高考数学艺术生第15讲导数的应用（导数与函数的极值最值）（解析版）-高考数学一轮复习讲义（基础版全国通用版）.pdf

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1、第 15讲 导 数 的 应 用(导 数 与 函 数 的 极 值，最 值)1.极 值 点 与 极 值(1)极 小 值 点 与 极 小 值 若 函 数 歹=/(X)在 点 X=。的 函 数 值/(。)比 它 在 点 X=a 附 近 其 他 点 的 函 数 值 都 小，f(a)=0,而 且 在 点 x=“附 近 的 左 侧/(x)0,就 把。叫 做 函 数 y=/(x)的 极 小 值 点，/(a)叫 做 函 数 y=/(x)的 极 小 值.(2)极 大 值 点 与 极 大 值 若 函 数 丁=/(x)在 点 x=b 的 函 数 值/(b)比 它 在 点 彳=b 附 近 其 他 点 的 函 数 值 都

2、 大，/(b)=0,而 且 在 点 彳=b 附 近 的 左 侧/(x)0,右 侧/(x)0,就 把 6 叫 做 函 数 y=/(x)的 极 大 值 点，/(与 叫 做 函 数 y=/(x)的 极 大 值.(3)极 大 值 点、极 小 值 点 统 称 为 极 值 点；极 大 值、极 小 值 统 称 为 极 值.特 别 提 醒：(1)/，(xo)=O,/不 一 定 是 极 值 点(2)只 有/(%)=0 且 X。两 侧 单 调 性 不 同，与 才 是 极 值 点.(3)求 极 值 点，可 以 先 求/(4)=0 的 点，再 列 表 判 断 单 调 性.2.求 函 数 极 值(极 大 值，极 小 值

3、)的 一 般 步 骤：(1)确 定 函 数 的 定 义 域(2)求 方 程/(/)=0 的 根(3)用 方 程/(与)=0 的 根，顺 次 将 函 数 的 定 义 域 分 成 若 干 个 开 区 间，并 列 成 表 格(4)由/(X)在 方 程/(x)=0 的 根 左 右 的 符 号，来 判 断 y=/(x)在 这 个 根 处 取 极 值 的 情 况 若/(%)左 正 右 负，则/(%)为 极 大 值：若/(%)左 负 右 正，则/(%)为 极 小 值；若/(X。)左 右 同 号，则/(%)无 极 值。3.最 大 值：一 般 地，设 函 数 歹=/(x)的 定 义 域 为/,如 果 存 在 实

4、 数“满 足：(1)对 于 任 意 的 x e/,都 有(2)存 在。e/,使 得/(玉)=加 那 么，称 A/是 函 数 丁=/(x)的 最 大 值 4.最 小 值：一 般 地，设 函 数 y=/(x)的 定 义 域 为/,如 果 存 在 实 数 加 满 足：(1)对 于 任 意 的 x w/,都 有/(幻 2 加；(2)存 在 使 得/(%)=加 那 么，称 加 是 函 数 V=/(x)的 最 小 值 题 型 一：求 极 值 1.(2021 全 国 高 二 课 时 练 习)函 数/(x)=l-x+/的 极 小 值 为()1A.12.（2021 全 国 高 二 课 时 练 习）函 数/（x）

5、=lnx-x 在 区 间（0,e）上 的 极 大 值 为（）A.-e B.1-eC.-1 D.0Y 13.（2021 河 南 新 乡 县 一 中（文）已 知 函 数/（x）=+x2-x+i,则/（x）的 极 大 值 为（）e 2A.0 B.I C.e D.1e 24.（2021 江 苏 沐 阳 高 二 期 中）函 数 y=d i2x+12的 极 大 值 为（）A.18 B.21 C.26 D.285.（2021 福 建 南 平 高 二 期 末）已 知 x=l是 函 数/*）=&-的 极 小 值 点，则 函 数/的 极 小 值 为（）A.0 B.-1 C.2 D.46.（2021 山 西 省 古

