2022年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）.pdf

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1、2022年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（文 科）（甲 卷）试 题 数：2 3,总 分：1501.（单 选 题，5 分）设 集 合 A=-2,-1,0,1,2,B=x|0 W x|,则 A C lB=（）A.0,1,2-1,0C.0,1D.1,22.（单 选 题，5 分）某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 1 0位 社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 1 0位 社 区 居 民 在 讲 座 前 和 讲 座 后

2、 问 卷 答 题 的 正 确 率 如 图：贝（I（）A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差 3.（单 选 题，5 分）若 z=l+i,则|iz+3 2|=（）A.4V5B.4V2C.2 V5D.2 V24.（单 选 题，5 分）如 图，网 格 纸 上 绘 制 的 是

3、一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1.则 该 多 面 体 的 体 积 为（）A.8B.12C.16D.205.（单 选 题，5 分）将 函 数 f(x)=sin(3x+“（3 0）的 图 像 向 左 平 移 与 个 单 位 长 度 后 得 到 曲 线 C,若 C 关 于 y 轴 对 称，则 3 的 最 小 值 是 A.-6B.-4C.-3D.-26.（单 选 题，5 分）从 分 别 写 有 1,2,3,4,5,到 的 2 张 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 的 概 率 为()6 的 6 张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽 取 2

4、 张，则 抽()1-5AD.-37.（单 选 题，5 分）函 数 f（x）=（3x-3）cosx在 区 间 卜?会 的 图 像 大 致 为（）A.8.（单 选 题，5 分）当 x=l时，函 数 f（x）=aln x+2取 得 最 大 值 2,则 f（2）=（）XA.-1D.19.（单 选 题，5 分）在 长 方 体 ABCD-AiBiCiDi中，已 知 B iD与 平 面 ABCD和 平 面 AAiBiB所 成 的 角 均 为 30。，则（）A.AB=2ADB.AB与 平 面 ABiCiD所 成 的 角 为 30C.AC=CBiD.BiD与 平 面 BBiCiC所 成 的 角 为 451 0.

5、（单 选 题，5 分）甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等,侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2 n,侧 面 积 分 别 为 S 甲 和 S 乙，体 积 分 别 为 V 中 和 V Z.s w V UJ若 J=2,则=(S乙 VV乙)A.V5B.2 V2C.V10D雪 1 1.（单 选 题,5 分）已 知 椭 圆 C：1+=1（a b 0）的 离 心 率 为）A i，A2分 别 为 C 的 左、右 顶 点,B 为 C 的 上 顶 点.若=-1，则 C 的 方 程 为（）A.土+匕=118 16%2 y2B.+=19 8工 2 y2C J+j=l3 2%2D.y+y 2=

6、l1 2.(单 选 题,5 分）已 知 9 m=10,a=10m-l l,b=8m-9,则()A.a 0 bB.a b 0C.b a 0D.b 0 a1 3.（填 空 题，5 分）已 知 向 量 益=(m,3),b=(1,m+1).若 五 _ L B,贝 m=1 4.（填 空 题，5 分）设 点 M 在 直 线 2 x+y-l=0上，点（3,0）和（0,1）均 在。M 上，则 O M 的 方 程 为 一.1 5.（填 空 题，5 分）记 双 曲 线 C：g-g=l（a 0,b 0）的 离 心 率 为 e,写 出 满 足 条 件“直 线 y=2 x与 C 无 公 共 点”的 e 的 一 个 值

7、_.1 6.（填 空 题，5 分）已 知 A A B C中，点 D 在 边 B C上，ZADB=12O,AD=2,C D=2 B D.当 丝 AB取 得 最 小 值 时，B D=_.17.（问 答 题，1 2分）甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 均 由 A 和 B 两 家 公 司 运 营.为 了 解 这 两 家 公 司 长 途 客 车 的 运 行 情 况，随 机 调 查 了 甲、乙 两 城 之 间 的 50 0个 班 次，得 到 下 面 列 联 表:准 点 班 次 数 未 准 点 班 次 数 A 240 20B 210 30（1）根 据 上 表，分 别 估 计 这 两 家 公 司 甲

