高考数学复习-解三角形解答题.pdf

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1、 第 五 章 解 三 角 形 5.2 解 三 角 形 解 答 题 济 命 题 探 究 5高 考 对 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 考 查 较 为 灵 活，题 型 多 变，往 往 以 小 题 的 形 式 独 立 考 查 正 弦 定 理 或 余 弦 定 理，以 解 答 题 的 形 式 综 合 考 查 定 理 的 综 合 应 用，多 与 三 角 形 周 长、面 积 有 关；有 时 也 会 与 平 面 向 量、三 角 恒 等 变 换 等 结 合 考 查，试 题 难 度 控 制 在 中 等 或 以 下，主 要 考 查 灵 活 运 用 公 式 求 解 计 算 能 力、推 理 论 证 能 力、数

2、学 应 用 意 识、数 形 结 合 思 想 等.丁，6真 题 归 纳 题 型 一.正、余 弦 定 理 1.（2020海 南）在 ac=V I csirvl=3,c=百 匕 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 问 题 中，若 问 题 中 的 三 角 形 存 在，求 c 的 值；若 问 题 中 的 三 角 形 不 存 在，说 明 理 由.问 题：是 否 存 在 ABC,它 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 siM=VsinB,C=_o注：如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.【解 答】解：ac=W.AB

3、C 中，sinA=V3sinB,即 ac=V 3,，.c=唱,2 Q2 3,a2+b2-c2 a+3 一 温 耳 COSC=2ab=2凤 2=玄,ci=y/3f b=1,c 1.csinA=3.n ABC 中,csinA=asinC=sin=3,.*.a=6.6VsinA=V3sinB,即 a=A/3 6,:.b=2V5.c a2+b2-c2 36+12-c2 73cosC=-=2X6X2 丁=TC=2V3.仃 二 Wb.VsinA=V 3 sin B,即。=V3Z?,又,：c=V3/?,c s c=M=坐=c o s$2ab 6 6与 已 知 条 件 C=3相 矛 盾，所 以 问 题 中 的

4、 三 角 形 不 存 在.07 T q2.(2020新 课 标 II)A 4 3 C的 内 角 A,B,。的 对 边 分 别 为，b,c,已 知 cos?(-+A)+cosA=不(I)求 A；(2)若=孚 小 证 明:“B C是 直 角 三 角 形.7 T c【解 答】解：(1)*.*cos2(+A)+cosA=sin2A+cosA=l-cos2A+cosA=2 41 1COS2A-cosA+q=0,解 得 cosA=于 A(0,兀)，.A 7 1.4=芽(2)证 明：b-c=停。,A=由 正 弦 定 理 可 得 sinB-sinC=孚 sinA=2n J?1 1 J3 y r 1AsinB-

5、sin(B)=sinB-cosB-sinB=5sinB-cosB=sin(B豆)=亍 3 I L L L 3 z；B e(0,多，B-养(-冬 g),=可 得 8=3，可 得”8 C 是 直 角 三 角 形，得 证.5 O Z3.(2019新 课 标 I)5 C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 小 3 c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求 A；(2)若 y la+b=2 c,求 sinC.【解 答】解：（1）AABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 m b,c.*.*(.sinB-sinC)2=sin2A-sinBsin C.*.

6、sin2B+sin2C-2sinBsinC=sin2A-sinBsinC,，由 正 弦 定 理 得：h2+c2-a2=h cf.b2+c2-a2 be 1csA=2bc=赤=)V 0A 7t,.,A=*(2)：y2a+b=2c,A吗 由 正 弦 定 理 得 或 sizM+sinB=2sinC,V6 2n+sin(C)=2sinC解 得 sin(C 5)=,O L；0 C V 擎，.=+，D 4 o.n n T i n n n V2 V3 V2 1 x/6+V2/.sinC=sin(-+-)=sin-cos-+cos-sin-=x+x-=-4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 44.（2021

