高考数学基本不等式综合必刷100题(解析版).pdf

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1、专 题 08基 本 不 等 式 综 合 必 刷 100题 任 务 一:善 良 模 式（基 础）4 0题 一、单 选 题 1.已 知 X，），均 为 正 实 数，且 满 足 x+y=4,则 Iog2*+log2（4y）的 最 大 值 为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答 案】C【分 析】根 据 题 意，结 合 基 本 不 等 式 求 得 外 4 4,再 利 用 对 数 的 运 算，即 可 求 解.【详 解】由 均 为 正 实 数，且 满 足 x+y=4,可 得 孙,（受）2=4,当 且 仅 当 x=y=2时，等 号 成 立，则 log2 x+log2（4y）=log,4xy 0,b 0,且

2、a+4人=4,则 1 最 小 值 为（）a b9A.2 B.-C.8 D.94【答 案】B【分 析】根 据 条 件 将 多 项 式 写 成 的 形 式，利 用 基 本 不 等 式 求 得 最 小 值.a h 4 a b【详 解】由 题 知，-+-=-（+4/7）（+-）=-（+5）-x（2.-4-5）=-,a h 4 a b 4 a b 4 a b 44 2当 且 仅 当。=,即=,匕=时，等 号 成 立，故 选：B3.已 知 圆 G：炉+丁 2+4如+402 4=0和 圆。2：炉+了 2-2 刀+621=0 只 有 一 条 公 切 线，若 a,且 a 0,则*+*的 最 小 值 为（）A.3

3、 B.8 C.4 D.9【答 案】D【分 析】根 据 两 圆 公 切 线 的 性 质，结 合 基 本 不 等 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】因 为 圆 G：炉+），+4依+4/-4=0和 圆 C2：r+9 一 2勿，+-1=0 只 有 一 条 公 切 线，所 以 两 圆 相 内 切，其 中 Ci（2a,0）,n=2：C2（0,h）,r2=l,故|。（2尸 行 寿，由 题 设 可 知 yja2+4b1=2 1=a2+4b2=1 面+哈（*，）壕+*+5 2 2|+5=9当 且 仅 当 4=2 2时 等 号 成 立.故 选：D.1 24.已 知 xl,y 0,且-+-=1,则 x+2y-l

4、的 最 小 值 为（）x-yA.9 B.10 C.11 D.2+2【答 案】A【分 析】利 用“乘 1法”将 问 题 转 化 为 求（-1）+2）仁 口+的 最 小 值，然 后 展 开 利 用 基 本 不 等 式 求 解.【详 解】1 2,Qxi,.”一 10,又 y 0,且-+-=1,x-y+2y-l=（x 7）+2y p L+2=5+a 2 5+2、f i n=9,x-y）x-l y y x-l y2y 2（x 7）当 且 仅 当 3=-解 得 X=4,y=3时 等 号 成 立，x-1 y故 x+2y-l的 最 小 值 为 9.故 选：A.【点 睛】易 错 点 睛：利 用 基 本 不 等

5、式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条 件：（1）“一 正”就 是 各 项 必 须 为 正 数；（2）“二 定”就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值：（3）“三 相 等”是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方.5.已 知。匕 0,函

6、数 y=e。在 x=0处 的 切 线 与 直 线 2x-加=0平 行，则:直 的 最 小 a-b值 是（）A.2 B.3 D.5【答 案】C【分 析】结 合 复 合 函 数 求 导 求 出 函 数 的 导 函 数，进 而 求 出 切 线 的 斜 率，然 后 根 据 两 直 线 平 行 斜 率 相 等 得 到 3=2,进 而 结 合 均 值 不 等 式 即 可 求 出 结 果.【详 解】因 为 y=/,则 y=ae%因 为 切 点 为（0,1）,则 切 线 的 斜 率 为&=%又 因 为 切 线 与 直 线 22 x-外=0 平 行，所 以=，即=2,b所 以(2+_(q-匕)2+2aba-b

7、a-b=()+=4,当 且 仅 当 ah=2,4,即，a-b-a-bC l 5/3+1 Z 7-1.Z?2-1时 等 号 成 立 则 富 的 最 小 值 是 4,故 选：C.6.已 知 直 线 O T+切-1=0(4 0力 0)与 圆 J?+y2=4 相 切，则 log?。+log?。的 最 大 值 为()A.3 B.2 C.-2 D.-3【答 案】D【分 析】由 直 线 与 圆 相 切 可 得 然 后 利 用 均 值 不 等 式 可 得 而 从 而 可 求 4 8log?a+log?6 的 最 大 值.【详 解】解：因 为 直 线 6+6 丫-1=0（。0,6 0）与 圆/+2=4相 切,所