8、、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 准 点 的 概 率；（2）能 否 有 90%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关?附：K2=b）图 次;P(K2k)0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.63518.（问 答 题，12分）记 Sn为 数 列 an 的 前 n 项 和.已 知+n=2an+l.（1）证 明：an 是 等 差 数 列；（2）若 a4，a?,a9成 等 比 数 列，求 Sn的 最 小 值.19.（问 答 题，12分）小 明 同 学 参 加 综 合 实 践 活 动，设 计

9、了 一 个 封 闭 的 包 装 盒.包 装 盒 如 图 所 示：底 面 ABCD是 边 长 为 8（单 位：cm）的 正 方 形，ZkEAB,AFBC,AGCD,AHDA均 为 正 三 角 形，且 它 们 所 在 的 平 面 都 与 平 面 ABCD垂 直.（1）证 明：EF|平 面 ABCD；（2）求 该 包 装 盒 的 容 积（不 计 包 装 盒 材 料 的 厚 度）.20.(问 答 题，12 分)已 知 函 数 f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲 线 y=f(x)在 点(xi，f(xi)处 的 切 线 也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线.(1)若 xi=-l,求 a；(2)求

10、 a 的 取 值 范 围.21.(问 答 题，12分)设 抛 物 线 C：y2=2px(p0)的 焦 点 为 F,点 D(p,0),过 F 的 直 线 交 C 于 M,N 两 点.当 直 线 M D 垂 直 于 x 轴 时，|MF|=3.(1)求 C 的 方 程；(2)设 直 线 MD,N D 与 C 的 另 一 个 交 点 分 别 为 A,B,记 直 线 MN,A B 的 倾 斜 角 分 别 为 a,p.当 a f 取 得 最 大 值 时，求 直 线 A B 的 方 程.，_ 2+22.(问 答 题，1 0 分)在 直 角 坐 标 系 xOy中，曲 线 Ci的 参 数 方 程 为“=丁(t为

11、 参 数)，y=加 2+S曲 线 C2的 参 数 方 程 为 6(S为 参 数).y=-Vs(1)写 出 Ci的 普 通 方 程；(2)以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 C3的 极 坐 标 方 程 为 2COS6-sin0=O,求 C3与 Ci交 点 的 直 角 坐 标，及 C3与 C2交 点 的 直 角 坐 标.23.(问 答 题，0 分)已 知 a,b,c 均 为 正 数，且 a2+b2+4c2=3,证 明:(1)a+b+2c3；(2)若 b=2c,则 工+工 23.a c2022年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（文

12、科）（甲 卷）参 考 答 案 与 试 题 解 析 试 题 数：2 3,总 分：1 5（）1.（单 选 题，5 分）设 集 合 A=-2,-1,0,1,2,B=x|0 x 1,则 A n B=（）A.0,1,2B.-2,-1,0）C.0,1D.1,2【正 确 答 案】：A【解 析】：利 用 交 集 定 义 直 接 求 解.【解 答】：解：集 合 A=-2,-1,0,1,2,B=x|0 x|）,则 AnB=0,1,2）.故 选：A.【点 评】：本 题 考 查 集 合 的 运 算，考 查 交 集 定 义、不 等 式 性 质 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力,是 基 础 题.2.（单

13、 选 题，5 分）某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识.为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 1 0位 社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 1 0位 社 区 居 民 在 讲 座 前 和 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 如 图：贝！I（）A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 85%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标

14、准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差 D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差【正 确 答 案】：B【解 析】：对 于 A,求 出 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 进 行 判 断；对 于 B,求 出 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 进 行 判 断；对 于 C,由 图 形 知 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 分 散，讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 集 中，进 行 判 断；对 于 D,求 出 讲 座 后 问 卷 答 题 的

