高三数学基础版-探索-归纳-论证-教师版讲义.pdf

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1、教 师 姓 名 学 生 姓 名 年 级 高 二 上 课 时 间 学 科 数 学 课 题 名 称 探 索-归 纳-论 证 探 索-归 纳-论 证 一、知 识 梳 理 1.归 纳 法：由 一 些 特 殊 事 例 推 出 一 般 结 论 的 推 理 方 法.特 点：由 特 殊 f 一 般.2.不 完 全 归 纳 法：根 据 事 物 的 部 分（而 不 是 全 部）特 例 得 出 一 般 结 论 的 推 理 方 法 叫 做 不 完 全 归 纳 法.3.完 全 归 纳 法:把 研 究 对 象 一 一 都 考 查 到 了 而 推 出 结 论 的 归 纳 法 称 为 完 全 归 纳 法，又 叫 做 枚 举

2、法.4.数 学 归 纳 法：对 于 某 些 与 正 整 数 有 关 的 命 题 常 常 采 用 下 面 的 方 法 来 证 明 它 的 正 确 性：证 明 当 取 第 一 个 值“0时 命 题 成 立；假 设 当 n=kk&N*,k 他）时 命 题 成 立，证 明 当=左+1时 命 题 也 成 立.这 种 证 明 方 法 就 叫 做 数 学 归 纳 法.5.用 数 学 归 纳 法 证 明 一 个 与 正 整 数 有 关 的 命 题 的 步 骤:高 中 数 学 冲 刺 培 优(1)证 明：当 取 第 一 个 值 期 结 论 正 确；这 是 推 理 的 基 础，少 这 一 步 下 一 步 就 是

3、无 本 之 木，无 源 之 水；(2)假 设 当=%2%)时 结 论 正 确，证 明 当=%+1时 结 论 也 正 确.这 是 推 理 的 依 据；由(1),(2)可 知，命 题 对 于 从 冏 开 始 的 所 有 正 整 数 都 正 确.6.数 学 归 纳 法 的 形 式 第 一 数 学 归 纳 法：教 材 上 的 数 学 归 纳 法，称 之 为 第 一 数 学 归 纳 法，是 归 纳 法 的 基 本 形 式；第 二 数 学 归 纳 法：证 明 当=。时，成 立；假 设 当 女 时，尸(左)成 立，由 此 推 出=k+1,p(&+i)也 成 立，那 么 命 题 成 立；7、探 索-猜 想-论

4、 证”的 数 学 思 想 方 法 的 应 用：“检 验 有 限 个 的 值，寻 找 一 定 规 律，猜 想 一 个 结 论，而 后 再 用 数 学 归 纳 法 证 明 所 猜 想 的 结 论 正 确”二、典 型 例 题 1、数 学 归 纳 法 的 深 刻 理 解 例 1、求 证：=+!+,+(neN,)2 3 4 2n n+n+2 2n例 2、如 果 命 题 P()对=人 成 立，那 么 它 对=后+1也 成 立；现 已 知 P()对=4不 成 立，则 下 列 结 论 正 确 的 是().A.P()对 eN*成 立 B.P()对 4且”eN*成 立 C.P()对“4且”成 立 D.P()对 力

5、 4 4且 e N.不 成 立 答 案：D例 3、下 列 四 个 判 断 中 正 确 的 是 式 子 1+%+公+当=1时，式 子 值 为 1 式 子！+!+一(N*),当“=1时，式 子 值 为 i+1+11 2 3 2+八 7 2 3“加 2+则 4+】)=&)+-1-1-3Z+2 3Z+3 3k+4/()=1+：+:+：(，)则/(2)=/(2，)+y+饪 行+.+乙 J f 竺(2 2/e N*)的 过 程 中，从“k至 ijk+1”+1+2 n+n 24左 端 需 增 加 的 代 数 式 为()2(A)!(B)(c)!+-(D)-5 答 案：D2、数 学 归 纳 法 证 明 F-2