6、 县 第 一 中 学 高 二 期 中（理）已 知 函 数/（x）=a/_加 2的 极 大 值 和 极 小 值 分 别 为 A/,团,则 用+加=（）A.0 B.1 C.2 D.47.（2021 全 国 高 二 课 时 练 习）函 数/（幻=泥 一、在 工 0,4上 的 极 大 值 为（）A.B.0 C.-T D.-ze e e8.（2021 全 国 高 二 课 时 练 习）已 知 函 数/（x）=xeX-gx3-；x2+l极 值 点 的 个 数 为（）A.0 B.1 C.2 D.3题 型 二：根 据 极 值 求 参 数 1.（2021 西 藏 日 喀 则 区 南 木 林 高 级 中 学 高 二

7、 期 末（文）函 数/（8）=/+62+3-9,已 知/（x）在 x=-3时 取 得 极 值，则“等 于（）A.2 B.5 C.4 D.32.（2021 安 徽 师 范 大 学 附 属 中 学 高 二 期 中（文）函 数/。）=/-奴 2_云+2在=1处 有 极 值 10,则“力 的 值 为（）A.。=3,b=-3,或。=-4,/?=11 B.=-4,6=1,或。=4,6=11C.Q=-4,6=11 D.。=3,b=-33.（2021 陕 西 武 功 高 二 期 中（理）函 数 已 知“X）在=-2时 取 得 极 值，则。的 值 为（）A.4 B.5 C.6 D.74.（2021 宁 夏 吴

8、忠 中 学（文）若 函 数/（）=/+如 2+既 有 极 大 值 又 有 极 小 值，则 a 的 取 值 范 围 是（）A.（-oo,-V3）B.（-oo,-V3）U（,+oo）2C.（-V3,V3）D.（V3,+oo）5.（2021 四 川 省 蒲 江 县 蒲 江 中 学 高 二 月 考（文）已 知/（）=/+6 2+（+6+1 有 极 值，则。的 取 值 范 围 为（)A.“-3或。之 6 B.-3 a 6 C.。6 D.-3 a 66.（2021 永 寿 县 中 学 高 二 月 考（理）若 函 数 x）=（x2-ax+2）e既 有 极 大 值，也 有 极 小 值，则 实 数。的 取 值

9、范 围 为（）A.2）U（2,+-1 B.-la0 C.0 19.（2021 滑 县 实 验 学 校）已 知 函 数/（x）=/+3 机/+公+加 2在 x=_ 处 取 得 极 值 0,则 加+=（）A.4 B.11 C.4 或 11 D.3 或 910.（2021 元 氏 县 第 四 中 学 高 二 期 中）若 函 数/（x）=d+Q f+云+1在 工=1处 取 极 值 o,则 a-6=（）A.0 B.2 C.-2 D.1题 型 三：求 最 大（小）值 1.（2021 广 东 高 三 月 考）函 数/（x）=：+4x在 1,2）上 的 值 域 是（）A.5,5 B.4,同 C.D.5,同 2

10、.（2021 全 国）函 数/（x）=（x-l）（x-2）2在 0,3 上 的 最 小 值 为（）4A.8 B.4 C.0 D.273.（2021 全 国 高 二 专 题 练 习）函 数 y=会 在 0,2 上 的 最 大 值 是（）I 2A.当 x=l 时，y=-B.当 x=2 时，y=e eC.当 x=0 时，y=0 D.当 x=）时，y-f=2 2yle4.（2021 安 徽 金 安 毛 坦 厂 中 学（理）已 知 函 数/（刈=/4/一 3，则 人 对 在 工 1,4 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 差 为（）A.12 B.2 C.6 D.45.（2021 合 肥 市 第 十

11、一 中 学（理）/（x）=F-x 在 区 间 上 的 最 大 值 是（）A.1H B.1 C.e+1 D.e 1e36.（2021 山 西 运 城（理）函 数/（x）=12五-2丁-3在 0,2 上 的 最 大 值 为（）A.6 B.7 C.8 D.97.（2021 山 西 运 城（文）函 数/（为=+3+2 2+3 在-2,2 上 的 最 小 值 为（）14 8 4A.B.4 C.一 一 D.一 一 3 3 38.（2021 四 川 省 资 中 县 第 二 中 学 高 二 月 考（理）函 数/（X）=X3+3 X2-9 X 在-1,2 上 的 最 大 值 是（）A.-5 B.2 C.11 D

