基于H∞控制算法的运动带钢消抖稳定器的研制.docx

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1、田馨茹：基于H控制算法的运动带钢消抖稳定器的研制摘要本文是要将H控制方法应用于磁悬浮带钢控制系统中，建立了垂直带钢磁悬浮系统的非线性系统模型。基于MATLAB对非线性系统所做的仿真研究，显示出钢板磁悬浮系统具有典型的非线性和不稳定性。针对系统模型所存在的不确定性，采用H混合灵敏度法，通过求解相应的线性矩阵不等式设计了控制器。在 PID控制器设计中，针对电流控制对象模型，采用了一种针对不稳定对象的PID控制器设计方法，对控制结果进行了分析。根据混合灵敏度设计方法，对电流控制对象进行的H控制器设计，得到满意的控制效果后，进一步通过仿真讨论了加权函数的选择以及控制对象的质量摄动对控制效果造成的影响。

2、本文还将PID控制器设计和H混合灵敏度设计方法进行了对比，从仿真结果上看H控制器具有较好的鲁棒性。关键词：磁悬浮，带钢，PID，H，MATLABABSTRACTThis article is to apply the robust H-infinity control method to the magnetic suspension control system in the strip; nonlinear system model of vertical strip is established. Simulation result of the nonlinear system bas

3、ed on MATLAB helped to make a further understanding of the system nonlinearity and instability. For the existence of uncertainty in the system model, using H-infinity mixed sensitivity by solving the LMI design of the controller. A kind of PID controller design method for unstable object is introduc

4、ed to design PID controller for the current controlled magnetic suspension system model, and the control result is analyzed.Based on mixed-sensitivity method, H-infinity controller is designed for the current controlled system. Influence of weighting function selection and different weight of contro

5、l object on the control results.This paper also compare PID controller design with H-infinity mixed, the result of simulation shows that H-infinity controller has a further understanding of the robust character.keywords：magnetic suspension，strip，PID，H control，MATLAB目录1.1 磁悬浮技术与H控制理论综述1.1.1 前言磁悬浮技术是一

6、门涉及多种学科的综合性技术。磁悬浮技术将电工电子技术、自动控制技术、传感器技术、检测技术、微机等高新技术有机地结合在一起，成为典型的机电一体化技术。随着电子技术、控制工程、信号处理元器件、电磁理论及新型电磁材料和转子动力学的发展，磁悬浮技术得到了长足的发展，其已被广泛应用于航空、航天、精密仪器、仪表、机械制造和交通运输等领域。磁悬浮技术利用电磁力将物体无机械接触地悬浮起来，克服了由摩擦带来的诸多弊病，具有寿命长、能耗低、无污染、无噪声等特点，满足了生产工艺和科学技术向高速、精密化方向发展的需要，有助于提高控制水平。近年来，磁悬浮技术由宇航、军事等领域的应用开始向一般工业应用方面发展【1，2】。

7、1.1.2 磁悬浮技术综述图1-1 磁悬浮系统简图磁悬浮技术是利用电磁力将物体无机械接触地悬浮起来。图1-1 是一个简单的磁悬浮系统的简图，它是由悬浮体、传感器、控制器和执行器4 部分组成，其中执行器包括电磁铁和功率放大器两部分。悬浮体在被稳定悬浮时，设电磁铁绕组上的电流为I0，它对悬浮体产生的吸力为F 和悬浮体的重力mg 相平衡，悬浮体处于平衡位置，这个位置也称为参考位置。假设在参考位置上，悬浮体受到一个向下的扰动，就会偏离其参考位置向下运动，这时传感器检测出悬浮体偏离参考点的位移，控制器将这一位移信号变换成控制信号，然后功率放大器将这一控制信号转换成控制电流I0+i，相对于参考位置，此时的

8、控制电流由增加I0 到I0+i，因此，电磁铁的吸力变大了，从而驱动悬浮体返回到原来平衡位置。反之，当悬浮体受到一个向上的扰动，同理悬浮体也可以返回到平衡位置。因此，不论悬浮体受到向下或向上的扰动，始终能处于稳定的平衡状态。由于磁悬浮不存在机械接触，因此具有下列优点3：1) 完全无磨损、无污染，可在真空和腐蚀性介质中长期使用；2) 无须润滑，可以省去泵、管道、过滤器、密封元件；3) 功耗低，减小了损耗；4) 避免了机械接触，减少损耗，延长设备使用寿命；5) 噪声低；6) 定位、控制精度高，其上限取决于位移传感器的精度。对于有源式磁悬浮系统，其悬浮物体的全部运动特性可由位置传感器测得，便于实现运行

