高考数学复习第11讲导数中的切线问题与切线放缩（解析版）.pdf

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1、第 11讲 导 数 中 的 切 线 问 题 与 切 线 放 缩【典 型 例 题】例 1.若 存 在 过 点（1,0）的 直 线 与 曲 线 y=x?和 严 加+空 尸 9都 相 切，则。等 于（）4A.-1或 一 丝 B.-1或 幺 C.或-D.-Z 或 764 4 4 64 4【解 析】解：设 直 线 与 曲 线 y=x的 切 点 坐 标 为（为,%）,则 函 数 的 导 数 为 了 缶）=3 4，则 切 线 斜 率 4=3 4，则 切 线 方 程 为 y XQ=（x x0）,切 线 过 点（1,0）,二.一 石=3x；（1 一%）=3片 3片，即 2片=3片，解 得=0 或%，若%=0,此

2、 时 切 线 的 方 程 为 y=0,此 时 直 线 与 y=ax2+?x-9 相 切，即 加+2-9=0,4则=(?)?+36=0,解 得。=一 生.64 若%=g,其 切 线 方 程 为 丁=乎-?，/、0 15 c 组 2 15 八 27 27IXA y=axr+x-9 y=ax+x-9=x-,4 4 4 4消 去 y 可 得 ax2 3x=0,o又 由=(),即 9+4x xa=0,4解 可 得 a=-1故 a=1 或。=-.64故 选：A.例 2.若 函 数/(x)=/nx与 函 数 g(x)=V+尤+(尤 0)有 公 切 线，则 实 数 的 取 值 范 围 是()A.(/?,-H

3、X)B.(-l,+oo)C.(1,+a)D.(/2,+co)2e【解 析】解：设。，乂)是 公 切 线 和 曲 线 y=/u的 切 点，则 斜 率 为 仁=/心|门=，芭 故 切 线 方 程 为 y?/叼=(%?%,),整 理 得 y=-x+lnx1?1,%X,设(x2,%)是 公 切 线 和 曲 线 g(x)=f+工+Q*0)的 切 点，则 切 线 斜 率 为 七=(Y+x+a)=2%+1，故 切 线 方 程 为：-(考+/+。)=(2七+1)(九 一“2)，整 理 得：y=(2+1)?考+。，其 中 无 2 0,则 一 1马。，设 f(x)=-ln(2x+)+x2-1,一 l x 0,则

4、r(x)=2x?一,?l x 0,易 知 r(x)1 时，/(X)4-00 f故/(x)1,即。一 1即 为 所 求.故 选：B.例 3.若 过 点 P(a,a)与 曲 线=相 切 的 直 线 有 两 条，则 实 数。的 取 值 范 围 是()A.(-oo,e)B.(e,+oo)C.(0,-)D(l,+oo)e【解 析】解：设 切 点、为 加 m),=的 导 数 为/(尤)=1+如:，可 得 切 线 的 斜 率 为 1+/.，由 切 线 经 过 点 P(a,a),可 得 1+Inm=m l n m-a,m-a化 简 可 得 1=则，(*),a m山 题 意 可 得 方 程(*)有 两 解,设

5、g(附=则，可 得 g，(加”匕，m m当 机 e 时，g m)0,g(2)递 减.可 得 g(在 机=e 处 取 得 最 大 值,，e即 有 0 3 D.a2-4 b 0 且 6 0,2又 由 事+4 b-2.2 x杵 7-2=2而 一 2,当 且 仅 当 片=8 6时 等 号 成 立，则 有 2lna+/(2勿.2届 工-2,变 形 可 得 ln(2a2b)-2亚 商+2.0,设 g(x)=ln x-2x+2,则 其 导 数 g，(x)=-L=-,X lx x当 0 兀,1时，g/2,b=i4据 此 分 析 选 项：对 于 A,a+b=f2+A 正 确；4对 于 3，a-2 b=4 2-t

6、 B 错 误；2对 于 C,a2+b=,C 错 误：4对 于 O,a2-4 ft=l,。错 误；故 选：A.例 5.已 知 函 数/(%)=优+(6-)4-2 8，其 中 6为 自 然 对 数 的 底 数.若 不 等 式/(X),0对 xw(0,+co)恒 成 立,则 2 的 最 小 值 等 于-!-.a-2 L【解 析】解：函 数 f(x)=/nr+(e-a)x-2。，其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数，.(x)=1+(e-a),x 0,当 4,e时，fx)0,f(x),0 不 可 能 恒 成 立,X当 a e 时，x=一!,a-e/不 等 式/(x)0恒 成 立.，./。)的 最 大