15、正 确 率 的 极 差 和 讲 座 前 正 确 率 的 极 差，由 此 判 断 D.【解 答】：解：对 于 A,讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 从 小 到 大 为：60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 为：（70%+75%）/2=72.5%,故 A 错 误；对 于 B,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 为：2（8。+85%+85%+85%+85%+9。+9。+95%+1。+10。）=89.5%85%,故 B正 确；对 于 C,由 图 形 知 讲 座 前 问

16、 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 分 散，讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 相 对 集 中，讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 大 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差，故 C 错 误；对 于 D,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 为：100%-80%=20%,讲 座 前 正 确 率 的 极 差 为：95%-60%=35%,讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 小 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差，故 D 错 误.故 选：B.【点 评】：本 题 考 查 命 题 真 假 的 判 断，考 查 散 点 图、中

17、位 数、平 均 数、标 准 差、极 差 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.3.(单 选 题，5 分)若 z=l+i,则|iz+3 5|=()A.4V5B.4V2C.2 V5D.2 V2【正 确 答 案】：D【解 析】：先 求 出 iz+3 2=i+i?+3(1-i)=2-2i,由 此 能 求 出|iz+3 2【解 答】：解：z=l+i,；.iz+32=i+i2+3(1-i)=i-l+3-3i=2-2i,则|iz+3 z|=J22+(-2)2=2 V2.故 选：D.【点 评】：本 题 考 查 复 数 的 运 算，考 查 复 数 的 运 算 法 则、复 数 的 模

18、 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.4.(单 选 题，5 分)如 图，网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1,A.8B.12C.16D.20【正 确 答 案】：B【解 析】：由 多 面 体 的 三 视 图 得 该 多 面 体 是 一 正 四 棱 柱 ABCD-AiBiCiDi，四 棱 柱 的 底 面 是 直 角 梯 形 ABCD,AB=4,AD=2,AA1=2,AAiJJFffif A B C D,由 此 能 求 出 该 多 面 体 的 体 积.【解 答】：解：由 多 面 体 的 三 视

19、图 得 该 多 面 体 是 一 正 四 棱 柱 ABCD-AiBiCiDi，四 棱 柱 的 底 面 是 直 角 梯 形 A B C D,如 图，该 多 面 体 的 体 积 为：V=1（4+2）x 2 x 2=1 2.故 选：B.【点 评】：本 题 考 查 多 面 体 的 体 积 的 求 法，考 查 多 面 体 的 三 视 图 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.5.（单 选 题，5 分）将 函 数 f（x）=s in（3 x+m）（3 0）的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 曲 线 C,若 C 关 于 y 轴 对 称，则 3 的 最 小

20、值 是（）【正 确 答 案】：C【解 析】：由 题 意，利 用 函 数 丫=人 S也（3 x+（p）的 图 象 变 换 规 律，三 角 函 数 的 图 象 和 性 质，求 得 3 的 最 小 值.【解 答】：解：将 函 数 f（x）=s in（3 X+；）（o 0）的 图 像 向 左 平 移 个 单 位 长 度 后 得 到 曲 线 C,则 C对 应 函 数 为 y=s in（3 X+詈+g）,；C 的 图 象 关 于 y 轴 对 称，二 詈+g=k n+/kGZ,即 3=2k+,keZ,则 令 k=0,可 得 3 的 最 小 值 是 故 选：C.【点 评】：本 题 主 要 考 查 函 数 y=

21、Asin(3X+P)的 图 象 变 换 规 律，三 角 函 数 的 图 象 和 性 质，属 于 中 档 题.6.(单 选 题，5 分)从 分 别 写 有 1,2,3,4,5,6 的 6 张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽 取 2 张，则 抽 到 的 2 张 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 的 概 率 为()【正 确 答 案】：C【解 析】：根 据 题 意，用 列 举 法 分 析 从 6 张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽 取 2 张”和“抽 到 的 2 张 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 4 的 倍 数”的 情 况 数 目，由 古 典 概 型 公 式 计 算 可

22、 得 答 案.【解 答】：解：根 据 题 意，从 6 张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽 取 2 张，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共 15 种 取 法，其 中 抽 到 的 2 张 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共 6 种 情 况，则 抽 到 的 2 张 卡 片 上 的 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 的 概 率 P=W；故 选：C.【点 评

