高考数学导数大招秒杀.pdf

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1、板 块 三、导 数 大 招 一 导 数 的 定 义 和 运 算 通 关 一、导 数 的 概 念 设 函 数 y=/(x),当 自 变 量 X从 X。变 到 X 时，函 数 值 从/(X。)变 到/(占)，函 数 值 关 于 X的 平 均 变 化 率 为 包=/&)-,(*)=/(%+At)二/(。).当 不 趋 于 X。,即 Ax趋 于 0 时，如 果 平 均 变 化 率 趋 于 一 个 固 定 的 值,Ax X j-xo Ax那 么 这 个 值 就 是 函 数 y=/(x)在/点 的 导 数，通 常 用 符 号/(%)表 示，记 作/,(x 0)=lim=lim 位 竺 上“Ax 内 刃 A

2、x要 点 诠 释：1.导 数 的 本 质 就 是 函 数 的 平 均 变 化 率 在 某 点 处 的 极 限，即 瞬 时 变 化 率.如 瞬 时 速 度 即 是 位 移 在 某 一 时 刻 的 瞬 间 变 化 率.2.对 于 不 同 的 实 际 问 题，平 均 变 化 率 有 不 同 的 实 际 意 义.如 位 移 运 动 中，位 移 s从 时 间。到 a 的 平 均 变 化 率 即 为。到 这 段 时 间 的 平 均 速 度 3.增 量 A r可 以 是 正 数，也 可 以 是 负 数，但 是 不 可 以 等 于 O.-f O 的 意 义：A r与 0 之 间 距 离 要 多 近 有 多 近

3、，即 2-O|可 以 小 于 给 定 的 任 意 小 的 正 数.4.A x f()时，勺 在 变 化 中 都 趋 于 0,但 它 们 的 比 值 却 趋 于 一 个 确 定 的 常 数，即 存 在 一 个 常 数 与 无 限 接 近.Ax Ax5.函 数 y=/(x)在/处 的 导 数 还 可 以 用 符 号 表 示.通 关 二、基 本 初 等 函 数 的 导 数 基 本 初 等 函 数 导 数 特 别 地 常 数 函 数 y=c(c 为 常 数)y=o 7rf=0,e=0鬲 函 数 y=x(为 有 理 数)y，=xnl()=5指 数 函 数 了=优 yf=ax Ina(,)=/对 数 函

4、数 y=bg“xy,Tx9lna(In x,=正 弦 函 数 歹=sinx yf=cosx/y/sin%、1(tanx)-9余 弦 函 数 y=cosx y=-sinxVCOSX)COS-X要 点 诠 释：1.常 数 函 数 的 导 数 为 0,即 c=o(C 为 常 数)，其 几 何 意 义 是 曲 线/(x)=c(C 为 常 数)在 任 意 点 处 的 切 线 平 行 于 x 轴.2.有 理 数 事 函 数 的 导 数 等 于 塞 指 数 与 自 变 量 的(-1)次 毒 的 乘 积，即(x)=NxT(e。).3.在 数 学 中，“In”表 示 以 e(e=2.71828-)为 底 数 的

5、 对 数 3g”表 示 以 10为 底 数 的 常 用 对 数.通 关 三、和、差、积、商 的 导 数 导 数 的 加 法 法 则/(x)+g(x)=/(x)+g，(x)导 数 的 减 法 法 则 x)-g(x)=尸(x)-gx)导 数 的 乘 法 法 则/(办 g(x)=尸(x)g(x)+/(x)g，(x)导 数 的 除 法 法 则 第 二 小 笔 件(小。)通 关 四、复 合 函 数 的 导 数 1.复 合 函 数 的 概 念 对 于 函 数 y=/(3(x),令=e(x),则 y=/()是 中 间 变 量 的 函 数，=夕()是 自 变 量 X 的 函 数，则 函 数 y=/(s(x)是

6、 自 变 量 X 的 复 合 函 数.例 如，函 数 N=In(sinx)是 由 y=In 和=sinx复 合 而 成 的.2.复 合 函 数 的 导 数 设 函 数 w=e(x)在 点 X 处 可 导，ux=(px),函 数 y=/()在 点 X 处 的 对 应 点 处 也 可 导，工=/()，则 复 合 函 数 V=/(9(力)在 点 x 处 可 导，并 且 工=乂*,或 写 作(/(=/乂。/。)3.复 合 函 数 求 导 一 般 步 骤(1)分 层：将 复 合 函 数 夕=/(9(力)分 出 内 层、外 层.(2)各 层 求 导：对 内 层 M=e(x),外 层 y=/()分 别 求