12、.159.（2021 重 庆 市 清 华 中 学 校）函 数/（x）=x nx在（0,叫 上 的 最 小 值 是（）A.-B.C.e D.0e eRx _ X 0c,八 在 区 间（-1,3-2）上 有 最 大 值，则 实 数。的 取 值 2x,x0范 围 是（）A.（-oo,l）B.0,1）C.（-oo,2）D.（0,1）4第 16讲 导 数 的 应 用(导 数 与 函 数 的 极 值，最 值)1.极 值 点 与 极 值(1)极 小 值 点 与 极 小 值 若 函 数 歹=/(X)在 点 X=。的 函 数 值/(。)比 它 在 点 X=a 附 近 其 他 点 的 函 数 值 都 小，f(a)

13、=0,而 且 在 点 x=“附 近 的 左 侧/(x)0,就 把。叫 做 函 数 y=/(x)的 极 小 值 点，/(a)叫 做 函 数 y=/(x)的 极 小 值.(2)极 大 值 点 与 极 大 值 若 函 数 丁=/(x)在 点 x=b 的 函 数 值/(b)比 它 在 点 彳=b 附 近 其 他 点 的 函 数 值 都 大，/(b)=0,而 且 在 点 彳=b 附 近 的 左 侧/(x)0,右 侧/(x)0,就 把 6 叫 做 函 数 y=/(x)的 极 大 值 点，/(与 叫 做 函 数 y=/(x)的 极 大 值.(3)极 大 值 点、极 小 值 点 统 称 为 极 值 点；极 大

14、 值、极 小 值 统 称 为 极 值.特 别 提 醒：(1)/，(xo)=O,/不 一 定 是 极 值 点(2)只 有/(%)=0 且 X。两 侧 单 调 性 不 同，与 才 是 极 值 点.(3)求 极 值 点，可 以 先 求/(4)=0 的 点，再 列 表 判 断 单 调 性.2.求 函 数 极 值(极 大 值，极 小 值)的 一 般 步 骤：(1)确 定 函 数 的 定 义 域(2)求 方 程/(/)=0 的 根(3)用 方 程/(与)=0 的 根，顺 次 将 函 数 的 定 义 域 分 成 若 干 个 开 区 间，并 列 成 表 格(4)由/(X)在 方 程/(x)=0 的 根 左 右

15、 的 符 号，来 判 断 y=/(x)在 这 个 根 处 取 极 值 的 情 况 若/(%)左 正 右 负，则/(%)为 极 大 值：若/(%)左 负 右 正，则/(%)为 极 小 值；若/(X。)左 右 同 号，则/(%)无 极 值。3.最 大 值：一 般 地，设 函 数 歹=/(x)的 定 义 域 为/,如 果 存 在 实 数“满 足：(1)对 于 任 意 的 x e/,都 有(2)存 在。e/,使 得/(玉)=加 那 么，称 A/是 函 数 丁=/(x)的 最 大 值 4.最 小 值：一 般 地，设 函 数 y=/(x)的 定 义 域 为/,如 果 存 在 实 数 加 满 足：(1)对

16、于 任 意 的 x w/,都 有/(幻 2 加；(2)存 在 使 得/(%)=加 那 么，称 加 是 函 数 V=/(x)的 最 小 值 题 型 一：求 极 值 1.(2021 全 国 高 二 课 时 练 习)函 数/(x)=l-x+/的 极 小 值 为()5A.1 B.一 4C-D-J 4U-2【答 案】B【详 解】r(x)=-l+2x=2(x-；),令/、(x)=0,得 x=.当 x 变 化 时，f(x),f(x)的 变 化 情 况 如 下 表:XT Mlf(X)0+f(x)单 调 递 减 极 小 值 单 调 递 增 当 时，(*)有 极 小 值/(；)=1.故 选：B.2.(2021 全

