高三数学基础版-等差数列-教师版讲义.pdf

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1、教 师 姓 名 学 生 姓 名 年 级 局 二 上 课 时 间 学 科 数 学 课 题 名 称 等 差 数 列 一、知 识 梳 理 1、等 差 数 列 的 基 本 概 念(1)定 义：4-a,=d,(nN2),或=d(2)递 推 关 系 式：%=4一+d(“N2)或+d(3)等 差 中 项，。,4力 成 等 差 数 歹!|0 2 4=。+6 0 A是。与 力 的 等 差 中 项高 中 数 学 冲 刺 培 优(4)通 项 公 式 a=a i+(n-l)d 用 累 加 法 或 数 学 归 纳 法 得 到，a“=dn+a d。当 时，/是 关 于 的 一 次 式；当 4=0 时，4 是 一 个 常

2、数 an=An+B-形 式=a,”+(九-任 意 两 项 的 关 系%二%=d,表 示/与 项 数”的 对 称 关 系 n-m(5)前 项 和.数 列%的 前 n 项 和 S”=q+%+%+,(M)；数 列%的 通 项 与 前 n 项 和 S“的 关 系：4=2.设 等 差 数 列%的 首 项 为 j 公 差 为 d,则 前 n 项 和 s=?(&+乌),倒 序 相 加 法 2是 两 个 最 基 本 的 量。d 2(dS-n-+a,-n,当 时，s“是 关 于 的 二 次 式 且 常 数 项 为 0；2 2 J当 d=0 时(4 二 0),S,=q是 关 于 的 正 比 例 式.Sn=An2+

3、B n,用 于 待 定 系 数 2、常 见 题 型(1)基 本 法 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前 和 公 式 中，涉 及 到 5 个 元 素：1、d、11、。“及 S“，其 中 可、称 作 为 基 本 元 素。只 要 已 知 这 5 个 元 素 中 的 任 意 3 个，便 可 求 出 其 余 2 个，即 知 3 求 2。(2)新 的 等 差 数 列 的 生 成 若%、以 是 等 差 数 列，则 也、3“+P”(晨 是 非 零 常 数)，而 2 成 等 比 数 列；在 等 差 数 列%中，等 距 离 取 出 若 干 项 也 构 成 一 个 等 差 数 列，即 与,ap+k,ap+2

4、 k4+,*,为 等 差 数 列，公 差 为 k d.特 别 地,S“,S2“-S“,S3“-S2,也 成 等 差 数 列 若 等 差 数 列 储,的 前 项 和 S“，则 2 是 首 项 为 S 1,公 差 为 4 的 等 差 数 列；22 若 也 是 等 比 数 列，且。0,则 logc。”是 等 差 数 歹 U.其 中 c 0 且 CH1(3)等 差 数 列 的 证 明 与 判 定 定 义”,川-an=d(d为 常 数)%-4=(n2)(4)等 差 数 列 前 八 项 和 最 值 的 求 法。法 一：“首 正”的 递 减 等 差 数 列 中，前 八 项 和 的 最 大 值 是 所 有 非

5、 负 项 之 和：“首 负”的 递 增 等 差 数 列 中，前 项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和。由 不 等 式 组 3 2。(或 确 定 出 前 多 少 项 为 非 负(或 非 正)；4+1 4。1 1%+iNOj法 二：因 等 差 数 列 前 八 项 是 关 于 的 二 次 函 数，故 可 转 化 为 求 二 次 函 数 的 最 值，但 要 注 意 数 列 的 特 殊 性”e N*。此 法 是 运 用 了 哪 种 数 学 思 想？(函 数 思 想)(5)如 果 两 等 差 数 列 有 公 共 项，那 么 由 它 们 的 公 共 项 顺 次 组 成 的 新 数 列 也

6、是 等 差 数 列，且 新 等 差 数 列 的 公 差 是 原 两 等 差 数 列 公 差 的 最 小 公 倍 数.二、典 型 例 题 知 识 点 1、等 差 中 项 例 1、三 个 数 成 单 增 的 等 差 数 列，和 为 12,积 为 48,求 这 三 个 数.答 案：2 4、6试 一 试：1、已 知 三 数 成 单 增 的 等 差 数 列，其 和 为 21,平 方 和 为 179,求 这 三 个 数.答 案：3,7,11小 结：为 减 少 运 算 量，要 注 意 设 元 的 技 巧，此 处 体 现 对 称 美 如 奇 数 个 数 成 等 差，可 设 为，a-2d,a d,a,a-d,a