7、新 高 考 I）记 入 46。的 内 角 A,B,。的 对 边 分 别 为 小 b,c.已 知 廿=c,点。在 边 A C上，BDsinZABC=asinC.（1）证 明：BD=b；(2)若 A Z)=2 O C,求 cosNABCb【解 答】解：（1）证 明：由 正 弦 定 理 知,_ _ _=2RsinZ-ABC sinZ-ACB：.b=2RsinZABC,c=2RsinZACBf,:B=ac,/./?*2/?sin ZABC=a*2Rsn ZACBf即 fesin XABC=asinC,BDsinZABC=asinC,：.BD=b；（2）法 一：由（1）知 2 1VAD=2DC,A Q=

8、触，DC=b,人 八+工 用 5 BD2+AD2-AB2 房+侬)2 _ C2 13b2-9 c2在 4 3。中，由 余 弦 7E理 知，cosZBDA=版 八 赤=-5,2BDAD 2/r 他 12b在 ACS。中，由 余 弦 定 理 知，cosN 8=8 c 2=b+(叫 一。2 二 2 9 a 2,2BDD 2 万 如 66,:NBDA+NBDC=n,cos Z BDA+cos Z BDC=0,13b2-9c2 10。2_9a2、即-;-+-;-=0,得 11庐=3。2+6。2,12b2 6b2 2=3.-.3c2-llac+6iz2=0,、2.c=3 a 或 c=在 AABC中，由 余

9、 弦 定 理 知，cosZABC=a24-c2b2 a2+c2ac2ac 2ac7当 c=3a 时，c o s/A B C)r 舍);当 c 1 a时，cosZABC=g；7综 上 所 述，cosNABC=行.法 二：,点。在 边 A C上 且 A)=2OC,：.B-D=1B-A+2 BTC,：.BD2=B A-BD-BDf而 由(1)知 BD=b,i 2.9.b2=be-cosZ-ABD-cosZ-CBD,KP 3b=c*cosZABD+2a*cos Z CBD,由 余 弦 定 理 知：3b=c/+U2 第 2 a2+b2-2 b c-+2 a 2ab-，1 b2=3c2+6a2,*.*b2

10、=ac,3c2-1 1 C+6 2=0,、2c=3a 或 c=在 ABC中，由 余 弦 定 理 知，cosZABC=a2+c2b2 a2+c2ac2ac 2ac7当 c=3a 时，cosZABC=o1(舍)；9 7当 c=时,cos A ABC=存;7综 上 所 述，cos/ABC=6.5.(2021新 高 考 H)在 AABC 中，角 A,B,C 所 对 的 边 长 为 a,b,c,b=a+,c=a+2.(I)若 2 sin C=3 sin A,求 AABC 的 面 积；(I D 是 否 存 在 正 整 数 a,使 得 AABC为 钝 角 三 角 形？若 存 在，求 出 a 的 值；若 不

11、存 在，说 明 理 由.【解 答】解：V2sinC=3sinA,.根 据 正 弦 定 理 可 得 2c=3”，b=a+l,c a+2,.a=4,b=5,c=6,1?2?2 2 2在 AABC中，运 用 余 弦 定 理 可 得 cosC=a 玄 c=4吃”Vsin2C+cos2C=1,.sinC=V1 cos2C=J l=12,u 1 入.厂 1)u 3 1 5 S ARC=nabsinC=方 x 4 x 5 x 5=-.A 几 2 2 8 4()*：c b a,ABC为 钝 角 三 角 形 时，角 C 必 为 钝 角,r_ a2+b2-c2 _ a2+(a+l)2-(a+2)2C 0 S L=

