高中数学5-5-1第1课时两角差的余弦公式（学案）.pdf

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1、5.5.1三 角 恒 等 变 换 第 1课 时 两 角 差 的 余 弦 公 式【学 习 目 标】课 程 标 准 学 科 素 养 1.会 用 两 点 间 距 离 公 式 推 导 出 两 角 差 的 余 弦 公 式；1.逻 辑 推 理 2.熟 记 两 角 差 的 余 弦 公 式，并 能 灵 活 运 用.2.数 学 运 算【自 主 学 习】推 导：如 图 所 示，设 单 位 圆 与 x 轴 的 正 半 轴 相 交 于 点 4 1,0)，以 x 轴 非 负 半 轴 为 始 边 作 角。邛，a5,它 们 的 终 边 分 别 与 单 位 圆 相 交 于 点 P、4、P.思 考：Pi、4、P 点 的 坐 标

2、 如 何 表 示？线 段 A P和 4 P 1有 什 么 关 系？两 角 差 的 余 弦 公 式 名 称 简 单 符 号 公 式 使 用 条 件 两 角 差 的 余 弦 C(a-fi)【小 试 牛 刀】1.思 考 辨 析(正 确 的 画 7”，错 误 的 画“X”)(l)cos(60-30)=cos600-cos30.()(2)对 任 意 a,cos(a一 份=cosacos夕+sinasin6 都 成 立.()(3)cos30cos 120+sin30sin 120=0.()(4)求 cosa时，有 时 把 角 a 看 成 角 a+S 与 角 6 的 差.()2.cos 45cos 15+s

3、in 45sin 15等 于()A.B寿。坐 D.小 3.已 矢 口 sin8=g,c o sO=g,贝 1J cos(8：)=()AT B.逋 C.理 D.这 10 10 5 5【经 典 例 题】题 型 一 给 角 求 值 点 拨：利 用 公 式 Ga-m求 值 的 思 路 方 法 1.求 非 特 殊 角 的 余 弦 值 时 可 将 角 转 化 为 特 殊 角 的 差，正 用 公 式 直 接 求 值.2.如 果 函 数 名 称 不 满 足 公 式 特 点，可 利 用 诱 导 公 式 调 整 角 和 函 数 名 称，构 造 公 式 的 结 构 形 式 然 后 逆 用 公 式 求 值.例 1 计

4、 算：(l)cos(-15)；(2)cos 15cos 105+sin 15sin 105.【跟 踪 训 练】1 求 下 列 各 式 的 值:cos75 osl5-sin75sinl95;(2严-；：；尸。题 型 二 给 值 求 值 点 拨：给 值 求 值 问 题 的 解 题 策 略 1.已 知 某 些 角 的 三 角 函 数 值，求 另 外 一 些 角 的 三 角 函 数 值 时，要 注 意 观 察 已 知 角 与 所 求 表 达 式 中 角 的 关 系，即 拆 角 与 凑 角.2.由 于 和、差 角 与 单 角 是 相 对 的，因 此 解 题 过 程 中 可 以 根 据 需 要 灵 活 地

5、 进 行 拆 角 或 凑 角.常 见 角 的 变 换 有：a+B c c B a=(a一 份+尸；仪=21+2；2a=(夕+)+(。一 a)；2夕=(o+)(仪 一 夕).例 2 已 知 a d(0,-),cos(a+-)=,则 cosa 的 值 为 _.2 4 10【跟 踪 训 练】2 已 知 a,6 仔 冗，兀)，sin(a+)=,sin(彳)=!|，求 cos(a+g)的 值.题 型 三 给 值 求 角 点 拨：解 给 值 求 角 问 题 的 一 般 步 骤 1.求 角 的 某 一 个 三 角 函 数 值.2.确 定 角 的 范 围.3.根 据 南 的 范 围 写 出 所 求 的 角.1