9、状态诊断和监测2。1.1.3 磁悬浮技术的发展及应用早在 100 多年前，人们就提出了利用磁力将物体悬浮起来的设想，1842 年，英国物理学家恩休（Earnshow）就提出了磁悬浮的概念，并证明了铁磁体不可能仅由一个永久磁铁支撑而在六个自由度上都保持稳定、自由的悬浮，必须有一个自由度被机械或其他方式所约束，必须根据物体的悬浮状态不断地调节磁场力的大小才能实现稳定悬浮。1937 年，德国人肯珀（Kemper）申请了一项有关主动磁悬浮支承的专利，提出要采用可控电磁铁才能实现稳定的磁悬浮，并成为其后磁悬浮列车和磁浮轴承研究的主导思想。在同一时期内，弗吉尼亚（Virginia）大学的毕姆（Beams）

10、和霍姆斯（Holmes）采用电磁悬浮技术悬浮小钢球并通过钢球在高速旋转时所能承受的离心力测试试验材料性能， 测量过程中钢球所达到的最高旋转速度1.8107 rot /min，这可能是世界上最早采用磁悬浮技术支承旋转体的应用实例1,3,4。以后的二十多年里，磁悬浮研究主要着重于由静磁场所稳定的被动悬浮，此时的代表机构是美国的麻省理工学院的雷伯实验室。由于被动力不可能使一个刚体在所有自由度上都稳定悬浮，因此，就需要采用主动方法即控制环节，以不断地使磁场适应刚体的运动。二十世纪五十年代末，针对主动式磁悬浮技术的研究开始浮现。1957 年，法国Hispon-Suiza 公司提出了第一个完整的主动磁悬浮

11、技术设想，并取得了法国专利。20 世纪60 年代后，法国、日本、美国、前苏联等国家纷纷开始进行主动式磁悬浮技术的研究，为当今的磁悬浮技术打下了基础。一百多年来，对磁悬浮的理论和实验研究已经日趋成熟，随着电子技术、控制工程、信号处理、电磁理论及新型电磁材料的发展和转子动力学的进展，磁悬浮技术得到了长足的发展，成为典型的机电一体化技术。目前，磁悬浮技术在工业上的主要应用主要有：磁悬浮列车、磁悬浮轴承和无轴承电机。在磁悬浮列车方面，60 年代，英国、德国、日本根据不同的设计方案,分别制造出了磁悬浮列车的样机。德国的研究方向集中在电磁型（Electro Magnetic System,简称EMS）。采

12、用引力悬浮（Electro Magnetic or attracting levitation,简称EML），即利用铁磁体和电磁体之间的吸引力来悬浮物体。1969 年，德国牵引机车公司的马法伊研制出小型磁悬浮列车系统模型，该车在1km 轨道上时速达165km，这是磁悬浮列车发展的第一个里程碑。日本的研究方向是电动型（Electro Dynamic System,简称EDS），采用斥力悬浮（Electro Dynamic or repulsive Levitation,简称EDL）, 即利用磁体 (建议采用超导磁体)在金属体内产生涡流从而产生相互的排斥力来悬浮物体。1994 年2 月24 日，日

13、本的电动悬浮式磁悬浮列车，在宫崎一段74km 长的试验线上，创造了时速431km 的日本最高记录。1999 年4 月日本研制的超导磁悬浮列车在试验线上达到时速552km。我国对磁悬浮列车的研究工作起步较迟，1989 年3 月，国防科技大学研制出我国第一台磁悬浮试验样车。1995 年，我国第一条磁悬浮列车试验线在西南交通大学建成，并且成功进行了稳定悬浮、导向、驱动控制和载人运行等时速为300km 的试验。西南交通大学这条试验线的建成，标志着我国已经掌握了制造磁悬浮列车的技术。2003 年上海磁悬浮列车的建成通车，标志着我国成为世界上第一个拥有磁悬浮运营铁路的国家5。在磁悬浮轴承研究领域，按照磁轴

14、承产生磁场性质的不同，有主动磁轴承(Active Magnetic Bearing)和被动磁轴承(Passive Magnetic Bearing)。在主动磁轴承中，磁场是可控的，通过检测被悬浮转子的运动状态，由控制系统对磁场进行主动控制，从而使转子的运动满足预定的要求。而在被动磁轴承中，磁场是不可控的，其磁力由永久磁铁或者恒定直流电场作用下的软磁材料提供。磁轴承的磁力可全部由电磁铁提供，也可以由永久磁铁和电磁铁共同提供，由永久磁铁和电磁铁共同提供磁力的磁轴承称为混合磁轴承(Hybrid Magnetic Bearing)。40 年代，美国Virginia 大学的Beams 等人最早研制出离心