17、 国 高 二 课 时 练 习)函 数/(x)=lnx-x 在 区 间(0,e)上 的 极 大 值 为()A.a B.1 eC.-1 D.0【答 案】C【详 解】f(x)的 定 义 域 为(0,+8),f a)=-i.X令 f(x)=0,得 x=l.当 xG(0,1)时，f(x)0,当 xd(l,e)时，f(x)0,故 F(x)在 x=l 处 取 得 极 大 值 A D=ln 1 1=01=1.故 选：C3.(2021 河 南 新 乡 县 一 中(文)已 知 函 数 x)=j+x+l,则/(x)的 极 大 值 为()A.0 B.I C.e D.1e 2【答 案】D【详 解】因 为,)=匚+1=(

18、上“土 1),所 以/(x)在(,0),(1,+8)上 单 调 递 增，在 0,1 上 单 调 递 减,ex ex所 以/(x)的 极 大 值 为/(0)=L故 选：D64.(2021 江 苏 沐 阳 高 二 期 中)函 数 y=d-12x+12的 极 大 值 为()A.18 B.21 C.26 D.28【答 案】D【详 解】函 数 的 定 义 域 为 R,求 导=3 幺-12,令 _/=0,解 得：项=-2,天=2所 以 当 x=-2时，函 数 有 极 大 值/(-2)=(-2)3-12X(-2)+12=28X(-oo,-2)-2(-2.2)2(2,+s)y+0-0+y 极 大 值 极 小

19、值/故 选：D.5.(2021 福 建 南 平 高 二 期 末)已 知 x=l是 函 数/(x)=a f-3x2的 极 小 值 点，则 函 数/(x)的 极 小 值 为()A.0 B.-1 C.2 D.4【答 案】B【详 解】由 题 意，函 数/(x)=加-3 d,可 得/(x)=-6x=3x(nx-2),因 为 x=1是 函 数/(x)=/-的 极 小 值 点，则/=0,即 3xlx(“-2)=0,解 得。=2,可 得/(x)=6x(x-I),当 x l时，/(x)0,/(力 单 调 递 增；当 0 xl时，/(x)0时,该 方 程 两 个 根 为 为,与(项 0,x%f(x)0,xlxx2

20、,故/(x)在 取 到 极 大 值、极 小 值，且 占+%=0,%工，=-乡，5aM+m=4-b-(x+x2)+r1J+x21)=4+a(x,3 r)=4.故 选：D.77.(2021 全 国 高 二 课 时 练 习)函 数/(x)=xe-在 x w 0,4 上 的 极 大 值 为()A.B.0 C.-j D.-7e e e【答 案】A【详 解】.1 Y由 幻=m-、可 得/(幻=一 e当 x e(0,1 时/(x)0,“X)单 调 递 增 当 xe(l,4 时/)0，令/(x)=0,可 得 x=-l,当 xe(-8,-l)时，/(x)0,函 数 单 调 递 增；故 可 得 函 数 存 在 一

21、 个 极 值 点，故 选：B.题 型 二：根 据 极 值 求 参 数 1.(2021 西 藏 日 喀 则 区 南 木 林 高 级 中 学 高 二 期 末(文)函 数/(x)=x3+ax2+3x-9,已 知/(x)在 x=-3时 取 得 极 值，则“等 于()A.2 B.5 C.4 D.3【答 案】B【详 解】由 题 意，,r(x)=3x2+2ax+3,且/(-3)=0,./(-3)=27-6。+3=0,可 得 a=5.fx)=+1 Ox+3=(3x+1)(x+3),当/(x)0,有 x _；或 x _ 3,则(-8,-3)、上 x)递 增；当/(x)o,有-3x-；,则(一 3,-；)上 递

22、减：。=-3是/(力 的 极 值 点.8综 上，a=5.故 选：B2.(2021 安 徽 师 范 大 学 附 属 中 学 高 二 期 中(文)函 数/()=/-双 2_瓜+力 在 工=1处 有 极 值 10,则 的 值 为()A.=3,f t=3,或。=4,8=11 B.=4,b=1,或。=4,6=11C.a=4,6=11 D.a=3,h=3【答 案】C【详 解】因 为/(x)=x3-ax2-bx+a2,所 以 广(x)=3 1-2 a x,f(1)=-a-b+a2=0 a=-4 ftz=3由 题 意 可 得：二.。，八，解 得：L r 或%f(l)=3-2a-b=0 p=H b=-3|q=-