8、 以 了，=2,即 因 为 所 以 必 Oy.log2 a 4-log,/?=log2 ab 0,y 0 且 x+y=i,则 下 列 结 论 中 正 确 的 是（)A.石+6 的 最 大 值 是 近 B.孙 的 最 小 值 是；2 1c.f+y2的 最 小 值 是 2 D.+的 最 小 值 是 4 0【答 案】A【分 析】根 据 已 知 条 件，结 合 基 本 不 等 式 逐 个 分 析 判 断 即 可【详 解】对 于 A,因 为 x 0,丫 0旦 乂+丫=1,所 以(+4)=x+y+2“7 2(x+y)=2,所 以 G+6 4 尬,当 且 仅 当 天=；时 取 等 号，所 以 4+J 7 的

9、 最 大 值 是 灰，所 以 A 正 确，对 于 B,x 0,y 0且 x+y=l,所 以 l=x+y N 2 而，即“4；,当 且 仅 当 工=丫=；时 取 等 号，所 以 孙 的 最 大 值 是 l，所 以 B 错 误，4对 于 C,因 为 x 0,y 0 且 x+y=l,所 以/+/+？砂=i,1 i(x2+y2=1-2xy,由 选 项 B 的 解 答 可 知“4；,所 以 当 且 仅 当=、=；时 取 等 号，所 以 f+y2的 最 小 值 是 所 以 C 错 误，对 于 D,因 为 x 0,y 0且 x+y=l,所 以 2+L(2+L)x+y)=3+幺+*3+2户，=3+2夜,当 且

10、 仅 当 为=2,即 x y x y x y2 ix=2-忘,y=-1时 取 等 号，所 以 一+一 的 最 小 值 为 3+2 a，所 以 D 错 误，X y故 选：A2 38.已 知 a,b为 正 实 数，且 满 足 3a+=6,则 上+的 最 小 值 为()a bA.2 B.2&C.4 D.3&【答 案】C【分 析】根 据 题 意 可 得 W+g=i,由 入 江 上+百 仁+父，展 开 利 用 基 本 不 等 式 即 可 求 解.2 3 a b a b 八 2 3)【详 解】由 3Q+2Z?=6,可 得|+g=l,b+32 3 a+a b一 2 十 一 3a b 20 2 3a 八 八=

11、2+2+23a 2b当 且 仅 当。言 且 3a+力=6,即。=1力 时 等 号 成 立.3a 2b 2故 选：C.1 29.已 知 在 一 中，动 点 C满 足 4 c=X 8C，其 中 a 0,然 后 利 用 均 值 不 等 式 即 可 求 解.【详 解】解：由 题 意 可 得 4,B,C 三 点 共 线，且 C 点 在 线 段 A B 上，于 是，7?+=1,且，”0,所 以 L+2=（J_+2（m+）=l+K+2N3+25/?,m n m n）m n当 且 仅 当 二=冽，即 相=四 一 1,=20 时 取 等 号，m n故 选：C.10.若 实 数,满 足 1+旷+冲=1,则 x+.

12、y的 取 值 范 围 是（）-2右 2面（2道 2行 2a 2721（2&2 0、3 3 I 3 3 J 3 3 I 3 3 J【答 案】A【分 析】由 f+丫 2+孙=1。科=（x+y）2-l,令 x+y=f,利 用 不 等 式 的 性 质 即 可 求 得 f的 范 围.【详 解】解：x2+y2+xy=1 xy=（x+y）2-1,乂 初，（昼）。.（x+y）2-i,（W 与，令 x+y=r,则 4尸-4,t2,gif,即-亚 瓢+y 班,当 且 仅 当 x=V 时，取 等 号，3 3 3-3J+y的 取 值 范 围 是-手，竽.故 选:A.1 1.已 知 正 数 y满 足 d+2盯-3=0,

13、则 2x+y的 最 小 值 是（）A.1 B.3C.6 D.1 2【答 案】B【分 析】由/+2xy-3=0,可 得 产 三 工，则 2x+y=2x+土=虫=2+2,再 利 用 基 本 不 等 式 2x 2x 2x 2 2x即 可 得 出 答 案.【详 解】解：.x2+2xy-3-0,2x 2x+y=2x+=宜 三=+2 二 3,2x 2x 2 2x V 2 2x3x 3当 且 仅 当?=9,即 户 1时 取 等 号.2 2x故 选：B.1 2.已 知 X1,y=x+工，则 y 的 最 小 值 是（）x-A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】c【分 析】利 用 基 本 不 等 式 求 y 士