7、导，得 到 e(X),/().(3)求 积 并 回 代：求 出 两 导 数 的 积/()d(x),然 后 将 用*(x)替 换，即 可 得 到 y=/(*(x)的 导 数.结 论 一、平 均 变 化 率 和 瞬 时 变 化 率 1.函 数 的 增 量:8=/(玉)+Ar)-/(x(,);2.平 均 变 化 率：包)-小。)；Ar Ax3.瞬 时 变 化 率：f(x0)=lim=l i m/(o+Ax)-/(xo)例 1：函 数 力=2工 2+1在 闭 区 间 1,1+Ar 内 的 平 均 变 化 率 为()A.1+2Ax B.2+Ax C.3+2Ax D.4+2Ar【答 案】D【解 析】一+y

8、/2Ax.故 选 D.Ax Ax2变 式：若 函 数/(x)=：,则 当 x=-l时，函 数 的 瞬 时 变 化 率 为()A.l B-I C.2 D.-2【答 案】D 解 析/(-I+Ax)-/(-l)=2-(-2)=-2 M lirr r 2)=1淅 八 2=-2.故 选 口.-14-Ax Ar-1&f8 Ax-Ax-结 论 二、导 数 的 定 义 lim=-)-八 人(w+山 仅)A i Ax 0/例 2：设 x)在 与 处 可 导，则 lim 玉+、)：/(%-3盘)等 于()A X-8 AtA.2r 伉)B/(x0)C.3/(x0)D.4f(x0)【答 案】D【解 析】H m/(+)

9、-/(%-3Ar)=Kg/(/+)-/(%)+/K)-/(%一 如;)=斫/(x。+)-/(二)A X T O O AY A X-8 AX AYTS AX,i m 3./(-Vo)-/(xo-3Ar)=Jim 以 生 旦 2 g 1+3.lim/(*=/，)+3h%)=AXTS 3AX A_+1 Ax&J8-3Ax4尸(x0).故 选 D.变 式：已 知 函 数/(X)在 x=x0处 可 导，则 出 1 与+义-m=()A J K)B j(x o)c r(x。)了 D.2.f(x0)/(x0)【答 案】D【解 析】,R里 口+&2,(/)=吧，您+R-/(/)/0+.)+/&)=2/(%)/(

10、%).故 选 D.结 论 三、复 合 函 数 求 导 设 函 数=9(x)在 点 x 处 有 导 数=(力,函 数=/()在 点 x 处 对 应 点 处 有 导 数 立 二/()，则 复 合 函 数 歹 二/(9(耳)在 点 x 处 有 导 数，且 工=立；，或 些 写 作(0(X)=/()8(X).(+b)=a a(ax+b y;)”二+，ln(ax+b)=；sin(or+b)=cos(or+b)；cos(x+b)=-sin(or+b).例 3:已 知 y=sin2(2x+。)，贝 I J y=【答 案】2sin(4x+引【解 析】解 法 一：设 J 3/,w=sin v,v=2x+y t则

11、 乂=乂；=2w*cosv2=2sin 2x+I 3；cos(2x+g 2=2sin14x+2万 解 法 二：yfsin2(2x+y=2sin|2x+!sin I 2x+=2 sin I 2x+cosl 2x+j I 2x+兀 3 3兀 兀 3 3 32 sin I 2x+Kcos 2x+71 2=2 sin 4x+213 3变 式：已 知 歹=/,贝 i j y=【答 案】xx(l+lnx)【解 析】y=V=/n x(x l n x)=e”nxlnx+x=xr(1+In x).结 论 四、导 数 的 运 算 1./(x)_/，(x卜 g(x)-/(x)g,(x)_g(x)_/(X)(g(x)