6、2+3 2 42+(2 1)2-(2)2=(2+1)(6)时，从=上 到 n=k+,等 号 左 边 需 增 加 的 代 数 式 为()A.4Z 3 B.4左+3 C.-4%1 D.4+1答 案：A2、数 学 归 纳 法 的 应 用 应 用(1):证 明 和 正 整 数 有 关 的 等 式、不 等 式 例 4.用 数 学 归 纳 法 证 明：当“2 7时，2-(+1)2.解：法 一：数 学 归 纳 法 当=7 时 产=(7+1)2,当=8 时，28-=128,(8+1)2=81,即 28T(8+户 281=128,假 设 当 n=k(k 8)时 不 等 式 成 立，即 有*仕+i f,则 当=+

7、1时，2伏“X=2 2 2仕+1)2 仅+2)2,即 当=%+1时 不 等 式 也 成 立.由 可 知 当 W 7时，2，4+1)2恒 成 立.法 二：数 列 的 单 调 性(拓 展)设 a=2 1 _(+1,则 t l-=2,-(n+2)2-2-1+(n+l)2=2-2 M-3设 仇=2T _2”_3,则=2 _ 2(+l)_ 3 _(2T_2 _3)=2T_2b、=-4,Z?2=-5力 3=5,Z?4=3,Z?5=3,/.a5 a6 a-j a 7时，a 0,即 当“2 7时，2 T(+1)2.试 一 试：1、当 x-l,eN*时，(1+x)1 l+/ir；答 案：当=1时，原 不 等 式

8、 成 立；当=2 时，左 边=l+2 x+/,右 边=l+2r,因 为 f N O,所 以 左 边 2右 边，原 不 等 式 成 立；假 设 当=4 时，不 等 式 成 立，即(1+力 飞 1+收，则 当=左+1时，二 l+x 0,于 是 在 不 等 式(1+x)*21+fcc两 边 同 乘 以 1+x得(l+x)A+，=(l+x)A(l+x)(l+to)(l+x)=l+(+l)x+fa,2 l+(Z:+l)x,所 以(1+x严 21+(&+l)x.即 当“左+1时,不 等 式 也 成 立.由 数 学 归 纳 法 得：对 一 切 正 整 数，不 等 式 都 成 立.高 中 数 学 冲 刺 培

9、优 应 用(2)：整 除 问 题 例 5、用 数 学 归 纳 法 证 明：322-8-9,eN*能 被 64整 除.证 明：设)=322 一 8”-9(1)当=1时，/(1)=34-8-9=64能 被 64整 除，命 题 成 立.(2)假 设 当=%时，/(%)=3+2-89能 够 被 64整 除.则 当=%+1 时，/(4+1)=32*+4-8伏+1)-9=932+2_8%-9+6孰+64,由 32M2-弘 _ 9能 够 被 64整 除，二 k+1)能 够 被 64整 除.即 当=k+l时，命 题 也 成 立.由(1)(2)可 知，/()=32/2-8”_9,NeN,能 被 64 整 除，试

10、 一 试：1、用 数 学 归 纳 法 证 明：7 2 1+1 能 被 8 整 除.方 法 一：数 学 归 纳 法；方 法 二：二 项 式 展 开 例 6、利 用 数 学 归 纳 法 证 明：(1)对 任 意 eN*,一 能 被。+匕 整 除：(2)对 任 意 n e N*，Q i 一 户“能 被 a b 整 除.(3)对 任 意 G N*,能 被 整 除.证：(2)当 n=l时，结 论 显 然 成 立.假 设 当 n=k 时 结 论 成 立，即 I-户 t 能 被 整 除.则 当=4+1=A+1 时,/ZI-y2Hl=/卜 1-y2y2 1=/:“_/产 1+/产 1 _,2产 1(/k 1

11、_产-,)+(7-/)y2bl./HI 一 y2Hl 也 能 被 x_y 整 除.故 当=A+1时 结 论 也 成 立.由、可 知，对 于 任 意 的 G N*,j-1一/-1能 被 b 整 除.3、探 索-归 纳-论 证 应 用(1)、数 列 的 周 期 性 与 拟 周 期 性 例 7、数 列%：4=1,%=3,%=2,%+2=%+1一。“，求 S20W答 案：04(3)+2+4用+约=丁=3,(1)为+1=-。“(或 4+1=-1)=T=2an1-Q 4+i=j(或 4+d1+%1+a,a,-1 a+1=)=T 一 2,%产(或。用=J=7 一 4,l-a“a+a,-试 一 试:1、数 列