14、 的 最 小 值.【详 解】,/x,x-1 0,x-+-2.（x-）=2（当 且 仅 当 x=2时 等 号 成 立），x-l V x-1、=+一-1+-+12 3（当 且 仅 当=2时 等 号 成 立），x-x-y=x+-7的 最 小 值 为 3,x-l故 选：C.1 3.若 ln-ln!=ln2（4+6）,则 a+的 最 小 值 为（）bA.2 B.4 C.8 D.16【答 案】C【分 析】法 一：由 基 本 不 等 式 即 可 求 出 结 果；法 二“1”的 妙 用 结 合 均 值 不 等 式 即 可 求 出 结 果.【详 解】解 析：法 一：由 题 意，得 a 0,b 0,且 ln a+

15、h ib=ln 2（a+6）,即 In6=ln2（a+Z?）,亦 即 出=2（“+6）,由 基 本 不 等 式，得 2（a+b）W（等）。解 得“+匕 2 8（当 且 仅 当=。=4时，取 等 号）,所 以 a+b 的 最 小 值 为 8.法 二：山“力=2 5+3，得 2（+/=1.因 此 4+6=2（+!）（4+）=4+2/+2 2 4+4、户 住=8（当 且 仅 当 a 4=4时，取 等 a b ya a）a a号），所 以 的 最 小 值 为 8.故 选：C.3 11 4.若 正 数 x,）满 足 一+一=5,则 3x+4 y的 最 小 值 是（）x y24 28”A.B.C.5 D.

16、255 5【答 案】C【分 析】1（3 1、由 3x+4y=（3 x+4y）+配 凑 出 符 合 基 本 不 等 式 的 形 式，利 用 基 本 不 等 式 求 得 结 果.5 I y）【详 解】,3 4 尸 斜+4 4+U l 3+/+=5（当 且 仅 当,即 x=2y=l 时 取 等 号），y*.3x+4y的 最 小 值 为 5.故 选：C.15.ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若 tanA=-3tanC,ac=2,则 ABC面 积 的 最 大 值 为（）A.g B.B C.1 D.22 2【答 案】A【分 析】2根 据 题 意 得 到 3 B=刖(A+

17、C)=,二 lanC,结 合 基 本 不 等 式，求 得 年，结 合 面 积 公 式，即 可 求 解.【详 解】在 中，满 足 tan A=3tanC,且 3=乃 一(4+。)，八,、tan A+tan C 2 tan C-T-Z,tan=-tan(A+C)=-=-可 得 于 1 一 tan 4 tan C 1+3 tan C2/2二 嬴 一 话 二 不，当 且 仅 lan C当 ta n。=且 时 取 等 号，所 以，可 得 s i n B 4:,3 I 6 2所 以 S/丽=g c sin 8 4；x 2 x g=；.故 选：A.16.设 a,8为 正 数，若 圆/+/+4-2丫+1=0

18、关 于 直 线 以-勿+1=0对 称，则 的 ab最 小 值 为()A.9 B.8 C.6 D.10【答 案】A【分 析】求 出 圆 的 圆 心 坐 标，得 到 的 关 系，然 后 利 用 基 本 不 等 式 求 解 不 等 式 的 最 值 即 可.【详 解】解：圆 f+y 2+4 x-2 y+l=0,即(x+2 y+(y-l)?=4,所 以 圆 心 为(一 2,1),所 以 一 2 a-b+l=0,B|J2a+b=,因 为 a 0、b0,则 a+2b _(a+2b)(2a+b)_ 2a2+2b2+5ab 2y12a2-2b+5ab _ab ab ab ab当 且 仅 当 b=；时，取 等 号

19、.故 选：A.17.已 知“(),“(),且 a+b=l,则 苦;的 最 大 值 为()a+4b3 3 9 1A.B.C.D.10 8 28 3【答 案】D【分 析】3ab _ 3 4 4 1 4 1先 化 简+4 6 4,1,由+=(+)(_+),结 合 基 本 不 等 式，求 得+工 9,进 而 求 一+工 a b a b a b得 苦 二 口 的 最 大 值.a+4b+a b【详 解】3ab 3 3由。可 得+4人 一-。-+-4-4 1,ab a b又 由。+/?=1,可 得 3+=(6r+/?)(+)=5+5+2.-x=9,a b a b a b a b当 且 仅 当 出=:时，即:

20、时，等 号 成 立,a b 3 33 3_ 1所 以 口-=,即 设 的 最 大 值 为:a b故 选：D.2 1、1 8.已 知 x0,y 0,且 一+=1,若 x+2y之/+2加 恒 成 立，则 实 数 小 的 最 小 值 是()A.2 B.-4 C.4 D.-2【答 案】B【分 析】2 I依 题 意 可 得 x+2y=a+2y)+7)，结 合 基 本 不 等 式 可 求+2y的 最 小 值，然 后 由 冗+2 苏+2加 恒 成 立 可 知(2 加.川+2加,解 不 等 式 可 求 俄 的 范 围，从 而 得 解.【详 解】2 1解：%(),y 0,且 一+=1,*yx+2y=(x+2y)

21、(2+)=4+-+.4+2=8,x y x y V x y当 且 仅 当 生=2 且 2+=i时 取 等 号，此 时 y=x y x y x=4若+2.62+2以 恒 成 立.(x+2ynin.m2+2m f8 w2 4-2/w,解 不 等 式 可 得，故 实 数 俄 的 最 小 值 为 T,故 选：B.1 9.已 知 x2,yl,(x2)(yl)=4,贝!Jx+y的 最 小 值 是()B.4 C.7 D.3+7 1 7【答 案】C【分 析】由 目 标 式 可 得 x+y=(x-2)+()，-1)+3,结 合 已 知 条 件，应 用 基 本 不 等 式 即 可 求 目 标 式 的 最 小 值，

22、注 意 等 号 成 立 的 条 件.【详 解】V x 2,y l,(x-2)(y-l)=4,-fx=4.x+y=(x 2)+(y l)+3Z 2V(x 2)(y l)+3=7 当 且 仅 当，_ 时 等 号 成 立.y=3故 选：C20.已 知 正 数”，。满 足(a-l)(b-l)=l,则 a+4 6的 最 小 值 等 于()A.4 B.4/C.8 D.9【答 案】D【分 析】整 理(。一 1)(6-1)=1得 出：+1=1,进 而 得 a+48=(a+48)(：+|,结 合 基 本 不 等 式 即 可.【详 解】因 为(a-l)(b-l)=l,所 以 一 一 人=0,所 以，+:=1,a

23、b所 以 2+46=(。+甸(，+力=1+4+丝+合 5+2 4=9,当 且 仅 当 竺=：,即。=3时 等 式 成 立，a b故 选：o.21.下 列 函 数 中 最 小 值 为 4 的 是()A.y=x2+2x+4 B.=lsin xl+j j,4C.y=2+2 D.y=ln x+Inx【答 案】C【分 析】根 据 二 次 函 数 的 性 质 可 判 断 A 选 项 不 符 合 题 意，再 根 据 基 本 不 等 式“一 正 二 定 三 相 等”，即 可 得 出 反。不 符 合 题 意，C符 合 题 意.【详 解】对 于 A,y=x2+2x+4=（x+l）2+33,当 且 仅 当 x=-l

24、时 取 等 号，所 以 其 最 小 值 为 3,A不 符 合 题 意；对 于 B,因 为 0 0，y=2v+22-t=2+274=4,当 且 仅 当 2*=2,即 x=l时 取 等 号，所 以 其 最 小 值 为 4,C 符 合 题 意；4对 于 D,y=lnx+-j,函 数 定 义 域 为（0,1）J（l,田），而 InxeR且 InxwO,如 当 lnx=-l,产 f,D 不 符 合 题 意.故 选：C.【点 睛】本 题 解 题 关 键 是 理 解 基 本 不 等 式 的 使 用 条 件，明 确“一 正 二 定 三 相 等”的 意 义，再 结 合 有 关 函 数 的 性 质 即 可 解 出

25、.2 2.若 直 线 2 6 一 公，+2=0（。0,&0）被 圆 1+2+2 一 4+1=0截 得 弦 长 为 4,贝（J上 4+）1的 最 小 值 是（）a bA.9 B.4 C.g D.-24【答 案】A【分 析】根 据 直 线 被 圆 截 得 的 弦 长 为 4,以 及 圆 的 半 径 为 2,可 知 直 线 过 圆 心，即-2“-2b+2=0,二 4+31=4（二+f1 3+力=4+4丝 b+a 2+1,根 据 此 特 点，可 选 择 基 本 不 等 式 求 出 最 小 值 a b a b a b【详 解】直 线 被 圆 截 得 的 弦 长 为 4,圆 的 半 径 为/=J。?+1