12、x O),2 岛 卜 喑 产 二 阳 但(加。),3.=/(x)+/,(x)et.7r例,i 4.：已.知.y=s-i-n-x-x-c o；-sx,贝 nIiJI y,=_.cosx+xsinx答 案 7(cosx+xsinx)【解 析】,(sin x-x co sx)(cosx+x sin x)(sinx-xcosx)(cosx+x sin x)_(cosx-cosx+xsinx)(cosx+xsinx)(cos x+xsinx)2(cos x+xsin x)2(sin x-x c o sx)(-sin x+sinx+xcosx)Xsinxcosx+M sit?x-x sin x c o s

13、x+x2cos之 x _ x2(cosx+xsinx)2(cos x+xsin x)(cosx+xsinx)2变 式：已 知 歹=(2-5 工+1)/,贝 I J j/=.【答 案】(2 x 7-4)，【解 析】y-(2x2-5x+l+4 x-5)/=(2 x-x-4)ex结 论 五、/()实 际 是 一 个 数/()代 表 函 数/(“在 x=a 处 的 导 数 值；/()是 函 数 值 的 导 数，且/()=().例 5：已 知 函 数./(月=/”图 cosx+sinx,则/闺 的 值 为-【答 案】1【解 析】/(X)=/,W(-s i n x)+cosx,尸 图=r Y-s i n+

14、c o s,解 得/。=应-1.所 以 变 式：(2020全 国 m 卷 文 设 函 数 x)=,若 广=(,贝 股=.【答 案】1【解 析】由 函 数 的 解 析 式 可 得/(x)=(：+)f+；：i)则 广(1)=号 产 据(x+a)(X+Q)(1+a)(Q+1)此 可 得 丁 J=J/-2 a+l=0,整 理 可 得，解 得。=1.(4+1)-4结 论 六、多 用 乘 法 求 导 运 算 连 乘 积 形 式 先 展 开 化 为 多 项 式 的 形 式，再 求 导 公 式 形 式 观 察 函 数 的 结 构 特 征，先 化 为 整 式 函 数 或 较 为 简 单 的 分 式 函 数，再

15、求 导 对 数 形 式 先 化 为 和、差 的 形 式，再 求 导 根 式 形 式 先 化 为 分 数 指 数 幕 的 形 式，再 求 导 三 南 形 式 先 利 用 三 角 函 数 公 式 转 化 为 和 或 差 的 形 式，再 求 导 含 待 定 系 数 如 含/(a),a,b 等 的 形 式,先 将 待 定 系 数 看 成 常 数，再 求 导 例 6：等 比 数 列 中，4=2,%=4,函 数/(X)=x(x-“J(x-出(X-。8)，则/()=()A.26 B.29 C.212 D.215【答 案】C【解 析】令 g(x)=(x-q)(x-4)(x-4)，则/(X)=Xg(x),/X)

16、=g(x)+xg，(x),且 g0)有 意 义，于 是/(0)=g(0)=ala2,as=(4)=84=2.故 选 C.变 式：设 函 数/(x)=(X a)(x-b)(X-c)(a,6,c 是 两 两 不 等 的 常 数)，则 a b+_c_ _=f M _(b)_ f(c)-【答 案】0【解 析】因 为 广(x)=(x-b)(x-c)-(x-a)(x-b)(x-C)T,所 以 f(a)=(a-b)(a-c),同 理：/=。-a)(b-c),/G)=(c-a)(c-b),所 以 原 式=-一?-+-一 之 一-(a h)a-c)(h-a)b-c)c _ a(b-c)b(a-c)+c(-b)_

17、 0(c a)(c h)(a b)(a c)(b c)结 论 七、特 殊 函 数 的 导 函 数 l.(sin x)f=cos x,(cos x),=-sin x,(-sin x)r=-cos x,(-cos x)=sin x.2.(1 x I)，=3.例 7：设/o(x)=s i n x,工(x)=fQ x),f2(x)=/；G),，/+1(x)=fQr(x),n N,则/2020(功 等 于()A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x【答 案】A【解 析】因 为/o(x)=sin x,所 以(x)=fQx)=cos x,f2(x)=/G)=-sin x,f3(x)

18、=f2r(x)=-cos X,f4(x)=f3x)=sin X,所 以 人 0 2 0 G)=A)5x4(x)=-G)=s in X,故 选 A.变 式：设 a,b R,则“b”是“a|b|b|”的()A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 又 不 必 要 条 件【答 案】C【解 析】设 函 数/(X)=X X I.当 X N 0 时，/(X)=1 X+X H=2 X I;又/-(0)=Xlim-/“)二()=lim-0=1加|*|=0,所 以/-(x)=2 I x I20(x e R)(当 且 仅 当 A r-0 x 0 A x

