理 由.答 案】/+靖=1；(2)存 在；Q(o,V 2).【分 析】(1)利 用 短 轴 长 和 焦 距 都 为 2,求 得 村=l,c2=1代 入 a?=+c?=2,从 而 求 得 椭 圆

50、 方 程；(2)设 出 直 线 方 程，和 椭 圆 方 程 联 立，利 用 韦 达 定 理 结 合 P、N、5 三 点 共 线 将 问 题 转 化 为|OQ=ONOM,代 入 数 值 即 可 求 得 结 果.【详 解】解：由 题 意 2b=2c=2,解 得 从=1,麻=1./=/+=22所 以 椭 圆。的 方 程 为 多+娟=1.(2)依 题 意 直 线 P 4 的 斜 率 存 在 且 k#0,设 P A:y=kx+1,4(羯),B(羽)，一 g0).y=kx+l由 4 d 1得(2奴+助/+妹/二。，5+矿=1所 以 的=，带 入 夕=far+1得 1,2/r+l 2K+1因 为 P、N、8