26、一 4尸=J 4+6 4=2，圆 心 为（7,2）2 2直 线 过 圆 心、，故 一 2a 2b+2=0,即。+匕=1,4+-1=（z 4+1 八=4 4+4 b+。+1、u5+c 2 1/4-b-a=5+.4=.9 n,a b a b a b a b当 且 仅 当 丝=f,即 a=时 等 号 成 立，最 小 值 为 9.故 选：A【点 睛】理 解 题 意，直 线 与 圆 相 交 后 弦 心 距、半 弦 长、半 径 构 成 直 角 三 角 形，以 及 由 4+8=1,求 色 4+；1的 最 小 值 联 想 用 基 本 不 等 式 求 最 值.a b2 3.设 北 为 正 数，且，+=2,则 一

27、:+二 的 最 小 值 为()/n+1+29 7 5 3A.B.C.-D.一 5 4 3 2【答 案】A【分 析】利 用 基 本 不 等 式，结 合“1”的 妙 用，即 可 得 解.【详 解】机+=2可 得 2+1+2=5,1 n+3 1 1 I,1 1 w-4-=-+-+1=-(-4-)0+1+2)+1优+1+2 m+2 5？+1+21 八-(2+2 j-)+1=-5+2 m+1 5 VH+2 机+1 5当 且 仅 当?+1=+2时 成 立，故 选：A2 4.已 知 正 实 数 b满 足 a+才=2,则 的 最 小 值 是()a b+19 7 17 1 3A.-B.C.D.4 3 4 3【答

28、 案】A【分 析】2.1 o r2 1 A根 据 已 知 等 式 把 代 数 式+勺 进 行 变 形 为 一+不，再 结 合 已 知 等 式，利 用 基 本 不 等 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】a2+l 2bz 1 2伏 6+1)-2 3+1)+2 1,2。用“_-+-=a+-=a+-+2b+-2,因 为 a+2 Z?=2,a b+a b+a b+1cr,c r+2ft2 1 2 1 4所 以-+-=-+-=-+-,a b+a b+l a 2(&+l)因 为 a+26=2,所 以+2S+1)=4,因 此,1了 x 4A A-+4-J,=-1-1+2c(&+l)J-l1-+4-J=-1

29、 I5C+-2-(-/-7-+-1-)+4a-J,4 a 2(6+1)4 a 2(6+1)4 a 2(6+1)因 为 a,，是 正 实 数，所 以 5+3 竺+2；5+2 户 上 百=W，（当 且 仅 当 4 a 2S+1）4 V a 20+1）4=二 时 取 等 号，即=的 时 取 等 号，即 a?时 取 等 号），a 2（/?+1）3 3故 选：A25.在 等 比 数 列 叫 中，4 4+4541=16,则 4%的 最 大 值 是（）A.4 B.8 C.16 D.32【答 案】B【分 析】根 据 等 比 数 列 性 质 可 求 得 见 偈=为 私 及=1 6,利 用 基 本 不 等 式 可

30、 求 得 a4”的 最 大 值，即 为 所 求 结 果.【详 解】由 等 比 数 列 性 质 知：a3a9=4/，+=而+“；=1622%4（当 且 仅 当 4=4 时 取 等 号），a4a8 8,a,ag 0,b 09 a+b=49贝！|+的 最 小 值 是()+1 h+22B.6 C.D.83【答 案】D【分 析】令 a+l=m,+1=，化 简 得 到 金+-=例 二+四 二 尤=2+应，结 合 基 本 不 等+1 b+1 m n mn式，即 可 求 解.【详 解】令。+1=，”，b+=n,则，”1,n,且 a=7-l,b=m-,m+n=6,a2 b1(w-1)2(“-I)?1 1“c 6

31、、c 6 8加 以 a+1 b+1 m n m n mn(m+n 3,)当 且 仅 当 m=3时 取 等 号.故 选：D.2 8.已 知。,6 0,a+4b=a b,则 a+6的 最 小 值 为()A.10 B.9 C.8 D.4【答 案】B【分 析】由 题 可 得：+：=1,根 据+b=(+9(：+|展 开 利 用 基 本 不 等 式 可 求.【详 解】4 1a,b0,a+4b=ab,.+=1,a b,/,4 1A 4b a 14b a1.a+Z?=(a+/?)|H=-1 F5N 2J-1-5=9,l a b)a b a b当 且 仅 当 竺 时 等 号 成 立，故 a+6的 最 小 值 为