12、_ 2ab-=2 a(a+l)0,-2a-3 V 0,A 0 a c,即+1+2,即 1,A l a 3,.Z 为 正 整 数，*。=2.题 型 二.周 长、面 积 问 题 I.(2020北 京)在 M B C中，“+6=1 1,再 从 条 件、条 件 这 两 个 条 件 中 选 择 一 个 作 为 已 知，求:(D a 的 值；(II)sinC 和 ABC 的 面 积.1 1 9条 件：c=7,c o s A=-,；条 件：cosA=g,c o s8=正.注：如 果 选 择 条 件 和 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.【解 答】解：选 择 条 件(I)由 余 弦 定

13、理 得 后 必 恪-2bccosA,即 a1-4=49-14Z?x(-1)=49+26,(a+b)(a-h)=49+28,：a+b=,1 la-116=49+26,即 Ila-13b=49,联 立 工 上 发；=49,解 得 a=8,b=3,(II)在 AABC 中，sinA0,.sinA=V1 cos2 A=由 正 弦 定 理 可 得 总=-),.厂 csinA.s in C=-7 x竽 石 a 8=2，SAABC=ahsinC=x8x3x 苧=6A/3.选 择 条 件(I)在 ABC 中，sinA0,sinB0,。=兀-(A+3),V c o s A=1,ocosB=9否.siM=l-co

14、s2“=誓,sinB=Vl-cos2B=第,由 正 弦 定 理 可 得 a bsi n A7=sinB7,a sinA 6b sinB 5：a+b=l,:a=6,b=5,故 4=6；(H)在 aABC 中，C=7t-(A+B),3/V 9 S/7.*.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-5-X+7-7-Xo lo lo:S&ABC=2sinC=2 x6x5x0 1577T=-旦 丁 2.(2017新 课 标 II)A48C的 内 角 A,B,。的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 sin(A+C)=8sin2.(1)求 cosB；(2)若+c=6,ABC的

15、面 积 为 2,求 江【解 答】解：(1)sin(4+C)=8sin2-,A sinB=4(1-cosB),V sin+cos2 1,16(1-cosB)2+COS2B=1,/.16(1-cosB)2+COS2B-1=0,16(cosB-1)2+(cosB-1)(cosB+1)=0,，(17cosB-15)(cosB-1)=0,n 15 C O S jU=j-y；o(2)由(1)可 知 sin 3=y y，：SBABC=%c sin3=2,.17.ac=-2,.,.b2=a2+c1-2accosB=a2+c2-2 x x|=6Z2+C2-15=(+c)2-2ac-15=36-17-15=4,:

16、b=2.3.(2017新 课 标 HI)A48C 的 内 角 A,B,3 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 siM+V 58sA=0,=2夕,b=2.(1)求 c；(2)设。为 5 c 边 上 一 点，JS AD L A C,求 A3。的 面 积.【解 答】解：(1)*.*sin/14-V3cosA=0,tarb4=-V3,V 0A 7t,.4 _ 2T T.A=3,由 余 弦 定 理 可 得 a2b2+c2-2bccosA,B P 2 8=4+?-2x2cx(-1),即 d+2c-24=0,解 得 c=-6(舍 去)或 c=4,故 c=4.(2)Vc2=必+。2-2ahcosC,1

17、6=28+4-2x2b x2xcosC,：.CD=2万 AC _ 2C O SC _ 2 _47V7：.C D=B C；SAABC=ABACsmZBAC=1 x4x2x 亭=2场,SABD=2sZiA8C=V 34.(2017新 课 标 I)ZkABC的 内 角 A,B,。的 对 边 分 别 为 小 b,c,已 知 AABC的 面 积 为 一 一 3sinA(1)求 sinBsinC；(2)若 6cos8cosc=1,a=3,求 aABC 的 周 长.1n2【解 答】解：(1)由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 得 S 4 C=乎 心 inB=五 百 丁，3csin8sinA=2，由 正