7、+2d(公 差 为 d)；偶 数 个 数 成 等 差，可 设 为，a-+a+3,(公 差 为 2 4)知 识 点 2、项 与 通 项 公 式 4=4+()”一 一 用 累 加 法 或 数 学 归 纳 法 得 到，a=d、-d。当 时，4 是 关 于”的 一 次 式；当 4=0 时，“是 一 个 常 数 q,=A+8一 形 式，用 于 待 定 系 数 a=a,+n-m)d-任 意 两 项 的 关 系 上 2=表 示/与 项 数”的 对 称 关 系 n-m例 3、首 项 为-24的 等 差 数 列，从 第 10项 起 开 始 为 正 数，则 公 差 的 取 值 范 围 是 题 型：an=ax+(H

8、-1)J高 中 数 学 冲 刺 培 优 分 析:ioO%4 0答：-d d 0 C ayd 0答 案：C关 键：由 数 列 2叽 为 递 减 数 列，知 数 列 6%为 递 减 数 列 4aan=a：+q=adn+af-qd,故 4a2,而 当=1 时，4=a+b+c也 满 足 an=2 a n+b-a,即 4+6+c=a+8,故 c=0试 一 试 1.(1)已 知 数 列 q 的 前 项 和 S.=-9，求%=(2)已 知 数 列。“的 前 项 和 S“=/-9+3,求“=关 键：(1)=5-S_l=2H-10,H2,而 当 n=1时，4=y=-8也 满 足%=2-10,综 上 所 述：=2

9、n-10(2)an=Sn-Sn_l=2n-lO,n2,而 当=1时，4=吊=-5不 满 足 q=2-10,综 上 所 述：a=5=1”2/7-10 n 2例 8.(1)在 等 差 数 列 中，5=22,则 以=答 案：2；高 中 数 学 冲 刺 培 优(2)项 数 为 奇 数 的 等 差 数 列,中，奇 数 项 和 为 80,偶 数 项 和 为 75,求 此 数 列 的 中 间 项 与 项 数 答 案:5；31小 结：在 等 差 数 列 中，a2 4 4 a2n-2 a2 na a3%-3。2”-1当 项 数 为 偶 数 2 时，S偶 一 S奇=d；4%a5 a7。2,山。2 4 4 a2n-

10、2 a2 n当 项 数 为 奇 数 2+1时，S奇 一 S偶=q+n d=。用=中，4%4 4 4 a 6 a7 4%当 项 数 为 奇 数 2+1时，S2“+I=(2+1)。中，S奇：S偶=(+1):例 9、设“与?是 两 个 等 差 数 列，它 们 的 前 项 和 分 别 为 S.和 T，若 _ 3/t+l一 4 九 一 3,那 么 2=b j把 6 r 1 2口.8九 一 7A试 一 试、已 知 两 个 等 差 数 列 期 和 儿 的 前 项 和 分 别 为 4 和 5“且 优=7+45，则 使 得 答 hn+3为 整 数 的 正 整 数 的 个 数 是()A.2 B.3 C.4 D.5

11、解：殳=_ 7(2”-1)+45 _ 14+38 _ 7九+19b”2n-l(2-1)+3 2+2 n+1r 12=7+-+1可 见，当 且 仅 当 n=l,2,3,5,11时，答 为 正 整 数.答 案 为 D.小 结：若 等 差 数 列%、的 前 和 分 别 为 4、纥，则(2 T)(q+%i)bn 4+%-2(2-1)伯+。2|)%_126知 识 点 4、等 差 数 列 的 递 推 关 系 式 等 差 数 列 的 递 推 公 式 4=4 T+4，所 代 表 的 函 数 x）=x+”图 像 为 例 10、己 知 数 列,满 足 4”=2-同,WAT，是 否 存 在“I，使 得 生,外,，成

12、 等 差 数 列？若 存 在，求 出 所 有 这 样 的;若 不 存 在，说 明 理 由.解：假 设 这 样 的 等 差 数 列 存 在，那 么%=2 闻，4=2|2同.由 2a2=q+%得 2 q（*）.以 下 分 情 况 讨 论：L 当（2时,由（*）得/=0,与 a1 2矛 盾；口 当 0 v o1M 2 时,由（*）得 q=1，从 而%=1（及=12）,所 以 q 是 一 个 等 差 数 列;当 q wo时，则 公 差 d 二%=（4+2）4=2 0,因 此 存 在 m 22使 得 t?,=al+2（m-l）2.此 时=。,用 一 品=2-鼠 卜 裔。,矛 盾.综 合 口 可 知，当

