高考数学数列放缩讲义.pdf

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1、数 列 放 缩【命 题 规 律】数 列 放 缩 是 高 考 重 点 考 查 的 内 容 之 一，数 列 与 不 等 式 综 合 热 门 难 题(压 轴 题)，有 所 降 温，难 度 趋 减，将 稳 定 在 中 等 偏 难 程 度.此 类 问 题 往 往 从 通 项 公 式 入 手，若 需 要 放 缩 也 是 考 虑 对 通 项 公 式 进 行 变 形；在 放 缩 时，对 通 项 公 式 的 变 形 要 向 可 求 和 数 列 的 通 项 公 式 靠 拢，常 见 的 是 向 可 裂 项 相 消 的 数 列 与 等 比 数 列 进 行 靠 拢.【核 心 考 点 目 录】核 心 考 点 一：先 求

2、和 后 放 缩 核 心 考 点 二：裂 项 放 缩 核 心 考 点 三：等 比 放 缩 核 心 考 点 四：,(/()型 不 等 式 的 证 明/=1核 心 考 点 五：自,)/()型 不 等 式 的 证 明 1=1核 心 考 点 六：f 此 型 不 等 式 的 证 明 1=1核 心 考 点 七：立“,)型 不 等 式 的 证 明/=1【真 题 回 归】1、(2022全 国 高 考 真 题)已 知 函 数/(x)=xe“-e 当 a=1时，讨 论/(x)的 单 调 性；(2)当 x 0 时，/U X-1,求 a 的 取 值 范 围；1 1 1,、设 N*，证 明：7F77+T?77+=皿+1)

3、.S 2、(2022.全 国.高 考 真 题)记 S“为 数 列%的 前 项 和，已 知 4=1,1 是 公 差 为;的 等 差 数 列.(1)求 何 的 通 项 公 式；1 1 1 c(2)证 明：+2!2 3、(2021天 津 高 考 真 题)已 知%是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，其 前 8 项 和 为 6 4.他,是 公 比 大 于 0 的 等 比 数 列，4=4也=48.(I)求 4 和 低 的 通 项 公 式;(II)记=%,+，,，证 明 归-%是 等 比 数 列：(ii)证 明 二 百 2夜(“eM)*=1 v q-c2k4、(2021全 国 高 考 真 题(文)设”“

4、是 首 项 为 1的 等 比 数 列，数 列 也,满 足 勿=等.已 知,34,9%成 等 差 数 列.(1)求 4 和 帆 的 通 项 公 式；q 记 s”和 1 分 别 为 叫 和 他 的 前 项 和.证 明：Tn 2)；n yn)n 一 1 n/八 1 1 1 1(2)-y-=-；n+n n+(3)1 4 4-n2 4n2 4/72-1=212n-1 2n 4-1-;(r-2)(5)。+口 1+1+!+-2)V H 而+而(7)-广 y=-/=2(/?4-J+1)；n+y/n+l(8)1 _ 22总 展 k-G+S；_2_ _ _ _ _(2-1)2-(2-1)(2-1)(2-1)(2-

5、2)-(2-1)(2-1)2一 1一 1 T(9)T 1 1（之 2）；(10)L=3 一+n-1n+-J n-Vrt+1+Vn-12-fii 2）；(11)2 2 2Vz?J 2.+y/n-n2 nn-4-(72-1)/H(fn+-1)=*+N 2),y j n-1 7 n1 2(12)1(13)2-l(l+l/-l1 2-C；+C：+C；-广 9+1)2 _2_ n+1(14)(15)2 一 1 仅 1 _ 1乂 2”1)2(4+1 x/n)=二 项 式 定 理 _ C；,+C=(n 3),于 是“(前 T 2(3)2 2n+l(n 3),2=(1+1)=C；+C：+C：T+C：C；+2C

6、：=2+1；2 n2+n+2(n 5),2=(1+1)=C：+C：+C；+C；2+c 7+C：2C+2C+2C；=2+2(1 6)糖 水 不 等 式 若 匕 a Q，0,则 9 2 幺；若。a m 0,则 伫 叫 区 b+tn b b-m h【核 心 考 点】核 心 考 点 一：先 求 和 后 放 缩 例 1.(2022全 国 模 拟 预 测)己 知 S“为 等 比 数 列 4 的 前 项 和，若 4%,2%,%成 等 差 数 列，且 方 4=8%-2.(1)求 数 列 q 的 通 项 公 式；(2)若 4=(+2)卢 2)，且 数 列 他 的 前 项 和 为 小 证 明：京(，例 2.(20