6、 1 3例 3 已 知 cosa=,cos（a一 夕）=正，且 0a2,求 少 的 值.【跟 踪 训 练】3 已 知 a,4 均 为 锐 角，且 cosa=当，cosg=鲁，求 a一 夕 的 值.【当 堂 达 标】1.cos 52 cos 7+sin 52 sin 7=()A.-也 2B.史 2C-ID-T2.已 知 锐 角 a,/，满 足 cosa;3 5=p cos（a+.）=一 行，则 COS（2TI一 夕）的 值 为（）A 33A-65c 33B-65 54C65r 54D-653.右 cos(a-)一 坐，cos2a瞎，并 且 a,B 均 为 锐 角，且 ap,则 a+B 的 值 为

7、（)AA 兀 C 兀-6 B4_ 3 71C 彳 c 5兀 DT4.已 知 sin仁+a12T P则 cosa的 值 为 5.化 简:2cosl0O-sin20ocos2036.已 知 2cosa-cos夕=不 2sina-sin/7=2 则 c o s(a-/)二 7.已 知 c o s a=|,cos(Q一 夕)=高 且 0 q 6(泉 求 cos。.8.已 知 cos(a)=一 丘 c o s(a+A)=y p 且 a 蚱 哙 兀)。+夕(岸 2兀)求 角 夕 的 值.【课 堂 小 结】1.“给 式 求 值”或“给 值 求 值”问 题，即 由 给 出 的 某 些 函 数 关 系 式 或

8、某 些 角 的 三 角 函 数 值，求 另 外 一 些 角 的 三 角 函 数 值，关 键 在 于“变 式”或“变 角”，使“目 标 角”换 成“已 知 角”.注 意 公 式 的 正 用、逆 用、变 形 用，有 时 需 运 用 拆 角、拼 角 等 技 巧.2.“给 值 求 角”问 题，实 际 上 也 可 转 化 为“给 值 求 值”问 题，求 一 个 角 的 值，可 分 以 下 三 步 进 行：(1)求 角 的 某 一 三 角 函 数 值；(2)确 定 角 所 在 的 范 围(找 区 间)；(3)确 定 角 的 值(确 定 用 所 求 角 的 哪 种 三 角 函 数 值，要 根 据 具 体 题

9、 目 而 定).【参 考 答 案】【自 主 学 习】Pi(cosa,since)Ai(cosy?,sin夕)、P(cos(a。),sin(a)AP=APcos(a=cosacos夕+sinasin.a,夕 为 任 意 角【小 试 牛 刀】i.(i)x q(3)q(4)q2.B 解 析：原 式=cos(4515)=cos 300=勺.3.B 解 析：Vsin-)=coscos-+sinsin-=cos+sin=x-+x.4 4 2 2 2 5 2 5 10【经 典 例 题】例 1 解：解 法 一：原 式=cos(30。-45o)=cos30Ocos45o+sin3()Osin45。2,1 y2

10、y6+y2=2*2+屋 2=4-解 法 二：原 式=cos 15。=cos(45-30)=cos45cos300+sin45sin30小 小 i小 1 y16+y12=2 X 2+2 x-=4-原 式=cos(15 105。)=cos(90。)=COS90。=0.【跟 踪 训 练】1 解:(I)cos75cosl5-sin75osinl950=cos750cosl5+sin75sinl50=cos(75-15)=cos60=i库 cos(15Q-8。)-sin 15 sin 8cos 8_ cos 15 cos 8+sin 15 sin 8-sin 15 sin 8cos 8=-co-s-1-

11、5-c；os 8=cosl5-o=cos(/6/0A。45._o)x=cos 8例 2 当 解 析：因 a e(0,柒，即:Jl cos?(a+-)3所 以 cosa=cos(a+：)-：=cos(a+：)c【跟 踪 训 练】2 解：因 为 a,蚱 仔 x/6+V24-+-/10 x 2Vs:os-+sm(a+-)sin-=(-1-)=.4 4 2 J o 10 7 5sin(a+y?)=sinj一 野T 鸣%），513所 以 c o s(a+/)=,cos(Q一 彳兀=c o s(a+Q)c o s：J+sin(a+A)s i n.一：4(5、/3、12 56=热 一 司+【一 寸 石=一