23、】：本 题 考 查 古 典 概 型 的 计 算，注 意 古 典 概 型 的 计 算 公 式，属 于 基 础 题.7.(单 选 题，5 分)函 数 f(x)=(3x-3)cosx在 区 间，会 的 图 像 大 致 为()_JTA.【解 析】：判 断 函 数 的 奇 偶 性，结 合 函 数 的 特 殊 值 判 断 点 的 位 置，推 出 选 项 即 可.【解 答】：解：f(x)=(3X-3X)cosx,可 知 f(-x)=(3-X-3X)cos(-x)=-(3X-3 X)cosx=-f(x)函 数 是 奇 函 数，排 除 BD；当 x=l 时，f(1)=(3-3-1)cosl0,排 除 C.故 选

24、：A.【点 评】：本 题 考 查 函 数 的 奇 偶 性 以 及 函 数 的 图 象 的 判 断，是 中 档 题.8.(单 选 题，5 分)当 x=l 时，函 数 f(x)=alnx+2取 得 最 大 值-2,则 f(2)=()XA.-1D.1【正 确 答 案】：B【解 析】：由 已 知 求 得 b,再 由 题 意 可 得 f(1)=0求 得 a,得 到 函 数 解 析 式，求 其 导 函 数,即 可 求 得 F(2).【解 答】：解：由 题 意 f(1)=b=-2,则 f(x)=alnx-,X则 f(x)=2+三=，当 X=1时 函 数 取 得 最 值，可 得 X=1也 是 函 数 的 一

25、个 极 值 点,f(1)=a+2=0,即 a=-2.易 得 函 数 在(0，1)上 单 调 递 增，在(1,+o o)上 单 调 递 减,故 X=1处，函 数 取 得 极 大 值，也 是 最 大 值，则 f(2)=三 誉=一 卜 故 选：B.【点 评】：本 题 考 查 导 数 的 应 用，考 查 导 数 最 值 与 极 值 的 关 系，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.9.(单 选 题，5 分)在 长 方 体 ABCD-AiBiCiDi中，已 知 B iD与 平 面 ABCD和 平 面 AAiBiB所 成 的 角 均 为 30。，则()A.AB=2ADB.AB与 平 面 A B

26、iG D所 成 的 角 为 30。C.AC=CBjD.BiD与 平 面 BBiCiC所 成 的 角 为 45【正 确 答 案】：D【解 析】：不 妨 令 A A i=l,可 根 据 直 线 与 平 面 所 成 角 的 定 义，确 定 长 方 体 的 各 棱 长，即 可 求 解.【解 答】：解：如 图 所 示，连 接 ABi，B D,不 妨 令 AA】=1,在 长 方 体 ABCD-AiBiCiDi 中,ADL AAiBiB,BB 面 ABCD,所 以 NBiDB和 NDBiA分 别 为 BiD与 平 面 ABCD和 平 面 AAiBiB所 成 的 角,HPzBiDB=zDBiA=30,所 以

27、在 RSBDBi 中，BBi=AAi=l,BD=遮,B1D=2,在 RtAADBi 中，DBi=2,AD=1,ABr=V3,所 以 AB=V,CBj=V2,AC=故 选 项 A,C 错 误，由 图 易 知，A B 在 平 面 ABiCiD上 的 射 影 在 ABi上，所 以/BiAB为 A B 与 平 面 ABiCiD所 成 的 角，在 RtAABBi 中,Sinz.BB=需=故 选 项 B 错 误，如 图，连 接 BiC,则 Br 在 平 面 BBiCiC上 的 射 影 为 BiC,所 以 ZDB1C为 BiD与 平 面 BB1CK所 成 的 角，在 RtADBiC 中，/C=V=DC,所