12、%满 足。“+12 d o 2；)2%-1(白 4 12，若 4=1，贝 U%X)7、3答 案：352、在 数 列 中，如 果 存 在 非 零 常 数 T,使 得。,“+7=。,“对 于 任 意 非 零 正 整 数 加 均 成 立，那 么 就 称 数 列 为 周 期 数 列，其 中 T 叫 做 数 列。的 周 期.己 知 周 期 数 列%J 满 足 x+1=|x-X“T|(“22,及 eN)且=1,x2=a(a&R,aQ),当*“的 周 期 最 小 时，该 数 列 前 2005项 和 是.答 案：1337例 8、数 列 册 中，4=3,4=7,当 e N*时，练+2是 44+1的 个 位 数，

13、则 数 列 W 的 第 2010项 是 _答 案：9试 一 试、若/()为 2+1所 表 示 的 数 字 的 各 位 数 字 之 和，(为 正 整 数)，例 如：因 为 142+1=197,1+9+7=17,所 以/(14)=17，/()=/()，&5)=/()，/,+,()=/()(女 为 正 整 数)，则 为=-答 案：11应 用(2)：求 数 列 的 通 项 例 9、数 列“J 满 足 S“=2n-an n G N*,先 计 算 前 4 项 后,猜 想 区 的 表 达 式,并 用 数 学 归 纳 法 证 明、3 7 is 2-1答 案：计 算 得：6=I,4=,。3=，。4=e 猜 想=

14、?一 12 4 8 2=1 时,计 算 得 q=1,结 论 成 立；高 中 数 学 冲 刺 培 优 2-1 设=%时，=不 厂，则 2*+|-1=l+时，必+|=-S*=2(k+1)-4+i 一(22-/)=2卜 1 aM2k+-1aM=试 一 试：1、已 知 S“是 数 列 4 的 前 项 和，q O,(wN*),且 2s(1)求 出 q,%,%并 猜 测 出 通 项 公 式；(2)用 数 学 归 纳 法 证 明 你 的 结 论.答 案：(1)令=1,则 2s1=4+,，解 得 4=1(4。)；令 九=2,2s2-。2+一 解 得=_+0(2).。2同 理 q=7 5-血.猜 测：a“=Vn

15、 Vn 1.(2)当=1 时，a=1=V 1-V O 显 然 成 立.假 设 当=人 时 原 命 题 成 立，即.=一 次=T/e N*)当=%+1时，由 题 意 2s*+=%*H-,2s*=%4-4+i ak两 式 相 减 得 2aI=4+|4-(4 H-)aM ak又 因 为=yk A/左-1代 入 得 6+=yj k+1 yk综 上 所 述，原 命 题 成 立 2、(2014广 东 理)设 数 列 凡 的 前 项 和 为 S“，满 足 S“=2 a”+3 2-4”,G N*,且 S3=151)求 q,q,q 的 值 2)求 数 列 4“的 通 项 公 式 答 案：(1)3,5,7；(2)

16、=2/7+1(3)综 合 应 用 6例 10、记 数 列%的 前 项 和 为 S，若 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列，则”为 等 差 数 列 的 充 要 条 件 是 4=_答 案：1或 L2关 键 点：U 由 邑，区 成 等 差 数 列，4 吗 必 成 等 差 数 列，求 出=1 或 1；q a2 a3 2n 当 1=1或（时，%为 等 差 数 列 例 11、已 知 数 列 4 满 足*=2-同,”c A T,是 否 存 在%,使 得 生,外,%，成 等 差 数 列？若 存 在，求 出 所 有 这 样 的 力；若 不 存 在，说 明 理 由.解：假 设 这 样 的 等 差 数 列 存

17、在，那 么 4=2 一|力，O,=2-|2-|,|.由 2a2=q+/得 2 4+2=2,|（*）.以 下 分 情 况 讨 论：当,2时，由（*）得/=（），与 4 2矛 盾；当 0 V/M 2 时，由（*）得 q=l，从 而 a“=l（=1,2,），所 以 4 是 一 个 等 差 数 列；当 4 M o时，则 公 差 d=%-4=（4+2）-4=2。，因 此 存 在 加 2 2 使 得 a”，=4+2（加-1）2.此 时 矛 盾.综 合 可 知，当 且 仅 当 q=i时，构 成 等 差 数 歹 八 试 一 试.1、己 知 2为 非 零 常 数，数 列”“与 2%+外 均 为 等 比 数 列，