19、-0%0 A x-0 x=0 时.r(x)=0),所 以/(x)是 R 上 的 增 函 数.故 选 C.大 招 二 导 数 的 几 何 意 义 知 C只 通 关 通 关 一、导 数 的 几 何 意 义/(/)表 示 曲 线 y=/(x)在 X=X。处 的 切 线 的 斜 率，即/(%)=tan a(a为 切 线 的 倾 斜 角).已 知 点 尸(40,%)是 曲 线 y=/(X)上 一 定 点，点。(%+Ax-。+)是 曲 线 y=/(x)上 的 动 点，我 们 知 道 平 均 变 化 率 型 表 示 割 线 P Q的 斜 率，如 图 所 示.当 点 0 无 限 接 近 于 点 P,即 Ax-

20、0 时，割 线 PQAr的 极 限 位 置 直 线 尸 7叫 作 曲 线 在 点 尸 处 的 切 线.也 就 是 当 Ar f 0 时，割 线 尸 0 斜 率 的 极 限，就 是 切 线 的 斜 率，即：,.Ay/(/+Ax)-/(x)k=lim=lim-=f().A.v-0 Ax Arf 0 Ax 通 关 二、曲 线 在 点 P 处 的 切 线 点 P 在 曲 线 上，在 点 P处 作 曲 线 的 切 线（P是 切 点），此 时 数 量 唯 一，如 图 所 示.通 关 三、曲 线 经 过 点 P 处 的 切 线 点 P 位 置 不 确 定（在 曲 线 上 或 曲 线 外），过 点 尸 作 曲

21、 线 上 任 意 位 置 的 切 线（只 要 切 线 经 过 点 尸 可）,数 量 不 唯 一.如 图（a）和 图（b）所 示，无 论 点 尸 在 曲 线 上 还 是 曲 线 外，过 点 尸 都 可 以 作 两 条 直 线 4/2,与 曲 线 相 切.结 论 一、求 曲 线 y=/（x）在 x=xo处 切 线 的 步 骤 1.先 求/（刈），即 曲 线 y=f（x）在 尸（xo,/（xo）处 切 线 的 斜 率.2.再 求/（M）,因 为 切 线 过 点（xo,f（xo）：3.最 后 由 点 斜 式 写 出 直 线 方 程:（xo）=f（xo）（x-xo）.特 别 地，如 果 月 G）在 点（

22、XO,/（X0）处 的 切 线 平 行 于 y 轴（此 时 导 数 不 存 在）时，由 切 线 定 义 切 线 方 程 为:x=xo.例 1：（2020全 国 I卷 理 6）函 数（x）=x4-2x3的 图 像 在 点（1,/（I）处 的 切 线 方 程 为（）.A.y=2x-l B.尸-2x+l C.y=2x 3 D.y=2x+1【答 案】B【解 析】因 为/(x)=x4-2x3,所 以 r(x)=4x3-6x2,所 以/(I)=-1,A D=-2.因 此，所 求 切 线 的 方 程 为 夕+1=-2(x-1),即 y=-2x+1.故 选 B.变 式：设 曲 线 y=x+,(H e N*)在

23、 点(1,1)处 的 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 x“，则 西,X“等 于()A.l B,1 C.n D.1n n 4-1 n+1【答 案】B【解 析】对 y=求 导 得 _/=(+l)x,令 x=1得 在 点(1,1)处 的 切 线 的 斜 率 k=+1,在 点(1,1)处 的 切 线 方 程 为 y-=(7?+1)(X-1),令 y=0,得 工=-,则 X,X2 Xn+11 2 3 n 1 钻、比 D2 3 4 勿+1 n+1结 论 二、求 曲 线/G)经 过 点 尸 G。，外)切 线 方 程 的 步 骤 1.求 导 函 数/(x);2.验 证 点 P 是 否 在

