高中数学立体几何与空间向量(解析).pdf

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1、立 体 几 何 与 空 间 向 量 1、线 面 平 行 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理 1）线 面 平 行 的 判 定 定 理：平 面 外 一 条 直 线 与 此 平 面 内 的 一 条 直 线 平 行，则 直 线 与 平 面 平 行.符 号 语 言：a（Z a,b（za,a/b=a/a.要 判 定 直 线 与 平 面 平 行，只 需 证 明 直 线 平 行 于 平 面 内 的 一 条 直 线.2）线 面 平 行 的 性 质 定 理：一 条 直 线 与 一 个 平 面 平 行，则 过 这 条 直 线 的 平 面 与 已 知 平 面 的 交 线 与 该 直 线 平 行.符 号 语 言：a

2、/a,ac:/3,aC/3=ha/b.当 直 线 与 平 面 平 行 时，直 线 与 平 面 内 的 直 线 不 一 定 平 行，只 有 在 两 条 直 线 共 面 时 才 平 行.3）面 面 平 行 的 判 定 定 理：一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 与 另 一 个 平 面 平 行，则 这 两 个 平 面 平 行.符 号 语 言：a/a,b/a,aall/3.要 使 两 个 平 面 平 行，只 需 证 明 其 中 一 个 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 与 另 一 个 平 面 平 行 即 可，这 里 的 直 线 需 是 相 交 直 线.4）面 面 平 行 的 性 质

3、定 理：如 果 两 个 平 行 平 面 同 时 与 第 三 个 平 面 相 交，那 么 它 们 的 交 线 平 行.符 号 语 言：a l l=m,pCy=n=mlln.2、直 线、平 面 垂 直 的 判 定 定 理 与 性 质 定 理 1）线 面 垂 直 的 判 定 定 理：如 果 直 线 垂 直 于 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线，则 直 线 与 平 面 垂 直.符 号 语 言：/_ L a,/_ L b,a u a,O u e,a n=P=/_ L a.要 判 定 直 线 与 平 面 垂 直，只 需 判 定 直 线 垂 直 于 平 面 内 的 两 条 相 交 直 线 即 可.2）

4、线 面 垂 直 的 性 质 定 理：垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线 平 行.符 号 语 言：a 工 a,b L a=a/b.此 性 质 反 映 了 平 行、垂 直 之 间 的 关 系，也 可 以 获 得 以 下 推 论：两 直 线 平 行，若 其 中 一 条 直 线 与 一 个 平 面 垂 直，则 另 一 条 直 线 也 与 该 平 面 垂 直.3）面 面 垂 直 的 判 定 定 理：若 直 线 垂 直 于 平 面，则 过 该 直 线 的 平 面 与 已 知 平 面 垂 直.符 号 语 言：a L a,a u a 1 0.要 证 明 平 面 与 平 面 垂 直，关 键 是

5、在 其 中 一 个 平 面 内 找 到 一 条 与 另 一 个 平 面 垂 直 的 直 线.4）面 面 垂 直 的 性 质 定 理：两 个 平 面 垂 直，则 一 个 平 面 内 垂 直 于 交 线 的 直 线 与 另 一 个 平 面 垂 直.符 号 语 言：a V/3,ay/3=m,n（a,nV m=n V（3.要 通 过 平 面 与 平 面 垂 直 推 理 得 到 直 线 与 平 面 垂 直，必 须 满 足 直 线 垂 直 于 这 两 个 平 面 的 交 线.3、异 面 直 线 所 成 角 设 异 面 直 线 a,6 所 成 的 角 为 仇 则 c o s 6=1,其 中 a,b 分 别

6、是 直 线”，6 的 方 向 向 量.4、直 线 与 平 面 所 成 角 设/为 平 面 a 的 斜 线，/na=A,a为/的 方 向 向 量，n 为 平 面 a 的 法 向 量，为/与 a 所 成 的 角，则 s in e=|c o s a,n|=iaMIMMl5、二 面 角 平 面 a 与 相 交 于 直 线/,平 面 a 的 法 向 量 为 m，平 面”的 法 向 量 为 ri?,=仇 则 二 面 角 a-/为。或 兀 一“设 二 面 角 大 小 为（p,则 1 0 型 闫 三 鸨 含 6、利 用 空 间 向 量 求 距 离 点 到 平 面 的 距 离 如 图 所 示，已 知 A B 为