18、且。加 L 3,贝 ljq=答 案：？高 中 数 学 冲 刺 培 优 关 键：；2 4+2 均 为 等 比 数 列，/.(2tz2+几)2=(2 1+2)(2%+4)即 42+4 2兄+%。=4。同 3+2%(q+%)+%2又.4 为 等 比 数 列，城=%，/.2(|+%-2a2)=0，a+a3=2a2 q=1,2例 12、例 1：已 知 数 列 和 也 满 足：=X,a+x=-an+n-A,其 中 人 为 实 数，eN+.对 任 意 实 数 4,证 明 数 列%不 是 等 比 数 列；答 案：假 设 存 在 一 个 实 数 2，使 4 是 等 比 数 列，则 有 抬=6 生，即(2丸 一

19、3)2=；l(3；L 4)o 3；l2-42+9=-22 4 2。9=0,矛 盾.所 以%不 是 等 比 数 列.3 9 9 9试 一 试：1、数 列 亿 满 足 4=1,矶=(1+_功/(=123,)，4 是 常 数，问 数 列 叫 是 否 可 能 为 等 差 数 列？若 可 能，求 出 它 的 通 项 公 式；若 不 可 能，说 明 理 由 答 案：不 可 能 关 键：由 2a2=q+3 n 丸=3,但 是 当 4=3时，a2 a=2,a4=24,故%不 可 能 为 等 差 数 列 课 堂 练 习 迹 1、设/(X)是 定 义 在 正 整 数 集 上 的 函 数，且/(X)满 足：“当/(

20、幻 公 成 立 时，总 可 推 出 了(4+1)，(k+1)2成 立”.那 么，下 列 命 题 总 成 立 的 是()A.若 成 立，则/(10)100成 立；B.若 2)4 成 立，则 成 立；C.若/(3)/9成 立，则 当 攵 2 1 时，均 有/(A)3 公 成 立；D.若 4)225成 立，则 当 42 4 时，均 有 了(左)与 后 2成 立.8答 案：B2、用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题：若 求 证：1+L 1+小，从 1到 女+1,不 等 式 左 2 3 2-1边 添 加 的 项 的 项 数 为 答 案：当=%时，左 边 为 1+，+1+工+_2 3 4 2一 当=攵+

21、1时，左 边 为 i+l+1+_ L+L-+1+L _2 3 4 2*-1 24 2k+11H-：-F2+21-T-：-2*+|-1左 边 需 要 添 的 项 为，+一 一+/一+!2k 2k+l 2+2 2*+|-1项 数 为 2|-1-2+1=2.3、用 数 学 归 纳 法 证 明:34*2+52+1能 被 14整 除(止*).答 案：当=1 时，3 2+5 2+I=36+53=8 5 4 能 被 14 整 除.假 设 当=左 时 原 命 题 成 立，即 S,？+52+,能 被 1 4整 除(e N*).当=k+1时,原 式 为 3*旬+2+5 2-川=3 4 3 4-+5 2.5 2。=

22、34(34U2+52U1)-52 W(34-52)=34(34；+2+52U1)-56-52 W.34,-2+52用 能 被 14整 除，5 6也 能 被 1 4整 除，所 以 上 式 能 被 14整 除，所 以 当=女+1时 原 命 题 成 立.综 上 所 述，原 命 题 成 立.1 _/+24、用 数 学 归 纳 法 证 明 1+。+。在 验 证=1 时，左 端 计 算 所 得 项-a为.答 案：1+45 设 i为 虚 数 单 位，为 正 整 数.试 用 数 学 归 纳 法 证 明(cosx+isinx)=cos/LX+isin/tr.解：当=1时，左 边=c o sx+isin x=右 边，此 时 等 式 成 立；假 设 当=A时，等 式 成 立，即(cosx+isinx)=cosA+zsin Ax.则 当 九=2+1时，(cosx+zsinx)Ad=(cosx+zsinx)(cosx+zsinx)=(cosAx+zsin点)(cosx+zsinx)=cos 依 cos x-sin Axsinx+z(sin A x cos x+cos kx sin x)=cos(攵+1)x+i sin(A+1)x当=女+1时，等 式 成 立.由 得，(cosx+isin jv)”=cos/?x+zsintrx.高 中 数 学 冲 刺 培 优 10