32、 9.a b故 选：B.2 9.设 h,N=(后 厂,P=3.(其 中 0 x y),则 M,N,尸 的 大 小 顺 序 是()A.PvNvM B.NPMC.PM，3 匚 3 V=7 7=阴=N又 N=(6)=3 2 3而=尸,：.M N P.故 选：A3 0.若 函 数/*)=/+3 的 图 象 经 过 点(1,3),则 3+27()A.有 最 大 值 6 B.有 最 小 值 6 C.有 最 大 值 18 D.有 最 小 值 18【答 案】B【分 析】将 点(1,3)代 入 函 数/*),可 得。+36=2,进 而 结 合 基 本 不 等 式，可 得 3+27=3+3M 2 2,3-3=2,

33、3故，即 可 求 出 3+27 的 最 小 值.【详 解】因 为 函 数,f(x)=x2+or+3/7的 图 象 经 过 点(1,3),所 以 l+a+助=3,即 a+3b=2,所 以 3+27=3+33fc2 2J 3-3%=2,3+初=2后=6,当 且 仅 当。=3 6，即 a=l,b=g 时 取 等 号，所 以 30+27匕 的 最 小 值 为 6.故 选：B3 1.已 知 x 0,y 0,且 2x+9y+6 _ yy=9,则 2x+9，的 最 小 值 为()A.4 B.6 C.9 D.12【答 案】B【分 析】利 用 基 本 不 等 式 有 6孙=(2x.9)，V 1 笥 曳 J,再

34、利 用 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法，山 9-(2 x+9 y)$(2 x+9y)2 求 解.【详 解】由 2x+9y+6xy=9,得 6P=9-(2x+9y),又 因 为 6孙=；2*9.，4；(笥 曳,所 以 9-(2 x+9)，)/(2 x+9,B P(2x+9y)2+12(2x+9y)-1080,解 得 2x+9yN 6或 2x+9)，K-18,又 2x+9y 0,3 1所 以 2x+9 y 2 6,当 且 仅 当 2x=9 y,即 x=；,y=：时 取 等 号.故 选：B.7132.设 力 0,且。5=2,贝 lja“+篮 的 最 小 值 是（）a（a-b）A.1 B.2

35、C.3 D.4【答 案】D【分 析】借 助 于 必=2,将 不 等 式 转 化 为“2-2+-+2,然 后 按 照 基 本 不 等 式 的 性 质 即 可 求 出 最 a-2小 值.【详 解】解：a b 0,且 出?=2,则 有 K f J a2 2a2+5=/+-=“2-2+-+2 2 2+2=4a（a-b）a2-2 a2-2当 且 仅 当。2-2=1,即=石,6=迈 时 等 号”成 立.3故 选：D.3 333.设 乂,：均 为 正 实 数，K T+=1,则 的 最 小 值 为（）/+八 乙+）A.8 B.16 C.9 D.6【答 案】A【分 析】根 据 题 中 条 件，将 所 求 式 子

36、 化 为、+丫=（2+*）+（2+），）/+*-4,展 开 后，再 利 用 基 本 不 等 式，即 可 得 出 结 果.【详 解】3 3因 为 乂 丁 均 为 正 实 数 一+亡=i,2+x 2+y所 以 x+y=2+x+2+y-4=（2+x）+（2+y）-3-1-3-JV+2 y+2呻+会 黑-4 3 2+2y+2 x+2x+2 y+2.一 4=*4=8,当 且 仅 当 v+告 2=x彳+2，即 x=y=4 时 取 等 号.因 此 x+y 的 最 小 值 为 8.故 选：A.【点 睛】易 错 点 睛：利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条

37、件：(1)一 正 二 定 三 相 等 一 正 就 是 各 项 必 须 为 正 数；(2)二 定 就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值：(3)三 相 等 是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时;必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方.3 4.已 知 x,y e(0,+o o),且 x+y=l,若 不 等

38、 式 Y+y?+孙+；加 恒 成 立，则 实 数 加 的 取 值 范 围 是()A.(一|1)B.-|,1 C.(-2,1)D.(-8,一|卜(1,+8)【答 案】A【分 析】根 据 题 中 条 件，利 用 基 本 不 等 式，求 出 V+V+x y 的 最 小 值；得 到；4 1 力/+1；?，求 解，4 2 4即 可 得 出 结 果.【详 解】因 为 x,ye(0,+oo),且 x+y=l,所 以 f+V=(x+y)2 孙=一 孙 2 _：=,当 且 仅 当=旷=；时，等 号 成 立；又 不 等 式 f+V+号!m 2+!机 恒 成 立，2 43 1 1 3所 以 只 需 彳 5加+.加，