7、 值 为 0,当 i(),!)时，/v)o,八 元)单 调 递 增，a-e当 X(!，+00)时，r(x)e)2x则(j)=(J-e)/(x一?.e,2(x-e)x2令(x)=(犬 一 e)/n(x-e)-eiHr(x)=ln(x-e)+i,由 Hx)=0,得 x=e+Le当 xe(e+l，+oo)时，Hx)0,(x)是 增 函 数，exe(e,e+,)时，“(x)0%2e时，W(x)0,H(2e)=0,.当 xw(e,2e)时，F(x)0,/(此 是 增 函 数，.x=2e时，F(x)取 最 小 值，即 尸(2e)=-L2e得。的 最 小 值 为 a 2e故 答 案 为-2e例 6.已 知

8、函 数 x)=e-znr+1的 图 象 为 曲 线 C,若 曲 线 C 存 在 与 直 线 y=g x 垂 直 的 切 线，则 实 数 机 的 取 值 范 围 是 _ m 2_.【解 析】解：.f(x)=ex-mx+,f M=ex-m,曲 线 C 存 在 与 直 线 y=g x 垂 直 的 切 线，fr(x)=-6=-2 成 立,:.m=2+ex 2故 答 案 为：相 2.所 以 不 存 在 一 条 直 线 与 曲 线。同 时 切 于 两 点.例 7.已 知 函 数/W=1x3-2x2+3x(e/?)的 图 象 为 曲 线 C.(1)求 过 曲 线 C 上 任 意 一 点 的 切 线 斜 率

9、的 取 值 范 围；(2)若 在 曲 线 C 上 存 在 两 条 相 互 垂 直 的 切 线，求 其 中 一 条 切 线 与 曲 线 C 的 切 点 的 横 坐 标 的 取 值 范 围；(3)证 明：不 存 在 与 曲 线 C 同 时 切 于 两 个 不 同 点 的 直 线.【解 析】解：(1)r(x)=/-4 x+3,即 过 曲 线 C 上 任 意 一 点 的 切 线 斜 率 的 取 值 范 围 是-1,+oo)；k T(2)由(1)可 知，.-1k解 得 一 L,%0或 左.，由-1,X?-4x+3 0 或 x 4x 4-3.1得：X G(O,2-V 2J(1,3)|J2+V2,4)；(3

10、)设 存 在 过 点 4(%，y)的 切 线 与 曲 线 C 同 时 切 于 两 点，另 一 切 点 为 8(工 2，%)，%工 42,则 切 线 方 程 是：丁 一(;玉,一 2玉 2+3%)=(x；一 4%+3)(工 一 内)，2化 简 得：y=(片-4x,+3)x+(-x/+2%2)2而 过 B(X2,y2)的 切 线 方 程 是 y=(考-4 9+3)x+(-+2/2)，由 于 两 切 线 是 同 一 直 线，则 有：x；-4芭+3=巧+3,彳 寻 玉+为=4,又 由 一 gxj+2 1=一 1/3+2 2,2即-(1-X2)(X,2+玉 工 2+X22)+2(X j-)(5+)=0_

11、 g(X j 2+%/+/2)+4=0,即 菁(X+X2)+X2-12=0即(4-6 4+-12=16-4+石-12=0,宕-4%+4=0得 W=2，但 当 工 2=2时，由%+毛=4 得 X=2,这 与 苦 工 九 2矛 盾,例 8.已 知 函 数 F(x)=+历 X.X(1)讨 论 函 数/(X)的 单 调 性；(2)若 4=1,证 明/(1)-，.X【解 析】解：x)的 定 义 域 为(0,内)，/3=*,X当 a.0 时，r(x)0 在(0,+00)上 恒 成 立 所 以/(%)在(0,)上 单 调 递 增，当 a 0 时，(0,-)时，尸*)0,/(x)单 调 递 增，综 上，当 a

12、.O时，,f(x)在(0,”)上 单 调 递 增，当 a 0 时，f(x)在(0,-。)单 调 递 减，f(x)在(-,”)调 递 增.(2)当 a=l 时，/(x)=+Inx,X令 g(x)=/(-)-(-ex).xe(0,+co),X则 g M=-x-ln x+ex,gx)=-1+ex,x令 h(x)=-3t-ex,X G(0,+O O),x(x)=2+6、0 恒 成 立，X所 以/?(%)在(0,+oo)上 单 调 递 增，因 为 以，)=一 3+五 0,2所 以 存 在 唯 一 的/(L 1),使 得()=-1 一,+*=0，2%即*=1+-1，%当 X(O,/)时，0,即 g 0,即