15、机用的混合磁悬浮轴承。60 年代初，美国德雷伯实验室（Draper Laboratory）首先在空间制导和惯性轮上成功地使用了磁悬浮轴承。1972 年，法国军部科研实验室（LRBN）将第一个磁悬浮轴承应用于卫星导向器飞轮支承上；1976 年，法国SEP 公司和瑞典SKF 轴承公司联合成立了S2M 公司，专门开发工业用的电磁轴承；1977 年，该公司开发了世界上第一台高速机床的磁悬浮轴承主轴系统。1983 年11 月，美国航空周刊报道：美国惠普公司在计划研究的XTC-65 航空发动机的核心机中使用了磁悬浮轴承，其验证机通过了100 小时的试验。1997 年前后又报道了一系列有关航空发动机使用的高

16、温磁悬浮轴承研究成果，成功研制了能够在510高温下工作的磁悬浮轴承系统，转速为22000r/min，研制的高温磁悬浮轴承在单轴发动机的模型转子上成功地进行了试验。当前，国际上对磁悬浮轴承的研究工作也相当活跃。1988 年在瑞士苏黎世召开了第一届“国际磁悬浮轴承会议（International Symposium on Magnetic Bearings）”，此后每两年召开一次。1991 年，美国航空航天管理局召开了第一次“磁悬浮技术在航天中的应用（Aerospace Application of Magnetic Suspension Technology）”学术讨论会，此后也是每两年召开一次

17、。在这些会议上，发表了大量关于磁悬浮轴承研究的论文，极大推动了磁悬浮轴承应用的研究，国际上的这些努力也大大推动了磁悬浮轴承在工业上的广泛应用。国内对磁悬浮轴承的研究工作起步较晚，研究水平相对比较落后，尚处在实验室及工业试验运行阶段。1986 年，广州机床研究所与哈尔滨工业大学首先对“磁力轴承的开发及其在FMS 中的应用”这一课题进行了研究。清华大学对磨床电主轴及磁悬浮轴承相关的电涡流传感器、数字控制器、最小脉宽功率放大器进行了研究，并在无锡机床厂进行了试验，静态刚度为39.3N/m。西安交通大学对支承飞轮的磁悬浮轴承和涡轮膨胀机用磁悬浮轴承进行了研究。上海大学试验研究的磁悬浮轴承制氧透平膨胀机

18、，在12000r/min 时振动为20m，稳定转速为92000r/min。武汉理工大学对磁悬浮轴承高速磨削主轴结构以及磁悬浮轴承虚拟设计进行了研究。深圳大学研制成功一台磁悬浮轴承试验样机。另外，哈尔滨工业大学、北京工业大学、国防科技大学等都曾经或正在开展这方面的研究工作。总体来看，国内的磁悬浮轴承研究主要集中在离心设备、磨床电主轴和高速钻头主轴等，但都没有批量产品出现的报道，和国外先进水平相比有20 年的差距。磁悬浮隔振是一种新型的主动隔振方法，它在振源和载荷之间用主动控制的磁场来支撑，使得振源和载荷之间完全脱离机械接触，由于外加主动控制，磁悬浮隔振的静态刚度和动态隔振效果可以进行方便的调节。

19、在航空、航海、航天等领域，振源（载体）既要按某一轨迹做正常运动（如空间站的航行），同时也存在某种干扰引起的振动（如空间站的振动），这对磁悬浮隔振系统提出了很高的要求，使其成为一项重要的应用研究。该技术在薄钢板无接触传输方面也有应用。传统滚轴传输方式存在噪声大、易在传输钢板表面造成瑕疵等缺点；采用磁悬浮无接触钢板传输方式可以降低传动噪声,提高产品的表面光洁度，因而对于增加产品的附加值具有实际意义。早期，镀锌企业为了实现带钢防抖，利用固定辊来控制带钢的振动幅度，虽然这种方法有良好的控制效果，但是会对带钢表面还未完全冷却的锌层造成损害34。国外一些钢铁公司如Hoesch Stahle和U.S.Ste

