高考数学复习第16讲导数中的双变量与多变量问题（原卷版）.pdf

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1、第 1 6讲 导 数 中 的 双 变 量 与 多 变 量 问 题【典 型 例 题】例 1.(2022秋 天 心 区 校 级 期 末)己 知 函 数 f(x)=xeT(xwR).(I)求 函 数/(x)的 单 调 区 间 与 极 值；(II)若 工 尸 七，且/(%)=，证 明：Xj+%2 2.例 2.(2022洛 阳 二 模)已 知 函 数/(x)=e R).(1)若 曲 线 y=/(x)与 直 线 x-y-l-/2=0相 切，求 实 数 a 的 值;(2)若 函 数 y=/(X)有 两 个 零 点 为，x,证 明 一+一 2.InX lnx2例 3.(2022秋 宜 春 期 末)已 知 函

2、数/(x)=/nr-ar,是 常 数 且 awA.(1)若 曲 线 y=/(x)在 x=l处 的 切 线 经 过 点(-1,0),求。的 值；(2)若 0a2e.例 4.(2022盐 城 三 模)已 知 函 数/(x)=/nr-a r,。为 常 数.(1)若 函 数/(X)在 x=l处 的 切 线 与 x轴 平 行，求。的 值；(2)当 a=l时，试 比 较 八 加)与/()的 大 小；m(3)若 函 数.f(x)有 两 个 零 点 玉、x2,试 证 明 XX2e0).(I)若 函 数/(x)在(0,转)上 单 调 递 增，求 实 数 a 的 取 值 范 围;(II)若 函 数/(X)有 两

3、个 不 同 的 零 点 不，尤 2,(i)求 实 数 a 的 取 值 范 围；(ii)求 证：-+-1.(其 中，。为 了*)的 极 小 值 点)%X,%+1例 6.(2022春 德 化 县 校 级 月 考)已 知 函 数/(x)=e“-2公-。(。)有 两 个 不 同 的 零 点 用，x2,且 王 马.(I)求。的 取 值 范 围；(II)求 证：例 7.(2022春 工 农 区 校 级 期 中)已 知 函 数/(x)=/mc+a&-2x(ae R).(I)当 a=2 时，求 函 数/(x)的 单 调 区 间；(II)若 函 数/(X)有 两 个 不 同 零 点 X,尤 2*1.x 2例 8

4、.(2022台 州 一 模)已 知 函 数 f(x)=L+x(1)若 4=0,讨 论/(X)的 单 调 性.(2)若/(x)有 三 个 极 值 点 不，x2,x3.求 a 的 取 值 范 围；求 证：%1+%2+Xj-2.例 9.(2022秋 赤 峰 期 末)已 知 函 数-奴+a/(x-l),。为 常 数，当 xe(l,3)时，f(x)有 三 个 极 x-1值 点 玉，x2,x3(其 中 芭 士 1cx3).(1)求 实 数 a 的 取 值 范 围；(2)求 证：x,+x3.【同 步 练 习】选 择 题 1.(2022春 沙 坪 坝 区 校 级 期 中)已 知 函 数 f(x)=/nr-ar

5、有 两 个 零 点 玉，x2(x.x2),则 下 列 说 法 错 误 的 是()A.0a-B.+x2 2%D.e2二.多 选 题 2.(2022春 石 首 市 期 中)已 知 函 数/(x)=/nx+l-ar有 两 个 零 点 芭，x2(X)1C.f+w 2 D.i 2玉 三.解 答 题 3.(2022石 家 庄 模 拟)已 知 a 为 实 常 数，函 数/(%)=加 x-a r+1.(I)讨 论 函 数 f(x)的 单 调 性；(I I)若 函 数，(尤)有 两 个 不 同 的 零 点 玉，x2x1 x2).(i)求 实 数。的 取 值 范 围；(i i)求 证：-2.(注：e为 自 然 对

