北京大学2023年中学生数学科学夏令营第一天测试题.pdf
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北京大学 2023 年中学生数学科学夏令营测试题第一天金华一中数学竞赛组整理一、设正整数3n，证明：11arccosn是无理数二、对于正整数n，定义 S n为 0 到1n中所有整数在十进制中数码和之和，证明：若正整数mn，则 S mnS mS nn三、如图，在ABCD中，BC 是最长边设 AC 的中垂线与直线,BC AB分别交于点,D E，B 关于此中垂线的对称点为F设 AB 的中垂线与直线,BC AC分别交于点,J K，C 关于此中垂线的对称点为L设,BL CF交于点N，BJLD的外接圆与直线 JN 交于另一点RCDFD的外接圆与直线 DN 交于另一点Q过 N作 BC 的平行线交直线 EK 于点P，设 M 是,FL BC的交点，l 是ABCD外接圆平行于 BC 的直径，证明：,QR MP l交于一点四、将2023 2023的方格表黑白染色，使得每个2 2的小正方形中均有至少一个黑色单位方格，且每个黑色方格均在一个2 2的黑色小正方形（四个单位方格均为黑色）中记ia为第 i 行中的黑色方格数，ib为第 i 列中的黑色方格数，求 2023221()iiiab最大值
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