28、以 4DBiC=45。,所 以 选 项 D 正 确，故 选：D.【点 评】：本 题 考 查 了 直 线 与 平 面 所 成 角，属 于 中 档 题.10.(单 选 题，5 分)甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2 m 侧 面 积 S V分 别 为 S,和 S s 体 积 分 别 为 V”，和 V d 若 J=2,则()A.V5B.2 V2C.V10【正 确 答 案】：C【解 析】：设 圆 的 半 径（即 圆 锥 母 线）为 3,甲、乙 两 个 圆 锥 的 底 面 半 径 分 别 为 ri，r2,高 分 别 为 hi，h2，则 可 求

29、 得 巧=2,0=1,生=遍，h2=2A/2,进 而 求 得 体 积 之 比.【解 答】：解：如 图,甲，乙 两 个 圆 锥 的 侧 面 展 开 图 刚 好 拼 成 一 个 圆，设 圆 的 半 径（即 圆 锥 母 线）为 3,甲、乙 两 个 圆 锥 的 底 面 半 径 分 别 为 n,0，高 分 别 为 品，h2,则 2mi=4m 2nr2=2n,解 得 口=2,葭=1,由 勾 股 定 理 可 得 犯=遥，h2=2V2,.V 乙=pTtr i=V T o.22h2故 选：C.【点 评】：本 题 考 查 圆 锥 的 侧 面 积 和 体 积 求 解，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 中 档

30、题.11.（单 选 题，5 分）已 知 椭 圆 C：4+fi=1（ab0）的 离 心 率 为：，Ai，A2分 别 为 C 的 a2 b2 3左、右 顶 点，B 为 C 的 上 顶 点.若 西 瓦 石=-1,则 C 的 方 程 为（）D.+y2=l【正 确 答 案】：B【解 析】：首 先 设 出 椭 圆 方 程，然 后 结 合 平 面 向 量 的 数 量 积 运 算 法 则 可 得 椭 圆 方 程.2 2【解 答】：解：由 椭 圆 的 离 心 率 可 设 椭 圆 方 程 为 力+4=l(m 0),97n2 87n2 1 7则 41(一 3瓶，0),X2(3m,0),F(0,2 v lm),由 平

31、 面 向 量 数 量 积 的 运 算 法 则 可 得：BA-BA2=(-3 m,2V2m)-(3m,-2-/2m)=-9 m2+8m2=1,1.m2=l,则 椭 圆 方 程 为=+=l.9 o故 选：B.【点 评】：本 题 主 要 考 查 椭 圆 方 程 的 求 解，平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 运 算 等 知 识，属 于 中 等 题.12.(单 选 题，5 分)已 知 9 m=10,a=10m-l l,b=8m 9,则()A.a 0 bB.a b 0C.b a 0D.b 0 a【正 确 答 案】：A【解 析】：首 先 由 9 m=1 0得 到 m=log910,可 大 致 计 算

32、m 的 范 围，观 察 a,b 的 形 式 从 而 构 造 函 数 f(x)=xm-x-l(x l),利 用 f(x)的 单 调 性 比 较 f(1 0)与 f(8)大 小 关 系 即 可.【解 答】：解：9m=10,.m=log910,v 1=log99 lo g910 1),f(x)=mxm l-l,令 f(x)0,解 得：x m 由 上 述 有，l m|,可 得 0 V f(8),又 因 为=一 9 一 1=0,故 a 0 b,故 选：A.【点 评】：本 题 主 要 考 查 构 造 函 数 比 较 大 小，属 于 较 难 题 目.13.(填 空 题，5 分)已 知 向 量 6=(m,3)

33、,b=(1,m+1).若 2 _ L B,贝 U m=.【正 确 答 案】：口【解 析】：由 题 意，利 用 两 个 向 量 垂 直 的 性 质，两 个 向 量 的 数 量 积 公 式，两 个 向 量 坐 标 形 式 的 运 算 法 则，计 算 求 得 m 的 值.【解 答】：解：,响 量(m,3),b=(1,m+l).alb,db=m+3(m+l)=0,则 m=-，4故 答 案 为：-，【点 评】：本 题 主 要 考 查 两 个 向 量 垂 直 的 性 质，两 个 向 量 的 数 量 积 公 式，两 个 向 量 坐 标 形 式 的 运 算 法 则，属 于 基 础 题.14.(填 空 题，5

