高考一轮数学三角函数专题的综合运用(精练).pdf
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1、5.6 三 角 函 数 专 题 的 综 合 运 用(精 练)【题 组 一 实 际 生 活 中 的 解 三 角 形】1.(2021 福 建 漳 州 市)为 了 增 强 数 学 的 应 用 性,强 化 学 生 的 理 解,某 学 校 开 展 了 一 次 户 外 探 究.当 地 有 一 座 山,高 度 为 O T,同 学 们 先 在 地 面 选 择 一 点 A,在 该 点 处 测 得 这 座 山 在 西 偏 北 21.7。方 向,且 山 顶 T 处 的 仰 角 为 30。;然 后 从 A 处 向 正 西 方 向 走 140米 后 到 达 地 面 3 处,测 得 该 山 在 西 偏 北 81.7方 向
2、,山 顶 T 处 的 仰 角 为 60。.同 学 们 建 立 了 如 图 模 型,则 山 高 O T 为()A.20万 米 B,25万 米 C.20后 米 D.2 5 米【答 案】C【解 析】设 山 O T 的 高 度 为 鼠 在 肋 AOT中,N7XO=3()。,A O=,tan 30在 用/XBOT 中,N7BO=60,B O=-=h.tan 600 3在 AAOB 中,ZA03=81.7 21.7=60,由 余 弦 定 理 得,A B2=A O2+B O2-2-AO-BO-cos600;=3h2+-h2-2xy/3hx-hx-,化 简 得 2=2x1402;3 3 2 7又(),所 以
3、解 得/?=140XJ=20VT;即 山 O T 的 高 度 为 20后(米).故 选:C2.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习)一 辆 汽 车 在 一 水 平 的 公 路 上 由 北 向 南 行 驶,在 公 路 右 侧 有 一 高 山.汽 车 行 驶 到 4 处 测 得 高 山 在 南 偏 西 15方 向 上,山 顶 处 的 仰 角 为 60,继 续 向 南 行 驶 300m到 6 处 测 得 高 山 在 南 偏 西 75方 向 上,则 山 高 为()A.1 5 0(7 3+V 2)m B.1 0 0(7 3+V 2)m C.1 5 0(7 6+V 2)m D.1 0 0(7 6+V
4、 2)m【答 案】C【解 析】如 图 所 示:设 A 处 到 山 顶 处 下 方 的 地 面 C距 离 为 何,则 山 高 氐 m,在 AJ5C 中,ZACB=75。一 15=601 ZA5C=180-7 5=105,AB=300,x由 正 弦 定 理,得.sin 105300sin60sin 105=sin 60 cos 45+cos 60 sin 45V6+V24所 以 x=5 0(3 0+),怎=150(#+0).故 选:C3.(2021 全 国 高 三 专 题 练 习)海 岛 算 经 是 中 国 学 者 刘 徽 编 撰 的 一 部 测 量 数 学 著 作,现 有 取 自 其 中 的 一
5、 个 问 题:今 有 望 海 岛,立 两 表 齐,高 三 丈,前 后 相 去 千 步,令 后 表 与 前 表 参 相 直,从 前 表 却 行 一 百 二 十 三 步,人 目 着 地,取 望 岛 峰,与 表 末 参 合,从 后 表 却 行 一 百 二 十 七 步,人 目 着 地,取 望 岛 峰,亦 与 表 末 参 合,问 岛 高 几 何?用 现 代 语 言 来 解 释,其 意 思 为:立 两 个 3 丈 高 的 标 杆,之 间 距 离 为 1000步,两 标 杆 与 海 岛 的 底 端 在 同 一 直 线 上.从 第 一 个 标 杆 处 后 退 123步,人 眼 贴 地 面,从 地 上 月 处