13、，(x)0,所 以 g(x)在(%,+8)上 单 调 递 增,所 以 gM,in=g(%0)=一/一/g)+e，把 代 入 得 g(x()=ro-/啄+1+，毛 c(L 1),/2当 毛 w(,1)时，Inx 0 1 0,0，2%所 以 g(x()0,所 以 g O)o,所 以 Q=1 时，/()一/.X-1例 9.已 知 函 数/(尤)=-Inx.x(1)讨 论 函 数 的 单 调 性；(2)若 口，+8),证 明：aex-ln(ax)-(e-l)x.1.【解 析】解：函 数/(幻=竺=-加，m.(、C ICXX(2CX 1)X(1X(X-1)+1 X(X l)(6 Z r 1)则 f M=

14、-=-j-=-o-，X X X 当 4,0 时，aex-1 0,可 得 O v x v l,山 尸(幻 l,所 以/(x)在(0/)上 递 增，在(1,+oo)上 递 减；当 0 x=In 1,e a由 广(幻 0，可 得 O v x v l或 妨,，a山 f x)1 x 0 恒 成 立，e所 以/(九)在(0,+00)上.递 增；当 一 时，由 aex-l=0 n x=/一(0,1),e a由 0=0 x 1，a山 f x)In x x=/n 0(舍)，由 八 x)0,可 得 x l,由/r(x)0,可 得 O v x v l,所 以/(幻 在(0,1)上 递 减，在(1,+Q O)上 递

15、增.(2)证 明：要 证。/一 0-1)不 一/(0).1,即 证 竺 工-bix.小 阖-b ix+e-l,X X由(1)知，当 Q.1时，/(%)在(0,1)上 递 减，在(1,g o)上 递 增，所 以(1)=c ie-lf令 g=妈 也 一 祇+”1,则 g，(x)=l z 妈 孚 3,X x令(%)=1-ln(ax)一 x,则/(x)=-1 0,x所 以(笛 在(0,+oo)单 调 递 减,又 h(1)=-lna,O,/?(l)=l-l.O,a a所 以 存 在%G,1,使 得/i(x0)=l-阳 ox)。-/=0,a当 X(0,跖)时，g(x)0,则 g(%)单 调 递 增,当%(

16、同,+00)时,g(X)0,a所 以 函 数/(a)在 awl,+oo)上 递 增，故 F(a).F(1)=e-l l-0-e+2=0 成 立，所 以 原 命 题 成 立.例 10.已 知 函 数/(x)=/nx+(e-a)x-2Z?,其 中 a,b c R,e为 自 然 对 数 的 底 数.(1)若 a=e-，当/(幻.0有 唯 一 解 时，求 人 的 值；(2)若 不 等 式/(x),0对 xe(0,y o)恒 成 立，求。的 最 小 值.a【解 析】解：(1)a=e-2h，f(x)=Inx+(e-d)x-2b=Itvc+2bx-2h.“、1.2bx+fx)=-+2b=-，X X若 b.0

17、,则 r(x)0,f(%)在(0,+00)上 单 调 递 增,不 满 足 题 意;若 b v O,则 当 X(0,-)时，fr(x)0,当 X(-,+8)时，fx)0,2b 2b.j(x)在(o,_-)上 单 调 递 增，在(一-L,物)上 单 调 递 减，2b 2b：.f(x)的 极 大 值 也 是 最 大 值 为/(-)=山(-，)-1-2乩 f(x).O有 唯 一 解，/(-)=/(-)-l-2b=0,2b 2b即 b=；2(2).函 数/(x)=/nx+(e-a)x-,其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数,r(x)=1+(e-4),x o,当 4,e时，fx)0,f(x)0不 可

18、能 恒 成 立，X当 ae 时，x=!，a-e 不 等 式/(%)0恒 成 立/(x)的 最 大 值 为 0,当 X(0,!)时，r(x)0,f(x)单 调 递 增，a-e当 xe(一，+oo)时，./(x)e)2x则 狂*七*,2(x-e)x2令(x)=(x-e)ln(x 一 e)-e,H,(x)=ln(x-e)+,由 H，a)=0,得 x=e+，e当 xe(e+,，+oo)时，H(x)0,4(x)是 增 函 数，exe(e,e+)时、Hx)2e时，H(x)0,”(2e)=0,.当 xe(e,2e)时，F(x)0,F(x)是 增 函 数，.”二 涣 时，F(x)取 最 小 值，即 尸(2e)

19、=-.2e得。的 最 小 值 为 a 2G【同 步 练 习】选 择 题 1.已 知 函 数/(x)=/-3x+l,则 下 列 关 于 函 数 f(x)性 质 描 述 错 误 的 是()A.函 数/(x)有 两 个 极 值 点 B.函 数/(x)有 三 个 零 点 C.点(0,1)是 曲 线 y=/(x)的 对 称 中 心 D.直 线 x+y=0 与 曲 线 y=/(x)的 相 切【解 析】解:对 于 函 数/3=于-3*+1,求 导 可 得:7,(X)=3X2-3=3(X-1)(X+1),令(。)=0,解 得 x=l,可 得 下 表：X y,-i)-1(-1,1)1(1,+00)r。)+00+