34、分)设 点 M 在 直 线 2x+y-l=0上，点(3,0)和(0,1)均 在 G)M上，贝 I JO M 的 方 程 为 一.【正 确 答 案】：1(x-1)2+(y+1)2=5【解 析】：设 出 圆 心 坐 标(a,l-2a),根 据 半 径 相 等，求 得 a 的 值，可 得 圆 心 和 半 径，从 而 得 到 圆 的 标 准 方 程.【解 答】：解：由 点 M 在 直 线 2x+y-l=0上，可 设 M(a,l-2a),由 于 点(3,0)和(0,1)均 在 G)M上，圆 的 半 径 为 J(a 3)2+(l 2a-0)2=7(a 0)2+(1 2a I)2,求 得 a=l,可 得 半

35、 径 为 遥，圆 心 M(1,-1)故 O M 的 方 程 为(x-1)2+(y+1)5,故 答 案 为：(x-1)2+(y+1)2=5.【点 评】：本 题 主 要 考 查 求 圆 的 标 准 方 程 的 方 法，关 键 是 确 定 圆 心 和 半 径，属 于 基 础 题.15.(填 空 题，5 分)记 双 曲 线 C：4-S=1(a0,b 0)的 离 心 率 为 e,写 出 满 足 条 件 直 a2 b2线 y=2x与 C 无 公 共 点”的 e 的 一 个 值 一.【正 确 答 案】：1 2(ee(1,遮 内 的 任 意 一 个 值 都 满 足 题 意)【解 析】：求 出 双 曲 线 渐

36、近 线 方 程，利 用 直 线 y=2x与 C 无 公 共 点，推 出 a,b 的 不 等 式，即 可 得 到 离 心 率 的 范 围.【解 答】：解：双 曲 线 C：W-1=l（a 0,b 0）的 离 心 率 为 e,e=-,a2 b2 a双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 丫=3*,直 线 y=2 x与 C 无 公 共 点，可 得?W 2,即 5 W 4,即 蒙 W 4,可 得 1 e W 遥，满 足 条 件 直 线 y=2 x与 C 无 公 共 点”的 e 的 一 个 值 可 以 为：2.故 答 案 为：2（ec（1,遥 内 的 任 意 一 个 值 都 满 足 题 意）.【点 评】：

37、本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质 的 应 用，离 心 率 的 求 法，是 中 档 题.16.（填 空 题，5 分）已 知 A A B C中，点 D 在 边 B C上，ZADB=12O,AD=2,C D=2 B D.当 好 AB取 得 最 小 值 时，B D=_.【正 确 答 案】：口 通 1【解 析】：首 先 设 出 BD,C D,在 两 个 三 角 形 中 分 别 表 示 AC,B C,继 而 噤=（=竽 卢 甘=AB Cz xz+2x+44-从 而 利 用 均 值 不 等 式 取 等 号 的 条 件 即 可.X+1+【解 答】：解：设 BD=x,CD=2x,在 三 角 形 A

38、CD 中，b2=4x2+4-2 2x 2 cos60。，可 得：b2=4x2-4x+4,在 三 角 形 ABD 中，c2=x2+4-2 x 2 cosl20。，可 得：c2=x2+2x+4,要 使 得 啜 最 小,即 放 最 小,AB czb2=-4-X-2-4-X-+-4=-4-（-X-2-+-2-X-+-4）-1-2-X-1-2=4.142 c-x-+-1-=4A-1.2 o-x-+-1-=4“-1-2-o-,c2 X2+2 X+4 X2+2 X+4 X2+2 X+4（X+1）2+3 X+1+x+l其 中+1 H-Z 23,此 时 4 23，x+l c2当 且 仅 当（x+l）2=3时，即