6、仰 望 岛 峰,人 眼,标 杆 顶 部 和 山 顶 三 点 共 线;从 后 面 的 一 个 标 杆 力 处 后 退 127步,从 地 上 8 处 仰 望 岛 峰,人 眼,标 杆 顶 部 和 山 顶 三 点 也【答 案】D【解 析】设 海 岛 的 高 为/z步,由 题 意 知,F M=G N=5步,4 0=123步,B N=127步,肱 v=1000:艮 则 也 D C“BN D C 12nhnC=-=-色,空=网,即 A C=AC D C BCA M D C 123 F MG N55则 1000=&5 5-127+123,解 得=1255,即 海 岛 的 高 为 1255步,故 选:D.4.(
7、2021 河 南 高 三 二 模)欲 穷 千 里 目,更 上 一 层 楼”出 自 唐 朝 诗 人 王 之 涣 的 登 鹳 雀 楼,鹳 雀 楼 位 于 今 山 西 永 济 市,该 楼 有 三 层,前 对 中 条 山,下 临 黄 河,传 说 常 有 鹳 雀 在 此 停 留,故 有 此 名.下 面 是 复 建 的 鹳 雀 楼 的 示 意 图,某 位 游 客(身 高 忽 略 不 计)从 地 面。点 看 楼 顶 点 A 的 仰 角 为 30,沿 直 线 前 进 79米 到 达 E 点、,此 时 看 点。的 仰 角 为 45,若 BC=2 A C,则 楼 高 A B 约 为().A.65 米 B.74 米
8、 C.83 米 D.92 米【答 案】B【解 析】设 A C 的 高 度 为 8,则 由 已 知 可 得 AB=3x,BC=BE=2x,BD=-=3后,tan ZADB所 以 DE=BD-BE=3-2 x=79,解 得 x=793-224.7所 以 楼 高 A3a3 x 24.7=74.1=74(米).故 选:B.5.(2021 广 东)如 图,某 人 在 垂 直 于 水 平 地 面 A B C 的 墙 面 前 的 点 A 处 进 行 射 击 训 练,已 知 点 A 到 墙 面 的距 离 为 A 3,某 目 标 点 尸 沿 墙 面 的 射 击 线 CM移 动,此 人 为 了 准 确 瞄 准 目
9、 标 点 P,需 计 算 由 点 A观 察 点 P的 仰 角。的 大 小(仰 角。为 直 线 A P与 平 面 4 3 c 所 成 角).若 A8=15m,A C 2 5 m,ZBCM=30则 tan。的 最 大 值(),V30 口 病 r 473 0 5 65 10 9 9【答 案】D【解 析】作 PHJLBC,垂 足 为“,设 PH=x,则 C”=J I x,由 余 弦 定 理 A=)625+3理-40-PH 1 1tan 0=tan/P A H=-=1=(0)AH 625_4073+3%,V A:2 X故 当 J_=述 时,tan。取 得 最 大 值,最 大 值 为 逃,故 选:I).x
10、 125 96.(2021嚏 国 高 三 专 题 练 习)如 图,在 平 面 四 边 形 ABCD中,AD=1,5 0=逐,AB_LAC,AC=2AB,则 C O的 最 小 值 为()【答 案】CC.75D.3也【解 析】设 NAO3=6,在 AABD中,由 正 弦 定 理 得 AB 处 一,即 迫=sin。sin ZBAD sin。sin ZBAD整 理 得 AB-sin NBAD=逐 sin 6,由 余 弦 定 理 得 AB2 A D2+BD2-2 AD BD COS0=6-275 cos6,IT因 为 A B L A C,所 以 N84)=+N D 4 C,在 反。中,由 余 弦 定 理
11、 得 2CD2=AD2+AC2-2AD-AC cos ZDAC=1+4 AB2-4 AB sin ABAD=25-8百 cos 6-4氐 in 6=25-20sin(8+e)(tan=2),所 以 当 sin(6+e)=l 时,。2 血=石.故 选:c7.(2021 山 东)自 古 以 来,人 们 对 于 崇 山 峻 岭 都 心 存 敬 畏,同 时 感 慨 大 自 然 的 鬼 斧 神 工,一 代 诗 圣 杜 甫 曾 赋 诗 望 岳:“岱 宗 夫 如 何?齐 鲁 青 未 了.造 化 钟 神 秀,阴 阳 割 昏 晓,荡 胸 生 层 云,决 毗 入 归 鸟.会 当 凌 绝 顶,一 览 众 山 小.”