7、22江 苏 南 京 模 拟 预 测)记 数 列 q 的 前 项 和 为 5,已 知 q=-2,S,用+2S“=(-2厂(1)求“”的 通 项 公 式；记 数 列 同 的 前 项 和 为 7.，证 明：图 4 7；3间.例 3.(2022 重 庆 巴 蜀 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列。“满 足 4=1,4 的 前 项 和 为,且 加 g=2-S”(e N)(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)设 2=：”,，记 刀,=瓦+%+b,证 明：7；,1.例 4.(2022黑 龙 江 海 伦 市 第 一 中 学 高 三 期 中)在 各 项 均 为 正 数 的 数 列 勺 中，=3

8、,且 匕|=%(%+6凡).(1)求 凡 的 通 项 公 式；(2)若=八,数 列 出 的 前 项 和 为 7“，证 明：T-.(q+1)(矶+1)4例 5.(2022 山 西 临 汾 高 三 阶 段 练 习)在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 为 中，S,为 其 前 项 和,q=l,a3,2邑，为 成 等 差 数 列.求 包 的 通 项 公 式；若 仇=bg，0+1),数 列 L?+2 1的 前 项 和 为 5,证 明：卜 m+a+2 8 2例 6.(2022 浙 江 慈 溪 中 学 高 三 期 中)已 知 数 列 q 的 前 项 和 为 S“，若 丛+邑+邑+-=n2+n,3

9、4 5 n+2(1)求 数 列 q 的 通 项 公 式;1 1 1 1 3 证 明:铲 铲.不 核 心 考 点 二：裂 项 放 缩例 7.(2022.天 津 市 新 华 中 学 高 三 阶 段 练 习)己 知 5为 数 列“的 前 n 项 和，且 5=吗 1数 歹|J 前“项 和 为 且=2,%=T n+2.求%和,的 通 项 公 式；设 c=(-1),设 数 列 匕 的 前 项 和 为。，求 P2n；证 明：盲 所 即 7例 8.(2022.山 东.济 宁 市 育 才 中 学 高 三 开 学 考 试)已 知 数 列“”的 前 八 项 和 为 S”，且 4s“=(2-1)-+1,ai=l.(1

10、)求 数 列“的 通 项 公 式；,1 3(2)设 瓦 数 列 加 的 前 项 和 为 7小 证 明 例 9.(2022天 津 一 中 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列 q 满 足 4=2,4,用 4-1,为 奇 数 2q+2,为 偶 数 记(1)证 明：数 列 为 等 比 数 列，并 求 出 数 列 2 的 通 项 公 式；求 数 列,的 前 2 项 和 S?,.(3)设%=(+)bg,心,记 数 列 匕 的 前 项 和 为 人 求 证：Tn.例 10.(2022.全 国.成 都 七 中 高 三 开 学 考 试(理)记 数 列%前 项 和 为 S,2Sn+n2=2nan+n.(1)证

11、明：%为 等 差 数 列;若 4=1,记 为 数 列%的 前 项 积，证 明：Z 建 彳 2.A例 U.（2022河 南 模 拟 预 测（理）若 数 列 q 满 足 4=1,a,l+l-a2n.求 凡 的 通 项 公 式；1 1 1 c（2）证 明：一+2.a,a,a核 心 考 点 三：等 比 放 缩 例 12.（2022.重 庆 八 中 高 三 阶 段 练 习）记 S.为 数 列 叫 的 前 项 和，已 知 4=2,3%-2S“是 公 差 为 2 的 等 差 数 列.（1）求 4 的 通 项 公 式；1 1 1,（2）证 明：一+亍 L（eN）.例 14.（2022.天 津.南 开 中 学

12、高 三 阶 段 练 习）记 S“是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列%的 前 项 和,已 知+3%=$5，4%=$4,数 列%满 足 2=3 2 T+2T（22）,且-1.求%的 通 项 公 式，并 证 明 数 列 争+4 是 等 比 数 列；若 数 列%满 足 c,=（T）”琉 不,求 g 的 前 项 和 的 最 大 值、最 小 值.,一 1 1 1 3 求 证：对 于 任 忌 正 整 数，T+T+7-7 1b b2 b 2例 15.（2022浙 江 大 学 附 属 中 学 高 三 期 中）记 S“为 数 列%的 前 项 和，已 知 q=2,3%-2S,是 公 差 为 2 的 等 差