39、=b 一 1或 X=-6 一 1（舍 去），即=遮 一 1时 取 等 号,故 答 案 为：V3 1.【点 评】：本 题 主 要 考 查 余 弦 定 理 及 均 值 不 等 式 的 应 用，属 于 中 档 题.17.（问 答 题，1 2分）甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 均 由 A 和 B 两 家 公 司 运 营.为 了 解 这 两 家 公 司 长 途 客 车 的 运 行 情 况，随 机 调 查 了 甲、乙 两 城 之 间 的 50 0个 班 次，得 到 下 面 列 联 表：准 点 班 次 数 未 准 点 班 次 数 A 240 20B 210 30（1）根 据 上 表，分 别 估

40、计 这 两 家 公 司 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 准 点 的 概 率；（2）能 否 有 90%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关？附：再 低 蠹/P(K2k)0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635【正 确 答 案】：【解 析】：（1）根 据 题 设 数 据 直 接 计 算 即 可；（2）由 题 设 数 据 代 入 公 式 直 接 计 算 即 可 得 出 结 论.【解 答】：解：（1）A 公 司 一 共 调 查 了 260辆 车，其 中 有 240辆 准 点，故 A

41、 公 司 准 点 的 概 率 为 汹=工；260 13B 公 司 一 共 调 查 了 240辆 车，其 中 有 210辆 准 点，故 B 公 司 准 点 的 概 率 为 黑=9240 8（2）由 题 设 数 据 可 知，准 点 班 次 数 共 450辆，未 准 点 班 次 数 共 50辆，A 公 司 共 260辆，B公 司 共 240辆，“2 500X（240X30-210X20）2 _,*A=3、乙 Z./U。,260X240X450X50有 90%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关.【点 评】：本 题 考 查

42、概 率 计 算 以 及 独 立 性 检 验，考 查 运 算 求 解 能 力，属 于 基 础 题.18.（问 答 题，12分）记 Sn为 数 列 的 前 n 项 和.己 知+n=2an+l.（1）证 明：an 是 等 差 数 列；（2）若 a,，a7,ag成 等 比 数 列，求 Sn的 最 小 值.【正 确 答 案】：【解 析】：（1）由 已 知 把 n 换 为 n+1作 差 可 得 递 推 关 系 从 而 证 明，（2）由 a7,ag成 等 比 数 列，求 出 首 项，利 用 等 差 数 列 通 项 公 式 找 出 正 负 分 界 点 计 算 即可.【解 答】：解：（1）证 明：由 已 知 有

43、：2szi+M=2riQn+九，把 n 换 成 n+1,25n+1+（n+l）2=2（n+l）an+1+九+1，可 得：2an+i=2（n+1）an+i-2nan-2n,整 理 得：Hn+l=an+l，由 等 差 数 列 定 义 有 an 为 等 差 数 列；（2）由 已 知 有。7 2=。4 0 9,设 等 差 数 列 an的 首 项 为 X,由（1）有 其 公 差 为 1,故（x+6）2=（x+3）（x+8）,解 得 x=-1 2,故 ai=12,所 以 an=-12+（n-1）xl=n-13,故 可 得：a i a 2 a3-ai2 0,故 Sn在 n=1 2或 者 n=1 3时 取 最

44、 小 值，S12=S13=（-言）=_78,故 Sn的 最 小 值 为-78.【点 评】：本 题 主 要 考 查 利 用 数 列 递 推 关 系 求 通 项 及 等 差 数 列 前 n 项 和 的 最 小 值，属 于 中 档 题.1 9.（问 答 题，1 2分）小 明 同 学 参 加 综 合 实 践 活 动，设 计 了 一 个 封 闭 的 包 装 盒.包 装 盒 如 图 所 示：底 面 ABCD是 边 长 为 8（单 位：cm）的 正 方 形，AEAB,AFBC,AGCD,AHDA均 为 正 三 角 形，且 它 们 所 在 的 平 面 都 与 平 面 ABCD垂 直.（1）证 明：EF|平 面