12、然 而,随 着 技 术 手 段 的 发 展,山 高 路 远 便 不 再 阻 碍 人 们 出 行,伟 大 领 袖 毛 主 席 曾 作 词:“一 桥 飞 架 南 北,天 堑 变 通 途”.在 科 技 腾 飞 的 当 下,路 桥 建 设 部 门 仍 然 潜 心 研 究 如 何 缩 短 空 间 距 离 方 便 出 行,如 港 珠 澳 跨 海 大 桥 等.如 图 为 某 工 程 队 将 A到。修 建 一 条 隧 道,测 量 员 测 得 一 些 数 据 如 图 所 示(A,B,C,。在 同 一 水 平 面 内),则 A,。间 的 距 离 为.答 案 765-1273 km【解 析】如 图,连 接 3。,在
13、 BCD中,由 余 弦 定 理 得,5D2=BC2+CD2-2 5 C C D COSZBCD=9+2 5-2 X3 X5X(-1)=49,所 以 BD=7,由 正 弦 定 理 得,CD BDsin Z D B C-sin/BCD即 3_ _7_ sin Z D B C sin 1200 解 得 sin ZZ)BC=14因 为 ZABD=Z A B C-Z D B C,所 以 cos NABD=cos(90-NDBC)=sin NDB C=当 在 ABD中,A。?=A)+8。22 4 9 cos NABO=16+49-2x4x7*地=65-126,14所 以 A D=,65-12G,即 A,D
14、 间 的 距 离 为,65-1 2 6 k m,故 答 案 为:展-12限 m8.(2021 海 南 附 属 中 学)如 图,测 量 河 对 岸 的 塔 高 四 时,可 以 选 与 塔 底 8 在 同 一 水 平 面 内 的 两 个 测 点 C与 D 现 测 得 N B C D=75,Z B D C=60,CO=20心 米,又 在 点 C测 得 塔 顶 的 仰 角 为 30。,求 塔 高 解 析】因 为/BCD=75,Z B D C=60,所 以 Z D B C=180-7560=45,B C 20V2又 因 为-=-,所 以 百 一 正,所 以 BC=20百 米,sin Z B D C si
15、n Z D B C 四*、2 24 D又 因 为 NACB=30,所 以 tan30=,所 以 A6=BCtan300=20米,所 以 塔 高 A 3为 20米.B C【题 组 二 解 三 角 形 与 三 角 函 数 的 性 质】1.(2021 江 苏 徐 州 市)已 知 函 数/(%)=5山 晨 一 852%+2百 5泊 8 5 兀(兀 阳.(1)求/(X)的 对 称 轴 和 单 调 区 间:(2)在 AABC 中,角 A,B,C 的 对 边 为。,b,c,若/(A)=2,。=5,cosB=L 求-4 5 c 中 7线 A D 的 长.-7 T kjt 7t 5乃【答 案】(1)对 称 轴
16、为 X=-1-,左 2;减 区 1 川 为:;+氏 肛 二 一+人 乃,ZEZ;增 区 间 为:3 2 1 3 6-g+后 乃,g+后%,k w Z;(2)L 6 3 J 2【解 析】(1)/(x)=-cos2x+/3sin2x=2sin 2 x-,I 6;jr TT-r r K 7T令 2x-=Fkjv,k e Z、解 得 x=I-,k e Z、6 2 3 2jr lejr*函 数 f(x)的 对 称 轴 为 x=I-,k e Z、3 2n TT 3 71 57r令 卜 2k 冗 W 2 x-12k7t、k e Z,解 得-k7r x-tk 冗,k G Z,2 6 2 3 6jr)y z y
17、 v y y r i令-F2攵 7 2x-t2k兀、k e Z,解 得-卜 k兀 x&k兀,k G Z,2 6 2 6 3jr 57r/(x)的 递 减 区 间 为:k7T,+k7T3 67t 71keZ,递 增 区 间 为:一 二+k兀,不+k兀,keZ.6 3 由 知/(x)=2sin(2 x-n A TT TT 7 Tt二 在 AABC中/(A)=2,sin 2 A-=l,-2 A-,I 0 J 6 6 6.2A-K./=,又 c o s*,5 8=手,sin C=sin(A+3)=旦 L L2 7 24 G573TT5 _ a在 AABC中,由 正 弦 定 理 一=,一,得 法=7 孑
18、 sin C sin A14 2一 nc 7,q=7,B D=一,2在 AB 中,由 余 弦 定 理 得 A D2=A B2+B D2-2 A B x fiDxcosB=52 4-(7J-2 x 5 x Z x l=,72 7 4:,A D1292.(2021 浙 江)己 知 函 数/(幻=$皿 2%-2/55布 2%+26.71 7t(1)当 xe 时,求/(x)的 取 值 范 围;3 6(2)已 知 锐 角 三 角 形 A B C 的 内 角 A B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,c,且 满 足/(A)=sin8=,。=2,求 A6C的 面 积.【答 案】(1)0,2+Jj;(2)2