20、f(x)单 调 递 增 极 大 值 单 调 递 减 极 小 值 单 调 递 增 则 函 数 的 极 大 值 为/(-1)=3,极 小 值 为 f(1)=-1,即 可 作 图 如 下:故 A、B 正 确;由 y=3x为 奇 函 数，且 f(x)是 由 y=d 3x向 上 平 移 1个 单 位 得 到 的，故 C 正 确;令 r(x)=-i,解 得 犬=乎，则/(坐 二 一 心,_ q)=9+：、,俘，史 普)，(-当，卷 骂 不 在 直 线 x+y=o 匕 故。错 误，2.已 知 函 数/(x)=x/nx,g(x)=x2+x-a(aeR).直 线 x=f0)与 曲 线 y=/(x)和 y=g(x

21、)分 别 相 交 于 A,3 两 点，且 曲 线 y=/(x)在 A 处 的 切 线 与 曲 线 y=g(x)在 8 处 的 切 线 斜 率 相 等，则“的 取 值 范 围 是()A.(-oo,l B.(0,-C.(-00,e D.(0,ee e【解 析】解：/(x)=xlnx,(x 0),fx)=1+Inx,g(x)=x2+x-a(aR),gr(x)=ax+1,曲 线 y=/(x)在 点 A 处 的 切 线 与 y=g(x)在 点 3 处 的 切 线 斜 率 相 等，广=g，在(0,+oo)有 解，即 bit=3 在(0,40)有 解，八 Iflt/0，ci=，t令 尸(x)=竺，则 尸(x

22、)=上 半，X X当 xe(0,e)时，F(x)0,F(x)单 调 递 增；当 xe(e,物)时，F(x)0,F(x)单 调 递 减，F(X)M=F(e)=Lea 的 取 值 范 围 是(-oo,-.e故 选：A.3.函 数/(x)=e*+1+1与 g(九)的 图 象 关 于 直 线 2x-y-3=0 对 称，P,。分 别 是 函 数/(x),g(x)图 象 上 的 动 点，则|尸 Q 的 最 小 值 为()A.B.石 C.卓 D.26【解 析】解：f(x)=e*+x2+x+l,/.fx)=ex+2x+,函 数/(x)的 图 象 与 g(x)关 于 直 线 2x-y-3=0 对 称，函 数/(

23、x)到 直 线 的 距 离 的 最 小 值 的 2 倍，即 可|PQ|的 最 小 值.直 线 2万 一 一 3=0 的 斜 率 上=2,由/(x)=e*+2x+1=2.即 e*+2xl=0,解 得 x=0,此 时 对 于 的 切 点 坐 标 为(0,2),过 函 数,f(x)图 象 匕 点(0,2)的 切 线 平 行 于 直 线)，=2x-3,两 条 直 线 间 距 离 d 就 是 函 数 f(x)图 象 到 直 线 2x-y-3=0 的 最 小 距 离,此 时 d=1；2-3|=4=右,V?T i V 5由 函 数 图 象 的 对 称 性 可 知，|的 最 小 值 为 2d=2非.故 选：D

24、.4.已 知 函 数/(x)=ae*+x2+x+l经 过 点(0,2),且 与 g(x)的 图 象 关 于 直 线 2x y 3=0 对 称，P,Q分 别 是 函 数/(x),g(x)上 的 动 点，贝 iJ|P 0|的 最 小 值 是()A.乎 B./5 C.竽 D.2石【解 析】解:,函 数/(x)=ae*+/+x+l经 过 点(0,2),:.a=,/(x)=e*+J?+x+1,f(x)=ex+2x+,函 数 f(x)的 图 象 与 g(x)关 于 直 线 2 x-y-3=0对 称，函 数/(x)到 直 线 的 距 离 的 最 小 值 的 2 倍，即 可|P Q|的 最 小 值.直 线 2

25、 x-y-3=0 的 斜 率&=2,山 f(x)=ex+2x+1=2,即 e+2 1=0,解 得 x=0,此 时 对 于 的 切 点 坐 标 为(0,2),：.过 函 数/图 象 上 点(0,2)的 切 线 平 行 于 直 线 y=2x-3,两 条 直 线 间 距 离 d 就 是 函 数 f(x)图 象 到 直 线 2x-y-3=0 的 最 小 距 离,此 时“=早 0=逐，由 函 数 图 象 的 对 称 性 可 知，|P Q 的 最 小 值 为 2d=2下.故 选：D.2A.a+2b=/2+B.a-2b=-2 C.ah2 D4 2【解 析】解：根 据 题 意，设/（x）=x-l-阮 V,其