24、曲 线 上：计 算 f(xo),观 察/(x o)=泗 是 否 成 立；3.求 切 点，设 切 点 坐 标 为(a,/(a),则 切 线 方 程 f(a)=f(a)(x-a),代 入 点 P(祀，州)坐 标，求 出。的 值(注 意 存 出)，可 得 切 线 方 程.例 2：过 曲 线 y=1 x3+g 的 点 P(2,4)的 切 线 方 程 为.【答 案】4x-y-4=0或 x-y+2=0【解 析】设 曲 线 y=；/+：与 过 点 尸(2,4)的 切 线 相 切 于 点 力 卜 0，；片+则 切 线 的 斜 率 k=儿，=君，所 以 切 线 方 程 为 y-(累+胃=X：(x x 0),即

25、y=X；-x-找+g.因 为 点 尸(2,4)在 切 线 上，所 以 4=2x；-+；即 片 3年+4=0,所 以 片+-4xj+4=0,所 以 片(x0 4-1)-4(x0 4-1)(x0-1)=0,所 以(%+1)_ 2)“=0,解 得 X。=-1 或%=2,代 入 y-/(x0)=f(x0)(x-%).故 所 求 的 切 线 方 程 为 4x-y-4=0或 x-y+2=0.变 式：(2020全 国 I卷 文 15)曲 线 y=Inx+x+1的 一 条 切 线 的 斜 率 为 2,则 该 切 线 的 方 程 为【答 案】y=2x.【解 析】设 切 线 的 切 点 坐 标 为(x,y=In

26、x+x+,y=+=+1=2,x0=1,%)=2,所 以 切 点 坐 标 为(1，2),所 求 的 切 线 方 程 为 y-2=2(x-1),即 y=2x.大 招 三 导 数 的 应 用 知 识 通 关 通 关 一、导 数 的 符 号 与 丞 数 的 单 调 性 一 般 地，设 函 数 y=f(x)在 某 个 区 间 内 有 导 数，则 在 这 个 区 间 上，(1)若/(x)0,则/(x)在 这 个 区 间 上 为 增 函 数；(2)若/(x)0,即 切 线 斜 率 为 正 时，函 数/(x)在 这 个 区 间 上 为 增 函 数；当 在 某 区 间 上/(x)0,则/(x)仍 为 增 函 数

27、(减 函 数 的 情 形 完 全 类 似)，即 在 某 区 间 上，/(X)0=/(x)在 这 个 区 间 上 为 增 函 数：f(x)0(或/(X)0是/(x)在 区 间(a,6)内 单 调 递 增(或 减)的 充 分 不 必 要 条 件.(4)只 有 在 某 区 间 内 恒 有：(x)=0,这 个 函 数 y=/(x)在 这 个 区 间 上 才 为 常 数 函 数.通 关 二、函 数 的 极 值 一 般 地，设 函 数/(X)在 点 X=%及 其 附 近 有 定 义.(1)若 对 X。附 近 的 所 有 点，都 有/(X)/(X。)，则 称 函 数/(x)在 X。处 取 极 小 值，记 作

28、 y 如 小=/(x0),并 把 X。称 为 函 数/(X)的 一 个 极 小 值 点.要 点 诠 释：在 函 数 的 极 值 定 义 中，一 定 要 明 确 函 数 夕=/(x)在 x=/及 其 附 近 有 定 义，否 则 无 从 比 较.函 数 的 极 值 是 就 函 数 在 某 一 点 附 近 的 小 区 间 而 言 的，是 一 个 局 部 概 念；在 函 数 的 整 个 定 义 域 内 可 能 有 多 个 极 值，也 可 能 无 极 值.由 定 义 知 道，极 值 只 是 某 个 点 的 函 数 值 与 它 附 近 点 的 函 数 值 比 较 是 最 大 或 最 小，并 不 意 味 着

29、 它 在 函 数 的 整 个 的 定 义 域 内 最 大 或 最 小.极 大 值 与 极 小 值 之 间 无 确 定 的 大 小 关 系.一 个 函 数 的 极 大 值 未 必 大 于 极 小 值，极 小 值 不 一 定 是 整 个 定 义 区 间 上 的 最 小 值.函 数 的 极 值 点 一 定 出 现 在 区 间 的 内 部，区 间 的 端 点 不 能 成 为 极 值 点.而 使 函 数 取 得 最 大 值、最 小 值 的 点 可 能 在 区 间 的 内 部，也 可 能 在 区 间 的 端 点.通 关 三 函 数 的 最 值 若 函 数 y=/(X)在 闭 区 间 a,6 上 连 续，则