7、 平 面 a 的 一 条 斜 线 段,n 为 平 面 a 的 法 向 量,则 B 到 平 面 a 的 距 离 为|初 尸 端 选 择 题（共 5小 题）1.（2021新 高 考 I）已 知 圆 锥 的 底 面 半 径 为 企,其 侧 面 展 开 图 为 一 个 半 圆，则 该 圆 锥 的 母 线 长 为（）A.2 B.2V2 C.4 D.472【解 答】解：由 题 意，设 母 线 长 为/,因 为 圆 锥 底 面 周 长 即 为 侧 面 展 开 图 半 圆 的 弧 长，圆 锥 的 母 线 长 即 为 侧 面 展 开 图 半 圆 的 半 径，则 有，2兀-72=7 1-/,解 得 I=2VL所

8、以 该 圆 锥 的 母 线 长 为 2或.故 选：B.2.（2021 新 高 考 H）正 四 棱 台 的 上、下 底 面 的 边 长 分 别 为 2,4,侧 棱 长 为 2,则 其 体 积 为（）A.20+12次 B.2 8 a56C.328V2D.-3【解 答】解：如 图 ABC。-4 8 1 c 1。1为 正 四 棱 台，A B=2,A B=4,AA=2.在 等 腰 梯 形 A1B1BA中，过 A 作 A E _LA iB i,可 得 A 1 E=-J-=1,AE=J AAJ-AZE2=V 4-1=V3.连 接 AC,AC,AC=V 4 T 4=2/2,4。=C16+16=4&,过 A 作

9、 AG_LAi。，AG=V2,AG=J AA-A1G2=V 4 2=V2,正 四 棱 台 的 体 积 为：S上+s+JS上，S 广 V=-5-x h=22+42+y/22x423万 _ 28/2X 2=-y-故 选：D.3.（2021 新 高 考 H）北 斗 三 号 全 球 卫 星 导 航 系 统 是 我 国 航 天 事 业 的 重 要 成 果.在 卫 星 导 航 系 统 中，地 球 静 止 同 步 轨 道 卫 星 的 轨 道 位 于 地 球 赤 道 所 在 平 面，轨 道 高 度 为 36000b”（轨 道 高 度 是 指 卫 星 到 地 球 表 面 的 距 离）.将 地 球 看 作 是 一

10、 个 球 心 为。，半 径 r 为 6400h 的 球，其 上 点 A 的 纬 度 是 指 OA与 赤 道 平 面 所 成 角 的 度 数.地 球 表 面 上 能 直 接 观 测 到 的 一 颗 地 球 静 止 同 步 轨 道 卫 星 点 的 纬 度 最 大 值 为 a,该 卫 星 信 号 覆 盖 地 球 表 面 的 表 面 积 S=2 T T J（1-c o s a）（单 位：km2）,则 S 占 地 球 表 面 积 的 百 分 比 约 为（）A.26%B.34%C.42%D.50%【解 答】解：由 题 意，作 出 地 球 静 止 同 步 卫 星 轨 道 的 左 右 两 端 的 竖 直 截

11、面 图，地 球 静 止 同 步 轨 道 贝 I OP=36000+6400=4 2 4 0 0 0,那 么 cosa=备;卫 星 信 号 覆 盖 的 地 球 表 面 面 积 S=2 TTJ（1-cosa）,那 么，S 占 地 球 表 面 积 的 百 分 比 为 27rd 42%.4兀 产 106故 选：C.4.（2021甲 卷）已 知 4,B,C 是 半 径 为 1 的 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点，S.ACLBC,A C=B C=1,则 三 棱 锥 O-A B C 的 体 积 为（）V2 V3 V2 V3A.B.C.D.12 12 4 4【解 答】解：因 为 4CLBC,A C=B

12、 C=,所 以 底 面 A B C 为 等 腰 直 角 三 角 形，所 以 ABC所 在 的 截 面 圆 的 圆 心 0为 斜 边 A B 的 中 点，所 以。0 平 面 ABC,在 Rt/VABC 中，AB=JAC2+BC2=V 2,则 A。1=与，在 RtAAOOi 中，。1=JoA2-AO）=导,故 三 棱 锥 O-ABC 的 体 积 为 U=|Sh AB C-0 01=1 X|X 1 X 1 X=Y|.5.（2021乙 卷）在 正 方 体 A8CO-AiBiCiD中，P 为 8iQi的 中 点，则 直 线 P B 与 AD1所 成 的 角 为（）71 T T 71 11A B C.D.