26、定 义 域 为（0,”），其 导 数（x）=l-l=-,X X在 区 间（0,1）上，r（x）o,f（x）为 增 函 数，则/（I）=0.KOx-.lnx,即 x./nr+l,又 由 2“+以.2 2a x/=2麻，当 且 仅 当 匕?=4a时 等 号 成 立，2 V 2而 yjab2.!nJab2+1=（lna+Inlr）+1,2,2 2变 形 可 得：2tz4-.Ina+Inb2+2,HP Ina+Inb1,2。+千 一 2,b2又 由 Ina+Inb2.2a+-2,2.b2-4a0必 有：；u，解 可 得.a=21,b=V2分 析 选 项 可 得 8 正 确,故 选：B.6.函 数 y=

27、V 7 的 图 象 与 直 线 y=ov+2相 切，则 实 数=()A.-1 B.1 C.2 D.4【解 析】解：设 切 点 为(根,),y=/一”的 导 数 为 yr=3x2-1,可 得 切 线 的 斜 率 为 k=3m2-l=a,又=4机+2=17?-m,解 得 m=1,a=2,故 选：C.7.已 知 直 线 4:y=x+分 别 与 直 线(：y=2(x+l)及 曲 线 C:y=x+/zir交 于 A,B 两 点,则 A,B 两 点 间 距 离 的 最 小 值 为()A.迪 B.3 C.迪 5 5【解 析】解：联 立 方 程 组，解 得 4(a-2,24-2),y=2(x+l)D.3y/2

28、联 立 方 程 组)=+,解 得 B(e,ea+a),y=x+lnx.ABF=2(e-a+2)2,令/(a)=ea-a+2,则:(a)=ea-l,.当 0 时，f(a)0 时，f(a)0,:.f(a)在(T O,0)上 单 调 递 减，在(0,+)上 单 调 递 增,：.f(a)./(0)=3,当/(a)=3 时，I 取 得 最 小 值 18.B A 8 1的 最 小 值 为 炳=3夜.故 选：D.二.多 选 题 8.已 知 函 数/(x)=d-x+l,则()A.f(x)有 两 个 极 值 点 B./(x)有 三 个 零 点 C.点(0,1)是 曲 线 y=/(x)的 对 称 中 心 D.直

29、线 y=2x是 曲 线 y=/(x)的 切 线【解 析】解：r m，令/(x)o,解 得 且，令 r(x)o,解 得 一 亭 0,/()=-0,9 3 9./(X)有 两 个 极 值 点，有 且 仅 有 一 个 零 点，故 选 项 A 正 确，选 项 8 错 误；X/(X)+/(-A:)=X3-x+1-x3+x+l=2,则/(%)关 于 点(0,1)对 称,故 选 项 C 正 确;假 设 y=2x是 曲 线 y=f(x)的 切 线，设 切 点 为 伍，则“修，解 得 户:或：2a=b b=2 b=-2显 然(1,2)和(-1,-2)均 不 在 曲 线 y=/(x)上，故 选 项 错 误.故 选

30、：AC.三.填 空 题 9.己 知 a,b&R,f(x)=e*-ax+b,若 恒 成 立，则 上 工 的 取 值 范 围 是 _-1 0+8)_a【解 析】解：f(x)=ex-ax+b,(x)=ex-a,当 耳。时，r*)o 恒 成 立，则/(X)单 调 递 增，不 恒 成 立,当。0 时，令/(幻=6。=0,解 得 x=/na,当 xw(-oo,历 4)时，fx)0，函 数/(幻 单 调 递 增，/(X)而=f(lG=a-+b，/(X).1恒 成 立,a-alna+b.Ab.alna-a+1,b-a alna-2a+.1.-.；-=Inci-2,a a a设 g(a)=lna+-2,a0a，

31、/、1 1 a 1二.g(a)=-=，a a a令 g，(a)=0 解 得 a=l,当。E(0,1)时，g(a)v O,函 数 g(a)单 调 递 减，当 x(l,+oo)时，gr(a)0,函 数 g(a)单 调 递 增，g 3 w,=0+l-2=-l,b-a-.-1a故 答 案 为：-1,+oo)10.若 直 线 丁=履+方 为 函 数/(x)=/nx图 象 的 一 条 切 线，则+/?的 最 小 值 为 0【解 析】解:设 切 点 为(?,)，函 数/(幻=和(的 导 数 为 f(x)=-,X则 切 线 的 斜 率 为 k=(m0),mlnm=k m+b,解 得 6=加 一 1,贝|J k