30、/(x)在 a,6 上 必 有 最 大 值 和 最 小 值；在 开 区 间(a,6)内 连 续 的 函 数/(x)不 一 定 有 最 大 值 与 最 小 值.要 点 诠 释：函 数 的 最 值 点 必 在 函 数 的 极 值 点 或 者 区 间 的 端 点 处 取 得；函 数 的 极 值 可 以 有 多 个，但 最 值 只 有 一 个.转 加 大 招 结 论 一、求 函 数 单 调 区 间 的 一 般 步 骤 和 方 法 第 一 步:确 定 函 数/(x)的 定 义 域：第 二 步:求/X),令/X)=0,解 此 方 程，求 出 它 在 定 义 域 内 的 一 切 实 根；第 三 步:把 函

31、数/(x)在 间 断 点(即/(x)的 无 定 义 点)的 横 坐 标 和 上 面 的 各 实 根 按 由 小 到 大 的 顺序 排 列 起 来，然 后 用 这 些 点 把 函 数/(X)的 定 义 区 间 分 成 若 干 个 小 区 间；第 四 步:确 定/(X)在 各 个 小 区 间 的 符 号，根 据.广(X)的 符 号 判 断 函 数/(X)在 每 个 相 应 小 区 间 的 增 减 性.要 点 诠 释：函 数 的 单 调 区 间 不 能 用 不 等 式 表 示，必 须 写 成 区 间 形 式；当 一 个 函 数 具 有 相 同 单 调 性 的 单 调 区 间 不 止 一 个 时，这

32、些 单 调 区 间 不 能 用 连 接，可 用“，”或“和”连 接.例 1：已 知 函 数 fix)=ln(l+x)-x+?2(人 0).(1)当 k=2时，求 曲 线 y=，(x)在 点(1,/)处 的 切 线 方 程：(2)求/(x)的 单 调 区 间.【解 析】(1)当*=2 时，/(x)=In(1+x)-x+x2,f(.x)-1+2x,由 于/=皿 2,0 1)=申 3 所 以 曲 线 了=/(x)在 点(1,/)处 的 切 线 方 程 为 y-In 2-13(x-1),即 3x-2y+2 1 n 2-3=0.(2)/，(x)=x(D,xe(_i*).当 左=0时，/(x)=-,所 以

33、，在 区 间(一 1,0)上，r(x)0；在 区 间(0,+00)上,r(x)0.故/(x)的 单 调 递 增 区 间 是(-1,0),单 调 递 减 区 间 是 S,+oo).当 0 左 1时，由/(x)=二。0 知，在 区 间(一 1,0)和(一，+8)上,/,(x)0;在 区 间。，1 上，/(X)1时，由/(x)=，叱 1-D=0,得 玉=与 幺 e(-1,0),X2=0.所 以，在 区 间 1-1,1 和(0,+8)上，f(x)0;在 区 间 1 1,o 上，/-(%)0.综 上，/(x)的 单 调 递 增 区 间 是)和(0,+oo),单 调 递 减 区 间 是 1 1，0.变 式

34、：设 函 数/(x)=xekx(k*0).(1)求 曲 线 y=/(x)在 点(0,7(0)处 的 切 线 方 程；(2)求 函 数/(x)的 单 调 区 间；(3)若 函 数/(x)在 区 间(-1,1)内 单 调 递 增，求 人 的 取 值 范 围.【解 析】(1)f(x)=(1+丘)*,广(0)=1,/(0)=0,曲 线 y=/(x)在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程 为 y=X.(2)由 f(x)=(1+kx)e=0 得 x=(A:丰 0).k若 k 0,则 当 x(一，一 时，f(x)0,函 数/(x)单 调 递 减；若 左 0,函 数/(x)单 调 递 增；当 X(-，+X