13、一 2 3 4 6【解 答】.,.直 线 P B 与 A与 所 成 角 为 NPBC1,在 正 A1BC1中，B P 是。的 平 分 线，:.NPBC=ZO71直 线 P B 与 AD所 成 的 角 为 76故 选：D.二.多 选 题（共 2 小 题）（多 选）6.（2021新 高 考 II）如 图，下 列 正 方 体 中，。为 底 面 的 中 心，P 为 所 在 棱 的 中 点，M,N 为 正 方 体 的 顶 点，则 满 足 M N，。尸 的 是（）【解 答】解：对 于 A,设 正 方 体 棱 长 为 2,设 M N 与 O P 所 成 角 为 0,tane=T-=|V4+4 2则 不 满

14、足 MNJ_OP,故 A 错 误;对 于 8,如 图，作 出 平 面 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 棱 长 为 2,则 N(2,0,0),M(0,0,2),P(2,0,1),O(1,1,0),M N=(2,0,-2),OP=(1,-1,1),M N OP=0,满 足 MN1.O P,故 B 正 确；对 于 C,如 图，作 出 平 面 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 棱 长 为 2,则 M(2,2,2),N(0,2,0),O(1,1,0),P(0,0,1),加=(-2,0,-2),OP=(-1,-1,1),M N-OP 0,：.满 足 M N 1 O P,故 C 正 确；对 于。，如

15、图，作 出 平 面 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 棱 长 为 2,S f则 M(0,2,2),N(0,0,0),P(2,1,2),O(1,1,0),M N=(0,-2,-2),OP=(1,0,2),疝 V 办=-4,.不 满 足 O P,故。错 误.故 选：BC.(多 选)7.(压 轴)(2021新 高 考 I)在 正 三 棱 柱 A B C-481。中,AB=A4i=l,点 P 满 足 而=人 院+欧 良,其 中 入 曰 0,1,|1GO,1,则()A.当 入=1时，ABiP的 周 长 为 定 值 B.当 四=1时，三 棱 锥 P-4 B C 的 体 积 为 定 值 C.当 人 另 时

16、，有 且 仅 有 一 个 点 P,使 得 AiPLBPD.当 时，有 且 仅 有 一 个 点 尸，使 得 平 面 4B1P【解 答】解：对 于 A，当 入=1 时，BP=BC+iBB1,即 鼠=841，所 以 辰 故 点 P 在 线 段 C C 上，此 时 ABiP的 周 长 为 A8I+8IP+AP,当 点 P 为 CCi的 中 点 时，48iP的 周 长 为 b+V I当 点 P 在 点 C1处 时，ABP的 周 长 为 2鱼+1,故 周 长 不 为 定 值，故 选 项 A 错 误；对 于 8,当 四=1 时，BP=ABC+BBX,即 所 以|BC,故 点 尸 在 线 段 81cl上，因

17、为 BiCi 平 面 A1BC,所 以 直 线 BC上 的 点 到 平 面 AiBC的 距 离 相 等，又 A/C 的 面 积 为 定 值,所 以 三 棱 锥 P-A 1 B C的 体 积 为 定 值，故 选 项 8 正 确;对 于 C,当 入=割 寸，取 线 段 BC,8 6 的 中 点 分 别 为 M,M i,连 结 A W,因 为 晶=寺 后+B%i，即 加=所 以 而|B%i，则 点 P 在 线 段 M iM上，当 点 P 在 Mi 处 时,AiMiBiCi,又 BiCiCBiB=Bi,所 以 CMi_L 平 面 BBiGC,又 8M iu平 面 8 B C 1 C,所 以 即 AiP

18、_L8P,同 理，当 点 P 在 历 处，AiPA.BP,故 选 项 C 错 误；对 于,当 时，取 C C 1的 中 点 Oi,B 8 i的 中 点 力，因 为 丽=4品+即 而=4品，所 以 防 II品，则 点 P 在 线 的 上，当 点 P 在 点 0 1处 时，取 4 c 的 中 点 E,连 结 AiE,BE,因 为 BEJ_平 面 A C C 1A 1,又 AQiu平 面 A C C 1 4,所 以 AOi_LBE,在 正 方 形 A C G A 1中，ADLAE,又 BECAiE=E,BE,AiEu平 面 AiBE,故 AQi_L平 面 A iB E,又 4 B u平 面 A iB

19、 E,所 以 AiB_LAOi,在 正 方 体 形 中，A1B1AB1,y.ADQAB=A,AD,ABiu 平 面 A B iD i,所 以 4B_L 平 面 A B iQ,因 为 过 定 点 A 与 定 直 线 A1B垂 直 的 平 面 有 且 只 有 一 个，故 有 且 仅 有 一 个 点 P,使 得 4 8,平 面 A 8 iP,故 选 项 力 正 确.故 选：BD.四.解 答 题(共 5小 题)8.(2021甲 卷)已 知 直 三 棱 柱 A B C-AIBICI 中，侧 面 A41818为 正 方 形，AB=BC=2,E,尸 分 别 为 4 c 和 C C1 的 中 点，BFAiBi