20、el 曾尝试通过安装激光传感器检测距离来改变气刀位置，实现均匀镀锌，但没有成功5。近年来，对带钢防抖研究主要运用磁悬浮技术，利用对称电磁铁实现带钢位置的控制，该方法不接触镀锌带钢，来稳定带钢位置，提高镀锌质量，又不会对镀锌层造成损伤67。2010年，南京航空航天大学利用对称电磁铁基本实现了带钢位置H的控制，但是其利用传统PID控制，带钢的位置精度还有待提高。62013年，日本学者壁矢和久等人也通过对称电磁铁实现带钢抑制抖动的控制。7上海交通大学利用H控制算法对钢板磁悬浮系统的进行建模仿真，并与PID控制对比，理论上验证H控制算法优于PID控制。8南京航空航天大学运用H控制算法对带钢磁悬浮系统进

21、行了实验，验证了H控制算法的可行性。91.1.4 H控制理论的发展自 30 年代发展起来的经典控制理论主要研究单输入单输出系统,并不要求被控对象具有精确的数学模型。目前实际工程中应用最为广泛的 PID 控制即是如此。虽然经典控制理论的设计方法对现代自动化工业的发展起到了非常重要的作用,但是随着现代科学技术的发展,经典控制理论已经不能满足现代工程技术的要求。因此,自 20 世纪 60 年代,以 R.Bellman 的著作矩阵分析导论和 R.E.Kalman 的文章“系统的数学描述方法”为基础,现代控制理论迅速的发展起来了。随着状态向量、状态空间、能控性和能观性等概念和方法的引入,现代控制理论日趋

22、完善。到了 20 世纪80 年代,尽管现代控制理论和方法已非常完善,但工程师们仍是难于将其应用到实际中去。究其原因是,与经典控制理论相比较,以 LQG 最优控制理论为代表的现代控制理论,完全依赖于描述被控对象动态特性的精确数学模型。但是在实际控制工程中,受控对象的精确模型往往是难以得到的。这是因为(1)不可能精确地了解对象的工作机理、结构和参数;(2)常用降阶模型来代替实际的高阶模型;(3)常用线性化模型代替实际的非线性模型;(4)常把时变模型视为非时变模型;(5)控制系统中元器件的老化或破损也会导致受控对象的特性随之变化,从而偏离设计时的标称特性等等因素。这些都会导致模型误差，使得想获得精确

23、的数学模型几乎是不可能的事情。此外,在许多实际问题中,仅知道噪音(或干扰)是属于某个集合并不确知其统计特性(或能量谱),这便使得 LQG(或 H2)方法难以使用。因此,精确数学模型成为现代控制理论无法广泛应用的致命伤。鉴于这些实际情况, 为了弥补现代控制理论的这种不足,人们对 LQG(或 H2)等控制系统设计方法进行了反思,开始寻求这样的鲁棒控制问题的解,即；(1)受控对象不是由一个确定的模型来描述的,而仅知道其模型属于某个给定的模型集合。(2)外部信号(包括干扰信号、传感器噪抑制带钢抖动的 H控制系统研究（声音和指令信号)不是具有已知特性(例如能量谱或统计特性)的信号,也仅知道其属于某个给定

24、的信号集合。这就导致了专门分析和处理具有不确定性系统的控制理论鲁棒控制理论的产生。而在鲁棒控制理论中, H控制理论是最为引人注目,也是发展最为完善的一支。针对上述问题,1981 年,加拿大著名学者 Zames 提出了以 H范数作为目标函数进行优化设计的思想,标志着 H控制理论的诞生。Zames 考虑了这样一个单输入单输出(SISO)系统的设计问题:假设干扰信号属于某一有限能量的已知信号集,要求设计一个反馈控制器,使闭环系统稳定,且干扰对系统的影响最小。要解决这样的问题就必须在能够使闭环系统稳定的所有控制器中选出一个控制器使与之相应的灵敏度函数的 H范数最小。H控制理论就是在 H空间(Hardy

25、 空间)通过某些性能指标的无穷范数优化而获得控制器的一种控制理论。H空间是在开右半平面解析且有界的矩阵函数空间,其范数定义为:F=sup-F(s)|Res0，即矩阵函数 F(s)在开右半平面的最大奇异值的上界。其物理意义是系统的输入若是有限的能量谱信号,系统的输出则是最大能量谱信号(即代表系统获得的最大能量增益)。从 1981 年 Zames 提出 H控制思想至今，H控制的发展大致可以分成三个时期10：1981 年1984 年为初始阶段。H控制理论主要借助于频域或频域与时域相结合的研究方法。H优化设计问题的求解是基于 Navanlinna-Pick 插值理论及矩阵形式的 Sarason 理论,