32、+b=Inm+-1,tn设 g(m)=Inm+-1,m当 机 1时，g(m)递 增；当 Ov/?ivl时，g(帆)递 减.则 g(1)取 得 极 小 值，且 为 最 小 值 0+1-1=0.故 答 案 为：0.四.解 答 题 11.已 知 函 数 f(x)=Y+6,g(x)=ex(cx+d),若 曲 线 y=/(x)和 曲 线 y=g(x)都 过 点 尸(0,2),且 在 点尸 处 有 相 同 的 切 线 y=4x+2.(I)求 a,b,c,d 的 值；(H)若 对 于 任 意 x w R,都 有 g(x)恒 成 立，求 Z 的 取 值 范 围.【解 析】解：(I)由 题 意 知/(0)=2,

33、g(0)=2,尸(0)=4,g(0)=4,而 f(x)=2x+a，gx)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2、a=4,d+c=4,从 而 a=4,6=2,c=2,d=2;(II)由(/)知，f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+l),由 7(%).2-g(x)恒 成 立 得/(%)+g(x).女 恒 成 立,设 F(x)=f(x)+g(x)=2ex(x+l)+x2+4x+2,则 Ff(x)=2ex(x+2)+2x+4=2(x+2)(ev+1),由 尸(x)0得 x-2,由 广(x)v0得 xv-2,即 当 光=-2 时，尸(x)取 得 极 小 值，同 时 也 是 最 小 值，此

34、 时 F(-2)=2e-2(-2+1)+(-2)2+4 x(-2)+2=-2e-2-2,则 七-2e-2-2.12.已 知 函 数/(外=勿 x-T).x+1(I)若 函 数 f(x)在 点(1,f(1)处 的 切 线 斜 率 为;，求 的 值；(II)若 函 数/(X)存 在 减 区 间，求 的 取 值 范 围；(III)求 证：若 X,x2 G(0,4-00),%工 2 都 有 妈!一 蛆(玉+工 2)2.【解 析】解：(I)=x+1fx)=x(2二 23吐 1,尸=4-2=1,x(x+l)2 4 2.*.(2=1(II)因 为 函 数/(X)存 在 减 区 间,fx)=一+(2-2寒+1

35、 0 有 解,x(x+l)/函 数 的 定 义 域 为(0,+00),f+(2-2a)x+1 0 在(0,+00)有 解,r2 4-1即-2,解 得 2；(I I I)要 证 班 匹(玉+w)2,玉 一 Z只 要 证 明 lnx-ln x2 2,X l+x2A-i即 证 心 2,五+1X五 1,令%=f l.即 证 明 f=Int-2 d)0在(1,+oo)成 立,f+1/()=幺 工.0恒 成 立，(+1)2.在(1,+00)单 调 递 增，./(/)/(1)=0,f(t)=ln t-2(D 0 在(1,+oo)成 立,t+命 题 得 证.1 3.已 知 函 数=+cr,g(x)=mx2+x

36、-9(1)当 a=3,=c=0时，若 存 在 过 点(1,0)的 直 线 与 曲 线 y=f(x)和 y=g(x)都 相 切，求 实 数 机 的 值;(2)当 6 a 0时，函 数 y=/(x)在 R上 单 调 递 增，求”的 最 小 值.b-a【解 析】解：(1)当。=3,b=c=0时，f(x)=x39,f(x)=3x2,g(x)的 导 数 为 g(x)=2 犹+,4设 过 点(1,0)的 切 线 与 y=f(x)的 切 点 为(e),与 y-g M 的 切 点 为(s,f),则 3e2=2ms+,4由/=f,3e2=-=,解 得 e=0或 3,e-1 e-1 2则 切 线 的 方 程 为

37、y=0 或=一(犬-1).4若 e=0,则 加 5=一，fir=mv2 4-,v-9,=0,8 4 5-1解 得 f=0,s=,m=；5 64若 e=3,则 my=3,H Z=ms1+154?9,=,2 2 5-1 4解 得$=一 3,/n=-l.2综 上 可 得，加=-4 或 加=一 1.64(2)由 题 意/(工)=加+云+。.0在/?上 恒 成 立，则 0,=Z?2-4ac 0即 有 ac.,)-b2,42,1/2彳 劭/且-a+b+c/+曲+砒 a+ab+-b 4+-+-b-a ab-a2 ab-a241-)aA b.。+Z?+c+4/+厂 1 9 八 1 人 八 c-?t(/1),-