20、.(1)求 三 棱 锥 F-E B C 的 体 积；(2)已 知。为 棱 4 B 1上 的 点，证 明：BF1DE.【解 答】解：（1）在 直 三 棱 柱 A 8 C-4 B I。中，8Bi_L4Bi,又 BF_LAiBi,BBGBF=B,BB,BFu平 面 BCC向，.48i_L平 面 BCCB,：AB/AB,平 面 BCCB,：.ABBC,又 A B=B C,故 4 c=V22+22=2V2,CE=V2=BE,1 1而 侧 面 AABB 为 正 方 形，=C C i=A B=1,W=|SA EBC-CF=|x|x V 2 x V 2 x l=1,即 三 棱 锥 F-EBC 的 体 积 为

21、点(2)证 明：如 图，取 B C中 点 G,连 接 EG,BiG,设 BiGCB尸=H,点 E 是 AC的 中 点，点 G时 8 C的 中 点，：.EG/AB,：.EG/AB/BD,:E、G、Bi、。四 点 共 面，由（1）可 得 A8_L平 面 5CC181,EG_L平 面 3CC131,：.BFEGfV tanCBF-f tanZ-BBG pp-i,且 这 两 个 角 都 是 锐 角,D L Z D D-y Z：.ZC B F ZB B G,：.NBHBi=NBGBi+NCBF=NBGBi+NBBtG=90,：.BFBiG,又 EGCBiG=G,EG,BiGu平 面 EG81。，.BEL

22、平 面 EGBD,又 OEu平 面 EGBiD,J.BFYDE.9.（2021 新 高 考 H）在 四 棱 锥 Q-ABCD中，底 面 AB。是 正 方 形，若 AD=2,QDQA=V5,QC=3.（I）求 证：平 面 0 4。，平 面 ABC。；（II）求 二 面 角 8-Q-A的 平 面 角 的 余 弦 值.【解 答】（I）证 明：AQCD 中，C=AO=2,QD=V5,Q C=3,所 以 CD2+QD2Q C2,所 以 CDJ_QD；又 CD LAD,ADHQD=D,ADu 平 面 QAO,QOu 平 面 QA。，所 以 C）_ L 平 面 QAD；又 Cu平 面 A B C D,所 以

23、 平 面 Q A D m ABCD.(II)取 A。的 中 点。，在 平 面 ABCD内 作 OxJ_A。，以。所 在 直 线 为 y 轴，。所 在 直 线 为 z轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-q z,如 图 所 示:则。(0,0,0),B(2,-1,0),D(0,1,0),Q(0,0,2),因 为 Ox,平 面 AOQ,所 以 平 面 A O Q 的 一 个 法 向 量 为 0=(1,0,0),设 平 面 B。的 一 个 法 向 量 为 2=(x,y,z),由 2。=(-2,2,0),DQ=(0,-1,2),得 僚 二：即 串+2”。，得 产 一 所 以 j 2,所 以 cos

24、Va,0ct,p _ 2+0+0 _ 2a-p lx+4+l 3所 以 二 面 角 B-Q D-A 的 平 面 角 的 余 弦 值 为|.10.(2021乙 卷)如 图，四 棱 锥 P-ABC。的 底 面 是 矩 形，P/底 面 ABC。，PO=OC=1,M 为 BC 中 点,且 PBLAM.(1)求 BC；(2)求 二 面 角 A-PM-B 的 正 弦 值.【解 答】解：(1)连 结 3,因 为 PO_L底 面 ABCD,且 AMu平 面 488,则 AM2.PO,又 PBCPD=P,PB,Pu平 面 尸 8。，所 以 平 面 P B D,又 BOu平 面 P B D,则 AMBD,所 以

25、NABC+NMAB=90,又 N A BQ+/A Q B=90,则 有 N A B=N M 4 8,所 以 RtZXZMBsRt/ABM,4D BA 1则 而=,所 以 yBC?=i,解 得 BC=V2；(2)因 为 DA,D C,。尸 两 两 垂 直，故 以 点。位 坐 标 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示，则 4(近，0,0),B(V2,1,0),M(苧，L 0),P(0,0,1),T T 万 T 万 T所 以 AP=(V L 0,1),A M=(一 号,L 0),B M=(噬,0,0),BP=(一&，-1,1),设 平 面 AM P的 法 向 量 为=(%,y,