23、4当 0,解 得 aJi 或 a-J L9所 以 a 的 取 值 范 围 是(一 8,一 石)U(百，+8).故 选：B.5.(2021 四 川 省 蒲 江 县 蒲 江 中 学 高 二 月 考(文)已 知/(幻=/+&+(+6卜+1有 极 值，则。的 取 值 范 围 为()A.a W-3或 a 2 6 B.-3 a 6 C.a 6 1).-3a 0,解 得：4,2)U(2,-K)B.(3,1)C.(-oo,-l)U(0,+oo)D.(Y,-；)U(L+OO)【答 案】A【详 解】由 题 设，fx)x2+(2-a)x+2-aex,又/(X)既 有 极 大 值，也 有 极 小 值,g(x)=x2+

24、(2-a)x+2-a 有 两 个 不 同 的 零 点，A=(2-a)2-4(2-a)0,可 得 a 2 或 a+a2=0/(-l)=0 3-64+6=0a=2b=9 解 得 a=16=3或 当 时，/U)=3 X2+6A-+3=3(X+1)20,则/(x)在 R 上 单 调 递 增，此 时 函 数 无 极 值，所 以 舍 去,a=2,当%/寸，/(x)=3x2+12x+9,令/(x)=0,得 x=-l或 x=-3,经 检 验 x=-l和 x=-3都 为 函 数 的 极 值 点,0=910所 以 a+6=2+9=ll,故 选：C8.(2021 甘 肃 兰 州 一 中 高 二 月 考(文)已 知

25、函 数/(x)的 导 数/(x)=a(x+l)(x办 且 x)在 x=。处 取 得 极 大 值，则 实 数。的 取 值 范 围 是()A.-1 B.1 a 0 C.0 a 1【答 案】B【详 解】(1)当 a 0 时，当 时,/W a 时,f(x)0,则/(x)在 x=a 处 取 到 极 小 值，不 符 合 题 意；(2)当。=0时，函 数/(x)无 极 值，不 符 合 题 意；(3)当 一 1。0,当 xa 时，f(x)0,则/(x)在 x=a 处 取 到 极 大 值，符 合 题 意；(4)当 a=T 时，/(x)W0,函 数 x)无 极 值，不 符 合 题 意；(5)当 a T 时,当 x

26、a 时，fx)0,则/(-V)在 x=a 处 取 到 极 小 值，不 符 合 题 意；综 上 所 述-la0,不 合 题 意，舍 掉；(2当 一 c 时，/(x)=3/+12x+9=3(x+3Xx+l),令 尸(x)0,得 x-】；令/(x)0 得-3x-L)7=9所 以/(x)在(-co,-3),上 单 调 递 增，在(-3,-1)上 单 调 递 减，符 合 题 意，则?+=2+9=11.故 选：B.10.(2021 元 氏 县 第 四 中 学 高 二 期 中)若 函 数/(x)=f+。/+云+1在 工=1处 取 极 值 0,则。一 人=()A.0 B.2 C.-2 D.1【答 案】A11【

27、详 解】解：f(x)=x3+ax1+bx+lt则/(刈=3/+2公+6,若/(%)在 x=l处 取 极 值 0,则/二=3+24+6,=0八，解 得：a人=-/=1+a+b+1=0 b=-l故。-6=0,故 选：A.题 型 三：求 最 大(小)值 1.(2021 广 东 高 三 月 考)函 数/(力=+4尤 在 1,2)上 的 值 域 是()A.5,-yj B.4/C./D.5,+0,此 时 函 数 x)是 增 函 数，17所 以/4/(x)/(2),BP5/(x)0,得 X 2 或 xg.所 以/(X)在 0,力 和(2,3 上 单 调 递 增，在(22)上 单 调 递 减.又。)=-4,/

28、=0,所 以 x)=(x-l)(x_2)2在 0,3 上 的 最 小 值 为-4.故 选:B.3.(2021 全 国 高 二 专 题 练 习)函 数”?在 0,2 上 的 最 大 值 是()12i 2A.当 x=l 时，y=-B,当 x=2 时，y=-7e eC.当 x=0 时，y=o D.当 x=L 时，y=-=2 27。【答 案】A【详 解】因 为 y=,则/=上/.e ey当 o w i 时，y o,此 时 函 数”。单 调 递 增，e当 1 X 2 时，/0,此 时 函 数 y=E 单 调 递 减.ex 所 以，当 x=l时，函 数=W 取 得 最 大 值，即 以 标=一.e e故 选