38、=一(，-1-I-F 6)x(2/9+6)=3.a b a 4(t-1)4 t 4(当 且 仅 当 f=4,即 6=c=4a时 取“=”)即 有 竺 竺 的 最 小 值 为 3.b-a14.已 知 函 数/(x)=2x3-ax2+h.(1)求/(x)的 极 大 值 点；(2)当=1,人=0 时，若 过 点 尸(1J)存 在 3 条 直 线 与 曲 线 y=/(x)相 切，求/的 取 值 范 围.【解 析】解：(1)fx)-6x2-2ax=2x(3x-a),令 f(x)=0,得 x=0 或 x=,若 a0,则 当（-oo,0）U（g,+8）时，fM 0：当(0,勺 时，f(x)0,故 y（x）在

39、（-oo,o）,q,+oo）上 单 调 递 增，在 q,+oo）上 单 调 递 减,此 时 了（元）的 极 大 值 点 为 x=0；若。0；当 xe(*0)时，f(x)0 且 g(I)0,解 得 L 工 0.【解 析】解：(1)/(x)=ex-ln(x+w),fM=ex一,x-mx=0 是/(x)的 极 值 点，.,.7()=0,得?=1：当 x 在(一 1,0)时，/V)0，/(幻 递 增;(2)当 m=2 时，r(-i)o,故 f(x)=0 在(-2,+00)上 有 唯 一 实 数 根 x0，且 毛 e(-1,0).当 xw(2,/)时：/r(x)0,从 而 当 X=X0时，取 得 最 小

40、 值/(X。)，/(Xo)=ex-ln(xQ+2)/W 0-另 解：当 2=2 时，f(x)=ex-ln(x+2),令 g(x)=ex x,g，(x)=e*-1，当 x v O 时，gx)0,时，gr(x)0,g(x)单 调 递 增,所 以 g(x).g(O)=O，即 以.+1,当 且 仅 当 x=0 时 取 等 号,所 以 g(/心)鹿 汨 一 a 一 1=大 一/四 一 1 0,当 且 仅 当 x=l时 取 等 号，故 e*加(x+2)朦+1/(x+2)=J+2-加(4+2)-1 0，取 等 条 件 不 一 致，故 e*-半(x+2)0,即/(x)0.16.已 知 函 数 f(x)=ex-

41、ln(x+m).(1)设 x=0 是/(%)的 极 值 点，求 加 并 讨 论/(尢)的 单 调 性;(2)当 以 工)=/。)-*+/(2-力 为 奇 函 数 时，证 明：f(x)0恒 成 立.【解 析】(1)解：f(x)=ex-，x=0 是，(x)的 极 值 点,x+m(o)=l-L=o,解 得 m=1.m函 数,/(%)=ex-ln(x+1),其 定 义 域 为.设 g(x)=ex-,则 gx)=ex+-0，x+(x+1)g(x)在(-l,+oo)上 为 增 函 数,又 1 g(0)=0,.当 x0 时，g(x)0,BP f(x)0；当 一 1cx0 时，g(x)0,f(x)0.f(x)

42、在(-1,0)上 为 减 函 数；在(0,长 o)上 为 增 函 数；(2)证 明：g(x)=f(x)-ex+ln(2-x)=ex-ln(x+m)-ex+ln(2-x),g(%)=/(%)-eT+历(2-幻 为 奇 函 数,g(无)+g(-x)=ex-ln(x+m)-ex+ln(2-x)+ex-ln-x+加)-ex+ln(2+x)=0,即 ln(2-x)+ln(2+x)=ln(x+t)+ln(m-x),解 得 m=2,f(x)=ex-ln(x+2),则 fx)=ex-在(-2,+00)上 单 调 递 增，x+2r(-i)o,，r(x)=0 在(一 2,y0)存 在 唯 一 实 数 根 x0,且

43、 为 e(-1,0),当 xe(-2,与)时，fx)x e(x0,+oo)时，fx 0,当 x=x0时，函 数 取 得 最 小 值，=-,即%=-ln(2+x0)2+%/(x)./(x0)=-In(2+x0)=1,r 一(l+%)22+x0 2+X00,J(x)0.方 法 二：令 g(x)=e*-x-l,g(x)=e*-1,当 x 0时，g(x)0时，g(x)0，函 数 g(x)在(0,”)上 单 调 递 增，.,.g(x).g(0)=0，ex.x+,再 令 h(x)=x-1-Inx,h(x)=1-=,X X.当 0 x v l时,(x)l时，/(%)0,函 数 力(x)在(1,+00)上 单

44、 调 递 增，.h(1)=0,:.x-.ln x.x+L./(x+2),f M=e*-lnx+2).x+1-ln(x+2)0，问 题 得 以 证 明.1 7.已 知 函 数 f(x)=ex-ln(x4-in).(1)设 工=0是/(x)的 极 值 点，求 函 数/(%)在 1,2 上 的 最 值；(2)若 对 任 意 不，x2eO,2且 占%，都 有/但)7、(-_,求 加 的 取 值 范 围.X-x2(3)当 4,2 时，证 明/(x)0.【解 析】解：(1)r(x)=e*,x+m.x=0是/(x)的 极 值 点，y-(O)=l-=O,解 得：m=,mf(x)=ex-ln(x+1),定 义