13、数 列.（1）求 证 q+1 为 等 比 数 列，并 求%的 通 项 公 式；（2）证 明：+_|.4%例 16.（2022浙 江 模 拟 预 测）已 知 正 项 数 列 q 满 足 4=1,当 2 2 时，-,=2n-l,4 的 前 项 和 为 S”.求 数 列%的 通 项 公 式 及 5.；数 列 也 是 等 比 数 列，q 为 数 列 出 的 公 比，且 4=0=4,记=“，证 明：2,7-c,+c2+-+c-例 17.（2022 江 苏 泗 洪 县 洪 翔 中 学 高 三 开 学 考 试）已 知 数 列%的 前 项 和 为 s“，4=3,S“=2+%.（1）证 明：数 列-2 为 等

14、比 数 列；记 数 列 5 的 前 项 和 为 7“，证 明：T,(/()型 不 等 式 的 证 明/=1例 18.(2022山 东 省 实 验 中 学 模 拟 预 测)己 知 函 数/。)=匕 叱.X 求 函 数 y=/(x)的 最 大 值；若 关 于 x 的 方 程 lnx=xe-e?+7 有 实 数 根，求 实 数 k的 取 值 范 围;，口 In2 In3 Inn Irr-n-/、八(3 证 明：+2).2 3-n 4(”+1)例 19.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)设 各 项 均 为 正 数 的 数 列%的 前 项 和 为 5.，满 足 S；-(/z2+n-3)5-3(/

15、?2+n)=O,M.求 外 的 值：求 数 列 4 的 通 项 公 式：(3)证 明：对 一 切 正 整 数“，有 1 1 1.2+收 勺 1 1)q+2%J 4+2 a“M+2 4 4 1册 4n+)例 20.(2022上 海 模 拟 预 测)在 数 列 q 中，q=5,1=3%-4+2,其 中 e N，.设 用=4-2，证 明 数 列 4 是 等 比 数 列;(2)记 数 列%的 前 n 项 和 为 S,，试 比 较 S与“2+2022的 大 小.例 21.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 f(x)=xe，当。=1时，讨 论 了(X)的 单 调 性：(2)当 x 0

16、 时，求 的 取 值 范 围；e(3)设“e N*,证 明:1+,1+-+；-1 ln(+1)712+1 G+2 yjn2+n例 22.(2022湖 南 周 南 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/(力=匕 皿 求 函 数 y=/(x)的 最 大 值;nIn 2 In 3(2)证 明：3+亨+nn+h2n2-n-4(+l)2)例 23.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 单 调 递 减 的 正 项 数 列 4,22时 满 足 a：+1)+(%+1)-2a“qi(a“a,T+l)=0.q=g，S,为 4 前 项 和.(1)求,的 通 项 公 式；(2)证 明：5l-=y

17、.例 24.(2022广 东 铁 一 中 学 高 三 阶 段 练 习)记 S“为 数 列%的 前 项 和，己 知(个 是 首 项 为 3,公 差 为 1的 等 差 数 列.(1)求%的 通 项 公 式；1 1 1 a-l 1(2)证 明：当 2 2 时，+2%an+,例 25.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列,和 0 满 足 4=伉，且 对 任 意 都 有(1)求 数 列。“和 出”的 通 项 公 式;(2)证 明:瓦+-111(1+)+.+b、A b,b、b2 b,b 例 26.(2022福 建 莆 田 第 五 中 学 高 三 期 中)数 列 可 满 足 4+2 生

18、+陷,=4-黄，w N*.求 数 列%前 项 和 7.；(2)证 明：对 任 意 的“e N*且“N 2 时，(1+!+?+-|-7；,2+21nnI 2 3 n例 27.(2022天 津 河 西 高 三 期 中)设 m 是 首 项 为 1的 等 比 数 列，数 列 加 满 足 M=等,已 知 卬，3a2,9 3成 等 差 数 列.求 和 加 的 通 项 公 式；记 S 和 力 7分 别 为 初 和 加 的 前 项 和.证 明：T n 苣.求 证：(白 尸/=1 3d 4核 心 考 点 五：n,(f(n)型 不 等 式 的 证 明 1=1例 28.(2022全 国 高 三 阶 段 练 习(理)

19、已 知 函 数 f(x)=2(x+l)l三 x+l)-d-2x.(1)判 断 函 数 的 单 调 性；(2)已 知 数 列 4,ln(n+l)an n e N),求 证:ln(w+2)7；0)的 切 线 In,切 点 为 Pn(xn,yn).求 数 列 m 与 中 的 通 项 公 式；(2)证 明：士 鼻 毛 2n-4 C与 一“2-1证 明：对 所 有 的 eN,核 心 考 点 六：,.迫 型 不 等 式 的 证 明 1=1例 31.(2022湖 北 宜 城 市 第 二 高 级 中 学 高 三 开 学 考 试)已 知 数 列“满 足 4=1,q+i=7=一-(其 中 e N)%+也+1(1)