29、：A.4.(2021 安 徽 金 安 毛 坦 厂 中 学(理)已 知 函 数 X)=XL 4 X2-3X,则/在 xel,4上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 差 为()A.12 B.2 C.6 D.4【答 案】A【详 解】由 f()=x3-4x2-3x=/(x)=3x2-8x-3=(3x+l)(x-3),令 导 数 为 0 得 再=-；户 2=3,则 xe(L3),r(x)0,x)单 增，贝 V(X=3)=3，-4X 32-3X 3=-18,/(1)=-6,/(4)=-12,故/(x)1M 6,/rax-/(x)min=-6-(-18)=12故 选：A5.(2021 合 肥 市 第 十

30、一 中 学(理)/(x)=e、-x在 区 间-1J上 的 最 大 值 是()A.1H B.1 C.e+1 D.e 1e【答 案】D【详 解】/(x)=e=x,f(x)=e-l,令/(x)=0,解 得 x=0.所 以 xe-l,O),r(x)0./(x)为 增 函 数，又 因 为/(-l)=eT+l=!+l,=e所 以 函 数/(x)在 的 最 大 值 为 e-1.13故 选：D6.(2021 山 西 运 城(理)函 数/。)=1 2 4-2/_ 3 在 0,2 上 的 最 大 值 为()A.6 B.7 C.8 D.9【答 案】B【详 解】Pl f(x)=12/x 2x3-3,当 0 c x 4

31、 2 时，f(x)=-6x2=l-(WF,由/(x)=。得 x=l,当 0 x 0,当 1 X 2 时，/(x)山 西 运 城(文)函 数/(刈=?3+2 2+3 在-2,2 上 的 最 小 值 为()14 8 4A.B.4 C.D.3 3 3【答 案】D【详 解】/r(x)=x2+4x+3=(x+l)(x+3),所 以-2cA-1时，/(x)0,/(用 递 减，一 1cx 0,/(%)递 增,1 4所 以 x=-1是/(x)在-2,2 上 的 唯 一 极 值 点，极 小 值 也 是 最 小 值./(-I)=-+2-3=-.故 选：D.8.(2021 四 川 省 资 中 县 第 二 中 学 高

32、 二 月 考(理)函 数/(乃=/+8 2 _%在-1,2 上 的 最 大 值 是()A.-5 B.2 C.11 D.15【答 案】C【详 解】因 为 函 数 f(x)=x3+3x2-9x,所 以/(X)=3/+6X-9=3(X+3)(X-1),所 以 当 时，/(x)0,函 数/(%)单 调 递 增；又 _l)=T+3+9=ll,/=8+12 18=2,所 以 函 数/(0=1+3%2_/在 T 2 上 的 最 大 值 是/(-1)=11.故 选：C.9.(2021 重 庆 市 清 华 中 学 校)函 数/(x)=x-lnx在(0例 2 上 的 最 小 值 是()A.-B.C.e D.0e

33、e【答 案】B【详 解】14由 题 知，/(x)=x-lnx,/f(x)=lnx+x-=l+lnx.当 时，由/(x)0得，-x e2；由/(x)0得，0 x-.e e所 以 当 x e Q 4 时，函 数/(x)在(0,上 单 调 递 减，在 g l 上 单 调 递 增，函 数/(力 的 最 小 值 为 故 选：B._ 丫 3 Y()10.(2021 北 京 大 兴 高 二 期 末)若 函 数 x)=C，八 在 区 间(7,3-2)上 有 最 大 值，则 实 数。的 取 值 2x,x 0,则 g，(x)=3-3/=3(l-x2),令 g(x)0,解 得 0 x l;令 g(x)l,所 以 g(X)在(0,1)上 单 调 递 增，在(1,+8)上 单 调 递 减.又 1)=2=/(-1),作 出 函 数 x)的 大 致 图 象，结 合 图 象，由 题 意 可 得-KIl3-2，解 得 0Wal,所 以 实 数。的 取 值 范 围 是 0，1).故 选：B.15