18、弦 定 理 可 得 3sinCsinBsinA=2sinA,VsinA#0,.sinBsinC=；(2)6cos8cosc=1,/.cosBcosC=16f丁 cos8cosc-sinBsinC=7 一 6一 2=13 21cos(B+C)=cosA=2V0AK,A=n3,v-v L Z V*5 fV=2R=-j=-=2A/3,stnA sinB stnC 在 2b c be be 2.sinBsinC=-=一，2R 2R(2国/12 3 be 8,*.ea2=Z2+c2-2bccosA,.,.庐+c2-bc=9,：.(b+c)2=9+3仍=9+24=33,b+c=/33二 周 长 a+昆+c

19、=3+/33.5.（2015新 课 标 II）ABC中，。是 3。上 的 点，A。平 分 N BA。，A8D面 积 是 AOC面 积 的 2 倍.,sinB 求 击？(2)若 AD=1,D C=*,求 B Q 和 A C 的 长.【解 答】解：（1）如 图，过 A 作 A E L 3 C 于 1 c n.SABD=/=2ShADC DCXAE:.BD=2DC,9：AD 平 分 N BA。，：.ZBAD=ZDAC,在 ABO中,BD 4。sinZ.BAD sinZ-Bsin/B=ADxsinz.BADBD在 ADC中,DC ADsinZ.DAC sin 乙 Csin Z C=ADxsinZ.DA

20、CDCsin 乙 B DCsinZ.C BD1一.6 分 2(2)由(1)知，BD=2DC=2x=V2.过。作 D M V A B 于 M,作 D N V A C 于 N,平 分 NBAC,：.DM=DN,.S&ABD _ 豺 BXDM S A Dc-ACXDN：.AB=2ACf令 A C=x,则 AB=2x,：ZBAD=ZDAC,cos N B A D=cos Z DA C,.由 余 弦 定 理 可 得:（2X）2+1 2-（鱼）22X 2X X1 2+1 2（手）22xxxl：.AC=,.8。的 长 为 鱼，A C 的 长 为 1.题 型 三.最 值、取 值 范 围 问 题 1.（2020

21、新 课 标 H）ZkABC 中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.（1）求 A；(2)若 B C=3,求 AABC周 长 的 最 大 值.【解 答】解：(1)设 A A B C 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,因 为 sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,由 正 弦 定 理 可 得 a1-序-2=bc,即 为 Z?2+c2-a2-be,由 余 弦 定 理 可 得 cosA=%萨=-芸=弓 由 O V A V m 可 得 A=争；(2)由 题 意 可 得。=3,又 8+C=管，可 设 d,C=5+d,-5J o o o o_ 3由

22、正 弦 定 理 可 得-2 7 T=sin-TbsinB sinC=2A/3,_.-71.T C可 得 人=2Vsin（d）,c=2V3sin（一+d）,6 67T 71则 B C 周 长 为 a+b+c=3+26 sin（一-d）+sin（一+d）=6 63+23(cosd一 亭 sind+cosd+亭 sind)=3+2V3cosJ,当 d=0,即“C4 时，的 周 长 取 得 最 大 值 3+2 0另 解:=3,A=等 又 cr=b1+c1-2弓 ccosA,.9=h1+c2+hc=(Z?+c)2-hc(b+c)2 4(H e)2,q由 b+c 3,贝 U6+K2百(当 且 仅 当 匕=

23、c 时，=”成 立),则 AABC周 长 的 最 大 值 为 3+2V3.2.（2016山 东）在 AABC中，角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,已 知 2（tanA+tanB）=界 器（I）证 明：a+b=2c；（I I）求 cosC的 最 小 值.【解 答】解：（I）证 明:由 2（加 力+加 的=鬻+需 得：tanBcosAsinB.cosB2（翦+si 也 4 sinBcosAcosB 十 cos Acos B工 两 边 同 乘 以 cosAcosH 得，2(sinAcosB+cosAsin3)=sinA+sinB；2sin(A+B)=sinA+sinB；即 sinA