6、 数 的 底 数)e4.(2022春 越 秀 区 校 级 期 中)己 知 函 数/*)=/九 丫-加+(2-)x.(1)讨 论 了(幻 的 单 调 性；(2)若 函 数 y=/(x)的 图 像 与 x 轴 交 于 A,B 两 点、,线 段 A 3中 点 的 横 坐 标 为 方,证 明：(鼻)0.5.(2022温 州 模 拟)设 函 数/(_)=/m+加 一 a+l,g(x)=2.ex(1)若 g(F)=g(x2)=r(其 中%。工 2)求 实 数,的 取 值 范 围；(ii)证 明：2工 1 4 2 X+X2；(2)是 否 存 在 实 数 4,使 得/(x),g(x)在 区 间(0,”)内 恒

7、 成 立，且 关 于 工 的 方 程/(x)=g(x)在(0,转)内 有 唯 一 解？请 说 明 理 由.i a6.(2022秋 辽 宁 期 中)已 知 函 数/(xhf/nx-gorJ=x?.(1)若 函 数 y=/(x)在 定 义 域 上 单 调 递 减，求 实 数 的 取 值 范 围;(2)设 函 数/(x)有 两 个 极 值 点 不，x2,求 证：/(%1%2)4.7.已 知 函 数/(x)=(x+a)(/nr+8),其 中 a,b e R.(I)若 a=,，b=-3 证 明：当 0%,1 时，/(x)+乎、+0,o：2 X2+4X+(II)若 函 数 丫=八 幻+门！)有 三 个 极

8、 值 点 斗，匕，覆(西 七 七)，证 明：|工 3 _工|1 0.66666666666666七 马 y fg(x)=xex1 X9.(2022 秋 永 州 月 考)已 知 函 数 f(x)=(Inx)2+a(x+-).X(1)当。=1时，求 f(x)的 单 调 区 间；(2)若 f(x)有 三 个 极 值 点 占，x2,x,(x,x2 x3).(i)求 实 数 a 的 取 值 范 围；(ii)证 明：士”3为 定 值.10.(2022中 卫 模 拟)已 知 函 数/(幻=履 1-x.(1)讨 论 了(幻 的 单 调 性：(2)若 函 数 g(x)=/nx-x+A 2 有 三 个 极 值 点

9、 x,x,刍(当 x,0,函 数 y=f(x)-a有 两 个 零 点 x,x2,求 证：+x12e.12.(2022秋 广 东 月 考)已 知 aeR,f(x)=x-e-ax(其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数).(1)讨 论 函 数、=/(x)的 单 调 性；(2)若 a 0,函 数 y=/.(x)-a 有 两 个 零 点 区,x2,求 证：xt+x2 2e.13.(2022德 阳 模 拟)设 函 数 f(x)=-%2+(x-l)e(aeR).(1)当 1=工 时,求 g(x)=/(xei的 单 调 区 间(尸(力 是 f(x)的 导 数);e(2)若/(x)有 两 个 极 值 点%、

10、2(3 3.14.(2022 德 阳 模 拟)设 函 数+(x-1)/(R).(1)当。=工 时、求 g(x)=/(x)-ei的 单 调 区 间(广(幻 是 f(x)的 导 数)；e(2)若 f(x)有 两 个 极 值 点 4、x2(x,x2),且 正 实 数 2 使 1+2 凡+2 成 立，求 正 实 数 人 的 取 值 范 围.15.(2022新 高 考 I)已 知 函 数/(x)=x(l-/nr).(1)讨 论/(x)的 单 调 性；(2)设“，b 为 两 个 不 相 等 的 正 数，.blna-alnb=a-b,证 明：2+e.a b16.(2022春 河 北 月 考)已 知 函 数/

11、(x)=M u.(1)讨 论/(x)的 单 调 性；o 1 1(2)设 a,匕 为 两 个 不 相 等 的 正 数，且 a=b,证 明：+e a h17.(2022南 通 模 拟)已 知 函 数,f(x)=(2x-4a)/nx-3x+8a(a.0).(1)若 a=0,求 函 数 f(x)在 x=l 处 的 切 线 方 程；(2)若 f(x)有 两 个 不 同 的 零 点 为，x2.求 a的 取 值 范 围；证 明：当 时，%,+/5：+4.18.(2022汕 头 一 模)已 知 函 数/(x)=x-/n x-。有 两 个 相 异 零 点 X,电(西(1)求 a 的 取 值 范 围；(2)求 证