39、即 2疗+机-3 0,解 得 一 万 加 1.故 选：A.【点 睛】易 错 点 睛：利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 注 意 其 必 须 满 足 的 三 个 条 件:(1)“一 正 二 定 三 相 等 一 正 就 是 各 项 必 须 为 正 数；(2)二 定 就 是 要 求 和 的 最 小 值，必 须 把 构 成 和 的 二 项 之 积 转 化 成 定 值；要 求 积 的 最 大 值，则 必 须 把 构 成 积 的 因 式 的 和 转 化 成 定 值；(3)三 相 等 是 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时.，必 须 验 证 等 号 成 立 的 条 件，若 不 能 取 等

40、 号 则 这 个 定 值 就 不 是 所 求 的 最 值，这 也 是 最 容 易 发 生 错 误 的 地 方.93 5.已 知 实 数 x 3,贝!）4x+的 最 小 值 是（）x-3A.24 B.12 C.6 D.3【答 案】A【分 析】将 所 求 代 数 式 变 形，结 合 基 本 不 等 式 可 求 得 以+三 9的 最 小 值.x-3【详 解】因 为 x 3,则 x-3 0,o a I a-则 4x+-=4（x-3）+-+12W 2j4（x-3）-+12=24,x 3 x 3 y x-3当 且 仅 当 犬=：9 时，等 号 成 立，因 此，以+冬 9的 最 小 值 是 24.2 人-3

41、故 选：A.91 136.设 a 0,贝!I+3 的 最 小 值 是（）ab a（a-b）A.1 B.2 C.3 D.4【答 案】D【分 析】变 形 为+悬 歹（2一）+篇 5+4 利 用 基 本 不 等 式 求 解【详 解】卜=&,当 且 仅 当。2-必=和 7=必，即&时 取 等 号,a-ab ab b=2，故 选：D.37.若 x,y0R+,3x+yxy=0,则 2x+y 的 最 小 值 为（）A.2 A/6+5 B.476 C.12 D.6【答 案】A【分 析】将 3x+yx片 0,变 形 为 3-+-1=1,再 利 用 1的 代 换，将 2 x+y=5+6x+工 v 再 利 用 基

42、本 不 y X y X等 式 求 解.【详 解】因 为 3x+yxy=O,3 1所 以+-=1,所 以 2工+丁=（2%+），）（2+口=5+如+4 5+24悭 3=5+2 6x）y x y x当 且 仅 当 3 1I=）X6x _ y,即 x=、+Ly=3+几 时 取 等 号,y%所 以 2x+y的 最 小 值 为 2瓜+5,故 选：A3 8.若 正 数 x,y满 足 W+Gxy 1=0,则 x+2 y的 最 小 值 是（）A.逑 B.也 C.也 D.正 3 3 3 3【答 案】A【分 析】1 _ y2 1 _ y.2 2 Y 1由 正 数 x,y满 足 x2+6xy1=0,得 到 y=-然

43、 后 由 x+2y=x+-利 6x 3x 3 3x用 基 本 不 等 式 求 解.【详 解】因 为 正 数 x,y满 足 W+6xy1=0,（_ x01-r2|x0所 以 y=L 二.由 八 即 1 V 八 解 得 oxo-oI 6x所 以 x+2y=x+=3x 3 3x V 3 3x 3当 且 仅 当 空=；,即 户 变,y=立，时 取 等 号.3 3x 2 12所 以 x+2y的 最 小 值 为 逆.3故 选：A3 9.若。0,b 0,S+4,则 小 的 最 小 值 为（a+hA.8【答 案】CB.10 C.4 D.6【分 析】利 用 基 本 不 等 式 即 可 求 解.【详 解】解：2（

44、+加”3+与 2,当 且 仅 当 a=b时 取 等 号，m=-2（-/-+-/-）-+-4-（-a-+-h-）-2-+-4-=a+b,+-4-2.（a+b）x _ 4-=4,a+b a+h a+h v a+b当 且 仅 当。二 人 二 1时 取 等 号.故 选：C.4 0.已 知 实 数 m,n满 足 讥 0,则 一-的 最 大 值 为（）m+n a+3 A.3+2石 B.3-C.2+b D.2-7 3【答 案】D【分 析】2先 通 分 化 简，分 子 分 母 同 除 以 用，原 式 化 为，然 后 利 用 基 本 不 等 式 求 解 即 可.-1-+4n m【详 解】因 为 nrn 0,m