26、具有概念直观清晰的优点,但数学工具非常繁琐、计算量很大,并不象问题本身具有明确的工程意义。1985 年1989 年为第二阶段。“DGKF”法的提出使 H控制理论取得了突破性的进展。DGKF论文证明H控制问题的解可通过解两个非耦合的代数Riccati 方程,即不采用输入输出传递函数阵的描述,而直接在状态空间描述上进行设计,设计过程简单、计算量小,所设计控制器阶次低,结构特性明显。“DGKF”法是 H控制理论的一个里程碑,它标志着H控制理论走向成熟。1990 年以后为第三阶段。H控制理论得到了迅速发展、完善和推广。基于线性矩阵不等式(LMI)的 H控制和非线性 H控制成为该领域研究的热点。为满足现

27、代控制理论对控制稳定性、自适应性及智能化的更高要求,将 H控制与其他控制方法相结合,使控制系统不但具有好的鲁棒性而且还能改善系统的稳定性和动态性,已成为 H控制研究的发展方向。目前,应用较多的是其与神经网络和模糊控制等控制方法结合设计控制器。H控制器作为一种鲁棒设计方法，克服了现代控制理论对数学模型的依赖,兼顾系统动态特性、模型不确定性、抗干扰性和鲁棒性，有一整套的软件设计工具（Matlab 鲁棒控制工具箱），H控制的混合灵敏度问题可以通过适当选择灵敏度函数阵的加权函数达到闭环系统的性能指标，同时通过适当选择补灵敏度函数阵的加权函数阵达到系统的鲁棒性指标13。H控制理论的标准问题无论从理论上还

28、是算法上都已基本成熟，其核心和难点是指标的设定和加权函数的选取。不同对象、不同设计指标需要不同的加权函数，但相互之间没有特定的规律，大部分依赖于设计者的经验。因此，基于经验的提取变成专家系统的规则，进而形成确定加权函数的专家系统软件，将是一个研究方向1415。H控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善的理论体系11,而且在进行系统优化时能够考虑不确定干扰的集合，所以成为近几年来自动控制理论及工程应用研究领域的热门话题之一。目前,已被尝试应用于飞行控制、导弹制导、航天器姿态控制、电力系统稳定器、机械手、倒立摆等系统的控制中，仿真实验证明了其有效性。1.2 论文的主体内容1.2.1 论文工

29、作的背景磁悬浮技术是一项具有良好发展前景的技术，近年来其应用领域不断拓展。未来，钢板磁悬浮技术将应用于钢铁、汽车和家电等行业中的薄带钢无接触传输。传统滚轴传输方式存在噪声大、易在传输钢板表面造成瑕疵等缺点；采用磁悬浮无接触钢板传输方式可以降低传动噪声，提高产品的表面光洁度。因而，对于增加产品的附加值具有实际意义。磁悬浮技术利用电磁吸引力克服物体的重力或其它外力，将物体稳定悬浮在空中，避免了物体与其他支撑物的接触。在很多工程系统中磁悬浮系统都具有重要的实际意义。垂直带钢是本论文所要研究的对象。对于垂直带钢，主要是基于在连续镀锌生产线中，带钢在传送辊的驱动下从镀锌槽中垂直抽出以使凝固中的锌层附着在

30、带钢表面，同时锌槽出口处的气刀向带钢上尚呈液态的锌层喷射气体以去除多余的锌。准确控制锌层的厚度，主要取决于喷射气体的气压以及气刀与带钢表面间的气隙距离23，如图2-1所示。由于垂直上升的带钢较长，在外界干扰下容易形成晃动，从而影响到气刀与带钢表面间气隙距离的稳定性，造成镀层不均匀；同时垂直上升的带钢表面锌层尚未完全凝固，此时要尽可能避免与其他物体的接触，由此提出了采用一对对称电磁铁在无接触的前提下使带钢在水平方向上尽可能稳定在一定的位置上，这是对垂直带钢的考虑。本论文在分析系统非线性数学模型的基础上，设计了系统框图，以方便于后续仿真研究。在此基础上，基于MATLAB 仿真得出系统的响应曲线，从