12、：+色 里.19.(2022陕 西 模 拟)已 知 函 数 f(x)=/nr.(1)当 g(x)=s in(l-x),求 函 数 T(x)=f(x)+g(x)在(0,1)的 单 调 性；(2)/7*)=/()+-一 人 有 两 个 零 点 不，x2,且 不 1.20.（2022浙 江 模 拟）已 知 函 数/（X）=X阮 一#7+a（a e R）在 其 定 义 域 内 有 两 个 不 同 的 极 值 点.（1）求 4 的 取 值 范 围；（2）记 两 个 极 值 点 分 别 为,%，且 王 0,若 不 等 式%门 恒 成 立，求 力 的 取 值 范 围.21.（2022秋 未 央 区 校 级

13、月 考）已 知 1函 数/。）=如:-3 2+“37?）,在 其 定 义 域 内 有 两 个 不 同 的 极 值 点.（1）求”的 取 值 范 围；（2）记 两 个 极 值 点 为 百，x2,且 巧 0）.2x（I）求 幻 的 单 调 区 间；（II）已 知 a,b e R,曲 线 y=f（x）上 不 同 的 三 点（%,/（3），。2，/（工 2），（X3，/（七）处 的 切 线 都 经 过 点（6。）.证 明：（i）若。e，则 0 匕 一/（a）-（-1）；2 e/、在 八 mil 2 e-a 1 1 2 e-a（ii）右 Ovae,不 刍，贝（I-I-z.e 6e Xj x3 a 6e（

14、注:e=2.71828是 自 然 对 数 的 底 数）23.(2022秋 城 关 区 校 级 月 考)已 知 函 数/(2x)=2 x-4v+4,函 数/(x)只 有 两 个 零 点，设 这 两 个 零 点 为 不，天(X.(1)证 明：xl G(-4,-3),x2 G(2,3).(2)证 明：一 7 v 2 一 2应 v 5.24.(2022秋 登 封 市 校 级 月 考)已 知 函 数/(x)=(x-2)e*+a(x-l)2有 两 个 零 点.(1)求 a 的 取 值 范 围；(2)已 知 g(x)图 象 与)，=/(x)图 象 关 于 x=l对 称，证 明：当 x l时，/(x)g(x)

15、.(3)设 占，七 是 两 个 零 点，证 明：%,+x2 2.25.(2022辽 阳 二 模)已 知 函 数 f(x)=(x-2)e*+a(：-1).(1)讨 论 的 极 值 点 的 个 数；(2)若 f(X)有 3 个 极 值 点 X,X2,对(其 中 不、2 刍)，证 明：X3 0,存 在 实 数 r使 关 于 x 的 方 程 f(x)=f 有 两 个 实 根 式(与)，求 证：函 数，。)在=受 警 处 的 切 线 斜 率 大 于 0.27.(2022张 家 口 二 模)已 知 函 数 f(x)=e-竺 竺-(e是 自 然 对 数 的 底 数)有 两 个 零 点.X(1)求 实 数。的

16、 取 值 范 围；(2)若 f(x)的 两 个 零 点 分 别 为 占，证 明：x/28.(2022秋 湖 北 月 考)已 知/*)=时-奴 2.(1)若 f(x)有 两 个 零 点，求。的 范 围；(2)若 f(x)有 两 个 极 值 点，求。的 范 围；在 的 条 件 下，若 f(x)的 两 个 极 值 点 为 内，毛(为-l.29.(2022唐 山 二 模)已 知 函 数/(x)=/n x-X+a.(1)若/,0,求。的 取 值 范 围；(2)若 f(x)有 两 个 零 点 7,n,且?，证 明：+v 2 d v m+，.n m30.(2022春 沙 坪 坝 区 校 级 月 考)已 知 函 数/(x)=-+出 心，其 中。0.x(1)若 函 数/(幻 仅 在 x=l处 取 得 极 值，求 实 数。的 取 值 范 围；(2)若 函 数 g(x)=f(x)+a(尻 V+3 有 三 个 极 值 点%，%2，X3 9 求 证：XjX,+x2x,2xlx2x3.X 31.(2022天 津 模 拟)已 知 函 数/(幻=/一 2 优，aeR.(I)求 曲 线 y=/(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程；(II)若 函 数 y=/(x)有 两 个 零 点 七,马(5 4x0.