13、且 仅 当 q=i 时,构 成 等 差 数 列.高 中 数 学 冲 刺 培 优 8等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前”和 公 式 中，涉 及 到 5 个 元 素：、d、n、为 及 S“，其 中 1、d 称 作 为 基 本 元 素。只 要 已 知 这 5 个 元 素 中 的 任 意 3 个，便 可 求 出 其 余 2 个，即 知 3 求 2。1 Q 1 S例 11、数 列 4 中，an=cin_x+(W 2,MG A*)a,t=2 9 前 11 项 和 S=弓，则 q=n=_答 案：-3,10试 一 试 1、等 差 数 列 M J 中，Sn=18,an+an_+an_2=3,S3=1,p

14、iijn=答 案：27；2、已 知 等 差 数 列 4 的 前 八 项 和 是 S“，若 S42IO,S5。，则 logc。是 等 差 数 列.其 中 C 0 且 CH1例 12、等 差 数 列。“中，已 知 45=0，。45=90,则“60=答 案：135关 键：“a30M”，“60构 成 新 的 等 差 数 列 例 13、等 差 数 列 的 前 项 和 为 25,前 2 项 和 为 100,则 它 的 前 3 和 为。答 案:225关 键：S,S2-S,S3-S2n构 成 新 的 等 差 数 列 对 比、等 差 数 列。“中，己 知 2=84,520=460,则 S28=答 案：1092例

15、 14、若 数 列“的 通 项 a.=2 L 则 也 的 通 项 4=ln%.+,则 4 的 前 项 和 S.=答 案.3(+1)加 22高 中 数 学 冲 刺 培 优 例 15、若 等 差 数 列%的 前 项 和 S“，证：是 笠 差 数 列 题 型：定 义 法 证 明 等 差 数 列 证：设 匕 总/（吧：.b-b.=a-a-n I n i 2试 一 试、1、设,为 等 差 数 列，S“为 数 列 4 的 前 项 和，已 知 S?=7,S|5=75,7；为 数 列 的 前“项 和，求 7；。答 案：破 一 2 4 4方 法 一：Sn=An2+Bn方 法 二：设 仇=2,则 他,为 等 差

16、数 列，且 由=1.=5,则 以 7；,=4-n 2 2 4 42、设 等 差 数 列 的 前 项 和 为 S，若 5 1=-2,Sm=0,56+=3,则 m=答 案：5关 键：Aii+!iL=2 8,g|J-+-=2 m=5m?77+1 tn m m+m题 型 3、等 差 数 列 的 证 明 与 判 定 定 义 a+i a=（为 常 数）a=A+6（关 于 的 一 次 函 数）例 16在 数 列,中，4=1,%,=2 4+2，设 纥=券，证 明：数 列 包 是 等 差 数 列 题 型：定 义 法 的 典 型 题 目 分 析：0=5-&=%.2%=w+i n 2 2 一 2”试 一 试、已 知

17、 区-,q=2,求 证：数 列，为 等 差 数 列；答 案：略 例 1 7 设%=2；二（）,求 证：当 且 仅 当 c=g 时，数 列 4 是 等 差 数 列 题 型：通 项 法 的 典 型 题 目 2n2-n 2 2。+2c 一 一（2c-l）c+（2c-l）c（2 c-l cn-c n-c n-c（化 简 假 分 式）10（、（2c-l）c i；。为 等 差 数 列，+B（A 6 为 常 数），所 以 _c=0 c=反 过 来 易.试 一 试：设 正 项 数 列 卬 的 前 八 项 和 是 s“，若 4 和、/5；都 是 等 差 数 列，且 公 差 相 等，则 q+d=_答 案：-4题

18、型：通 项 公 式 的 需 是 的 一 次 式”提 示：底=一,若 疯 为 等 差 数 列,必 须 6 n g题 型 4、等 差 数 列 前 八 项 和 最 值 的 求 法。法 一：“首 正”的 递 减 等 差 数 列 中，前 项 和 的 最 大 值 是 所 有 非 负 项 之 和；“首 负”的 递 增 等 差 数 列 中，前”项 和 的 最 小 值 是 所 有 非 正 项 之 和。由 不 等 式 组!4*。（或%，。确 定 出 前 多 少 项 为 非 负（或 非 正）；4+1 4 01 1+1 2 0 J法 二：因 等 差 数 列 前 八 项 是 关 于 的 二 次 函 数，故 可 转 化