20、判 断 并 证 明 数 列 q 的 单 调 性；3 5(2)记 数 列 a,的 前 项 和 为 S“,证 明：1 S2O21-.例 32.(2022天 津 市 第 九 十 五 中 学 益 中 学 校 高 三 开 学 考 试)已 知%为 等 差 数 列，前 项 和 为 S.(e N*),也 是 首 项 为 2 的 等 比 数 歹 U,且 公 比 大 于 0,b2+4=12也=q-24,5“=1电.,和 也 的 通 项 公 式；(2)求 数 列%,也 的 前 8 项 和 n；证 明：方(询 25例 33.(2022山 西 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/(xXsinx-x+L，.6(1)证

21、 明：对/0,+00),/。)2 0恒 成 立：1|3(2)是 否 存 在 e N*,使 得 也 风 不+如 力+s i n 上 合 成 立?请 说 明 理 由 1 X J)N X 4 f j y t i 乙)核 心 考 点 七：n,0 时.，不 等 式 sinxvx恒 成 立，证 明：l+sinYl+sin f 1+sin 1+sin e2.I 4 人 生 人 I例 35.(2022.湖 南 省 临 澧 县 第 一 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列 4 吗=13.为 数 列 4 的 前 项 和，且 S”=；(+2)%.求 数 列 为 的 通 项 公 式；求 证：sina-a 0

22、；(3)证 明：f 1+sin 1+sinV 1+sin|1+sin e2.例 36.(2022广 东 红 岭 中 学 高 三 阶 段 练 习)设 数 列%满 足 q=0,4a+1=4%+2 枷,+1+1,令 2=44+l.(1)试 证 明 数 列 是 等 差 数 列，并 求 数 列 出“的 通 项 公 式；(2)是 否 存 在 常 数 c,使 得 数 列 24+c-3 是 等 比 数 列？请 说 明 理 由.令 T=丁 片;：飞-，是 否 存 在 实 数。，使 得 力,历 万+1)对 一 切 w 电 都“2 X 4 X X D2 n成 立？若 存 在，求 出 a 的 取 值 范 围；若 不

23、存 在，请 说 明 理 由.例 37.(2022 安 徽 合 肥 一 中 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数 x)=ln(l+3x)-奴(aNO)(1)讨 论 了()的 单 调 性；(2)证 明：+加 为 自 然 对 数 的 底 数，n e N).【新 题 速 递】1.(2022重 庆 巴 蜀 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列 4 满 足 4=1,%的 前 n 项 和 为 S“，且 2。向=2-S“(eN)(1)求 数 列%的 通 项 公 式；(2)设 记 北=4+4+%证 明：T.2.(2022 福 建 宁 德 市 民 族 中 学 高 三 期 中)已 知 S”为 数 列 明

24、 的 前“项 和，是 公 差 为 1 的 等 差 数 列.(1)求%的 通 项 公 式；1,1 I 1 1(2)证 明：三 4-+-+-.3 6%a“a“.、23.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)定 义：对 于 任 意 一 个 有 穷 数 列，第 一 次 在 其 每 相 邻 的 两 项 间 都 插 人 这 两 项 的 和，得 到 的 新 数 列 称 之 为 一 阶 和 数 列，如 果 在 一 阶 和 数 列 的 基 础 上 再 在 其 相 邻 的 两 项 间 插 入 这 两 项 的 和 称 之 为 二 阶 和 数 列，以 此 类 推 可 以 得 到 n 阶 和 数 列，如 1,5 的

25、 一 阶 和 数 列 是“，6,5,设 它 的 阶 和 数 列 各 项 和 为(1)试 求 1,5 的 二 阶 和 数 列 各 项 和 邑 与 三 阶 和 数 列 各 项 和 S3,并 猜 想 S.的 通 项 公 式(无 需 证 明)；1,、1 1 若*一 啕 0-3 卜 陛 3 0 3)，求 色，的 前 项 和 7”，并 证 明：-5，4 一 14.(2022天 津 市 武 清 区 杨 村 第 一 中 学 二 模)已 知“是 等 差 数 列，2 是 等 比 数 列，且%=1力 1=2,a4b3=2d 也=a+a3.(1)求 数 列%,也 的 通 项 公 式；记 2 的 前 项 和 为 s“，