26、z),Tn _ n(V2x+Z=0则 有？竺=,即 72，(TIT M=0(-2%+y=。令=近，则 y=l,z=2,故？i=(&，1,2),设 平 面 3M尸 的 法 向 量 为 薪=(p,q,r),则 有 秒 号=,即 卜 冬=,BP=0 y2p-q+r=0令 9=1,则 厂=1,故 薪=(0,1,1),所 以|c o s/,薪|=居 沙=不 3=1 7 1 1 1 M l/7 X/2 14设 二 面 角 A-P M-B 的 平 面 角 为 a,u n i-x-7_ C _ I/3J14、；V70W U sina=v l cosa=J I-c o sV n,m=J 1-()z=y/70所

27、以 二 面 角 A-PM-B 的 正 弦 值 为 一 7.11.（2021甲 卷）已 知 直 三 棱 柱 A B C-A iB iC i中，侧 面 AA181B为 正 方 形，A B=B C=2,E,f 分 别 为 AC和 CC1的 中 点，力 为 棱 4 B i上 的 点，BF1AB.(1)证 明：BFLDE-,（2）当 劭。为 何 值 时，面 8 B C 1 C 与 面。F E所 成 的 二 面 角 的 正 弦 值 最 小？【解 答】(1)证 明：连 接 4F,/,尸 分 别 为 直 三 棱 柱 A B C-4B 1C 1的 棱 A C和 CC1的 中 点，且 A B=B C=2,CF=1

28、,BF=V5,：B F L A B,A B/A B,.,.BF1.AB：.AF=yjAB2+BF2=J 22+(V5)2=3,AC=VAF2-CF2=V32-I2=2VL：.AC2=AB2+BC2,即 BABC,故 以 B 为 原 点，BA,BC,8B1所 在 直 线 分 别 为 x,y,z 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,则 A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),F(0,2,1),设 81。=机，则 D(机，0,2),：.BF=(0,2,1),DE=(1-/n,1,-2),J.BF-DE=0,B P BFVDE.(2)解:平 面

29、BBiCiC,.平 面 BB iC iC的 一 个 法 向 量 为 方=(1,0,0),由(1)知，DE=(1-1,-2),T=(-1,1,1),设 平 面 Q E F的 法 向 量 为 旌 G,y,z),则 层 呼=，即 已 二:)：2 一=。，(n EF=0(%十 y 十 z-u令 x=3,则 y=nz+l,z=2-m,.*.n=(3,m+,2-./-p-n 3 3 3 cos=-T t=-/i T=,IPHnl lx j9+(m+l)2+(2-m)2 J 2m2-2nl+14 J2(zn-；)，:.当 口;时，面 BB iC iC与 面 Q F E所 成 的 二 面 角 的 余 弦 值

30、最 大，此 时 正 弦 值 最 小，故 当 B iO=%寸，面 B B 1 C 1 C与 面 O F E所 成 的 二 面 角 的 正 弦 值 最 小.12.(2021新 高 考 I)如 图，在 三 棱 锥 A-B C D中，平 面 平 面 8C。，A B=A D,。为 BO的 中 点.(1)证 明：OALCD-.(2)若 OCO是 边 长 为 1的 等 边 三 角 形，点 E 在 棱 A O上，E=2E 4,且 二 面 角 E-8 C-。的 大 小 为 45,求 三 棱 锥 A-BC。的 体 积.【解 答】解：(1)证 明：因 为 A 8=A,。为 B的 中 点，所 以 AO LB。，又 平

31、 面 4 8 0 J_平 面 B C D,平 面 ABOC平 面 BC)=B。，AOu平 面 ABD,所 以 AO_L平 面 B C D,又 CDu平 面 BCD,所 以 AO_LCD；(2)方 法 一：取 0。的 中 点 凡 因 为 0C。为 正 三 角 形，所 以 CF_L。，过。作 O M M C F 与 B C 交 于 点 M,则 OM_L0D,所 以 OM,0 D,。4 两 两 垂 直，以 点 0 为 坐 标 原 点，分 别 以 OM,0D,0 4 所 在 直 线 为 x 轴，y 轴，z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 如 图 所 示,则 8(0,-1,0),C得,0),D(0