31、而对系统对象的非线性和不稳定性有了进一步的了解。根据垂直带钢磁悬浮系统，建立了线性化的系统电流控制对象模型。图2-1 镀锌过程示意图1.2.2 论文内容安排1. 在第一章绪论中对磁悬浮技术进行综述，介绍了磁悬浮的原理及其特点，它的发展及当前应用。阐述了论文工作的背景出发点，对论文内容进行安排。2. 第二章涉及钢板磁悬浮系统数学模型建立及仿真研究。首先阐述了垂直带钢磁悬浮系统的由来。然后基于对电磁力模型和非线性运动方程的分析，建立钢板磁悬浮系统的非线性系统模型。钢板磁悬浮系统具有典型的非线性和不稳定性。然后进行线性化处理，建立了线性化的系统电流控制控制对象模型，为后续章节中利用线性系统理论对系统

32、进行控制器设计打下基础。3. 第三章中首先对H控制理论的相关背景知识予以介绍，然后重点阐述了混合灵敏度设计方法，包括闭环系统的设计要求，加权函数的选择方法以及如何基于Matlab的鲁棒控制工具箱进行混合灵敏度设计等，在此基础上，对电流控制对象进行H控制器设计，得到满意的控制效果后，进一步通过仿真讨论了加权函数的选择以及控制对象的质量摄动对控制效果造成的影响，从仿真结果上看，H控制器实现了较好的鲁棒性。4. 第四章中对论文工作进行总结，并提出展望。2.1 非线性系统模型建立2.1.1 电磁力模型分析首先讨论用电磁铁线圈电流 i 和电磁铁与钢板气隙间距y 表示的电磁铁对钢板的吸引力F 表达式：磁路

33、的磁阻由下列关系表示39：R=ydl0rds+ydl0ds0空气导磁系数(4 107 H /m)r电磁铁线圈与钢板的磁导率已知r可看做非常大，r趋于，得R=2y0Ay 气隙间距A 磁极面积已知B=AB 磁感强度 磁通量又由Ni=RN 电磁铁绕组线圈匝数得到B=A=NiRA所以电磁铁对钢板的作用力为：F=B2A0=NiRA2A0=0AN24iy2由上式可知，电磁吸力F 与电磁铁绕组线圈中的电流i 的平方成正比，与电磁铁和钢板间的气隙间距x的平方成反比，因而钢板所受到的电磁力为依赖于电流和位移的非线性函数24。2.1.2 非线性运动方程分析图 2-2 显示了垂直钢板磁悬浮系统的受力情况，对于垂直带

34、钢（图2-2），带钢张力一般较小，可以忽略，因此它只受到水平方向二个相对电磁力的影响。图2-2垂直带钢受力示意图其中，F1、F2均表示电磁力。2I 表示通过 1、2电磁铁的电流之和，2表示两磁铁间的固定距离。带钢受到的电磁场合力为:F=F1F2=0AN242Ii22y2i2y2 （2-1）2.2 系统模型线性化处理考虑到电磁系统中的电磁力 F 和电磁铁绕组线圈中电流i、电磁铁与带钢之间的气隙间距y 之间存在着非线性关系，若要用线性系统理论进行控制器设计必须对系统中的非线性部分进行线性化。在系统工作范围较小的情况下对系统进行线性化的可能性是存在的。对于垂直带钢系统的非线性受力方程（2-1），假定

35、y 、i 是平衡点、I 附近较小的偏差，在平衡点处用泰勒级数展开法线性化处理后，忽略两阶以上高阶项后可得：F(i,y) = F(I,)+F(I,)(iI)+F(I,)(y) (2-2)F(i, y)垂直带钢所受两块电磁铁合力F(I,)垂直带钢在平衡位置、I 处所受合外力计算得到：FI,=0AN242II222i22=0 (2-3)FiI,=0AN2I2 (2-4)FyI,=0AN2I23 (2-5)将式（2-3）、（2-4）、（2-5）代入（2-2）得：F=Kyy+KiI (2-6)Ky=0AN2I23 位移刚度Ki=0AN2I2 电流刚度对方程（2-6）两边进行Laplace 变换得:mS2

36、YS=K yY(S) KiI(S) (2-7)以I (S)为系统的输入，Y(S)为系统的输出，则垂直带钢磁浮系统的传递函数为：GS=YSIS=KimS2Ky=K0S2P02 P02=Kym K0=Kim该开环系统的特征方程为：S2P02=0,则S=P0。可以看到系统有一个极点在复平面的右半平面，根据系统稳定的充分和必要条件，即系统特征方程式所有根的实数部分须均在复平面的左半平面，可知线性化以后的垂直带钢磁浮系统是不稳定的。3.1 H控制简述3.1.1 现代控制理论与鲁棒性概念经典控制理论主要研究单输入单输出系统，并不要求被控对象的精确数学模型，其主要设计方法是利用Bode 图和Nyquist