26、证 明：S,4aj(eN*)；记 g=(-1)%”也 e N*),求 数 歹 l j c“的 前 2 项 和.7+15.(2022河 南 南 阳 中 学 三 模(文)已 知 数 列“的 前”项 和 为 S“，2S=3-4,(1)求 数 列 4 的 通 项 公 式；设 勿=log、牛，7”为 数 列 三|一|的 前 项 和.证 明：14(2).(1)证 明：an,neN,;1 1 1,八(2)证 明：+10,/z e N.q a2 a7.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)数 列 叫 满 足 4用=,q=g,”eN.(1)证 明：。点 a；4：；若 数 列 圾 满 足 跖=4 0 一 2，

27、设 数 列 他 的 前 项 和 为 S,证 明：s“3an an+48.(2022.天 津 一 中 高 三 阶 段 练 习)已 知 可 为 等 差 数 列，前 项 和 为 S“也 是 首 项 为 2 的 等 比 数 列，且 公 比 大 于 0,4+4=1 2,优=%-2，*=1 助.求 4 和 低 的 通 项 公 式;若 数 列 匕 满 足：%=一%不,求 数 列 的 前 项 和 7.；an,an+l,b b n(3)若 数 列 4 满 足：4,=7 七+7,证 明：Z42+1.Dn+1 一 I/=!9.(2022 上 海 市 实 验 学 校 高 三 阶 段 练 习)设 数 列%的 前 项 和

28、 为$“，且 S”=2a-2，数 列 他,满 足 勿=l o g,其 中 e N*.证 明(会 为 等 差 数 列，求 数 列%的 通 项 公 式;(2)求 使 不 等 式(1+彳 11+丁 1+-2%:对 任 意 正 整 数”都 成 立 的 最 大 实 数 加 的 值；(3)当“eN*时，求 证:4+4+受+C.卫 瓦 4 62-1&+I%?+110,(2022 陕 西 模 拟 预 测(文)已 知 等 比 数 列 4(“)为 递 增 数 列，且=4,5。3=2%+2a4.求 数 列%的 通 项 公 式；.4-2/*r(设 6,=H(e N),数 列 也 的 前 项 和 为 S“，证 明：5

29、2).(1)证 明：数 歹 U 4-2 是 等 比 数 列，并 求 数 列 的 通 项 公 式；2l 1 1 记 a=-,数 列 他 的 前 项 和 为，证 明：.7-4,%12 312.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 叫 中=1,j“=Jl+吮(“2 2).(1)求 包 的 通 项 公 式；若 q,=%,T，数 列 I的 前 项 和 为】，证 明：13.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)证 明：那 令.,*后 n扃.14.(2022浙 江 高 三 专 题 练 习)已 知 各 项 为 正 的 数 列 可 满 足：4=!，设 a 0,若 数 列 l o g/j

30、+l 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，求”的 值；(2)设 数 歹 2|的 前”项 和 为 S,证 明 5WS“a+t-.16.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 4 满 足:4=1 且 出，%，14成 等 比 数 列.(1)求 数 列,的 通 项 公 式 4 和 前 项 和 S,；(2)证 明 不 等 式 1=(J+l+J+L+告 2-!(.2 且“”*)L 十 1 iji H17.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 数 列 4 中，q=g,2,n e N*),数 列 他 满 足=(w e N*).(1)求 数

31、列 圾 的 通 项 公 式；I T 2_!_(2)设 数 列”2 J 的 前 项 和 为 兀 证 明,厂 总 工.参 考 答 案【真 题 回 归】1、(2022全 国 高 考 真 题)已 知 函 数 f(x)=xe麻 一 e”.当 a=l 时，讨 论 X)的 单 调 性；当 x 0时，求 a 的 取 值 范 围；1 1 1,、(3)设“e N*,证 明：/丁+/,+I,ln(n+l).VI+1 V22+2 y/n2+n【解 析】当=1时，/(”)=(I)J 则/(司=比,当 x 0时，/z(x)0时，0,故/(X)的 减 区 间 为(-8,0)，增 区 间 为(0,+8).(2)设(*)=祀”

32、七+1,则 人(0)=。，又“=(1+办)e5 e*,设 g(x)=(l+ax)em _e*,则 g(x)=(2a+，)e-ev,若”；，则 g(0)=为-l 0,因 为 g(x)为 连 续 不 间 断 函 数，故 存 在 与 e(O,+(),使 得 Vxe(O,x(),总 有 g(x)0,故 g(x)在(0,%)为 增 函 数,故 g(x)g(O)=O,故 人(x)在(0，%)为 增 函 数，故 工)无(0)=-1，与 题 设 矛 盾.若 0 0,总 有 ln(l+x)x成 立，证 明：设 S(x)=In(1+x)x,故 S，(x)=-1=0,故 S(x)在(0,+e)上 为 减 函 数，故