32、,I,0),设 A(0,0,力,贝 同 0,1,y),因 为 OAJL平 面 B C D,故 平 面 BC。的 一 个 法 向 量 为&=(0,0,t),设 平 面 BCE的 法 向 量 为 孩=(x,y,z),又 B C=,楙，0)BE=(0,等),oO=yZ3.f2t_31+V324zdll得 oo=TcTE-OD-DoTnTnXK V由 以 所 tn因 为 二 面 角 E-B C-O 的 大 小 为 45,所 以|cos=nOA解 得 1=1，所 以 OA=1,又 S O C D=X 1 X 1 X 苧=空,所 以 S B C O=亭，-1 1 叵 叵 故 以-B C D=qSBCD 0

33、 A=SX 12X 1=-选 择 题（共 6 小 题）1.设 a、0 是 两 个 不 同 的 平 面，/是 一 条 直 线，则 以 下 命 题 正 确 的 是（）A.若/a,a B，则/u0 B.若/a,ap,则 C.若/La,a l p,则/u0 D.若/La,a 仇 则【解 答】解：a、0 是 两 个 不 同 的 平 面，/是 一 条 直 线，对 于 A,若/a,a 0,则/u0或/0,故 A 错 误；对 于 B,若/a,a l p,则/与 B 相 交、平 行 或 仁 0,故 8 错 误；对 于 C,若/_La,ap,则/up或/0,故 C 错 误；对 于。，若/La,a B，则 由 线

34、面 垂 直 的 判 定 定 理 得/，仇 故。正 确.故 选：D.2.几 何 原 本 是 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 的 一 部 不 朽 之 作，其 第 十 一 卷 中 称 轴 截 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 的 圆 锥 为 直 角 圆 锥.若 一 个 直 角 圆 锥 的 侧 面 积 为 36立 TT,则 它 的 体 积 为（)A.18V2TT B.72-rr C.64&兀 D.216n【解 答】解：设 该 直 角 圆 锥 的 底 面 圆 半 径 为 r,高 为，母 线 长 为/,因 为 直 角 圆 锥 的 轴 截 面 为 等 腰 直 角 三 角 形，所 以/z=r,/=因

35、 为 直 角 圆 锥 的 侧 面 积 为 36位 兀，所 以 兀 包=壶 口 2=36让 兀，解 得 r=6,1 1 1所 以 该 直 角 圆 锥 的 体 积 为 一 nr，=-nr3=-7T x 63=727r.3 3 3故 选：B.3.在 三 棱 锥 尸-A 8 C 中，ABC是 等 腰 直 角 三 角 形，AB=BC=2,P C=A C,且 PC_L平 面 A B C,则 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为（）4 32A.16Tl B.8n C.-7r D.n3 3【解 答】解：因 为 ABC是 等 腰 直 角 三 角 形，A 3=5 C=2,所 以 4 B C=90,AC=

36、V22+22=22.因 为 P C,平 面 A3C,ACu平 面 A B C,所 以 A C L P C,所 以 A P 为 球 的 直 径，且 AP=JAC2+PC2=J：+Q 夜）2=4,所 以 三 棱 锥 P-A B C 的 外 接 球 的 半 径 为 2,所 以 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为 16n.故 选：A.4.阿 基 米 德 是 伟 大 的 古 希 腊 数 学 家，他 和 高 斯、牛 顿 并 列 为 世 界 三 大 数 学 家，他 一 生 最 为 满 意 的 一 个 数 学 发 现 就 是“圆 柱 容 球”定 理，即 圆 柱 容 器 里 放 了 一 个 球，该

37、球 顶 天 立 地，四 周 碰 边（即 球 与 圆 柱 形 容 器 的 底 面 和 侧 面 都 相 切），球 的 体 积 是 圆 柱 体 积 的 三 分 之 二，球 的 表 面 积 也 是 圆 柱 表 面 积 的 三 分 之 二.今 有 一“圆 柱 容 球”模 型，其 圆 柱 表 面 积 为 12TT,则 该 模 型 中 球 的 体 积 为（）8 872A.8TT B.4TT C.f D.-TT3 3【解 答】解：由 题 意 球 的 表 面 积 为 127rxi=8兀，即 4717=811,得 r=企，,球 的 体 积 为 V=?rr3=1 兀 x（V2）3=4.故 选：D.5.设 E,尸 分

38、 别 是 正 方 体 ABC。-A181C1O1的 棱。C 上 两 点，且 AB=2,E F=,给 出 下 列 四 个 命 题:三 棱 锥 Di-BEF的 体 积 为 定 值；异 面 直 线。181与 E F 所 成 的 角 为 45；0181，平 面 B1EF；直 线。出 1与 平 面 B1EF所 成 的 角 30.其 中 正 确 的 命 题 个 数 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【解 答】解：三 棱 锥 i-B 的 体 积 为 仁 3 皿 EF BI CI=/X；X 2 X 2 X 1=|为 定 值，正 确；EF/DC,是 异 面 直 线。181与 E F 所 成 的 角 为 45,