12、而 例 3 解：由 c o sa=；,00当 得 sina=yj 1 cos2a=由 0夕 1与 得 Ova一 尸.13又 因 为 cos(a)=y 1,所 以 s i n(a _ 0=c o s a-A)：(H)2=由 夕=a(a-/0得 cos/?=cosa(a/?)=cosacos(aQ)+sinasin(a 一 尸)=cosacos(a-jff)+sinasin(a一 份 1 1 3 1 4 s 3 s 1=7X14+7 X M=2J7 1 TT因 为 oW5，所 以“=予【跟 踪 训 练】3 解：原 夕 均 为 锐 角,.y5.介 3/TO sin a=,sin p=-,5 尸 io

13、/.cos(a-A)=cosacos在+siruxsin夕 _2V5 Vio,V s 3710_V2-X-1-X-.5 10 5 10 2又 sinaV si必/.0ay?p/一 V a一 夕 VO,故 a-8=-.【当 堂 达 标】_ 历 1.B 解 析：cos52cos7+sin52sin7=cos(52一 7)=cos45=.故 选：B.23 52.A 解 析:因 为 a,0 为 锐 角，cosa=,cos(a+Q)=一 百,-4 12 所 以 sina=g,sin(a+H)=百，所 以 cos(2兀 一 夕)=cos夕=cos(a+，)-a 5 3 12 4 33、=cos(a+4)c

14、osa+sin(a+4)sin a=一 百 x g+百 乂 5=行.故 选 A.兀 7 T3.C 解 析：*.*0a/3y；一 一 夕 0,02。兀.、行 25由 cos(a一 尸)=$，得 sin(a尸)=.由 cos2a=Vio1 0，得 sin2a=普./.cos(a+4)=cos2(a 一 夕)=cos2acos(a/?)+sin2asin(a/?)=迎 亚 屈(_ 福=_ 啦 10 5+10 1 5)2-3兀 又,.。+(0,7i),.,.a+4=了.4.1 2 5解 析：因 为 sinlcos20V3cos200+sin200-sin20/c o s 2 0。r_ i。=3-45-

15、2 96.一 解 析：ftl(2coscr-cos/7)=4cos2 c r-4 co saco s/7+cos2/7=,16 4(2 s in a sin力=4sin2cr-4sin6zsiny0+sin2(3=4,两 式 相 力 口 有 25-/55-4(cosacos/+sin a sin=5-4cos(cif-/?)=,口 J 得 cos(a-尸)=-.4 167.解：因 为 所 以 OVa一 夕 v,因 为 co sa=$所 以 s i n a=-cos?a=瞪,又 cos(a/)=，所 以 sin(a)=7 1-cos2(a-P)=y,所 以 cos)ff=cos a(a-(iy-

16、cosacos(a-0+sin a sin(a)=|x y+詈 x a13127 T2,c o s+a所 以 cos。=cos 3+a)37 1=c o s(j+a j c o s+s i n71+a j s i n7 1=一,35 1.12 3 12 3-5I3X2+I3X2 一 2一 65.小 解 析：原 式=2cos(30-20)-sin20cos20所 U L 以 t、I 兀 I（兀 1+仪 仁 仁 兀 33+。）=产 B-32cos30cos200+2sin30sin20-sin20cos20 cos20,8.解：由 a 蚱&KJ,且 cos(a 0=一 丘 sin(x-p)=13,由 a+4(竽，2，且 co s(a+0=1 1,得 sin(a+m=一 得 cos2夕=cos(a+/?)(一 份=cos(a+4)c o s(a-.)+sin(a+.)sin(a一 4)=备(一 耳+(-*)*=-1.因 为 a一 仔，兀)，0+46修，2兀)，