19、+2【解 析】(1)由 题 意 得,/(x)=sin2x+26 cos?无=sin 2x+V3(cos 2x+1)=2 sin(2x+。)+班.K TI3,6,2x+3V X G71 2万/./(x)e0,2+V3.故 当 xe-时,/(x)的 取 值 范 围 是 0,2+6.3 6(2);/(4)=百,由(1)得 2 sin|2A+j 4-V3=V3,.1 sinf 2A+y=0.K又 Ae(0,升.+枭 371 4万 A 4)h R,2 A H 7i A 3 37 1V sin B=,且 5 e 0,&cos B45 25/.sinC=sin|B+I 3=3xl+4xV3=34V 3i5
20、2 5 2 10二 由 正 弦 定 理 得,c=_.sinC=史 仝 叵 sinB 3 s ARr/AD C速=2+正 2 2 2 2 33.(2020 安 徽 省 太 和 第 一 中 学)已 知 a=(sinx,cosx),B=(sinx-2cosx,sinx),令=(1)求/(x)的 最 小 正 周 期 及/(月=;的 解 集;(2)锐 角 AABC 中,f-12 8 J/7边 8C=百,求 AA8C周 长 最 大 值.4【答 案】(1)T=兀,x x=-2兀 8 3行【解 析】(1)/(x)=-=sin2x-2sinxcosx+sinxcosxj_V|2 2 2 2-V.n 乃 sin
21、2尤+一,I 4 T=7 T t*.*/(X)=,A sin f 2x4-)=0,2xH=k几、k G Z,x 7i-,k e Z,4 2 8;./(到=3 的 解 集 是 卜 1 x=-7 r-,k z.2 8 I I”2-45/6,;.sinA=2,a bsin A sin B sin C=2,1 Q+c=6+2sin3+2sinC=6+2sin 8+2sin容 B=G+3 sin 3+G cos B=6+2/3 sinTT,锐 角 三 角 形 且 角 A 二 一,3.8 仁,9,当 时,a+8+c最 大 为 3指,.AA8C周 长 最 大 值 为 3 G.4.(2021 云 南)已 知
22、函 数/(x)=sinx(cosx-sinx)+;.(1)求/(x)的 单 调 递 减 区 间;(2)在 锐 角 AABC中,a,b,c 分 别 为 角 A,B,C 的 对 边,且 满 足 acos23=a c o s B-b s in A,求/(A)的 取 值 范 围.4 5乃|)【答 案】(1)k/r+k7r+,k eZ.(2)(,)8 8 2 2【解 析】(1)/(x)=sin2x-(l-cos2x)+=(sin2x+cos2x)=21sin(2x+),2 2 2 2 2 4TT TT SIT T T、九 由 2上 兀+北 2%+22%兀+乃,左 乙 得 女 n+2 4 上 式+二,2
23、4 2 8 8JI 5乃 所 以/(X)的 单 调 递 减 区 间 为 k7l+-,k7V+-,k&Z.o o(2)由 正 弦 定 理 得 sin Acos 2B=sin Acos B-sin 3 sin A,V sin A 0,cos 25=cos 3-sin 3,即(cos B-sin J B)(COS B+sin B)二 cos B-sin B t(cosB-sinB)(cosB+sinB 1)=0,得 cosB-sinjB=0,或 cos3+sin3=1,TT TT解 得 6=工,或 8=大(舍),4 231 M C 为 锐 角 三 角 形,A+C=,40 A-,Q 2 解 得 f A
24、 g,C 3万.7 4 20-A,4 23冗 7 1 J2 7 T V2 2A+-,-sin(2A H)/37=2sinxcosx-2V3cos2 x+百=sin 2x-石 cos 2x=2 sin(2x-),由 科 f,有 留 心 4 程 所 以 六 in2 A A3 J1 函 数/(x)的 值 域 为 1,2.(ID 由/(C)=g,有 sin(2C 0)=等,71 71 71 C为 锐 角,.ZC-一=-,:.c=-.3 3 3 c=2,.由 余 弦 定 理 得:一。匕=4,a2+b2.2ab,4=a2+b2-ab.ab.q=absinC=2.当。=,即 ABC为 正 三 角 形 时,A
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