39、正 确；O1B1与 E F 不 垂 直，由 此 知。山 1与 平 面 81EF不 垂 直，错 误；在 三 棱 锥 G B 1 O C 中，设。1到 平 面 CBi的 距 离 为，1 1 1 1V B1-D1DC=v%-DCBi，即 有 三 X2义/2*2=广/22回?，解 得 仁 嫄,y/2 1 _直 线 与 平 面 8必”所 成 的 角 的 正 弦 为 二 衣=-，即 所 成 角 为 30,正 确.2V2 2综 上，正 确 的 命 题 序 号 是.故 选：C.6.在 四 棱 锥 P-A B C D 中，PDJ_平 面 A8C。，四 边 形 ABC。是 正 方 形，PDAD,M,N 分 别 为

40、 AB,PC的 中 点，则 B N 与 M C 所 成 角 的 余 弦 值 是（）V30 V6 V70 V30A.-B.C.-D.-6 6 10 10【解 答】解：如 图，不 妨 设 4力=2,取 P O 的 中 点 为 Q,连 接 QV,QM,QC,则 QN/CD/MB,且 Q N=%D=MB,故 四 边 形 M B N Q 为 平 行 四 边 形，所 以 BN/MQ,则/Q M C 即 为 所 求 异 面 直 线 B N 与 M C 所 成 角.在 QMC 中，MC=CQ=V T T 4=V5,QM=V1+1+4=V6,f 7|/C A S 5+6 5 v30则 COsZ Q M C=双

41、底 市=-io-故 选：D.二.多 选 题（共 4 小 题）（多 选）7.某 正 方 体 的 平 面 展 开 图 如 图 所 示，在 原 正 方 体 中，下 列 结 论 正 确 的 有（）A.BF，平 面 DEH B.OE 平 面 ABCC.尸 G_L平 面 ABC D.平 面 DE”平 面 ABC【解 答】解：如 图 所 示，正 方 体 各 个 面 逐 一 命 名，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，设 正 方 体 的 棱 长 为 1,则 G(0,0,0),C(1,0,0),B(0,1,0),E0),D(1,0,1),H(0,1,1),F(1,1,1),A(0,0,1),DE=(0,1,-1

42、),ZW=(-1,1,0),AB=(0,1,-1),BC=(1,-1,0),T-设 平 面)77的 法 向 量 为%=(x,y9 z),?竺,f 令 y=l,%=(1,1,Hi-DH=0 1 y-T平 面 4 8 c 的 法 向 量 为 R=(x,y,z),电 空 一,即 _ 2 二 1，令 y=,=(1,1,1),n2 BC=0-丫=u故 平 面 OE”平 面 A B C,。正 确，BF=(1,0,1),DE=(0,1,-1),FG=(1,-1,-1),丁 丽 工 成，8/不 垂 直 于 平 面 故 A 错 误，(1,1,VZ)E*n2=1-1=0,.DEn2.OE 平 面 ABC,故 8

43、正 确,CFG=-n2,：.FG/n2,.启 为 平 面 ABC,.FG_L平 面 ABC,故 C 正 确.故 选：BCD.（多 选）8.已 知 几 何 体 ABCO-AiBiCi。是 正 方 体，则 下 列 判 断 错 误 的 是（）A.A。平 面 AiBCiB.在 直 线 8B1上 存 在 一 点 E,使 得 AE_LC。C.AC_L平 面 A1BC1D.在 直 线。1上 存 在 一 点,使 得 CE 平 面 A1BC1【解 答】解：对 于 A,正 方 体 ABC。-A181C1D1中，AD/AD,4Z）m 平 面 Ai8Ci=4,所 以 A O 与 平 面 A1BC1不 平 行，选 项

44、A 错 误；对 于 8,假 设 直 线 BB1上 存 在 一 点 E,使 得 AELCD,因 为 CD A8,所 以 4E_LAB,又 因 为 44 LAB,且 AE、A41在 平 面 AiABBi中，这 显 然 不 成 立，所 以 选 项 B 错 误：对 于 C,若 ABi_L平 面 4BC1,则 ABI JLAICI,因 为 ABi OCi,所 以 NAiCiO是 ABi与 4cl 所 成 的 角，且 NAiCi）=60,所 以 ABi与 4 G 不 垂 直,选 项 C 错 误；对 于。，当 点 E 与 1重 合 时，CE/BA,得 出 CE 平 面 418。，所 以 选 项。正 确.D,