33、 S(x)S(O)=O即 ln(l+x)x成 立.由 上 述 不 等 式 有 夕+吸+的 _ e*-eA=e2 m-el 0，故/Z(x)4 0总 成 立，即/?(%)在(0,+8)上 为 减 函 数，所 以(x)/i(O)=O.当 a W 0时，有(x)=eftt-eA+axeM 1-1+0=0,所 以/?(力 在(0,+s)上 为 减 函 数，所 以 M x)(0)=0.综；a,a=L ix(3)取 2,则 D x,总 有 胧 2 e*+l 1/=e，,x=2 1 n/,故 2 n，v/一 1即 21n，一 l 对 任 意 的 恒 成 立.t所 以 对 任 意 的”e N*,有 整 理 得

34、 到：ln(+l)-l n n In 2 In 1+In 3 In 2+In(+1)In/?Vl2+1 V22+2 Vn2+=ln(n+l),故 不 等 式 成 立.2、(2022全 国 高 考 真 题)记 S“为 数 列 q,的 前 项 和，已 知 4=J 是 公 差 为 g 的 等 差 数 列.(1)求%的 通 项 公 式；1 1 1 c(2)证 明：一+一 2.%4 S.【解 析】(1)4=1,.E=q=l,L=l,q又$是 公 差 为 g 的 等 差 数 列，=1+1(-1)=2 1 2.s _(+2),3()3 3，.,.当“2 2 时，S“=(+1)41,3.c e+(+l)4 T

35、*an-，一 I-2 整 理 得：=(+1)%_|,a n+1B P=r,%Taa、a,an.an=a x x-x.x x 2-a a2 an-2 an-,3 4 n+1+=lx X X.X-X-=-L1 2 n-2 n-2显 然 对 于 九=1也 成 立，.%的 通 项 公 式 见=若；3、(2021天 津 高 考 真 题)已 知%是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，其 前 8 项 和 为 64.4 是 公 比 大 于 0 的 等 比 数 列，4=4也-d=4 8.(I)求%和 低 的 通 项 公 式；(I I)记=与+器”心(i)证 明 归-%是 等 比 数 列；(i i)证 明 方

36、屏 1 0)，所 以 4-62=642-44=4(42-4)=4 8,解 得 q=4(负 值 舍 去)，所 以 b,=b q i=4,”e N，：(II)(i)由 题 意，弓=邑+,=4+*,所 以 C；-C2,=卜+.J _ k”+*卜 2 4”，gr：p I 2/A rq I。2”+2 2,4 _ A所 以 如 一 华 产。，旦 W f 4,所 以 数 列 依-c j 是 等 比 数 列;(i i)由 题 意 知，学 立(2 一 1)(2+1)_ 4n2-1 4n22.4”-2-22n 2-22rt2n _ 1 n0 2/布所 以 心,强 异，n 7/左 1 2 3 n设 空?而=/3+尹

37、 F 贝=*尹 恭+，两 式 相 减 得;7,=1+3+9-+击-p-1 2 _ 苫-,1-4、（2021.全 国.高 考 真 题（文）设 4 是 首 项 为 1的 等 比 数 列，数 列 满 足 4=等.已 知 q,3%,9 成 等 差 数 列.（1）求%和 也 的 通 项 公 式；（2）记 S“和 7；分 别 为 叫 和 也 的 前 项 和.证 明：Tn If 1 1 1 1 A 0-1-2-1?+予+司-5 臼+可+?+F 尸 方+城+坟+0-1 1-1 2-1设 r=q+“3 31 32C 1 1 1 C 1 1 1m.l 1 0-1-2-1-小 贝 口 _ 2,2,2,2.3 31

38、32 33 3 由-得 步=-g+1 1才+三+3n _ 2=3”所 以=31n J 2n4x3-2 2x3-2 X 3”T因 此 北-5=n n故。吟 q.方 法 二【最 优 解】：公 式 法 和 错 位 相 减 求 和 法 1x(1-)证 明：由（1）可 得 s“=,1 2方=+3+n-1 n+k m=初-61 2 n n 厂、+丁+尹 2 一 得(7；=-(1-)_3 3 3_-1 J L-I,93 T 2 3 3 向 1 1 1 1 n+予+于+三 一 诃 n所 以 z,=W)-/,所 以 5:刻-中-合 i f=-合。，所 以。吟.方 法 三:构 造 裂 项 法 由(I)知 a=(g