35、)寸，/(X)0,则 当 且 仅 当-1,即 4 时，函 数/G)在 内 单 调 递 增；若 左 0,k则 当 且 仅 当 即 女-1 时，函 数/(x)在 内 单 调 递 增.k综 上，函 数/(X)在 区 间(-1,1)内 单 调 递 增 时，%的 取 值 范 围 是-1,0)。(0,1.结 论 二、求 函 数 极 值 的 一 般 步 骤 和 方 法 第 一 步:确 定 函 数/(x)定 义 域；第 二 步:求/(X),令 r(x)=0,解 此 方 程，求 出 它 在 定 义 域 内 的 一 切 实 根；第 三 步:把 函 数/(x)在 间 断 点(即/(x)的 无 定 义 点)的 横 坐

36、 标 和 上 面 的 各 实 根 按 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 起 来，然 后 用 这 些 点 把 函 数/(%)的 定 义 区 间 分 成 若 干 个 小 区 间：第 四 步:检 查/Q)在 方 程 根 左 右 的 值 的 符 号，如 果 左 正 右 负，那 么/(x)在 这 个 根 处 取 得 极 大 值;如 果 左 负 右 正，那 么/(X)在 这 个 根 处 取 得 极 小 值.要 点 诠 释：使 _r(x)无 意 义 的 点 也 要 讨 论.可 先 求 出/-(%)=o 的 根 和 使/X)无 意 义 的 点，这 些 点 都 称 为 可 疑 点，再 用 定 义 去 判 断.

37、极 大 值 点 可 以 看 成 是 函 数 单 调 递 增 区 间 与 递 减 区 间 的 分 界 点.极 大 值 是 极 大 值 点 附 近 曲 线 由 上 升 到 下 降 的 过 渡 点 的 函 数 值；极 小 值 则 是 极 小 值 点 附 近 曲 线 由 下 降 到 上 升 的 过 渡 点 的 函 数 值.例 2：已 知 函 数/(x)=e+In x，其 中 4 Z R.(1)若 曲 线 y/(X)在 x=1处 的 切 线 与 直 线 y 垂 直，求 的 值;(2)当 a e(0,In 2)时，证 明:/(x)存 在 极 小 值.【解 析】(1)/(X)的 导 函 数 为/Q)=eva

38、+Inx.依 题 意，有/,(l)=e-(a+1)=e,解 得 a=0.x/；2 1(2)证 明 由/z(x)=e a+-+In x 及 e*0知，/0,故 g(x)在(0,+8)上 单 调 递 增.因 为。(0,In 2),所 以 g(l)=a+1 0,g=a+In；0,故 存 在/e,1 j,使 得 g(x0)=0./(x)与/(x)在 区 间 f1,l上 的 情 况 如 下：X1 X。&，1)0+/(X)极 小 值/所 以/(x)在 区 间;，为 上 单 调 递 减，在 区 间(%,1)上 单 调 递 增.所 以/(x)存 在 极 小 值 了(%).变 式：设 函 数/(x)=浮+底+e

39、x+da 0),且 方 程/(x)-9%=0 的 两 个 根 分 别 为 1,4.(1)当 a=3 且 曲 线 y=/(x)过 原 点 时，求/(x)的 解 析 式；(2)若/(x)在(-8,*)内 无 极 值 点，求 a 的 取 值 范 围.【解 析】由/(x)=+bx2+ex+d 得 f(x)=ax2+2bx+c.因 为 fx)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的 两 个 根 分 别 为 1,4,所 以+2+c-9=16a+86+c-36=0(1)当 a=3 时，由 式 得+-6=0,解 得 b=7,c=口.又 因 为 曲 线 y=/(x)过 原 点，所%+c+12=0以 4=0.故/

40、(x)=x3-3x2+12x(2)由 于 a 0,所 以/(x)=-|x3+bx2+ex+d 在(-oo,+oo)内 无 极 值 点”等 价 于/(x)=ax2+2hx+c20 在(一 co,-KO)内 恒 成 立”.由 式 得 2b=9-5a,c=4。.又=(26)2-4*=9(-1)(.-9).解 得 a e 1,9,即 a 的 取 值 范 围 是=9(a-D U-9)1,9.结 论 三、求 函 数 在 a,b上 量 值 的 一 般 步 骤 和 方 法 第 一 步:确 定 函 数/(X)定 义 域；第 二 步:求 广(X),令/，(x)=o,解 此 方 程，求 出 它 在 定 义 域 内