45、故 选：ABC.（多 选）9.已 知 正 方 体 ABC。-AIBICID I中，E 为 线 段 BiDi上 的 一 个 动 点（E 可 以 与 端 点 Bi、重 合），则 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.AC.LBEB.AE 平 面 BC1OC.AE 与 平 面 BBDD所 成 角 的 最 小 值 为 0,则 sin。=空 D.三 棱 锥 B-A1OE的 体 积 为 定 值【解 答】解：由 正 方 体 的 性 质 可 知 ACL 平 面 BODiBi,BEu平 面 BOOiBi,，AC_LBE,故 4 正 确；因 平 面 ABiQi 平 面 8C1Q,AEu平 面 ABiOi,所

46、以 AE 平 面 B。，故 B 正 确：设 正 方 体 的 校 长 为 m 则 4 到 平 面 BBiDiO的 距 离 为 ja,AE 最 长 为&a,所 以 最 小 值。满 足 sin。=所 以 C 错 误；因“_力 道=/_ A B D，BI。平 面 B A D 所 以 E 到 平 面 841。的 距 离 不 变，这 样 三 棱 锥 B-A1QE的 体 积 不 变，所 以。正 确.故 选：ABD.（多 选）10.（压 轴）如 图，在 棱 长 为 2 的 正 方 体 A8C。-4 8 1 0 中，E,F,G,H,P 均 为 所 在 棱 的 中 点，则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.棱

47、 A B上 一 定 存 在 点 Q,使 得 QCLQiQB.三 棱 锥 F-E P H 的 外 接 球 的 表 面 积 为 8 1 TC.过 点 E,F,G 作 正 方 体 的 截 面，则 截 面 面 积 为 3遍 2A/2D.设 点 M 在 平 面 B 8 C 1 C内，且 4 M 平 面 A G H,则 4 M 与 AB所 成 角 的 余 弦 值 的 最 大 值 为 三【解 答】解：建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系，-U H y彳 3设 Q(2,a,0),其 中 0 aW 2,C(0,2,0),D(0,0,2),所 以 近=(-2,2-a,0),D；Q=(2,a,-2),若 棱

48、A B 上 存 在 点。，使 得 QCJ_Oi。，则 命 D；Q=0,整 理 得（67-1）2+1=0,此 方 程 无 解，A 不 正 确；设 A B的 中 点 为 K,则 四 边 形 PHKE是 边 长 为 鱼 的 正 方 形，其 外 接 圆 的 半 径 为 r=l,又 F K,底 面 A B C D,所 以 三 棱 锥 F-E P H 的 外 接 球 的 半 径 为 R=V r r+T=&，所 以 其 表 面 积 为 8m 8 正 确；过 点 E,F,G 作 正 方 体 的 截 面，截 面 如 图 中 六 边 形 EPGTFR,AB因 为 边 长 均 为 近，且 对 边 平 行，所 以 六

49、 边 形 EPGTFR为 正 六 边 形,其 面 积 为 S=6 x 1 x V 2 x V 2 x sin60=373,C 正 确；设 M(x,2,z),则 4(2,0,2),A(2,0,0),G(0,2,1),H(1,2,0),痴=(x-2,2,z-2),AG=(-2,2,1),G W=(1,0,-1),设 蔡=(x,y,z)是 平 面 4G”的 一 个 法 向 量，则,芯 二，tn-GH=01 T 1令 z=l 可 得 x=L y=2f 即 九=(1，1)，因 为 4 M 平 面 4G”，所 以=(),即 x+z=3,T T设 A1M与 A 8所 成 角 为 8,则 cos。=?=、1

50、4 1 M l l J2X2-6 X+94 c 9当 x=2时，y22-6x+9取 最 小 值 a，2 72所 以 A1M与 A B所 成 角 的 余 弦 值 的 最 大 值 为 三，。正 确；故 选：BCD.三.填 空 题(共 4小 题)I I.已 知 圆 锥 顶 点 为 P,底 面 的 中 心 为 O,过 直 线 O P的 平 面 截 该 圆 锥 所 得 的 截 面 是 面 积 为 3次 的 正 三 角 形,则 该 圆 锥 的 体 积 为 3 7 T.【解 答】解：由 题 意，过 直 线 PO的 平 面 截 该 圆 锥 所 得 的 截 面 是 面 积 为 3百 的 正 三 角 形，设 正