37、判据等频域分析方法，基于现场测试得到的被控对象的频率特性曲线，来设定串联和关联补偿器的参数，然后通过现场反复测试，使系统满足性能指标，如常用的PID 控制器就是如此。这种根据误差来确定增益的控制器，它的参数并不依赖于被控对象的数学模型。经典控制理论的设计方法对现代自动化工业的发展起到了非常重要的作用。但是，随着现代科学和技术的发展，经典控制理论已不能满足现代工程技术的要求。因此，自20 世纪60 年代起，以R.Bellman 的著作矩阵分析导论和R.E.Kalman的文章“系统的数学方法”为基础，现代控制理论迅速地发展起来了。随着状态向量、状态空间、能控性和能观测性等概念和方法的引入，现代控制

38、的理论日臻完善。与经典控制理论相比较，以LQG 最优控制理论为代表的现代控制理论，完全依赖于描述被控对象动态特性的精确数学模型。但是，由于在客观的实际工程中，不可避免地存在着各种各样的不满足理想假设条件的不确定因素，因此，想获得精确的数学模型几乎是不可能的事情。为了弥补现代控制理论的这种不足，最有效的手段就是在系统的分析和设计阶段就充分考虑被控对象中所存在的各种不确定因素，即基于含不确定性的非精确模型来分析系统和设计控制器，因此就产生了鲁棒性的概念，一般地，鲁棒性有3个重要概念，即鲁棒稳定性、鲁棒镇定和鲁棒性能，具体是：1) 鲁棒稳定性：假定系统的数学模型属于某一集合，若集合中的每一个系统都是

39、内部稳定的，则称集合中的系统是鲁棒稳定的。2) 鲁棒镇定：假定被控对象的数学模型属于某一集合，一个控制器被称为是鲁棒镇定的，是指它能镇定集合中的每一个被控对象。3) 鲁棒性能：假定被控对象的数学模型属于某一集合，一个控制器被称为具有鲁棒性能，是指它能镇定集合中的每一个被控对象，同时使他们满足某些特定的性能。全面理解“对象的数学模型属于一集合”是正确理解“鲁棒”的基础，它的本质在于阐明对象的不确定性引起的对数学模型表达的特性。从鲁棒性的角度看，经典控制理论虽然没能给出用解析的手段设计控制器的有效方法，但它却根据被控对象的频率特性给出控制器参数的初值，然后再根据现场调试来进一步确定满足要求的控制器

40、参数，这种方法不需要精确的数学模型，因此具有一定的鲁棒性，在工程中得到了广泛的应用。而以线性调节器为代表的现代控制理论，以其对模型严谨的数学描述和对设计指标的精确描述方式，为控制器提供了解析的设计手段。但由于在设计过程中没有考虑实际中存在的模型误差和其他不确定性因素，因而不具有鲁棒性，故在实际工程中得不到广泛的应用。因此，鲁棒性概念是现代控制理论与实际工程相结合的产物，也是对现代控制理论的补充和完善。它架起了现代控制理论和实际工程之间的一个桥梁，从而使现代控制走向了工程实际。由此可见，在设计控制系统时，基于系统的精确模型是不现实的，因此必须分析不确定性，导致了专门分析和处理不确定性系统的控制理

41、论鲁棒控制理论的产生。3.1.2 H控制理论的提出鲁棒控制理论中的分析设计方法主要有H控制理论、结构奇异值方法和Kharitonov 理论等。为了弥补现代控制理论在设计上的缺点，鲁棒控制理论在设计过程中考虑了数学模型所具有的不确定性误差，假设模型频率特性与实际被控对象的频率特性，或者模型参数与实际对象的参数具有一定范围内的偏差，然后用解析的手段设计的控制器使得系统对这一误差范围内的所有被控对象均能满足理想的性能要求。近十几年发展起来的H控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成功且比较完善的理论体系。早在六七十年代，近代控制理论向严谨化、数学化发展的鼎盛时期，以Roseenbroke, Macfar