39、)，令 q,=(a+P)g,且=%-c+,即 6)=(a+)(g)_a(+l)+0(gj,通 过 等 式 左 右 两 边 系 数 比 对 易 得。二 3 夕 二 3所 以 cn=3 3 n+2 43则(=白+H+h=A-%+1=:3 n+4 2 3L 下 同 方 法 二.方 法 四 1：导 函 数 法 设 f(x)=x+x2+X3+炉=-1-X由 于-xOf1-Xn)x(l-X)_ 1+|(n+l)x(5则 f(x)=1+2x+3/+6”l+M+i-(+l)x(17)2又 b“=n T所 以(=4+仇+&+乎+r+=1 l+2x1+3x3冏 下 同 方 法 二.【整 体 点 评】本 题 主 要

40、 考 查 数 列 的 求 和，涉 及 到 等 差 数 列 的 性 质，错 位 相 减 法 求 数 列 的 和，考 查 学 生 的 数 学 运 算 能 力，是 一 道 中 档 题，其 中 证 明 不 等 式 时 采 用 作 差 法，或 者 作 商 法 要 根 据 式 子 得 结 构 类 型 灵 活 选 择，关 键 是 要 看 如 何 消 项 化 简 的 更 为 简 洁.(2)的 方 法 一 直 接 作 差 后 利 用 错 位 相 减 法 求 其 部 分 和，进 而 证 得 结 论；方 法 二 根 据 数 列 的 不 同 特 点，分 别 利 用 公 式 法 和 错 位 相 减 法 求 得 S,Z,

41、然 后 证 得 结 论，为 最 优 解;方 法 三 采 用 构 造 数 列 裂 项 求 和 的 方 法，关 键 是 构 造%=(。”+6)|,使 d=%-c,M，求 得 1 的 表 达 式，这 是 错 位 相 减 法 的 种 替 代 方 法，方 法 四 利 用 导 数 方 法 求 和，也 是 代 替 错 位 相 减 求 和 法 的 一 种 方 法.【方 法 技 巧 与 总 结】常 见 放 缩 公 式:(1)、17 C2、)；n n-i)n n-1 n(2)1 1-n2+_ _ 1_n+1(3)1 4 4 _(1 _ 1 _ n2 4n2 4n2-1 2n-1 2/14-1J(4).i m i

42、i i i i/=C V=7 7)iV7i7(T)-7(r-2);(5)I 1+-j 1+1+!+7-3；I n)1x2 2x3(n-)n(6)1 _ 2fn fn+fno _ 2)jn-+册(7)-J=厂 2 广 f=-2.=2(-/n+J/+1)；I n I n+n ln+1n+T 7272d 2n-1+，2/+1(缪-1)2 一(2 T)(2-1)(2-1)(2-2)-(2W-1)(2W-1-1)2 1-1 T-1_ _ r _ 1_ _J_ Vn+T+VnTJ(-1)”(几+1)1 G+1-J-l y/n-y/n+l)2fn1 2 2 2(11)_ _r J?+J 2-1+(二-1),

43、(几 一 l)n(+,_1)(12)(13)(14)1 1 1 2 2 2-=-v-=-=-2-1(1+1)-1 d+C+d-1 n(n+l)n n+11 2-1 1/c-2)2-l(2T-1)(2-1)2-1 2-l v 7_ 2 1 2 J2(J+1-M)=/T=r r 1=2(五 一 4 一 1)，几 十 1+几 ln n+ln-（15）二 项 式 定 理 由 于 2-l=(l+l)-l=(d+C+C：)-1 C C：=纥 1)(23),于 是 当 En n+5*3)2 2n+l(n3),2=(1+1)=C；+C：+C；i+C；C+2C：=2+l；2 n2+n+2(n5),2=(1+1)

44、=C：+C：+C；+C；2+c 7+C：2C+2C；+2C；=2+2(16)糖 水 不 等 式 若 b a Q，0,则 9%4；若 b a m 0,则 伫 叫 区.b+m h b-m h【核 心 考 点】核 心 考 点 一：先 求 和 后 放 缩 例 1.（2022 全 国 模 拟 预 测）己 知 S,为 等 比 数 列%的 前 项 和，若 4%,2 6，牝 成 等 差 数 列，且 54=8/-2.（1）求 数 列,的 通 项 公 式；（2）若 4=Q+2：%+2），且 数 列 他 的 前 项 和 为 小 证 明：京（，5.【解 析】（1）设 数 列%的 公 比 为 4，由 4%,2a3,应