24、+sinB=2sinC(1)；根 据 正 弦 定 理,a bsin A sinB sinC2R；nh r a b 2csinA=7T 3,sinB=,sinC=”，带 入(1)得：+=；2H 2R 2R IT 2R 2R 2R.+A=2c；(II)a+h=2c；(a+b)2=。2+/+2=4c2；.*.6 Z2+/?2=4 C2-Z a b,且 4c2*a b,当 且 仅 当 a=b时 取 等 号;又 a,h0；c2 ab 1;二 由 余 弦 定 理，cosC=a3c2-2ab 3 c22ab=2-b 1-1.,.cosC的 最 小 值 为 了 3.（2019新 课 标 III）A ABC的

25、内 角 A、B、。的 对 边 分 别 为，b,c.已 知 sin-=Z?siiL4.2(1)求 8；(2)若 AABC为 锐 角 三 角 形，且 c=l,求 AABC面 积 的 取 值 范 围./+C n一 B B【解 答】解：(1)6zsin-=fesiiL4,即 为 osin-=cos=hsinA,2 2 2B B B可 得 sin4cos-=sin8sinA=2sin-cos-sinA,2 2 2V sin/l 0,B B Bco s-=2 sin-c o s-,2 2 2B若 cos=0,可 得 B=(2Z+1)7t,2 e z 不 成 立，2B 1s i n-=一,2 2由 0 8

26、i且 i+J _ a+q 2,且+/屋-a+,1解 得 y asin-=(一,一).2 3 4 8 24.(2015湖 南)设 A 3 C的 内 角 A、B、。的 对 边 分 别 为、b、c,a=htanA,且 5 为 钝 角.(I)证 明：B-A=(II)求 sinA+sinC的 取 值 范 围.sivtA C L SITLA【解 答】解：(I)由 a=btanA和 正 弦 定 理 可 得-=-=cosA b sinBn/.s in B=c o s A,即 sinB=sin(一+A)2Tl 71又 8 为 钝 角，,一+4(,7i),2 2IT IT B=W+A,：.B-A=J；(I I)由

27、(I)知 C=7t-(A+8)=7C-(4+A)=-2A 0,n n.,.A(0,一),sirL4+sinC=sinA+sin(2A)4 2=sinA+cos2A=sinA+1-2sin-A=-2V A S(0,-),，0 sin A V孝，由 二 次 函 数 可 知 之 一 2(s in A-b 2+H2=2a/?.(1)若 sinC=苧，求 B；(2)若。为 A C中 点，且 8 D=B C.求【解 答】解：(1)AABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,K c2+a2-b2=2ab.整 理 得 2+2 _ 审=2accosB=2ab,所 以 ccosBb,利 用

28、 余 弦 定 理 得：sinCcosB=sinB,整 理 得：sinC=孚=tanB,由 于 0 8 0,b 0,利 用 二 角 形 的 二 边 关 系,整 理 得 a+ab,即 2a-b0.所 以 2a b=y/2bf解 得：，昔 3.在 2-Z?=2ccos8,S=苧(/+廿-/)，B s in(A+8)=l+Z s i/C三 个 条 件 中 选 一 个，补 充 在 下 4 2面 的 横 线 处，然 后 解 答 问 题.在 ABC中，角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 是 小 b,c,设 ABC的 面 积 为 S,已 知.(1)求 角。的 值；,273(2)若 6=4,点。在 边 4

29、3 上，C O为 N A C 3的 平 分 线，C Q 8的 面 积 为 可，求 边 长。的 值.【解 答】解：(1)选 2-b=2ccosBt则 由 余 弦 定 理 可 得：2 j=2 Q 2+C 2 f 2,整 理 可 得。2+户 一 耕=，2ac可 得 co sC=。*广=1,Zab 2因 为 c e(0,K),所 以 C=1.选 s=字(a2+b2-c2),可 得 加 inC=同。噂 Y),即.(。2境。2)=0 osC,所 以 tanC=V3,因 为(0,兀)，可 得 C=*Q选 V5sin(A+8)=l+2sin2-,2可 得：V 3sinC=2+cosC,可 得 2sin(C+5