19、为 求 二 次 函 数 的 最 值，但 要 注 意 数 列 的 特 殊 性 此 法 是 运 用 了 哪 种 数 学 思 想？（函 数 思 想）例 18、若 是 等 差 数 列，首 项 q 0,%003+2004。，2003,2004 V。，则 使 前 项 和 S 0成 立 的 最 大 正 整 数 是；为 时，S”最 大 答 案：4006;2003试 一 试、在 等 差 数 列 4 中，4 0 0,且 qil4ol，S.是 其 前/1项 和，则（）A、也 S0都 小 于 0,S,S|2 都 大 于 0B、S,S2白 田 都 小 于 0,S20,S?都 大 于 0c、S|M 5都 小 于 0,S6

20、，S7 都 大 于 0D、S.S?S?o都 小 于 0,S2,22 都 大 于 0答 案：B例 19、（1）等 差 数 列 4 中，4=25,Ss=Si,问 此 数 列 前 多 少 项 和 最 大？并 求 此 最 大 值。答：前 13项 和 最 大，最 大 值 为 169（2）等 差 数 列%中，q=25,S9=518,问 此 数 列 前 多 少 项 和 最 大？并 求 此 最 大 值。答：前 13、14项 和 最 大，最 大 值 为 169题 型 5、如 果 两 等 差 数 列 有 公 共 项，那 么 由 它 们 的 公 共 项 顺 次 组 成 的 新 数 列 也 是 等 差 数 列，且 新

21、 等 差 数 列 的 公 差 是 原 两 等 差 数 列 公 差 的 最 小 公 倍 数.高 中 数 学 冲 刺 培 优 注：公 共 项 仅 是 公 共 的 项，其 项 的 序 号 不 一 定 相 同，即 研 究 为=,.例 20、正 整 数 集 合 中 的 最 小 元 素 为 I,最 大 元 素 为 2016,并 且 各 元 素 从 小 到 大 组 成 公 差 为 正 整 数*的 等 差 数 列.则 加 心 U M3中 的 元 素 的 个 数 为 答 案：13+65-5=73试 一 试（2011文 23）已 知 数 列%和 4 的 通 项 公 式 分 别 为 an=3+6，bn=2n+7（w

22、 N*），将 集 合 xx=an,n&NiJ xx=bll,n&Nt 中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列，构 成 数 列（1）求 三 个 最 小 的 数，使 它 们 既 是 数 列%中 的 项，又 是 数 列 4 中 的 项；（2）求 证：在 数 列。中、但 不 在 数 列 也 J 中 的 项 恰 为 4,4,.“，；（3）求 数 列&的 通 项 公 式.解：三 项 分 别 为 9,15,21。（2）（注 意“恰”字，需 要 证 明”中 的 偶 数 项 不 在 2 中，奇 数 项 在 在,中）任 意 n G N”,设“T=3(2八-1)+6=6+3=2k+7,则 左=3-2,即%,

23、1=2“假 设 a“=6n+6=bk=1*2左+7=%=3-G N2（矛 盾）,%,箔 么 在 数 列 品 中、但 不 在 数 列 也 J 中 的 项 恰 为 巴,4,(3)b3k_2-2(3k 2)+7 6k+3%大 _,砥 _1=6k+5 a2k=6k+6 b3k=6k+7 6%+3 6%+5 6 k+6 6%+7 6%+3(=4 3)6&+5(几=4左-2)*c=,k e N 06k+6(=4Z-1)6 A:4-7(n=4k)国 课 堂 练 习 逊 1、在 等 差 数 列 中，已 知 4+4=1。，贝!+为=答 案：2012关 键：4+4=2zZ+9d=103%+%=+18d=2(4+9

24、d)=202 等 差 数 列%前 9 项 的 和 等 于 前 4 项 的 和，若 q=1,%+4=。，则=答 案：10关 键：品-4=%+4+%+仆+佝=0=%=0,又 4+q=2%，+4=2 x 7,故 2=10.3、若 公 差 为 d 的 等 差 数 列 a“(e N*)满 足/2+1=0,则 公 差 d 的 取 值 范 围 是 选 自：2017.12徐 汇 一 模 9答 案：(co,2U2,+oo)知 识 点：等 差 数 列 与 方 程 有 解 问 题 分 析：/(4+d)+l=0,本 质 为 方 程 有 解 问 题，当 d 在 什 么 范 围 内，能 找 到 小 满 足 方 程 方 法 一：分 离 变 量，化 为 求 值 域；方 法 二：判 别 式 4、等 差 数 列,的 前 项 和 为 5“，已 知 4=10,4 为 整 数，且,V S,求 4,的 通 项 公 式.答 案：an=13 3/7关 键：a4 0,5 10+3t/0,10+4Jy/J=-35.已 知“是 通 项 公 式 为=3+1,问 是 否 存 在 2、Z wN*,有,“+4+i=4?说 明 理 由；答 案：不 存 在