45、m _ 2mn _ 2 2 6则 加+m+3 m2+4mn+3n2 且+即+4 2 G+4，n m当 且 仅 当=即 时 取 等 号，此 时“-一 的 最 大 值 为 2-6.n m m+n m+3 故 选：D.【点 睛】方 法 点 睛：在 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时，要 特 别 注 意“拆、拼、凑”等 技 巧，使 其 满 足 基 本 不 等 式 中 正（即 条 件 要 求 中 字 母 为 正 数）、定（不 等 式 的 另 一 边 必 须 为 定 值）、等，（等 号 取 得 的 条 件）的 条 件 才 能 应 用，否 则 会 出 现 错 误.任 务 二:中 立 模 式（中 档）

46、1-40题 1.已 知 0,人 0 且 b,A=a+b,S=,C=+,则 A,B,C 的 大 小 a+b a b关 系 是()A.A B C B.C A BC.A C B D.C B A【答 案】B【分 析】利 用 基 本 不 等 式 可 比 较 A,B 大 小,作 差 判 断 正 负 可 判 断 A C 大 小.【详 解】&I 2 J i，即 8 0,.C Aab ab故 C A 8.故 选：B.2.已 知 实 数 x,丁 满 足 x(x+y)=l+2;/,则 7/-y z 的 最 小 值 为()“6 五+10-6 a+10A.-B.-3 3c6 百+10 D-6用 1。3 3【答 案】A【

47、分 析】将 x(x+y)=1+2/化 为(x+2y)(x-y)=1,再 利 用 换 元 法 结 合 基 本 不 等 式 即 可 求 解【详 解】解：实 数 x,满 足 x(x+y)=l+2/化 为：(x+2y)(x-y)=l令 x+2y=m,x-y=n f 则 相=在 刀 4旦 帆+2 m解 得：%=一；-,y 二 一=(X(6?2+27/+30小)=3(6 疗+27/+30)则：1(27、=x 6m2+309(m2)_ 6V2+103当 且 仅 当 6?2=乌，即 加=逑 时 取 等 号 m 2所 以 7/-丁 的 最 小 值 为 逑 土 W.3故 选：A.J T3.在 A B C 中，内

48、角 A,B,C 的 对 边 分 别 为“，b,c,若 A=，a=2,则 8 c 边 上 的 中 线 A M 长 的 取 值 范 围 是()A.B.惇,|C.(L有 D.(1,3【答 案】C【分 析】在 A B M，J M C 中 利 用 余 弦 定 理，并 结 合 NA7WB=t-N A M C,利 用 诱 导 公 式，消 去 角，求 得 A M 2=Q 1 U 1,结 合 43。中 使 用 余 弦 定 理，得 到+02-4=历，2然 后 结 合 基 本 不 等 式 求 得 的 取 值 范 围，进 而 得 到 中 线 4 0 长 的 取 值 范 围.【详 解】AM 是 8 C边 上 的 中 线

49、，,.在“AftW 中，AM2+1-2A M COSZAMB=C2,在&AMC 中，A M2+1-2AM-cos ZAMC=b2.又 Z/Ufl3=ZAMC,/.cosZAM B=-c o s Z A M C,tL l+得 A M2=十 1.2由 余 弦 定 理 得。2=b2+c2-2Z?ccosy=Z?2 4-c2-b e=4.,2 20 b2+c2-4=b c上-,2/.4 Z?2+c2 8,A2+r2.,.1-1 3,即 1cA”4 3,2.1 AM 7 3.故 选 C.4.已 知 实 数。也 c 满 足 2a2+2+/=1,则 2ab+3 c 的 最 小 值 为()c 3A.-3 B.

50、-C.-2 D.-52【答 案】D【分 析】先 分 离 出/+坟，应 用 基 本 不 等 式 转 化 为 关 于 c 的 二 次 函 数，进 而 求 出 最 小 值.【详 解】若 岫+c取 最 小 值，则 a b异 号，c-A a b，C2 12ab-2lab+3c+3c=+3C-=-(C+3)2-5-5.2 2 2 2当 c=-3,a/分 别 取 士 正 时，等 号 成 立，B|J 2ab+3 c 的 最 小 值 为-5,故 选：D5.如 图，在。钻 中，。是 A 5的 中 点，P 在 线 段 0 C 上，且 OC=2OP.过 点 尸 的 直 线 交 线 段 0 4,0 8分 别 于 点 N