42、lane, Postlethwaite 等人为代表的英国学者一直主张完善和扩展经典的基于频域特性的设计理论，以改变控制理论过于数学化而脱离实际的现象。但是明确地提出在设计阶段考虑数学模型和实际对象之间误差的是后来的加拿大学者Zames 和美国学者Doyle。针对如何分析和处理受控对象具有不确定性的这一问题，Zames 在1981 年提出了著名的H 控制思想，考虑了一个单输入单输出系统的设计问题。对于属于一个有限能量的信号集的干扰信号，设计一个控制器使系统闭环稳定而且干扰对期望输出的影响最小。提出了以控制系统内部某些信号的传递函数（矩阵）的H范数作为优化指标的设计思想。1984 年加拿大学者Fr

43、ancis 和Zames 用古典的函数插值理论，提出了H 设计问题的最初解法。同时，基于算子理论等现代数学工具，这一方法很快被推广到多变量系统。而英国学者Glover 则将H设计问题归纳为函数逼近问题，并用Hankel 算子理论给出了这个问题的解析解。Glover 的解法又被Doyle 在状态空间上进行了整理并系统地归纳为H控制问题。至此H控制理论体系已经初步形成。这一阶段所提出的H设计问题的解法，所用的数学工具非常繁锁，并不象问题本身那样明确具有工程意义。直到1988 年Doyle 等人在全美控制年会上发表了著名的DGKF 论文，证明了H控制问题的解可以通过解两个适当的代数黎卡提方程得到，D

44、GKF 论文标志着H控制理论的成熟3。目前线性系统的H控制理论已基本成熟，形成了一套完整的频域设计理论和方法，而时域状态空间的Riccati 方法和LMI（线性矩阵不等式）方法，由于具有能揭示系统的内部结构、易于计算机辅助设计等优点而倍受重视。MATLAB 已开发出了关于H控制设计的鲁棒控制工具箱和LMI 工具箱，为实现控制系统的分析和设计提供了极大的方便。基于H控制理论设计控制系统，不论是鲁棒稳定还是干扰抑制问题，都可以归结为求反馈控制器使闭环系统稳定且闭环传递函数阵的H 范数最小或者小于某一给定值。这类控制器的设计方法大体上可分为两大类。一类是基于函数逼近理论和插值理论的解析求解方法，基于

45、汉克尔算子理论的方法就是属于这一类的设计方法，它的主要计算过程是：先将H 控制问题转化为一个模型匹配问题，再将其转化为广义距离问题，最后转化为Nehari 问题来求解。它的优点是可以解析地求得最优解，缺点在于毎步计算都要增加状态，最后得到的控制器状态是对象状态的10-30 倍，而且即使使用降阶方法，也是对象状态的2-3 倍。另一类是直接状态空间法，它直接利用广义受控对象的状态空间描述进行设计和计算，基于Riccati 方程的DGKF 法就属于这类方法，DGKF 法也是目前应用最广泛的H 设计方法。这种方法的算法简单，计算量小，每次迭代仅需求解两个与广义对象相同阶数的代数Riccati 方程，所

46、得控制器的阶数等于广义受控对象的阶数，给出了次优控制器存在的充分必要条件，显示出控制器的结构分离特性，表明 LQG/H2 控制器是H控制器的一个特例。但是它只能解析地求次优解，再靠反复迭代的方法任意逼近最优解。由于工程上的许多设计问题并非需求最优解，而只需要求出次优解，即闭环传递函数阵的H 范数小于某一给定值即可，所以这种方法成为目前应用最广泛的H设计方法。4.1.3 H控制理论的特点及使用中的问题H控制理论具有如下几个特点：1) 充分地克服了经典控制理论和现代控制理论各自的不足，使经典的频域概念和现代的状态空间方法融合在一起；2) 可以把控制系统的设计问题转换成为H 控制问题，设计者可以在很

47、大程度上控制由系统产生的频率响应的形状，使它更接近实际情况，并满足实际要求；3) 鲁棒控制系统的状态空间设计方法；可以通过求解两个黎卡提 Riccati 方程来获得H 控制器，充分的考虑了系统不确定性的影响，不仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化一些性能指标，尽管它回到了输入输出模型，但仍保持了现代控制理论状态空间方法中某些计算上的优点；4) 是频域中的最优控制理论，但H 控制器的参数设计比最优调节器更加直接。经过十多年的迅速发展, H 设计方法在理论上已经比较成熟,但这种方法在实践中应用成功的例子却非常少，其主要原因是：H鲁棒控制理论的标准问题无论在理论上还是算法实现上都已基本成熟，其难点在于实际应用中指标的设定和权函数的选取，不同的对象，不同的设计指标需要不同的权函数，他们之间有一定的普遍适用原则，但相互之间并没有特定的规律可循，更多的