2011年中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.doc

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1、2011年中山大学研究生入学考试数学分析试题解答.科目代码：670摘 要：本文给出了中山大学2011年研究生入学考试数学分析试题的一个参考答案.关键词：中山大学；研究生 数学分析白 建 超2012年5月30日1.(每小题15分，共60分)计算下列各题:(1) (2) .(3) .(4) ,其中为立体的边界曲面.解(1) (2)首先做一下说明：对积分做变换，则， 所以. 故 (3)首先级数在时收敛，因为由比值判别法的极限形式有 ，即，所以对，当时收敛，极限不存在，即发散；当时收敛，极限存在，记当则,两式相减解得. 又,所以 (4)记上顶面为，锥面：. 当时，； 当，.则.2.(15分)考察函数在

2、点的可微性.解 本人感觉此题有问题，应该是若不是，显然和都不存在，也不存在，故不可微. 下面给出我的个人见解：而与的取值有关，故此极限不存在，所以在点的不可微.3.(15分)求空间一点到平面的最短距离.解 设为平面上的任意一点，则目标函数为.可以转化为求函数在约束条件的最小值问题.此题有两种解法(方法1)利用拉格朗日乘数法求条件极值，设，对分别求偏导数，并令其为零，即 代入得从而,所以点到平面的最短距离为.(方法2)可以将约束条件代入函数中消去，转化为求二元函数的极小值问题,由于计算比较复杂，不再赘述，有兴趣的读者可以做一下.4.(20分)设，求由抛物线与双曲线所围成的平面区域的面积.解 如图所示，解得交点坐标分别为故所求的区域面积为附图：5.(20分)设，试问为何值时，方程存在正实根.解 令，则有因为在上严格单调递减，且有当时，此时解得显然成立，故当时， 在上严格单调递减.而，所以方程在时不存在正实根.当时，令解得，即在上单调递减，在上单调递增,又，由介值性定理知，方程在内有唯一的正实根.6.(20分)设函数定义在上，证明上满足下述方程：.证 设,则即,(为常数)，所以故证.