45、域 是(-1,+8)，广 e(x+1)-1x+l设 g=+1)-1,则 g(x)=+2)0,.,.g(x)在(-L+oo)递 增,又 g(0)=0.二.x 0 时，g(x)0,即/(x)0,-l x 0 时，g(x)0,B|J/(x)，都 有 了(X)/(/)_,百 一 即 都 有/(5)+%f(x2)+x2,故 函 数 h(x)=f(x)+x=ex+x-ln(x+在 0,2 上 单 调 递 增；h x)=ex+匚.0在 0，2 上 恒 成 立，x-m又 因 为()=+1-L 在 0,2 上 单 调 递 增，x+m所 以 只 要(O)=e+l-!一.0 即/H.J;0+m 2(3)证 明：当

46、根，2，w(-/n,+oo)时，/n(x4-m)ln(x+2),故 只 需 证 明 当?=2时/(x)0,当 帆=2 时，函 数 广(x)=e、L 在(-2,+oo)上 为 增 函 数，x+2且 r(-i)o,故 f(x)=0 在(-2,+00)上 有 唯 一 实 数 根 X。，且 题 e(-1,0),当 工(-2,与)时,f x)0,从 而 当 X=X0时，/(X)取 得 最 小 值.由 尸(%0)=。，得 e*=-,/(x()+2)=-%，与+2故 f(x)/(%)=二+/=(%+?.，%+2 x0+2综 上，当 阳,2 时,/(x)0.法 二：列，2.x+图，x+2,/(x+m),，/(

47、x+2),-ln(x+tn).-ln(x+2),故/(x).ex-ln(x+2),令 g(x)=x l,易 证 x L.0(x=O 时=”成 立)，glnx)=d,lx-b v c-=x-l n x-.0(x=1 F h f=”成 立)，故/一 加(x+2)庞 t+1-历(x+2)=(x+2)-/(x+2)-l 0,(=”不 同 时 成 立)，故 ex-加(x+2)0,/(x)0 成 立.18.已 知 函 数/(冗)=/一 小 一 历(2x).(I)设 犬=1是 函 数/(x)的 极 值 点，求 他 的 值 并 讨 论 了。)的 单 调 性；(II)当 典,2时,证 明：/(x)-ln 2.【

48、解 析】(I)解：f(x)=ex-n,-ln(2 x),X由 x=l 是 函 数/(x)的 极 值 点 得 广(1)=0,即=:.m=.(2 分)于 是/(x)=e-ln(2x),f(x)=ex-,X由 尸(x)=e*T+-V 0知/(x)在 xe(0,”)上 单 调 递 增，且 广=0,二%二 1是 r a)=o 的 唯 一 零 点.(4 分)因 此，当 X(O,1)时，f(x)0,/(x)递 增，函 数/(x)在(0,1)上 单 调 递 减，在(1,+oo)上 单 调 递 增.(6 分)(I I)证 明:当 肛,2,%e(0,+oo)时,exm.ex2,又，.X+1,雇 7 x-1.(8

49、分)取 函 数(x)=x-l-加(2x)(x0)，hx)=1-，x当 0 v x l时，(幻 0,/?*)单 调 递 增，得 函 数/(%)在 x=l 时 取 唯 一 的 极 小 值 即 最 小 值 为(1)=-l n 2.(12分)/.f(x)=exm-(2%)*_ 加(2x)x-1-/(2尤)?-ln 2,而 上 式 三 个 不 等 号 不 能 同 时 成 立，故/(x)-例 2.(14分)19.已 知 函 数/(x)=2/nr,g(x)=x-(I)若 直 线 y=2x-Z?是 函 数 y=/(x)和 y=g(x)的 图 象 的 公 切 线，求 实 数。和 的 值；(II)设 尸(x)=g

50、 f(x)+g(x),当 x 0时，F(x)存 在 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【解 析】解：(I)设 直 线 y=2x-Z?与 函 数 y=/(x)的 图 象 相 切 的 切 点 为(6,2加 2),7 7由 r(%)=2 可 得 4=2,即 7=1,切 点 为(i,o),x m则 b=2,切 线 的 方 程 为 y=2x-2,设 切 线 y=2工-2与 g(x)=-、的 图 象 相 切 的 切 点 为 5 2 2-2),x由 g，(x)=,则 y=2,且 2-2=,x n n解 得 n=f a=;3 27(II)F(x)=/(x)+g(x)=Inx-二,2 x当 x 0 时