30、)=2,o可 得：sin(C+5)=1，o 7r7 1 7 7 r因 为 C(0,兀)，(,),6 6 6所 以 c+A 夕 可 得 c=*(2)在 ABC 中，SAABC=SACD+SABCD,1 1 1 1可 得 一 3C O sin N 3 C Q+2CA O sinN A CD=2CA C5 s in N A C 3,可 得 一 6。)+。二 百 0 2 2 2 4又 SCDB=axCD=马 之 由 可 得：-=；,解 得=2,或。/(舍 去)，a 4-4 3 3所 以 边 长 的 值 为 2.4.在 ABC 中，角 A,B,。的 对 边 分 别 是 m b,c,且 遍 acosC=(

31、2b-K c)c o s/.(I)求 角 A 的 大 小；(I I)若”=2,求 AABC面 积 的 最 大 值.【解 答】解：(I)由 正 弦 定 理 可 得：V3sinAcosC=2sinBcosA y/3sinCcosA,从 而 可 得：y/3sin(A+C)=2sinBcosA,即 MsinB=2sinBcos4,又 B为 三 角 形 内 角，所 以 sin*0,于 是 cosA=亨，又 A为 三 角 形 内 角，所 以 4=也(II)由 余 弦 定 理:a2=b2+(P-2bccoaA,得：4=b2+c2-2hc-y 2bc y/3bc,所 以 be W 4(2+遮)，所 以 S=b

32、esinA 2+V 3,即 N B C面 积 的 最 大 值 为 2+V3.5.A4BC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c.已 知 c o s B=的 面 积 是 否 存 在 最 大 值？若 存 在，求 对 应 三 角 形 的 三 边；若 不 存 在，说 明 理 由.从 a+c=2,(2)这 两 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 上 面 问 题 中 并 作 答.如 果 选 择 多 个 条 件 分 别 解 答，按 第 一 个 解 答 计 分.【解 答】解：若 选，则 由 c o s B=-,得 sin8=芋，则 S=acsinB=亨 匹 苧(与 2=当 且 仅

33、当 a=c=l时，取 等 号，故 面 积 的 最 大 值 为 一.4则 h2=a2+c2-2accosB=1+1-2x(-1)=3,则 b=V3,若 选，则 由 cosB=一*,得 B=冬，sin8=空，由 正 弦 定 理 得 变 一=*=*/,则 sinA=义，A=C=5,则 a=c,sinA a z o o则 S=acsinB：苧 2,。可 以 取 任 意 正 数，则 三 角 形 的 面 积 无 最 大 值，故 答 案 为：若 选，则 最 大 值 为 半，选，则 无 最 大 值 46.在 448。中，角 A,B,。的 对 边 分 别 为 m b,c.(1)若 23cos2/4+cos2A=

34、0,且 ABC为 锐 角 三 角 形，a=7,c=6,求 人 的 值;(2)若=百，A=条 求+c的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)V23COS2A+COS2A=23COS2A+2COS2A-1=0,.cos2A=安，又 VA 为 锐 角，cosA=春，而 a2=b2+c2-2bccosA,即 F 13=0,解 得 b=5(舍 负)，工 6=5；(2)方 法 一：(正 弦 定 理)由 正 弦 定 理 可 得 b+c=2(sinB+sinC)=2(sinB+s出(等-B)=2百 sin(B+着),27r 7T IT O VB V 衅，B+V除 3 6 6 61 n：.-sin(B+-)1,：.b+c e(6,2.方 法 二：(余 弦 定 理)由 余 弦 定 理(b2+c2-2bccosA 可 得 b2+c2-3be,Q即(b+c)2 _ 3=3bc W.(b+c)2,：.b+c 遮，：.b+c&(6，2何.