45、 ABCD；（2）求 该 包 装 盒 的 容 积（不 计 包 装 盒 材 料 的 厚 度）.【正 确 答 案】：【解 析】：（1）将 几 何 体 补 形 之 后 结 合 线 面 平 行 的 判 断 定 理 即 可 证 得 题 中 的 结 论;（2）首 先 确 定 几 何 体 的 空 间 特 征，然 后 结 合 相 关 的 棱 长 计 算 其 体 积 即 可.【解 答】：（1）证 明：如 图 所 示，将 几 何 体 补 形 为 长 方 体,做 E E IA B于 点 E,做 F F IB C于 点 F,由 于 底 面 为 正 方 形，AABE,ABCF均 为 等 边 三 角 形，故 等 边 三

46、角 形 的 高 相 等，即 EE=FF,由 面 面 垂 直 的 性 质 可 知 EE，FF,均 与 底 面 垂 直，则 E E|F F,四 边 形 EEFF为 平 行 四 边 形，则 EF|EF,由 于 E F不 在 平 面 ABCD内，EF在 平 面 ABCD内，由 线 面 平 行 的 判 断 定 理 可 得 EF|平 面 ABCD.（2）解：易 知 包 装 盒 的 容 积 为 长 方 体 的 体 积 减 去 四 个 三 棱 锥 的 体 积,其 中 长 方 体 的 高 4 4=EE=43,长 方 体 的 体 积 匕=8 x 8 x 4 8=256V3cm3,一 个 三 棱 锥 的 体 积 彩

47、=g x x 4 x 4）x 4V3=-c m3,则 包 装 盒 的 容 积 为 V=V1-4 V2=256V3 一 4 x 学=V 3 c m3.【点 评】：本 题 主 要 考 查 线 面 平 行 的 判 定，空 间 几 何 体 体 积 的 计 算 等 知 识，属 于 中 等 题.20.(问 答 题，12 分)已 知 函 数 f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲 线 y=f(x)在 点(xi，f(xi)处 的 切 线 也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线.(1)若 xi=-l 求 a；(2)求 a 的 取 值 范 围.【正 确 答 案】：【解 析】：(1)先 由 f(x)上 的 切

48、点 求 出 切 线 方 程，设 出 g(x)上 的 切 点 坐 标，由 斜 率 求 出 切 点 坐 标，再 由 函 数 值 求 出 a 即 可；(2)设 出 g(x)上 的 切 点 坐 标，分 别 由 f(x)和 g(x)及 切 点 表 示 出 切 线 方 程，由 切 线 重 合 表 示 出 a,构 造 函 数，求 导 求 出 函 数 值 域，即 可 求 得 a 的 取 值 范 围.【解 答】：解：(1)由 题 意 知，f(-1)=-1-(-1)=0,f(x)=3x2-1,f(-1)=3-1=2,则 y=f(x)在 点(-1,0)处 的 切 线 方 程 为 y=2(x+l),即 y=2x+2,

49、设 该 切 线 与 g(x)切 于 点(X2，g(X 2),g(x)=2x,则 g(X 2)=2x2=2,解 得 xz=l,则 g(1)=l+a=2+2,解 得 a=3；(2)f(x)=3x2-1,则 y=f(x)在 点(xi，f(xi)处 的 切 线 方 程 为 y-(瑞 一 xj=(3好-l)(x-Xi),整 理 得 y=(3/-l)x-2xf,设 该 切 线 与 g(X)切 于 点(X2，g(X 2),g(X)=2X,则 g(X 2)=2X2，则 切 线 方 程 为 y(%2+a)=2X2(X x2),整 理 得 y=2x2x-x1+a,则:羡:含.a，整 理 得。=据-2君=(富 02

50、-2H=叫-2婢-浦+，令 h(x)=：铲-2/|久 2+,则 h(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x4-1)(x-1),令 h(x)0,解 得-；VxV0 或 xl,令 h(x)0,解 得 X 或 0 x l,则 x 变 化 时，h(x),h(x)的 变 化 情 况 如 下 表：X卜 8,1-3)(0,1)1+(81),h(x)-+-+则 h(x)的 值 域 为 11,+8),故 a 的 取 值 范 围 为 11,+8).h(x)单 调 递 减 527单 调 递 增 14单 调 递 减-1 单 调 递 增【点 评】：本 题 主 要 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 切 线 方