45、成 等 差 数 列 可 得 44+4=4%,故 4+7=的,解 得 9=2,由 邑=84-2可 得 心 巧=164-2，1-2 1解 得 q=2,故 q=2”，即 数 列 4 的 通 项 公 式 为 4=2/wN.（2）由（1）可 得 n=+2）（/+2）=（2+2）（2-+2）=2”+22e+2,1 1 1 1 1 1 1 1 1 1故/=-1-1-!-,+-=-4 6 6 10 10 18 2+2 2+,+2 4 2+|+2当=1时，歹 号 取 得 最 大 值，当 寸，5 七 一 故 例 2.（2022江 苏 南 京 模 拟 预 测）记 数 列 q 的 前 项 和 为 S“，已 知 q=-

46、2,S,用+2S,=（-2（1）求%的 通 项 公 式；记 数 列 同 的 前 项 和 为 乙，证 明：|S|7；,3|S|.5 5【解 析】由“-25“+（-2户,两 边 同 时 除 以（-2户 可 得:茅=访+1，故 数 列 7%为 以 1为 公 差 的 等 差 数 列，则#7=T+（-I）X I=3+-I=，即（-2）（-2）（-2）当“2 2 时，。=5-5,1=n.（-2）n-（n-l）（-2 f1=（-2 f（-3n+l）,将=1代 入 上 式，可 得 4=（-2尸（_3+1）=-2,则%满 足 上 式，故 数 列 a,的 通 项 公 式=（-2广（_3+1）.（2）由“eN”,则

47、 一 3+1 0,则 数 列 也 为 递 增 数 列，4=4+2/(2-4)=0,则 2 2 0,即 7；_3|S,J=4+2(3 _ 4)_ 3-2=4_2+2,令 4=4-2 7，易 知 数 列%为 递 减 数 列，q=4-2=-4(),则 c,&综 上,不 等 式 图 3国 恒 成 立.例 3.(2022.重 庆 巴 蜀 中 学 高 三 阶 段 练 习)已 知 数 列 4 满 足 6=1,%的 前 项 和 为 S”,且 2 a.M=2-S,(e N)(1)求 数 列 q 的 通 项 公 式；设 记 T.=+a+b,证 明：Tn.【解 析】(1)依 题 意 2a,+|=2-S,(“e N)

48、2(S,L S,)=2-S,2S,M=S.+2，S m=g s,+l,S”2=g(S,-2),所 以 数 列 S 2 是 首 项 为 S I-2=q-2=-l,公 比 为 3 的 等 比 数 列，所 以 S.-2=-击,S,=2-击，当“2 2 时，由 5“=2-击 得 S,i=2-白，两 式 相 减 并 化 筒 得 4=/-击=白-击=击(2 2)，生 也 符 合 上 式，所 以 q=击.b L=L,n 4 2T 2+I_ _ 1 2 n4=齐+百+尸 1 7 1 2 n/丁 王+广，两 式 相 减 得;7；=*+/+击 一 券,g、1 T l i 1 n明 以+一 广=ir _ 2 L=1

49、_1_2L=1.1I 2+i 2 2+i 2+i1 2例 4.(2022.黑 龙 江.海 伦 市 第 一 中 学 高 三 期 中)在 各 项 均 为 正 数 的 数 列%中，=3,且。3=。“(4用+6%).(1)求%的 通 项 公 式;若 或=麦 不 打 F，数 列 圾 的 前 项 和 为 7，证 明：Tn 0),则 d=x+6,即/7-6=0,解 得 x=3(负 值 舍 去),所 以,=3 又 q=3,所 以 凡 是 以 4=3,9=3的 等 比 数 列,故 q=3 X3 T=3.（2 n-l）3-l（3+1乂 3叫 1）（2 1）%-1 由 得=行 酝 币 T_（3向+1）_（+1乂 3

50、+1）=”+1-（3+1乂 3”+1）-3+1-3向+1 所 以*=（击-/）+（品-品）+（号-黑）=一*因 为 e N*,则 蓝 曰 0,所 以；.例 5.(2022.山 西 临 汾.高 三 阶 段 练 习)在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列%中，S,为 其 前 项 和,4=1,%，2邑，%成 等 差 数 列.(1)求%的 通 项 公 式；(2)若 勿=log,(S“+1),数 歹(J,2 的 前 项 和 为，证 明:她+4+211 0,所 以 q 0,所 以 q=2,所 以（2）证 明：由（1）得 S=2 1,所 以 a=k）g22=,1 2一、4+2+2 _ 1_ 所 以