41、的 一 切 实 根；第 三 步:判 定 函 数 v=/(X)在(a,6)内 的 单 调 性；第 四 步:将 函 数 y=/(x)的 各 极 值 与 端 点 处 的 函 数 值/(a),/彷)比 较，其 中 最 大 的 一 个 是 最 大 值,最 小 的 一 个 是 最 小 值.要 点 诠 希：函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 是 一 个 整 体 性 概 念，最 大 值 必 是 整 个 区 间 上 所 有 函 数 值 中 的 最 大 者，最 小 值 必 是 整 个 区 间 上 所 有 函 数 值 中 的 最 小 者.函 数 的 最 大 值、最 小 值 是 比 较 整 个 定 义 区 间 的

42、 函 数 值 得 出 的，函 数 的 极 大 值、极 小 值 是 比 较 极 值 点 附 近 的 函 数 值 得 出 的.函 数 的 极 值 可 以 有 多 个，但 最 值 只 能 有 一 个；极 值 只 能 在 区 间 内 取 得，最 值 可 以 在 端 点 取 得：有 极 值 未 必 有 最 值，有 最 值 也 未 必 有 极 值；极 值 有 可 能 成 为 最 值，最 值 只 要 不 在 端 点 处 必 定 是 极 值；极 值 不 一 定 是 最 值.例 3：已 知 函 数/(x)=x In x.(1)求 函 数/(x)的 极 值 点.(2)设 函 数 g(x)=/(x)-a(x-1),

43、其 中 e R,求 函 数 g(x)在 1,e 上 的 最 小 值.【解 析】(1)函 数/(%)的 定 义 域 为(0,+8),/(%)=In x+1,所 以 令/(x)=In x+1 0,得 x-,e令/(x)0,得 0 x L 所 以 函 数/(X)在(0,“上 单 调 递 减，在+8 上 单 调 递 增，所 以 X=-e I ej e)e是 函 数/(x)的 极 小 值 点，极 大 值 点 不 存 在.(2)由 题 意 得 g(x)=/(x)-a(x 1)=x In x-ax 1),所 以 gG)=In x+1-a,令 g(x)=0 得 冗=ea-1.当 丁 一&1时，即 时,g(x)

44、在 U e 上 单 调 递 增,所 以 g(x)在 口,e 上 的 最 小 值 为 g=0；当 1 e“T e,即 1 a 2 时，g(x)在 1,e。-1 上 单 调 递 减，在 el e 上 单 调 递 增，所 以 g(x)在 1,e 上 的 最 小 值 为 g(e-，=ea-1 In ea-1-aea-1+a=a-eu-1;当 e-，e,即 在 2时,g(x)在 区 间 U,e 上 单 调 递 减,所 以 g(x)在 1,e 上 的 最 小 值 为 g(e)=e tz(e-1)=e-ae+a.综 上，当 时，g(x)的 最 小 值 为 0；当 1 a 2 时，g(x)的 最 小 值 为

45、a-eT；当 时,g(x)的 最 小 值 为 e-ae+a.变 式：已 知 函 数/(x)=ex cosx-x.(1)求 曲 线 y=/(x)在 点(0,/(0)处 的 切 线 方 程；(2)求 函 数/(X)在 区 间 O,y 上 的 最 大 值 和 最 小 值.【解 析】(1)函 数/(x)=ecosx-x 的 导 数 为 r(x)=eYcosx-sinx)-1,可 得 曲 线 y=/(x)在 点(0,/(0)处 的 切 线 斜 率 为 a=e(cos 0-sin 0)-1=0,切 点 为(0,e cos 0-0),即 为(0,1),曲 线 y=/(x)在 点(0,7(0)处 的 切 线 方 程 为 夕=1.(2)函 数/(x)=ev cos x-x 的 导 数 为/(X)=er(cos x-sin x)-1,令 g(x)=ex(cos x-sin x)-1,则 g(x)的 导 数 为 g(x)=ev(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2ex-sin x,当/EO.y,可 得 g，(x)=-2e J s i n x，即 有 g(x)在 0,y 上 单 调 递，可 得 g(x)Wg(0)=0，则/(x)在 0,j 上 单 调 递，即 有 函 数/(x)在 区 间 0,1 上 的 最 大 值 为/(0)=ecosO-0=1；最 小 值 为=e?c o sy712